第33講空間幾何體的結(jié)構(gòu)1.棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺定義有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱有一面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺圖示和記法記作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'記作棱錐S-ABCD記作棱臺ABCD-A'B'C'D'分類直棱柱：側(cè)棱與底面垂直正棱柱：底面為正多邊形的直棱柱底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺2.圓柱、圓錐、圓臺和球的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的部分圖示和記法記作圓柱O'O記作圓錐SO記作圓臺O'O3.①球的結(jié)構(gòu)特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面,球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球圖示及相關(guān)概念記作球O球心:半圓的圓心半徑:連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段直徑:連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段②球的截面性質(zhì)a.用一個平面去截一個球,截面是圓面,球心和截面圓心的連線垂直于截面.b.球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r有如下關(guān)系:4.斜二測畫法（平面圖形）(1)建系:在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時,把它們畫成對應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點(diǎn)O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.(2)平行不變:已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段.(3)長度規(guī)則:已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中的長度為原來的一半.5.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2πrlS圓錐側(cè)=πrlS圓臺側(cè)=π(r1+r2)l6.柱、錐、臺、球的表面積與體積公式幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=13臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側(cè)+S上+S下V=13(S上+S下+S上球S=4πR2V=43πR7.常用結(jié)論(1)設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,則它的外接球的半徑R=a2(2)設(shè)正方體的棱長為a,則它的內(nèi)切球的半徑r=a2,外接球的半徑R=3(3)若棱錐的側(cè)面中有以同一條邊為斜邊的兩個直角三角形，則該邊為該棱錐的外接球的直徑.(4)若棱錐有一側(cè)棱垂直于底面，該側(cè)棱長度為，底面外接圓的半徑為，則其外接球的半徑滿足：.(5)若棱錐有兩個互相垂直的側(cè)面，這兩個側(cè)面的外接圓的半徑分別為，交線長度為，則其外接球的半徑滿足：.考點(diǎn)一幾何體體積的求法考點(diǎn)二幾何體表面積的求法考點(diǎn)三幾何體的“內(nèi)切”，“外接”球問題考點(diǎn)一：幾何體體積的求法例1．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）已知某圓錐的高為，體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．例2．已知在春分或秋分時節(jié)，太陽直射赤道附近.若赤道附近某地在此季節(jié)的日出時間為早上6點(diǎn)，日落時間為晚上18點(diǎn)，該地有一個底面半徑為的圓錐形的建筑物，且該建筑物在白天中恰好有四個小時在地面上沒有影子，則該建筑物的體積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：幾何體表面積的求法例3．唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖甲所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖乙所示.已知半球的半徑為，酒杯內(nèi)壁表面積為，則圓柱的高和球的半徑之比為（

）甲

乙A． B． C． D．例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某藥廠制造一種藥物膠囊，如圖所示，膠囊的兩端為半球形，半徑，中間可視為圓柱，若該種膠囊的表面積為，則該種膠囊的體積為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三：幾何體的“內(nèi)切”，“外接”球問題例5．已知球面上的四點(diǎn)P、A、B、C，PA、PB、PC的長分別為3、4、5，且這三條線段兩兩垂直，則這個球的體積為（

）A． B． C． D．例6．已知圓柱的高為2，側(cè)面積為，若該圓柱的上、下底面圓周都在某一球的球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知直角三角形ABC，，，，現(xiàn)將該三角形沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積為（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在炎熱的夏天里，人們都喜歡在飲品里放冰塊.如圖是一個高腳杯，它的軸截面是正三角形，容器內(nèi)有一定量的水.若在高腳杯內(nèi)放入一個球形冰塊后，冰塊沒有開始融化前水面所在的平面恰好經(jīng)過冰塊的球心（水沒有溢出），則原來高腳杯內(nèi)水的體積與球的體積之比是（

）A．1 B． C． D．3．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖l，在高為h的直三棱柱容器中，，，現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時，水面恰好為（如圖2），則=（

）A． B．C． D．4．（2023·天津·大港一中校聯(lián)考一模）在中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作九章算術(shù)中，稱圖中的多面體為“芻甍”書中描述了芻甍的體積計算方法：求積術(shù)曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一，即，其中是芻甍的高，即點(diǎn)到平面的距離若底面是邊長為的正方形，，且，和是等腰三角形，，則該芻甍的體積為（

）A． B． C． D．5．已知球與一正方體的各條棱相切，同時該正方體內(nèi)接于球，則球與球的表面積之比為（

）A．2：3 B．3：2 C． D．6．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知正四面體的棱長為1，點(diǎn)O為底面的中心，球О與該正四面體的其余三個面都有且只有一個公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)非該正四面體的頂點(diǎn)，則球O的半徑為（

）A． B． C． D．7．某車間需要對一個圓柱形工件進(jìn)行加工，該工件底面半徑15cm，高10cm，加工方法為在底面中心處打一個半徑為rcm且和原工件有相同軸的圓柱形通孔.若要求工件加工后的表面積最大，則r的值應(yīng)設(shè)計為（

）A． B． C．4 D．58．（2023·內(nèi)蒙古通遼·校考二模）已知一個實(shí)心銅質(zhì)的圓錐形材料的底面半徑為4，圓錐母線長，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個實(shí)心銅球，不計損耗，則銅球的表面積為（

）A． B． C． D．9．用底面半徑為的圓柱形木料車出7個球形木珠，木珠的直徑與圓柱形木料的高相同．下料方法：相鄰的木珠相切，與圓柱側(cè)面接觸的6個木珠與側(cè)面相切，如圖所示是平行于底面且過圓柱母線中點(diǎn)的截面．則7個木珠的體積之和與圓柱形木料體積之比為（

）．A． B． C． D．10．在古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻有一個令他最引以為傲的幾何圖案.該幾何圖案是內(nèi)部嵌入一個內(nèi)切球的圓柱，且該圓柱底面圓的直徑與高相等，則該圓柱的內(nèi)切球與外接球的體積之比為（

）A． B． C． D．11．點(diǎn)是棱長為2的正方體外接球球面上的任意一點(diǎn)，則四棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．12．已知三棱錐的底面是邊長為1的正三角形，側(cè)棱兩兩垂直，若此三棱錐的四個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．13．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，底面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．14．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為（

）A． B． C． D．二、填空題15．已知正方體的棱長為2，則其外接球的表面積為______.16．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，，則球O的體積是___________.17．如圖，在三棱錐中，，則三棱錐的外接球的表面積為__________.18．（2