第34講空間幾何體外接球、內(nèi)切球、棱切球、截面問題、軌跡問題【典型例題】例1．（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，連接交于點，連接，取的中點，連接，因為,所以,,由可得平面，且，所以平面，過作，因為平面，平面，所以,且平面，所以平面，所以為該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球的半徑，在直角三角形中，，由等面積法可得，,解得，所以內(nèi)切球的表面積為，故選:D.例2．（2024·高三·陜西安康·階段練習(xí)）如圖，棱長為的正方體的內(nèi)切球為球，，分別是棱，的中點，在棱上移動，則（

）

A．對于任意點，平面B．直線被球截得的弦長為C．過直線的平面截球所得的所有截面圓中，半徑最小的圓的面積為D．當(dāng)為的中點時，過，，的平面截該正方體所得截面的面積為【答案】C【解析】對于A，根據(jù)已知條件圓為以為圓心，半徑的圓；在棱上移動，當(dāng)與點重合時，平面即為平面，因為在直線上，所以平面，所以與平面相交，A錯誤；對于B，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則、、、，則，，，設(shè)直線與直線夾角為，則，由此可知，連結(jié)，過作直線的垂線，垂足為，則在中，有，解得，設(shè)直線被球O截得的弦長為，則，B錯誤；對于C，過直線的平面截球O所得的所有截面圓半徑最小時，有垂直于過的平面，此時圓的半徑為，圓的面積為，C正確；對于D，根據(jù)題意當(dāng)為的中點時，過，，的平面截該正方體所得截面為正六邊形，，在中，，所以邊長，所以截面面積為，D錯誤.故選：C例3．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）把沿三條中位線折疊成四面體，其中，，，則四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，記的中點分別為，因為，，，由中位線性質(zhì)可得，翻折后的四面體如圖：由翻折的性質(zhì)可得，所以四面體對棱相等，故可以考慮將四面體補形為長方體如下；四面體的外接球即長方體的外接球，設(shè)其外接球半徑為，，則，因為，所以，所以，所以四面體的外接球表面積，故選：D.例4．（2024·四川綿陽·三模）如圖，正方體的棱長為3，點是側(cè)面上的一個動點（含邊界），點在棱上，且．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若保持．則點的運動軌跡長度為B．保持與垂直時，點的運動軌跡長度為C．沿正方體的表面從點到點的最短路程為D．當(dāng)在點時，三棱錐的外接球表面積為【答案】C【解析】對于，過點作平面，以為圓心，為半徑在平面內(nèi)作圓交于點,則即為點的運動軌跡，∵，∴,∴，∴，∴的長為，則正確；對于，∵平面,平面，∴,∵，平面，平面，，∴平面，∵平面，∴,同理可證，∵平面，，平面，∴平面，找上的點，使得，找上的點，使得,連接，∵∥,∥,∴∥,∵平面，平面，∴∥平面，∵∥，平面，平面，∴∥平面，∵平面，平面，，∴平面∥平面，∴平面，在上找一點使得，連接,∵∥，∥，∴∥，∴四點共面，∴平面，∴點的軌跡為線段,,則正確；將平面和平面沿展開在同一平面上，從點到點的最短路程為,則,則錯誤；分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則，即，解得，∴三棱錐的外接球半徑,∴三棱錐的外接球表面積為,則正確；故選：.例5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正三棱柱的側(cè)面積為36，則與三棱柱各棱均相切的球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)上下底面的中心分別為，由對稱性可知，球的球心為的中點，取的中點，連接，連接并延長，交于，連接，則，設(shè)，則，，而，聯(lián)立兩式，解得，則球的半徑為，則其表面積為，故B正確.故選：B.例6．（2024·天津·一模）祖暅是我國南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”.這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高.這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等，利用祖暅原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差，圖1是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線和均是以2為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，模仿上述半球的體積計算方法，可以構(gòu)造一個與帳篷同底等高的正四棱柱，從中挖去一個倒放的同底等高的正四棱錐（如圖2），從而求得該帳篷的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)截面與底面的距離為，在帳篷中的截面為，設(shè)底面中心為，截面中心為，則，，所以，所以截面為的面積為.設(shè)截面截正四棱柱得四邊形為，截正四棱錐得四邊形為，底面中心與截面中心之間的距離為，在正四棱柱中，底面正方形邊長為，高為2，，所以，所以為等腰直角三角形，所以，所以四邊形邊長為，所以四邊形面積為，所以圖2中陰影部分的面積為，與截面面積相等，由祖暅原理知帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積，即.故選：D.例7．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為，則．【答案】【解析】設(shè)正三棱柱的棱長為，因為正三棱柱上下底面中心連線的中點為外接球的球心，則外接球的半徑，，所以，因為，所以為棱切球的球心，則棱切球半徑，所以.故答案為：例8．（2024·山東臨沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是，與之對應(yīng)的球缺的體積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點，，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為，體積為.

【答案】【解析】因為，所以，設(shè)圓的半徑為，又，解得（負值舍去），過點作交于點，過點作交于點，則，，所以，同理可得，，將扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個半徑的球中上下截去兩個球缺所剩余部分再挖去兩個圓錐，其中球缺的高，圓錐的高，底面半徑，則其中一個球冠的表面積，球的表面積，圓錐的側(cè)面積，所以幾何體的表面積，又其中一個球缺的體積，圓錐的體積，球的體積，所以幾何體的體積.故答案為：；例9．（2024·陜西西安·三模）如圖，已知球的半徑為，在球的表面上，，連接球心與，沿半徑旋轉(zhuǎn)使得點旋轉(zhuǎn)到球面上的點處，若此時，且球心到所在截面圓的距離為，則球的表面積為．

【答案】/【解析】依題意，在中，，，則，因此的外接圓半徑，由球心到所在截面圓的距離為，得，則，所以球的表面積為.故答案為：【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知上底面半徑為，下底面半徑為的圓臺存在內(nèi)切球（與上，下底面及側(cè)面都相切的球），則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓臺的軸截面為等腰梯形，上底面半徑為，下底面半徑為，則腰長為，故梯形的高為，則該圓臺的體積為.故選：D.2．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將四面體補形成長方體，長方體的長?寬?高分別為、、，四面體的外接球即為長方體的外接球，而長方體的外接球的直徑等于長方體的體對角線長，設(shè)外接球的半徑為，故，所以外接球表面積為.故選：B.3．（2024·四川涼山·二模）已知在三棱錐中，，，底面是邊長為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在三棱錐中，，，正的邊長為1，則，即有，同理，而平面，于是平面，令正的外心為，三棱錐外接球球心為，則平面，顯然球心在線段的中垂面上，取的中點，則，而，則四邊形是矩形，，所以球半徑，表面積.故選：B4．（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知正四面體的棱長為，則該四面體的外接球與以點為球心，為半徑的球面的交線的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)該正四面體的外接球的半徑為，為底面的中心，為該正四面體外接球的球心，則，則該正四面體的高，根據(jù)，即，解得，則，，，如圖，在中，，所以；在中，，因為交線為圓，所以周長為.故選：C.5．（2024·廣東·模擬預(yù)測）將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球，則當(dāng)此立體圖形體積最大時，其外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，且這條線過三角形的某個頂點且不垂直于三角形的邊，由題意以為原點，以邊長為2的等邊三角形的邊為軸，邊上的高為軸建立如圖所示的平面直角坐標系：由題意，不失一般性，設(shè)（也就是設(shè)點在不包含端點的線段上），在中，令得，所以的面積為，而點到直線的距離為，此時三棱錐體積的最大值為（此時面面），所以，所以；若將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，且這條線過三角形的某個頂點且垂直于三角形的邊，此時上述情況中的點于原點重合，此時三棱錐體積的最大值為（此時面面），其中為點到的距離，即的長度；將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，且這條線不過三角形的任何頂點，如圖所示：不失一般性，設(shè)該直線分別與交于點，折疊后的立體圖形有外接球，則四點共圓，從而，又因為，所以，所以，由題意，設(shè)，所以，過點向引垂線，垂足為，則，所以四棱錐體積的最大值為（此時四邊形與三角形垂直），從而，或，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，有，綜上所述，滿足題意的直線為，且此時，此時我們首先來求四邊形外接圓圓心，因為中點坐標為，斜率為，所以的垂直平分線方程為，而中垂直線方程為，從而解得，所以四邊形外接圓半徑為，而到直線的距離為，又滿足題意的四棱錐的高為，設(shè)滿足題意的四棱錐的外接球球心為，設(shè)球心到平面的距離為，則由可得，，即，解得，從而滿足題意的外接球表面積為.故選：B.二、多選題6．（2024·河南信陽·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則（

）

A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為【答案】ACD【解析】對A：由題知，各側(cè)面均為邊長為的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；對B：連接，則，底面，故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯誤；對C：底面中心到各頂點的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；對D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球的表面積，故D正確；故選：ACD．7．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）化學(xué)中經(jīng)常碰到正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如六氟化硫（化學(xué)式）?金剛石等的分子結(jié)構(gòu).將正方體六個面的中心連線可得到一個正八面體（如圖1），已知正八面體的（如圖2）棱長為2，則（

）A．正八面體的內(nèi)切球表面積為B．正八面體的外接球體積為C．若點為棱上的動點，則的最小值為D．若點為棱上的動點，則三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】對于A項，設(shè)該正八面體內(nèi)切球的半徑為，由內(nèi)切球的性質(zhì)可知正八面體的體積，解得，故它的內(nèi)切球表面積為，故A項正確；對于B項，設(shè)該正八面體外接球的半徑為，由圖知，是正方形，,在中，,利用對稱性知,故點為正八面體外接球的球心，則，所以正八面體外接球的體積為，故項錯誤；對于C項，如圖，因與是邊長為2的全等的正三角形，可將翻折到，使其與共面，從而得到一個菱形.連接與相交于點，此時,,則取得最小值為，故項正確；對于D項，易知，因為平面平面，所以//平面，所以，故D項正確.故選：ACD.8．（2024·江西上饒·一模）空間中存在四個球，它們半徑分別是2，2，4，4，每個球都與其他三個球外切，下面結(jié)論正確的是（

）A．以四個球球心為頂點的四面體體積為B．以四個球球心為頂點的四面體體積為C．若另一小球與這四個球都外切，則該小球半徑為D．若另一小球與這四個球都內(nèi)切，則該小球半徑為【答案】ACD【解析】設(shè)半徑為2的兩球球心為A，B；半徑為4的兩球球心為C,D，易知，，,取中點，連接，因為，點為中點，所以，，則，故，則，因為平面，所以平面，則，故A正確，B不正確；若另一小球與這四個球都外切，設(shè)小球中心為，半徑為，則點在四面體內(nèi)，取中點，中點，連接，則，，又，，所以，則球心在上，所以，同理，代入解得或（舍），故C正確；若另一小球與這四個球都內(nèi)切，設(shè)小球中心為，半徑為，則，，且點在上，所以，同理，代入得或（舍），故D正確.故選：ACD.9．（2024·高三·山東菏澤·期末）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動機．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體的棱長為2，則（

）A．勒洛四面體被平面截得的截面面積是B．勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為【答案】BC【解析】觀察幾何體知，勒洛四面體的最大截面是經(jīng)過正四面體的任意三個頂點的平面截勒洛四面體而得，勒洛四面體被平面截得的截面是正及外面拼接上以各邊為弦的三個弓形，弓形弧是以正各頂點為圓心，邊長為半徑且所含圓心角為的扇形弧，如圖所示：因此，截面面積為：，選項A錯誤，C正確；由對稱性知，勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心，正外接圓半徑，正四面體的高，設(shè)正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，因此，勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，選項B正確；勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，所以勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為，選項D錯誤．故選：BC．10．（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點在同一個平面內(nèi)，如果四邊形是邊長為2的正方形，則（

）

A．異面直線與所成角大小為B．二面角的平面角的余弦值為C．此八面體一定存在外接球D．此八面體的內(nèi)切球表面積為【答案】ACD【解析】連接、交于點，連接、，因為四邊形為正方形，則，又因為八面體的每個面都是正三角形，所以、、三點共線，且面，所以以為原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，，，對于A項，，，設(shè)異面直線與所成角為，則，所以，即異面直線與所成角大小為，故A項正確；對于B項，，，，設(shè)面的一個法向量為，則，取，則，，則，設(shè)面的一個法向量為，則，取，則，，則，所以，又因為面與所成的二面角的平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為，故B項錯誤；對于C項，因為，所以為此八面體外接球的球心，即此八面體一定存在外接球，故C項正確；對于D項，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則八面體的體積為，又八面體的體積為，所以，解得，所以內(nèi)切球的表面積為，故D項正確.故選：ACD.11．（2024·高三·江西·期末）在棱長為2的正方體中，點，，分別是線段，線段，線段上的動點，且.則下列說法正確的有（

）A．B．直線與所成的最大角為C．三棱錐的體積為定值D．當(dāng)四棱錐體積最大時，該四棱錐的外接球表面積為【答案】BCD【解析】對于A，由，可得，因為，所以與不垂直，因此A不正確；對于B，因為，所以，因此直線與所成的角就是直線與所成的角，當(dāng)為中點時，此時,直線與所成的角最大為，因此B正確：對于C，由于平面平面,平面,所以為定值，C正確：對于D，,由于為上的點，故到平面的距離為定值，所以到平面的距離為定值，要使最大，只需要最大，故當(dāng)為點時，四棱錐體積最大，該四棱錐的外接球即正方體的外接球，直徑為，所以，故其表面積為，因此D正確．故選：BCD．12．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）四棱錐的底面為正方形，PA與底面垂直，，，動點M在線段PC上，則（

）A．不存在點M，使得B．的最小值為C．四棱錐的外接球表面積為5πD．點M到直線AB的距離的最小值為【答案】BD【解析】對于A：連接BD，且，如圖所示，當(dāng)M在PC中點時，因為點O為AC的中點，所以，因為平面ABCD，所以平面ABCD，又因為平面ABCD，所以，因為ABCD為正方形，所以．又因為，且BD，平面BDM，所以平面BDM，因為平面BDM，所以，所以A錯誤；對于B：將和所在的平面沿著PC展開在一個平面上，如圖所示，和是全等的直角三角形，，，連結(jié)，，則的最小值為BD，直角斜邊PC上高為，即，直角斜邊PC上高也為，所以的最小值為，所以B正確；對于C：易知四棱錐的外接球直徑為PC，半徑，表面積，所以C錯誤；對于D：點M到直線AB的距離的最小值即為異面直線PC與AB的距離，因為，且平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，所以直線AB到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離，過點A作，因為平面ABCD，面，所以，又，且，面，故平面PAD，平面PAD，所以，因為，且PD，平面PCD，所以平面PCD，所以點A到平面PCD的距離，即為AF的長，如圖所示，在中，，，可得，所以由等面積得，即直線AB到平面PCD的距離等于，所以D正確，故選：BD．13．（2024·江蘇·一模）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，點滿足，則（

）A．當(dāng)時，平面B．任意，三棱錐的體積是定值C．存在，使得與平面所成的角為D．當(dāng)時，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為【答案】ACD【解析】如圖所示建系，，所以，從而，所以，又面，所以面，時，與重合，平面為平面，因為面，平面，A對.不與平面平行，到面的距離不為定值，三棱錐的體積不為定值，B錯.設(shè)面的法向量為，則，令，解得，即可取，而，所以與平面所成角的正弦值為，又，所以，所以，又面，所以面，當(dāng)在時，與平面所成角的正弦值為，此時與平面所成角小于，當(dāng)在時，與平面所成角為，所以存在使與平面所成角為，C正確.，設(shè)平面的法向量為，不妨設(shè)，則.，則，平面的法向量，顯然球心，到面的距離，外接球半徑，截面圓半徑的平方為，所以，D對.故選：ACD.14．（2024·吉林延邊·一模）如圖，在多面體中，底面是邊長為的正方形，平面，動點在線段上，則下列說法正確的是（

）A．B．存在點，使得平面C．三棱錐的外接球被平面所截取的截面面積是D．當(dāng)動點與點重合時，直線與平面所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】設(shè),連接，令中點為，連接，如圖所示：由底面是正方形可得：是的中點，且；由平面，平面，平面,可得平面平面，；由，,可得四邊形為矩形.對于選項A:由，平面平面，且平面平面,面，可得面，又面,所以，故選項A正確；對于選項B:因為在矩形中,所以四邊形是平行四邊形，則直線因為平面,平面,則面.故當(dāng)是線段的中點時，直線面,故B正確；對于選項C:因為在中，,所以,由正弦定理得：的外接圓直徑,則半徑為，圓面積為,因為三棱錐的外接球的球心在過點且與平面垂直的直線上，且四邊形為矩形，所以點在三棱錐的外接球上.所以三棱錐的外接球被平面所截取的截面是的外接圓，因此三棱錐的外接球被平面所截取的截面面積是，故C錯誤．對于選項D:因為面，平面,所以面平面，所以在平面內(nèi)的射影在直線上，即直線與平面所成角為.在中，,故選項D正確；故選：ABD.15．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點，將菱形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的有（

）A．平面ABDB．異面直線AC與MN所成的角為定值C．設(shè)菱形ABCD邊長為a，，當(dāng)二面角為120°時，棱錐的外接球表面積為D．若存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直，則∠ABC的取值范圍是【答案】ABD【解析】對于A中，因為分別為菱形的邊的中點，所以為的中位線，所以，因為平面，平面，所以平面，所以A正確；對于B中，取的中點，連接，則，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，所以，即異面直線與所成的角為定值，所以B正確；對于C中，取的中心，設(shè)外接球的球心為，連接平面，平面，連接，并延長交于點，因為的邊長為，可得，則，又因為，當(dāng)二面角為時，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，即外接球半徑為，所以外接球的表面積為，所以C錯誤；對于D中，過作，垂足為，若為銳角，在線段上；若為直角，則與重合；若為鈍角，則在線段的延長線上，若存在某個位置，使得直線與直線垂直，因為，所以平面，因為平面，所以，若為直角，與重合，所以，在中，因為，所以不可能成立，即為直角不可能成立；若為鈍角，在線段的延長線上，則在菱形中，為銳角，由于立體圖中，所以立體圖中一定小于平面圖中的，所以為銳角，，故點在線段上與H在線段的延長線上矛盾，因此不可能是鈍角；綜上,的取值范圍是，所以D正確．故選：ABD．16．（2024·高三·河北滄州·階段練習(xí)）已知棱長為1的正方體的棱切球（與正方體的各條棱都相切）為球，點為球面上的動點，則下列說法正確的是（

）A．球的表面積為B．球在正方體外部的體積大于C．球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為D．若點在正方體外部（含正方體表面）運動，則【答案】ABD【解析】解析：對于A．如圖所示，正方體的棱切球的半徑，則球的表面積為，故A正確；對于B．若球體?正方體的體積分別為．球在正方體外部的體積，故B正確；對于C，球的半徑，設(shè)圓柱的高為，則底面圓半徑，所以，當(dāng)時取得最大值，且最大值為，所以C項錯誤；對于D，取中點，可知在球面上，可得，所以，點在球上且在正方體外部（含正方體表面）運動，所以（當(dāng)為直徑時，），所以．故D正確．故選ABD．17．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）已知正方體的棱長為是中點，是的中點，點滿足，平面截該正方體，將其分成兩部分，設(shè)這兩部分的體積分別為，則下列判斷正確的是（

）A．時，截面面積為 B．時，C．隨著的增大先減小后增大 D．的最大值為【答案】BCD【解析】如圖1，當(dāng)時，點是的中點，易得截面為正六邊形．其棱長為，故截面面積為故A項錯誤；由對稱性可知．當(dāng)時．平面分兩部分是全等的，故體積相等，故B項正確；如圖2．當(dāng)從0變化到1時．截面從四邊形變化至五邊形（其中為靠近點的三等分點）．結(jié)合B項可知，被截面所分兩部分體積之差的絕對值先減小至0，再逐漸增大，故C項正確；取最大值時對應(yīng)為，或時情形．當(dāng)時，不妨記為截面左上角的部分幾何體，則,則,此時；當(dāng)時，不妨記為截面左上角的部分幾何體，則,則，此時.的最大值為，故D項正確．故選：BCD．18．（2024·廣東·一模）將圓柱的下底面圓置于球的一個水平截面內(nèi)，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球的內(nèi)壁相接（球心在圓柱內(nèi)部）．已知球的半徑為3，．若為上底面圓的圓周上任意一點，設(shè)與圓柱的下底面所成的角為，圓柱的體積為，則（

）A．可以取到中的任意一個值B．C．的值可以是任意小的正數(shù)D．【答案】BD【解析】過R作圓柱的軸截面，過O作交圓柱軸截面的邊于M，N，由與圓柱的下底面所成的角為，則，所以，即，故B正確；當(dāng)點P，Q均在球面上時，角取得最小值，此時，所以，所以，故A錯誤；令，所以，所以，另，解得兩根，所以，所以在時單調(diào)遞減，所以，故D正確，C錯誤；故選：BD．19．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：用平面截圓錐，可以得到不同的截口曲線.如圖，當(dāng)平面垂直于圓錐的軸時，截口曲線是一個圓.當(dāng)平面不垂直于圓錐的軸時，若得到“封閉曲線”，則是橢圓；若平面與圓錐的一條母線平行，得到拋物線（部分）；若平面平行于圓錐的軸，得到雙曲線（部分）.已知以為頂點的圓錐，底面半徑為1，高為，點為底面圓周上一定點，圓錐側(cè)面上有一動點滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點的軌跡為橢圓B．點可能在以為球心，1為半徑的球外部C．可能與垂直D．三棱錐的體積最大值為【答案】ACD【解析】由于，則在線段的中垂面上，連接交圓錐于點，由于，，所以，故為等邊三角形，取中點為連接，則，則在線段的中垂面上，由于不垂直于，所以形成的是橢圓，故A正確，以為球心，1為半徑的球被平面（平面為線段的中垂面）所截得的截面為以為直徑的圓，而的軌跡為以為長軸的橢圓，由于圓的面積大于橢圓面積，所以不會離開橢圓，故在球內(nèi)或球面上，故B錯誤，若要，由于，所以只需要,當(dāng)在處，此時取最小值1，當(dāng)在處，此時取最大值2，由于連續(xù)變化，故能夠找到點，使得，故C正確，（為到平面的距離），又，故三棱錐的體積最大值為，故D正確.故選：ACD20．（2024·高三·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，八面體的每一個面都是邊長為4的正三角形，且頂點在同一個平面內(nèi)．若點在四邊形內(nèi)（包含邊界）運動，為的中點，則（

）A．當(dāng)為的中點時，異面直線與所成角為B．當(dāng)平面時，點的軌跡長度為C．當(dāng)時，點到的距離可能為D．存在一個體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)【答案】ACD【解析】對于A，因為為正方形，如圖，連接與，相交于點，連接，則兩兩垂直，故以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，為的中點，則，當(dāng)為的中點時，，設(shè)異面直線與所成角為，則，故，故正確；對于B，如圖，設(shè)為的中點，為的中點，則，平面，平面，則平面，又平面，又，設(shè)，故平面平面，平面平面，平面平面，則，則為的中點，點在四邊形內(nèi)（包含邊界）運動，則，點的軌跡是過點與平行的線段，長度為4，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，設(shè)，，得，即，即點的軌跡以中點為圓心，半徑為的圓在四邊內(nèi)（包含邊界）的一段?。ㄈ缦聢D），到的距離為3，弧上的點到的距離最小值為，因為，所以存在點到的距離為，故C正確；對于D，如圖，由于圖形的對稱性，我們可以先分析正四棱錐內(nèi)接最大圓柱的體積，設(shè)圓柱底面半徑為，高為，為的中點，為的中點，，根據(jù)，得，即，則圓柱體積，設(shè)，求導(dǎo)得，令得，或，因為，所以舍去，即，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，則，所以，故存在一個體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)，故D正確．故選：ACD．21．（2024·高三·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為，點為的中點，點為正方形內(nèi)包含邊界的動點，則（

）A．滿足平面的點的軌跡為線段B．若，則動點的軌跡長度為C．直線與直線所成角的范圍為D．滿足的點的軌跡長度為【答案】AD【解析】對于A，如圖所示，取棱的中點分別為，連接，根據(jù)正方體的特征易知，則共面，且平面，平面，又平面且相交于，故平面平面，所以滿足平面的點的軌跡為線段，故A正確；對于B，設(shè)M到上底面的投影為N，易知，而，所以，即P在以N為圓心，半徑為2的圓上，且P在正方形內(nèi)，如圖所示，即上，易知，所以的長度為，故B錯誤；對于C，如圖所示建立空間直角坐標系，取的中點Q，連接，作，設(shè)，則，，易知直線與直線所成角為，顯然當(dāng)P為的中點時，此時，當(dāng)時，，易知，若最小，則需，此時，故C錯誤；對于D，取，可知，即共面，在底面正方形中易知，則，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知底面，底面，所以，而平面，所以平面，故P在線段上運動，易知，故D正確.故選：AD三、填空題22．（2024·安徽安慶·二模）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為M，底面直徑．圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合于一點O，則該圓錐的全面積為．【答案】【解析】畫出圓錐的軸截面如圖所示，由O為圓錐的內(nèi)切球球心，則有為的角平分線，由O為圓錐的外接球球心，則，故，故，又，故為等邊三角形，故，，則.故答案為：.23．（2024·青海·一模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：斜解立方，得兩塹堵．其意思是：一個長方體沿對角面一分為二，得到兩個一模一樣的塹堵．如圖，在長方體中，，，，將長方體沿平面一分為二，得到塹堵，下列結(jié)論正確的序號為．

①點C到平面的距離等于；②與平面所成角的正弦值為；③塹堵外接球的表面積為；④塹堵沒有內(nèi)切球．【答案】①④【解析】如圖所示：由于垂直于平面，在平面內(nèi)，所以.而，所以有平行四邊形，從而四邊形是矩形.對于①，由于四面體的體積，同時，所以，這表明矩形的面積為，從而三角形的面積.設(shè)點C到平面的距離為，則有，從而，①正確；對于②，由于，，在平面內(nèi)，所以與平面所成角的正弦值為，②錯誤；對于③，記長方體的中心為，則到長方體的每個頂點的距離都是體對角線長的一半，即.故以為球心，半徑為的球同時經(jīng)過塹堵的每個頂點，故是塹堵的外接球，從而塹堵的外接球表面積，③錯誤；對于④，假設(shè)塹堵有內(nèi)切球，設(shè)該內(nèi)切球的球心為，半徑為，則在塹堵內(nèi)部，且到塹堵的每個面的距離都是.所以塹堵的體積等于四棱錐、四棱錐、三棱錐和三棱錐、四棱錐的體積之和，記矩形、矩形、三角形和三角形、矩形的面積分別為，則，，，，.同時，塹堵是對長方體一分為二得到的，故塹堵的體積是長方體的一半，從而塹堵的體積，這就說明：.但是到平面和平面的距離相等，且平面和平面是長方體的一組對面，故它們平行，且距離為.所以到平面和平面的距離都等于平面和平面距離的一半，從而.這就導(dǎo)致了矛盾，所以塹堵不存在內(nèi)切球，④正確.故答案為：①④.24．（2024·四川宜賓·二模）所有棱長均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個動點，則線段長度的最大值為.【答案】【解析】由正四面體的棱長為6，則其外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，設(shè)球心為，如圖，連接并延長交底面于，則平面，且為底面的中心，所以，在中，可求得，設(shè)外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則，解得，，所以線段長度的最大值為.故答案為：.25．（2024·全國·模擬預(yù)測）將菱形沿對角線折起，當(dāng)四面體體積最大時，它的內(nèi)切球和外接球表面積之比為．【答案】/【解析】不妨設(shè)菱形的邊長為，，，外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，取中點為，連接，因為，所以，當(dāng)平面平面時，平面平面，平面，所以平面，此時四面體的高最大為，因為，所以所以，，令解得，令解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時最大，最大體積為，此時，以四面體的頂點構(gòu)造長方體，長寬高為，則有解得，所以，所以外接球的表面積為，又因為，所以，，所以，所以，所以，及內(nèi)切球的表面積為，所以內(nèi)切球和外接球表面積之比為．故答案為：26．（2024·高三·山東濟寧·開學(xué)考試）三棱錐中，是邊長為的正三角形，頂點在底面上的射影是的中心，且．三棱錐的內(nèi)切球為球，外接球為球，若球的半徑為，球的半徑為，則；若為球上任意一點，為球上任意一點，則線段的最小值為【答案】【解析】由題易知，三棱錐為棱長為1的立方體的一部分，如圖由等體積法求，，即.又由，即，所以；的外接圓半徑為，故點到平面的距離為，由于，所以在三棱錐的外部，故球內(nèi)含于球，且，所以.故答案為：，27．（2024·高三·湖南長沙·階段練習(xí)）已知正六棱錐的高是底面邊長的倍，側(cè)棱長為，正六棱柱內(nèi)接于正六棱錐，即正六棱柱的所有頂點均在正六棱錐的側(cè)棱或底面上，則該正六棱柱的外接球表面積的最小值為．【答案】【解析】如圖，設(shè)正六棱錐為P—ABCDEF，底面中心為，正六棱柱為，其中與底面重合的面為，面的中心為，外接球球心為O，由題意得，面的中心為，面的所有頂點均在正六棱錐的側(cè)棱上．作截面PAD的平面圖，由題意得，，所以，．設(shè)，，由題意得，故，，故外接球半徑的平方，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，此時外接球表面積，故正六棱柱的外接球表面積的最小值為．28．（2024·山東煙臺·一模）在三棱錐中，，且分別是的中點，，則三棱錐外接球的表面積為，該三棱錐外接球與內(nèi)切球的半徑之比為.【答