第35講立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題【典型例題】例1．（2024·高三·天津南開·階段練習(xí)）如圖，四棱臺(tái)中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，，E，F(xiàn)分別為DC，BC的中點(diǎn)，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為45°．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)邊BC上是否存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段BM的長；若不存在，請說明理由．【解析】（1）證明：由題設(shè)可得四棱臺(tái)為正四棱臺(tái)，故可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所有，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面；?）易知，則，所以點(diǎn)到平面的距離為；（3）假設(shè)在邊BC上存在點(diǎn)M，設(shè)，則，因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，所以，即，解得或（舍去），則，此時(shí).例2．（2024·高三·湖南·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面，.

(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，M是直線上的一點(diǎn)，N是直線上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，N使得?請說明理由.【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)O，因?yàn)?，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，，所以平?（2）因?yàn)?，O為的中點(diǎn)，，所以，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，則由平面,平面,可得，則以O(shè)為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)與，都重直的向量為，則得令，則，設(shè)直線與直線的距離為d，則，則不存在點(diǎn)M和N使得.例3．（2024·高三·上海黃浦·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，E為AD的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)M，使得平面PEB？請說明理由【解析】（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，因此．?）存在為中點(diǎn)時(shí)，平面，理由如下：取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，且．在矩形中，為中點(diǎn)，所以，且．所以，且，所以四邊形為平行四邊形，因此，又因?yàn)槊婷妫悦妫?．（2024·高三·安徽池州·期末）如圖，在五面體中，四邊形是矩形，平面平面．(1)求該五面體的體積；(2)請判斷在棱上是否存在一點(diǎn)G，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求的長；若不存在，請說明理由．【解析】（1）因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因過的平面平面，所以，分別取與的中點(diǎn)M，N，連接，則平面將五面體分割成兩部分，幾何體和棱錐，故，取中點(diǎn)為O，，，為中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，平面，平面，又因?yàn)?，所以，則幾何體為棱柱，取的中點(diǎn)，連接，可得，則四邊形為平行四邊形，則，由平面，可得平面，則為棱錐的高，由可得，則，又，平面，平面平面，平面平面，所以平面，所以為棱柱的高，，；（2）取中點(diǎn)Q，連接，易得，結(jié)合（1）可知兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；則，，，設(shè)平面的法向量，可得則，得，令得，解得平面的一個(gè)法向量，在上，設(shè)，，，則，設(shè)直線與平面所成角為，，或（舍去），，故存在G點(diǎn)，當(dāng)，即G與F重合時(shí)，與平面所成角的正弦值為．例5．（2024·高三·云南楚雄·期末）已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，E是的中點(diǎn)，且，，.(1)證明：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)F（不含端點(diǎn)），使得平面與平面的夾角的余弦值為？如果存在，求的長；如果不存在，請說明理由.【解析】（1）由，，，得，所以，又底面是正方形，所以，因?yàn)?，面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）過點(diǎn)A在平面內(nèi)作的垂線，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以這條垂線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)，因?yàn)?，所以，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，，，.設(shè)平面的法向量是，由，即，令，得.設(shè)平面的法向量是，由，即，令，得.所以，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即.例6．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，且與平面垂直，，.(1)證明：平面；(2)棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角為？若存在，請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.【解析】（1）連接與，由于四邊形為菱形，故由于側(cè)面與平面垂直，且兩平面的交線是，側(cè)面，故平面,平面,故,又，平面，故平面（2）由（1）知平面，平面,所以平面平面，且交線為,由于故三角形為等邊三角形，取中點(diǎn)為，則,平面，所以平面，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中軸與平行，,,設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè)，其中，,故，故，化簡得，解得，故故存在，且在的中點(diǎn).例7．（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）在四棱錐中，已知，．(1)求證：平面平面；(2)若線段上存在點(diǎn)，滿足，且平面與平面的夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值．【解析】（1）連接，因?yàn)?，，故為等邊三角形，則，又，易知，又，故，即，有，故，又，、平面，且，故平面，又平面，故平面平面；（2）取中點(diǎn)，連接與中點(diǎn)，連接，由，故，又平面，平面平面，平面平面，故平面，又平面，故，由，、分別、中點(diǎn)，故，即、、兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，，故，即有、、、、、，，則，，，，由，則，即，故，令平面與平面的法向量分別為、，則有、，即、，令、，則可得，，則，解得.【過關(guān)測試】1．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面，四邊形中，，，，．(1)求證：平面平面．(2)設(shè)．①直線與平面所成的角為，求線段的長；②線段上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)，，，的距離都相等？說明理由．【解析】（1）平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，平面平面.（2）①以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），在平面內(nèi)，作交于點(diǎn)，則在中，，設(shè)，則，，由，得，所以，，,，設(shè)平面的法向量為，由，，得，取得平面的一個(gè)法向量為，又，故由直線與平面所成的角為得，即解得或（舍去，因?yàn)椋?，所以；②解法一：如圖所示，假設(shè)線段上存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)，，，的距離都相等．設(shè)，則，，．因此由，得，即，又由，得，聯(lián)立兩式，消去并化簡，得，由∵方程沒有實(shí)數(shù)根，∴在線段上不存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)，，，的距離都相等．解法二：假設(shè)在線段上存在一個(gè)點(diǎn)到、、、的距離都相等，由，得，從而，即，所以，設(shè)，則，，在中，，這與矛盾，所以在線段上不存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到、、的距離都相等，從而，在線段上不存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)、、、的距離都相等．2．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）如圖甲，菱形的邊長為，，將沿向上翻折，得到如圖乙所示的三棱錐.

(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請說明理由.【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，菱形中，，所以，又因?yàn)?，平面，平面，平面，所以平面，又平面，所?（2）中，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，解得；在中，，所?在平面中，作，交于點(diǎn)，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，又，假設(shè)在線段上存在符合要求的點(diǎn).設(shè)平面的法向量，由，則，取.由題可取平面的法向量，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)或時(shí)，平面與平面所成角的余弦值為.3．（2024·高三·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面.(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為.若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以三點(diǎn)共線，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）以所在的直線為軸和軸，過點(diǎn)作平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，設(shè)，所以，所以，由（1）知平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，即當(dāng)或時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.4．（2024·陜西咸陽·二模）在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形．平面，若．(1)求證：平面平面；(2)是否在線段上存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為．若存在，求出的長度，若不存在，請說明理由．【解析】（1）證明：如圖，設(shè)分別為邊的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，所以?進(jìn)而，即四邊形為平行四邊形，可得，在底面正三角形中，為邊的中點(diǎn)，則，又平面，且平面，所以．由于，且平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，則平面，又平面，則平面平面．（2）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)點(diǎn)，則．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為．由題意知即令，則，即，即取，則，由，，解得：，由于點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，故，所以，當(dāng)時(shí)，二面角所成角為銳角，即存在點(diǎn)滿足，此時(shí)．5．（2024·全國·一模）如圖，棱柱的所有棱長都等于2，且，平面平面．(1)求平面與平面所成角的余弦值；(2)在棱所在直線上是否存在點(diǎn)P，使得平面．若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．【解析】（1）如圖：取中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)楦骼忾L均為2，且，所以是等邊三角形.所以.又因?yàn)?，，所以是等邊三角?所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.由，所以可以以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.那么：，，，.設(shè)平面的法向量為，則，??；因?yàn)槠矫?，可取平面的法向?則，即為平面與平面所求角的余弦值.（2）因?yàn)?，設(shè)，因?yàn)樵谏?，可設(shè)，則，可得.設(shè)平面的法向量為，則，取.由.所以存在點(diǎn)P，使得平面，此時(shí)點(diǎn)P在的延長線，且.6．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）如圖，是以為直徑的圓上異于，的點(diǎn)，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為直線.(1)求證：直線平面；(2)直線上是否存在點(diǎn)，使直線分別與平面，直線所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面，又平面，平面平面，∴，又，平面平面，平面平面，∴平面，則平面；（2）取中點(diǎn)，連接，∵，∴，∵平面平面，平面平面，又∵平面，∴平面，又∵是以為直徑的圓上異于，的點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)，分別是，中點(diǎn)，連接，則，分別以線段，，所在的直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，∴，，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以，，依題意，得，即，解得，即，∴，∴直線上存在點(diǎn)，使直線分別與平面、直線所成的角互余，且．7．（2024·天津河?xùn)|·一模）在正方體中（如圖所示），邊長為2，連接

(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)底面正方形的內(nèi)切圓上是否存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為，若存在求長度，若不存在說明理由．【解析】（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則．平面的法向量為，，令，則，，平面；（2）平面的法向量為，，令，則，平面與平面夾角為，；（3）設(shè)，且，與平面所成角為，，即，解得或，故或，所以.8．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在四棱錐中，已知，，，，，是線段上的點(diǎn)．(1)求證：底面；(2)是否存在點(diǎn)使得與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）在中，，所以．在中，，由余弦定理有：，所以，，所以，所以，又因?yàn)椋?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，在中：，則，所以，，因?yàn)?，、平面，所以面．?）因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有、、、、，設(shè)，其中，則，設(shè)為面的法向量，則有，取，則，所以，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成的角為，由題意可得，可得，因?yàn)?，所以．因此，存在點(diǎn)使得與平面所成角的余弦值為，且．9．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，∠AEB＝，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC.(1)求證：AB⊥DE.(2)求證：AE⊥平面BCE.(3)線段EA上是否存在點(diǎn)F，使EC∥平面FBD？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）證明：如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接EO，DO.由△ABE為等腰直角三角形及∠AEB＝可得EB＝EA，所以EO⊥AB.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形，AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，所以四邊形OBCD為正方形，故AB⊥OD.又OD∩OE＝O，OD，OE?平面ODE，所以AB⊥平面ODE.又ED?平面ODE，所以AB⊥ED.（2）證明：因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，又AB⊥BC，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面ABE.因?yàn)锳E?平面ABE，所以BC⊥AE.因?yàn)镋A⊥EB，BC∩BE＝B，BC，BE?平面BCE，所以AE⊥平面BCE.（3）存在點(diǎn)F，且＝時(shí)，EC∥平面FBD.理由如下：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)M，連FM.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形，AB＝2CD＝2BC，所以＝＝.此時(shí)＝＝，所以EC∥FM.又FM?平面FBD，EC?平面FBD，所以EC∥平面FBD.10．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，底面，，點(diǎn)在棱上，平面.(1)試確定點(diǎn)的位置，并說明理由；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使三棱錐體積為，若存在，請求出具體值，若不存在，請說明理由.【解析】（1）點(diǎn)是的中點(diǎn)，理由如下：連接，交于點(diǎn)，連結(jié)，底面是正方形，、相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，平面，含于平面，平面平面，，中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（2）為中點(diǎn)，.若，則

底面，，

，解得.

存在，使三棱錐體積為.11．（2024·陜西西安·一模）如圖，在三棱錐中，側(cè)面是邊長為1的正三角形，分別為的中點(diǎn)，平面與底面的交線為．(1)證明：平面；(2)若三棱錐的體積為，試問在直線上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，且滿足.若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.又平面，平面與底面的交線為，所以.從而.而平面，平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)記為，連接，因?yàn)槭沁呴L為的正三角形，所以，.由（1）可知，在底面內(nèi)過點(diǎn)作的平行線，即平面與底面的交線.由題意可得，即，所以的面積.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由已知可得，于是.因?yàn)?，所以平面，取的中點(diǎn)記為，連接，則.因?yàn)?，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè).于是，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，，即是平面的一個(gè)法向量，所以.又直線與平面所成角為，于是.又，而異面直線所成角為，于是.假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)，則，即，所以.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有.綜上所述，這樣的點(diǎn)存在，且有.12．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，平面，，，，.(1)證明：平面平面；(2)試問線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，請判斷點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又因?yàn)?，且平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋粤?，則.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以令，則.因?yàn)槠矫媾c平面夾角的余弦值為，所以，解得或（舍去），所以存在滿足題意，且為的中點(diǎn).13．（2024·湖南邵陽·二模）如圖所示，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，平面.(1)證明：；(2)若，棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角余弦值為.若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：連接，因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以，又平面，平面，所以；又，所以平?因?yàn)樗睦馀_(tái)中，、延長線交于一點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，所以.（2）由（1）知，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，若存在點(diǎn)滿足題意，則設(shè).易知平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量..則則令，則.，解之得.故在棱上存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí)或.14．（2024·高三·湖北荊州·階段練習(xí)）設(shè)四邊形為矩形，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，且平面，若(1)求與平面所成角的正切值；(2)在邊上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，所以即為與平面所成角的平面角，在中，，則，所以與平面所成角的正切值為；（2）假設(shè)存在，設(shè)，連接，作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，由，得，由，解得，所以存在，.15．（2024·福建·模擬預(yù)測）在中，，，的平分線交AB于點(diǎn)D，.平面α過直線AB，且與所在的平面垂直.(1)求直線CD與平面所成角的大小；(2)設(shè)點(diǎn)，且，記E的軌跡為曲線Γ.（i）判斷Γ是什么曲線，并說明理由；（ii）不與直線AB重合的直線l過點(diǎn)D且交Γ于P，Q兩點(diǎn)，試問：在平面α內(nèi)是否存在定點(diǎn)T，使得無論l繞點(diǎn)D如何轉(zhuǎn)動(dòng)，總有？若存在，指出點(diǎn)T的位置；若不存在，說明理由.【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面平面，所?所以直線在內(nèi)的射影為直線，所以直線與所成角為.過作，垂足為.因?yàn)槠椒?，所?又，所以，所以又，所以.因?yàn)?，所以，所以直線與平面所成角為.（2）（i）曲線是橢圓,理由如下：由（1）可知，，所以是的中點(diǎn),設(shè)的中點(diǎn)為，所以.又，所以.在內(nèi)過作，所以以為原點(diǎn)，所在的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)?，所以，設(shè)，又，則.因?yàn)?，又，所以，化簡得，即，所以曲線是橢圓.（ii）方法一：設(shè).在平面內(nèi)，因?yàn)榕c不重合，可設(shè)，由得，所以.由對稱性知，若存在定點(diǎn)滿足條件，則必在平面與的交線上，故可設(shè).若，則，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，上式恒成立，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，有，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，所以，?因?yàn)樯鲜綄τ谌我獾暮愠闪?，所?綜上，存在點(diǎn)滿足，或時(shí)，符合題意.方法二：設(shè)在平面內(nèi)，因?yàn)榕c不重合，可設(shè)，由得，所以.由對稱性知，若存在定點(diǎn)滿足條件，則必在平面與的交線上，故可設(shè).當(dāng)與重合時(shí)，因?yàn)?，又，所?所以當(dāng)時(shí)，符合題意.當(dāng)與不重合時(shí)，過作，垂足分別為.連接，則因?yàn)椋?又，所以平面，所以，同理又，所以，所以，所以RtRt，所以直線平分又在軸上，所以在平面內(nèi)直線的傾斜角互補(bǔ)在平面內(nèi)，設(shè)直線的斜率分別為，則，對于任意的恒成立，所以.綜上，存在點(diǎn)滿足，或時(shí)，符合題意.16．（2024·山西運(yùn)城·一模）如圖，在矩形紙片中，，，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)在平面的射影落在邊上.(1)求的長度；(2)若是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.【解析】（1）作，垂足為，連接，如下圖所示：由點(diǎn)在平面的射影落在邊上可得平面，又平面，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)闉榫匦?，，可得，由，可得，所以，；由可得，即；即的長度為1.（2）根據(jù)題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)且平行于的直線為軸，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，并設(shè)，可得，所以；易知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，解得，取，則