《無窮積分概念》課堂教學(xué)中思政元素應(yīng)用案例分析第一個有關(guān)課程思政的教學(xué)設(shè)計案例是關(guān)于無窮積分的，如表3-1所示。無窮積分屬于反常積分，而反常積分是定積分的一種推廣，其實質(zhì)是求一個極限。理解無窮積分的定義和幾何意義，掌握其斂散性的判別，不僅能夠解決實際生活中很多問題，還能在學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)自己的類比思想、極限思想和轉(zhuǎn)化思想。表3-1《無窮積分概念》思政案例設(shè)計一、授課內(nèi)容課程名稱數(shù)學(xué)分析所屬學(xué)校廣西師范大學(xué)授課章節(jié)第十一章第一節(jié)《無窮積分概念》授課對象數(shù)學(xué)類專業(yè)教學(xué)課時2課時使用教材數(shù)學(xué)分析（第四版）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系二、學(xué)情分析學(xué)生知識經(jīng)驗分析學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了定積分概念及其應(yīng)用，懂得在有限的積分區(qū)間內(nèi)求值，但面對一些無限區(qū)間上的積分問題還不會解決。學(xué)生學(xué)習(xí)能力分析學(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)了反常積分的概念，初步了解到在無限區(qū)間上定義的函數(shù)，深入了解和相關(guān)應(yīng)用任需教師的引導(dǎo)、講解和幫助。學(xué)生思想狀況分析1.學(xué)生覺得數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容多，難以學(xué)懂；2.學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容大多停留在初步了解和應(yīng)用，沒有領(lǐng)悟到里面所蘊(yùn)含的抽象思維和邏輯思想；3.學(xué)生的求知欲不高，面對疑惑缺乏探究精神，在思想覺悟?qū)哟紊线€需進(jìn)一步提高。三、教學(xué)內(nèi)容課堂教學(xué)目標(biāo)1.理解無窮積分的概念及其斂散性，掌握無窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e和計算；2.在推導(dǎo)的過程中掌握類比、轉(zhuǎn)化和極限思想；3.通過引入實例增強(qiáng)學(xué)生的文化自信和民族自豪感，樹立遠(yuǎn)大目標(biāo)，做一個有情懷有理想能做事的青年人。教學(xué)重點和難點重點：理解無窮積分的含義及其幾何意義，會計算簡單的無窮積分；難點：掌握無窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e。思政資源1.中國航天科技事業(yè)的發(fā)展——航天精神；2.嫦娥奔月、夸父追日、女媧補(bǔ)天等有關(guān)天上的故事——追夢精神；3.通過古代追夢和現(xiàn)代航天增強(qiáng)文化自信。4.通過積分符號的運用，感受數(shù)學(xué)符號的簡潔之美；5.運用數(shù)學(xué)思維思考問題和數(shù)學(xué)方法解決問題；6.多角度去思考問題。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法本節(jié)課從學(xué)生自身實際情況出發(fā)，以學(xué)生為主體和教師為主導(dǎo)相結(jié)合而設(shè)計的，采用講授和引導(dǎo)的教學(xué)方法。教學(xué)手段運用多媒體與板書相結(jié)合五、教學(xué)過程設(shè)計（第0-6分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境從古代流傳下來的嫦娥奔月（圖3-1）、夸父追日、女媧補(bǔ)天等的故事到現(xiàn)代的外星人來訪、天外來物等的故事都代表著人們對宇宙的好奇與探究，所以在社會發(fā)展的同時，科學(xué)家們通過大量的數(shù)據(jù)計算和模擬場景，制造出了一系列的航天機(jī)器（圖3-2），實現(xiàn)了到地球外的地方探究的夢想。圖3-1嫦娥奔月圖3-2宇宙飛船若有在地球表面垂直發(fā)射火箭，請問初速度至少要多大才能使火箭克服地球引力無限遠(yuǎn)離地球REF_Ref14803\r\h[3]？先假設(shè)地球的半徑為，火箭質(zhì)量為，地面上的重力加速度為REF_Ref9672\r\h[4].由萬有引力定律知，在距地心處火箭所受的引力為.（3-1）而要克服引力做功，則有.（3-2）引導(dǎo)到學(xué)生發(fā)現(xiàn)若想得到的值，首先要求得的值，但是以前我們只學(xué)習(xí)了在有限的區(qū)間中求被積的函數(shù)，那么在無限區(qū)間內(nèi)的被積的函數(shù)又應(yīng)該怎樣求呢？（第0-3分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例1——用古代的神話故事與現(xiàn)代的科技成就相結(jié)合，讓同學(xué)們感受到當(dāng)今祖國的強(qiáng)大，增強(qiáng)發(fā)自內(nèi)心的民族自豪感；感受到中國航天事業(yè)的發(fā)展，同時學(xué)習(xí)航天精神，以更多地?zé)崆橥度氲綄W(xué)習(xí)中，提高學(xué)習(xí)效率和課堂效率?！浚ǖ?-11分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)二：分析問題通過引導(dǎo)學(xué)生換個角度將不懂的問題轉(zhuǎn)化為曾經(jīng)解決過的問題，即將未知的無限區(qū)間上的積分轉(zhuǎn)化為所學(xué)習(xí)過的有限區(qū)間上的定積分；與學(xué)生一起探究發(fā)現(xiàn)求解的問題其實就是求解的問題。從而就可以引出無窮積分的概念。（第8-10分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例2——求在無限區(qū)間的積分看似很難解決，卻可以轉(zhuǎn)化為在有限區(qū)間的積分去解決，而在這其中則需要極限的思想去牽連。這就好比遇到的問題看似“山中水盡疑無路”實則換個思維，換個角度，就會發(fā)現(xiàn)這個問題也不是很難解決。】（第12-25分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)三：概括定義定義設(shè)函數(shù)定義在無窮區(qū)間上，且在任何有限區(qū)間上可積REF_Ref9672\r\h[4].如果存在極限，(3-3)則稱此極限為函數(shù)在上的無窮限反常積分（簡稱無窮積分）REF_Ref9672\r\h[4]，記作，（3-4）并稱收斂REF_Ref9672\r\h[4].否則，稱不滿足的發(fā)散REF_Ref9672\r\h[4].提問：綜上我們得出了在區(qū)間上函數(shù)的定義，那在區(qū)間和上呢？函數(shù)又是怎樣定義的呢？（給時間同學(xué)們思考和動筆試著自己寫一寫）類似地，可定義在上的無窮積分：.（3-5）對于在上的無窮積分，它用前面兩種無窮積分來定義：，（3-6）其中為任意實數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)右邊兩個無窮積分都收斂時它才是收斂的REF_Ref9672\r\h[4].注1無窮積分的收斂性與收斂時的值，都和實數(shù)的選取無關(guān)REF_Ref9672\r\h[4].注2由于無窮積分是由和兩類積分來定義的，因此，在任何有限區(qū)間上，首先必須是可積的REF_Ref9672\r\h[4].（第15-20分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例3——看似復(fù)雜的問題，用數(shù)學(xué)符號表現(xiàn)出來就顯得簡潔明了。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的同時感受到數(shù)學(xué)符號的魅力，“小小”的數(shù)學(xué)符號卻與這“大大”的世界有著千絲萬縷的聯(lián)系。提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)會運用數(shù)學(xué)語言去描述問題，懂得用數(shù)學(xué)的思維去思考問題，用數(shù)學(xué)的眼光去看這個世界REF_Ref9438\r\h[5]?！浚ǖ?6-29分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)四：深入理解提問：現(xiàn)在同學(xué)們初步了解無窮積分的定義，那同學(xué)們再思考一下，它的幾何意義是什么呢？讓同學(xué)們回憶定積分的幾何意義——在有限區(qū)間內(nèi)曲邊梯形的面積，那無窮積分的幾何意義是否也類似如此呢？圖3-3收斂的幾何意義是：若在上為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，則圖3-3中介于曲線，直線以及軸之間那一塊向右無限延伸的陰影區(qū)域有面積REF_Ref9672\r\h[4].（第30-34分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)五：嘗試運用例1討論無窮積分的收斂性REF_Ref9672\r\h[4].解：分類討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，.從而，當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此，當(dāng)時無窮積分收斂于，當(dāng)