2026屆天津市河?xùn)|區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒有，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.2．由1，2，3，4，5五個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中1與2不能相鄰的排法總數(shù)為（）A.20 B.36C.60 D.723．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．雙曲線的左、右焦點分別為、，過點且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.5．若向量，，，則（）A. B.C. D.6．某校初一有500名學(xué)生，為了培養(yǎng)學(xué)生良好的閱讀習(xí)慣，學(xué)校要求他們從四大名著中選一本閱讀，其中有200人選《三國演義》，125人選《水滸傳》，125人選《西游記》，50人選《紅樓夢》，若采用分層抽樣的方法隨機抽取40名學(xué)生分享他們的讀后感，則選《西游記》的學(xué)生抽取的人數(shù)為（）A.5 B.10C.12 D.157．如果橢圓上一點到焦點的距離等于6，則線段的中點到坐標(biāo)原點的距離等于（）A.7 B.10C.12 D.148．已知是兩個數(shù)1，9的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（）A.或 B.或C. D.9．如圖，在直三棱柱中，D為棱的中點，，，，則異面直線CD與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．若、、為空間三個單位向量，，且與、所成的角均為，則（）A.5 B.C. D.11．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°12．“”是“方程表示焦點在x軸上的橢圓”的（）A.充要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．基礎(chǔ)建設(shè)對社會經(jīng)濟效益產(chǎn)生巨大的作用．某市投入億元進行基礎(chǔ)建設(shè)，年后產(chǎn)生億元社會經(jīng)濟效益．若該市投資基礎(chǔ)建設(shè)4年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的2倍，則再過______年．該項投資產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍14．雙曲線的離心率為__________15．如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱的中點，是側(cè)面正方形內(nèi)一點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是__________16．設(shè)公差的等差數(shù)列的前項和為，已知，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求的最大值；（2）若，求證：有且只有一個零點.18．（12分）如圖，已知平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，（1）求證：∥平面；（2）求證：平面平面19．（12分）已知等差數(shù)列各項均不為零，為其前項和，點在函數(shù)的圖像上.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和；（3）若數(shù)列滿足，求的前項和的最大值、最小值.20．（12分）如圖所示，在直三棱柱中，，，（1）求三棱柱的表面積；（2）求異面直線與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）21．（12分）已知點P到點的距離比它到直線的距離小1.（1）求點P的軌跡方程；（2）點M，N在點P的軌跡上且位于x軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點），求面積的最小值.22．（10分）自我國爆發(fā)新冠肺炎疫情以來，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產(chǎn)．某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計了口罩生產(chǎn)車間每名工人的生產(chǎn)速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數(shù)列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計口罩生產(chǎn)車間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)（結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)的形式）；（2）為了解該車間工人的生產(chǎn)速度是否與他們的工作經(jīng)驗有關(guān)，現(xiàn)從車間所有工人中隨機抽樣調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表：工齡x（單位：年）4681012生產(chǎn)速度y（單位：件/小時）4257626267根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的回歸方程，并據(jù)此估計該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式為：，

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，令，其中，則，∵，∴，∴在上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴，即，，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則正確；故選：.2、D【解析】先排3，4，5，然后利用插空法在4個位置上選2個排1，2.【詳解】先排3，4，5,,共有種排法，然后在4個位置上選2個排列1,2，有種排法，則1與2不能相鄰的排法總數(shù)為種，故選：D.3、C【解析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關(guān)系式，變形后可得離心率【詳解】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C4、C【解析】由，且，可得，再結(jié)合，可得，進而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因為，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因為，所以.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關(guān)系，利用求解；（2）根據(jù)條件列出的齊次方程，利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程即可，注意根據(jù)對所得解進行取舍.5、A【解析】根據(jù)向量垂直得到方程，求出的值.【詳解】由題意得：，解得：.故選：A6、B【解析】根據(jù)分層抽樣的方法，列出方程，即可求解.【詳解】根據(jù)分層抽樣的方法，可得選《西游記》的學(xué)生抽取的人數(shù)為故選：B.7、A【解析】可由橢圓方程先求出，在利用橢圓的定義求出，利用已知求解出，再取的中點，連接，利用中位線，即可求解出線段的中點到坐標(biāo)原點的距離.【詳解】因為橢圓，，所以，結(jié)合得，，取的中點，連接，所以為的中位線，所以.故選：A.8、A【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng)時，根據(jù)橢圓離心率公式，即可求出結(jié)果；當(dāng)時，根據(jù)雙曲線離心率公式,即可求出結(jié)果.【詳解】因為是兩個數(shù)1，9的等比中項，所以，所以，當(dāng)時，圓錐曲線，其離心率為；當(dāng)時，圓錐曲線，其離心率為；綜上，圓錐曲線的離心率為或.故選：A.9、A【解析】以C為坐標(biāo)原點，分別以，，方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.運用異面直線的空間向量求解方法，可求得答案.【詳解】解：以C為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得，，，，則，，所以.又因為異面直線所成的角的范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.10、C【解析】先求的平方后再求解即可.【詳解】，故，故選：C11、B【解析】以為空間的一個基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B12、A【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合充分必要條件的定義即得.【詳解】若，則方程表示焦點在軸上的橢圓；反之，若方程表示焦點在軸上的橢圓，則；所以“”是“方程表示焦點在x軸上的橢圓”的充要條件.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】由4年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的2倍，代入已知函數(shù)式求得參數(shù)，再求得社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍時的時間，即為所求結(jié)論【詳解】由條件得，∴，即．設(shè)投資年后，產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍，則有，解得，所以再過年，該項投資產(chǎn)生社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍故答案為：814、【解析】∵雙曲線的方程為∴，∴∴故答案為15、【解析】取的中點G，連接FG，BG，F(xiàn)B，由正方體的幾何特征，易證平面AEC//平面BFG，再根據(jù)是側(cè)面內(nèi)一點（含邊界），且平面，得到點P在線段BG上運動，然后在等腰中求解.【詳解】如圖所示：取的中點G，連接FG，BG，F(xiàn)B，在正方體中，易得又因為平面BFG，平面BFG，所以平面BFG，同理證得平面BFG，又因為，所以平面AEC//平面BFG，因為是側(cè)面內(nèi)一點（含邊界），且平面，所以點P線段BG上運動，如圖所示：在等腰中，作，且，所以，設(shè)點F到線段BG的距離為d，由等面積法得，解得，所以線段長度的取值范圍是，故答案為：16、##0.4【解析】應(yīng)用等比中項的性質(zhì)及等差數(shù)列通項公式求公差d，進而寫出等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，再求目標(biāo)式的最小值.【詳解】由題設(shè)，，則，整理得，又，解得，故，，所以，故當(dāng)時目標(biāo)式有最小值為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，從而可求最值.（2）求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)中無參數(shù)，故單調(diào)性與（1）中所求一致，然后利用零點存在定理結(jié)合的范圍，以及函數(shù)單調(diào)性證明在定義域內(nèi)有且只有一個零點.【小問1詳解】若，則，其定義域為，∴，由，得，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴【小問2詳解】證明：，由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞誠，∵，∴當(dāng)時，，故在上無零點；當(dāng)時，，∵且，∴在上有且只有一個零點.綜上，有且只有一個零點.18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)線面平行的判定，證明即可；（2）過C作，垂足為M，根據(jù)勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定證明平面BCE即可【小問1詳解】證明：因為四邊形ABEF為矩形，所以，又平面BCE，平面BCE，所以平面BCE【小問2詳解】過C作，垂足為M，則四邊形ADCM為矩形因為，，所以，，，，所以，所以因為平面ABCD，，所以平面ABCD，所以又平面BCE，平面BCE，，所以平面BCE，又平面ACF，所以平面平面BCE19、（1）（2）（3）最大值為，最小值為【解析】（1）將點代入函數(shù)解析再結(jié)合前和即可求解；（2）運用錯位相減法或分組求和法都可以求解；（3）將數(shù)列的通項變形為，再求和，通過分類討論從單調(diào)性上分析求解即可.【小問1詳解】因為點在函數(shù)的圖像上，所以，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，所以，即所以，；【小問2詳解】解法1：，==，解法2：，①，②①-②得，；【小問3詳解】記的前n項和為，則=，當(dāng)n為奇數(shù)時隨著n的增大而減小，可得，當(dāng)n為偶數(shù)時隨著n增大而增大，可得，所以的最大值為，最小值為.20、（1）；（2）【解析】（1）利用S＝2S△ABC+S側(cè)，可得三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面積S；（2）連接BC1，確定∠BA1C1就是異面直線A1B與AC所成的角（或其補角），在△A1BC1中，利用余弦定理可求結(jié)論【詳解】（1）在△ABC中，因為AB＝2，AC＝4，∠ABC＝90°，所以BC＝．S△ABC＝AB×BC＝2所以S＝2S△ABC+S側(cè)＝4+（2+2+4）×4＝24+12（2）連接BC1，因為AC∥A1C1，所以∠BA1C1就是異面直線A1B與AC所成的角（或其補角）在△A1BC1中，A1B＝2，BC1＝2，A1C1＝4，由余弦定理可得cos∠BA1C1＝，所以∠BA1C1＝arccos，即異面直線A1B與AC所成角的大小為arccos【點睛】本題考查三棱柱的表面積，考查線線角，解題的關(guān)鍵是正確作出線線角，屬于中檔題21、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件可得點P到點的距離等于它到直線的距離，再由拋物線定義即可得解.(2)由(1)設(shè)出點M，N的坐標(biāo)，再結(jié)合給定條件及三角形面積定理列式，借助均值不等式計算作答.【小問1詳解】因點P到點的距離比它到直線的距離小1，顯然點P與F在直線l同側(cè)，于是得點P到點的距離等于它到直線的距離，則點P的軌跡是以F為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以點P的軌跡方程是.【小問2詳解】由(1)設(shè)點，，且，因，則，解得，S，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以面積的最小值為.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以