甘肅天水一中2026屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，且，則（）A. B.C. D.2．已知，則點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.3．已知，，且，則（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.5．已知曲線，下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B.若，則是圓，其半徑為C.若，則是雙曲線，其漸近線方程為D.若，，為上任意一點(diǎn)，，為曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則6．已知，分別為雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的右支在第一象限交于點(diǎn)，直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好為線段的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))，則雙曲線的離心率等于（）A. B.C. D.7．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為9.5尺，立夏當(dāng)日日影長(zhǎng)為2.5尺，則冬至當(dāng)日日影長(zhǎng)為（）A.12.5尺 B.13尺C.13.5尺 D.14尺8．曲線與曲線的（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等 D.焦距相等9．如圖在平行六面體中，與的交點(diǎn)記為．設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.10．阿波羅尼斯約公元前年證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓．后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P與A，B距離之比滿足：，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)不共線時(shí)，面積的最大值是（）A. B.2C. D.11．下列直線中，傾斜角最大的為（）A. B.C. D.12．方程表示的曲線是（）A.一個(gè)橢圓和一條直線 B.一個(gè)橢圓和一條射線C.一條射線 D.一個(gè)橢圓二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓C的方程為，點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為______14．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，已知=120°，且，則橢圓的離心率為___________.15．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，在拋物線C上存在A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為___________.16．?dāng)?shù)列滿足，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點(diǎn)（1）求直線y＝x被圓C所截得的弦長(zhǎng)；（2）圓M過(guò)點(diǎn)A，B，且圓心在直線y＝x+1上，求圓M的方程18．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為中點(diǎn)（1）求二面角的大??；（2）探究線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由19．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)（1）求直線和曲線的普通方程；（2）直線與軸交于點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，求20．（12分）已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心C在直線上（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)向圓C引兩條切線PD，PE，切點(diǎn)分別為D，E，求切線PD，PE的方程，并求弦DE的長(zhǎng)21．（12分）已知空間三點(diǎn).（1）求以為鄰邊平行四邊形的周長(zhǎng)和面積;（2）若，且分別與垂直，求向量的坐標(biāo).22．（10分）給定函數(shù).（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求出f（x）的極值；（2）畫出函數(shù)f（x）的大致圖象，無(wú)須說(shuō)明理由（要求：坐標(biāo)系中要標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)）；（3）求出方程的解的個(gè)數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故選：A2、C【解析】根據(jù)對(duì)稱性求得坐標(biāo)即可.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：C3、D【解析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可求得、的值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，，因此，.故選：D4、D【解析】原不等式等價(jià)于，根據(jù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得和的解集，再分情況或解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知：在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為：，故選：D.5、D【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及定義逐一判斷即可.【詳解】曲線，若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，故A正確；若，則，即是圓，半徑為，故B正確；若，則是雙曲線，當(dāng)，則漸近線方程為，當(dāng)，則漸近線方程為，故C正確；若，，則是雙曲線，其焦點(diǎn)在軸上，由雙曲線的定義可知，，故D錯(cuò)誤；故選：D6、C【解析】設(shè)，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得關(guān)于，的方程，再由離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以雙曲線離心率為，故選：C.第II卷（非選擇題7、B【解析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長(zhǎng)構(gòu)成的等差數(shù)列為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長(zhǎng)構(gòu)成的等差數(shù)列為，則立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為，立夏當(dāng)日日影長(zhǎng)為，故所以冬至當(dāng)日日影長(zhǎng)為.故選：B8、D【解析】分別求出兩曲線表示的橢圓的位置，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率和焦距，比較可得答案.【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6，離心率為,焦距為8,曲線焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為,焦距為,故選：D9、B【解析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】故選：B.10、C【解析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的軌跡方程，探求點(diǎn)P與直線AB的最大距離即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，因，則，化簡(jiǎn)整理得：，因此，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，與點(diǎn)A，B可構(gòu)成三角形，當(dāng)點(diǎn)P到直線(軸)的距離最大時(shí)，的面積最大，顯然，點(diǎn)P到軸的最大距離為，此時(shí)，，所以面積的最大值是故選：C11、D【解析】首先分別求直線的斜率，再結(jié)合直線傾斜角與斜率的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.直線的斜率；B.直線的斜率；C.直線的斜率；D.直線的斜率，因?yàn)?，結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，可知直線的傾斜角最大.故選：D12、A【解析】根據(jù)題意得到或，即可求解.【詳解】由方程，可得或，即或，所以方程表示的曲線為一個(gè)橢圓或一條直線.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】圓的方程可化為，所以圓心為，半徑.由于，所以原點(diǎn)在圓外，所以最大值為.故答案為：14、【解析】設(shè)，由余弦定理知，所以，故填.15、5【解析】先運(yùn)用點(diǎn)差法得到，然后通過(guò)兩點(diǎn)距離公式求出結(jié)果詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，，，的中點(diǎn)為，，則，，兩式相減得，即，又因?yàn)?，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，可得，則，故答案為：516、【解析】根據(jù)題中所給的遞推式得到數(shù)列具有周期性，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題中遞推式知，可知數(shù)列具有周期性，周期為3，因?yàn)楣使蚀鸢笧椋喝?、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合垂徑定理，以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解（2）根據(jù)已知圓的方程，令y＝0，結(jié)合韋達(dá)定理，求出圓心的橫坐標(biāo)，即可求出圓心，再結(jié)合勾股定理，即可求出半徑【小問(wèn)1詳解】∵圓C：，∴，即圓心為(－1,1)，半徑r＝3，∵直線y＝x，即x－y＝0，∴圓心(－1,1)到直線x－y＝0的距離d＝，∴直線y＝x被圓C所截得的弦長(zhǎng)為＝【小問(wèn)2詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∵圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∴x2－2x－7＝0，則，|x1－x2|＝＝，∴圓心的橫坐標(biāo)為x＝，∵圓心在直線y＝x+1上，∴圓心為(1,2)，∴半徑r＝，故圓M的方程為18、（1）（2）點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面的法向量代入公式求解即可；（2）假設(shè)存在，設(shè)，利用相等向量求出坐標(biāo)，利用線面平行的向量法代入公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】如下圖所示，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．所以，設(shè)平面的法向量，所以，即，令，則，，所以，連接，因?yàn)椋?，，平面，平面，平面，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖知，二面角為銳二面角，所以二面角的大小為【小問(wèn)2詳解】假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，，，因?yàn)槠矫?，所以，即所以，即解得所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)19、（1），（2）4【解析】（1）根據(jù)，即可將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；消參數(shù)，即可求出曲線的普通方程；（2）由題意易知，求出直線的參數(shù)方程，將其代入曲線的普通方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，即可求出結(jié)果【小問(wèn)1詳解】解：直線極坐標(biāo)方程為，即，又，可得的普通方程為，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)，消參數(shù)，所以曲線的普通方程為【小問(wèn)2詳解】解：在中令得，，傾斜角，的參數(shù)方程可設(shè)為，即（為參數(shù)），將其代入，得，，設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，，異號(hào)，.20、（1）（2）或，【解析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)圓心在直線上及圓過(guò)兩點(diǎn)建立方程求解即可；（2）分切線的斜率存在與不存在分類討論，利用圓心到切線的距離等于半徑求解，再根據(jù)圓的切線的幾何性質(zhì)求弦長(zhǎng)即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓心，因?yàn)閳A心C在直線上，所以①因?yàn)锳，B是圓上的兩點(diǎn)，所以，所以，即②聯(lián)立①②，解得，所以圓C的半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】若過(guò)點(diǎn)P的切線斜率不存在，則切線方程為若過(guò)點(diǎn)P的切線斜率存在，設(shè)為k，則切線方程為，即由，解得，所以切線方程為綜上，過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程為或設(shè)PC與DE交于點(diǎn)F，因?yàn)?，，PC垂直平分DE，所以，所以所以21、（1）周長(zhǎng)為，面積為7.（2）或.【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)，求出向量，利用向量的摸公式即可求出的距離，可以求出周長(zhǎng)，再利用向量的夾角公式求出夾角的余弦值，根據(jù)平方關(guān)系得到正弦值，再利用即可求解；（2）首先設(shè)出，根據(jù)題意可得出的方程組，解出滿足條件所有的值即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題中條件可知，，,，.所以以為鄰邊的平行四邊形的周長(zhǎng)為.因?yàn)?，因?yàn)椋?所以.故以以為鄰邊的平行四邊形的面積為：.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，，因?yàn)?，且分別與垂直，得，解得或所以向量的坐標(biāo)為或.22、（1）函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有極小值，無(wú)極大值；（2）具體見解析；（3）具體見解