深圳大學(xué)師范學(xué)院附屬中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若橢圓與直線(xiàn)交于兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)與線(xiàn)段AB中點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為,則A. B.C. D.22．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.3．已知直線(xiàn)l：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線(xiàn)l的傾斜角是B.直線(xiàn)l在x軸上的截距為1C.若直線(xiàn)m：，則D.過(guò)與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)方程是4．中共一大會(huì)址、江西井岡山、貴州遵義、陜西延安是中學(xué)生的幾個(gè)重要的研學(xué)旅行地.某中學(xué)在校學(xué)生人，學(xué)校團(tuán)委為了了解本校學(xué)生到上述紅色基地研學(xué)旅行的情況，隨機(jī)調(diào)查了名學(xué)生，其中到過(guò)中共一大會(huì)址或井岡山研學(xué)旅行的共有人，到過(guò)井岡山研學(xué)旅行的人，到過(guò)中共一大會(huì)址并且到過(guò)井岡山研學(xué)旅行的恰有人，根據(jù)這項(xiàng)調(diào)查，估計(jì)該學(xué)校到過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生大約有（）人A. B.C. D.5．已知F1、F2是雙曲線(xiàn)E：(a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左、右兩支分別交于點(diǎn)P、Q．若，M為PQ的中點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.6．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，作，交PB于F.下面結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()①∥平面EDB；②平面EFD；③直線(xiàn)DE與PA所成角為60°；④點(diǎn)B到平面PAC的距離為.A.1 B.2C.3 D.47．運(yùn)行如圖所示程序后，輸出的結(jié)果為（）A.15 B.17C.19 D.218．已知直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線(xiàn)m的斜率為（）A.-2 B.C. D.29．在x軸與y軸上截距分別為，2的直線(xiàn)的傾斜角為（）A.45° B.135°C.90° D.180°10．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，若，則（）A B.C. D.11．已知雙曲線(xiàn)方程為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意的直線(xiàn)的條數(shù)共有（）A.4條 B.3條C.2條 D.1條12．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（±4，0） B.（0，±4）C.（±5，0） D.（0，±5）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下列命題：①若，則；②“在中，若，則”逆命題是真命題；③命題“，”的否定是“，”；④“若，則”的否命題為“若，則”.則其中正確的是______.14．已知，且，則_____________15．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)l與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于A，B兩點(diǎn)．若，且的內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率為_(kāi)___________16．由曲線(xiàn)圍成的圖形的面積為_(kāi)______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)方程；（2）若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，且，求證：過(guò)定點(diǎn).18．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，用符號(hào)表示不超過(guò)x的最大數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面為正方形，底面，，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，平面棱（1）試確定的值，并證明你的結(jié)論；（2）求平面與平面夾角的余弦值20．（12分）已知的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為.（1）求m的值；（2）求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和.21．（12分）已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，的面積為1.（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).22．（10分）已知函數(shù).（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值和最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】細(xì)查題意，把代入橢圓方程，得，整理得出，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系可以推出線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由過(guò)原點(diǎn)與線(xiàn)段的中點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為，進(jìn)而可推導(dǎo)出的值.【詳解】聯(lián)立橢圓方程與直線(xiàn)方程，可得，整理得，設(shè)，則，從而線(xiàn)段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)，因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)與線(xiàn)段中點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為，所以，所以，故選D.【點(diǎn)睛】該題是一道關(guān)于直線(xiàn)與橢圓的綜合性題目，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線(xiàn)與橢圓相交時(shí)對(duì)應(yīng)的解題策略，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，斜率坐標(biāo)公式，屬于簡(jiǎn)單題目.2、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得到函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，所以A選項(xiàng)和C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，先增，再減，然后再增，則先正，再負(fù)，然后再正，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.一般地，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個(gè)區(qū)間是增函數(shù)；函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個(gè)區(qū)間是減函數(shù).3、D【解析】A.將直線(xiàn)方程的一般式化為斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直線(xiàn)m斜率即可判斷；D.設(shè)要求直線(xiàn)的方程為，將代入即可.【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，直線(xiàn)l：，即，其斜率，則傾斜角是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線(xiàn)l：，令y＝0，可得，l在x軸上的截距為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線(xiàn)m：，其斜率，，故直線(xiàn)m與直線(xiàn)l不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)要求直線(xiàn)的方程為，將代入，可得t＝0，即要求直線(xiàn)為，D正確；故選：D4、B【解析】作出韋恩圖，設(shè)調(diào)查的學(xué)生中去過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生人數(shù)為，根據(jù)題意求出的值，由此可得出該學(xué)校到過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生人數(shù).【詳解】如下圖所示，設(shè)調(diào)查的學(xué)生中去過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生人數(shù)為，由題意可得，解的，因此，該學(xué)校到過(guò)中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生的人數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查韋恩圖的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用分層抽樣求樣本容量，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】由題干條件得到，設(shè)出，利用雙曲線(xiàn)定義表達(dá)出其他邊長(zhǎng)，得到方程，求出，從而得到，，利用勾股定理求出的關(guān)系，求出離心率.【詳解】因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)，且，所以△為等腰三角形，即，因?yàn)椋O(shè)，則，由雙曲線(xiàn)定義可知：，所以，則，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故選：D6、D【解析】①由題意連接交于，連接，則是中位線(xiàn)，證出，由線(xiàn)面平行的判定定理知∥平面；②由底面，得，再由證出平面，即得，再由是正方形證出平面，則有，再由條件證出平面；③根據(jù)邊長(zhǎng)證明△DEO是等邊三角形即可；④根據(jù)等體積法即可求.【詳解】①如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接底面是正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)在中，是中位線(xiàn)，而平面且平面，∥平面；故①正確；②如圖所示，底面，且平面，，，是等腰直角三角形，又是斜邊的中線(xiàn)，(*)，由底面，得，底面是正方形，，又，平面，又平面，(**)，由(*)和(**)知平面，而平面，又，且，平面；故②正確；③如圖所示，連接AC交BD與O，連接OE，由OE是三角形PAC中位線(xiàn)知OE∥PA，故∠DEO為異面直線(xiàn)PA和DE所成角或其補(bǔ)角，由②可知DE＝，OD＝，OE＝，∴△DEO是等邊三角形，∴∠DEO＝60°，故③正確；④如圖所示，設(shè)B到平面PAC的距離為d，由題可知PA＝AC＝PC＝，故，由.故④正確.故正確的有：①②③④，正確的個(gè)數(shù)為4.故選：D.7、D【解析】根據(jù)給出的循環(huán)程序進(jìn)行求解，直到滿(mǎn)足，輸出.【詳解】，，，，，，，，，，，，所以.故選：D8、A【解析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.【詳解】直線(xiàn)的斜率為：.故選：A9、A【解析】按照斜率公式計(jì)算斜率，即可求得傾斜角.【詳解】由題意直線(xiàn)過(guò)，設(shè)直線(xiàn)斜率為，傾斜角為，則，故.故選：A.10、C【解析】由為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點(diǎn)，且，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：C.11、A【解析】利用雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，右頂點(diǎn)為.①直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)平行于漸近線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)；③設(shè)過(guò)的切線(xiàn)方程為與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，可得，由，即，解得，直線(xiàn)的條數(shù)為1.綜上可得，直線(xiàn)的條數(shù)為4.故選：A,.12、A【解析】根據(jù)橢圓的方程求得的值，進(jìn)而求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到答案.【詳解】由橢圓，可得，則，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③④【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，正弦定理與四種命題的概念，命題的否定，判斷各命題【詳解】①，滿(mǎn)足，但，①錯(cuò)；②在中，由正弦定理，因此其逆命題也是真命題，②正確；③存在命題的否定是全稱(chēng)命題，命題“，”的否定是“，”，③正確；④由否命題的概念，“若，則”的否命題為“若，則”，④正確故答案為：②③④14、2【解析】由共線(xiàn)向量得，解方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：215、##【解析】，作出漸近線(xiàn)圖像，由題可知的內(nèi)切圓圓心在x軸上，過(guò)內(nèi)心作OA和AB的垂線(xiàn)，可得幾何關(guān)系，據(jù)此即可求解.【詳解】雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)OA與OB如圖所示，OA與OB關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)△OAB的內(nèi)切圓圓心為，則M在的平分線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)于，由，則四邊形為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為得，又，∴，且，∴，∴，則.故答案為：.16、【解析】當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)表示的圖形為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限的部分，所以面積為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知由曲線(xiàn)圍成的圖形的面積為考點(diǎn)：本小題主要考查曲線(xiàn)表示的平面圖形的面積的求法，考查學(xué)生分類(lèi)討論思想的運(yùn)用和運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：解決此題的關(guān)鍵是看出所求圖形在四個(gè)象限內(nèi)是相同的，然后求出在一個(gè)象限內(nèi)的圖形的面積即可解決問(wèn)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）運(yùn)用代入法直接求解即可；（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由已知可得：；【小問(wèn)2詳解】的斜率不為設(shè)，，∴OA→?因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，所以，即過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.18、（1）（2）9【解析】(1)首先根據(jù)已知條件分別求出的首項(xiàng)和公差，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；(2)首先利用等差數(shù)列求和公式求出，然后利用裂項(xiàng)相消法和分組求和法求出，進(jìn)而可求出的通項(xiàng)公式，最后利用等差數(shù)列求和公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】不妨設(shè)等差數(shù)列的公差為，故，，解得，，從而，即的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由題意可知，，所以，故，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，由可知，，即，解得，即值為9.19、（1），證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1），利用線(xiàn)面平行的判定和性質(zhì)可得答案；（2）以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量由向量夾角公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】.證明如下：在△中，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以//.又平面，平面，所以//平面.因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所?/所以//.在△中，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈酌鏋檎叫危?因?yàn)榈酌妫裕?如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.所以，.設(shè)平面的法向量，則即令，于.又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以所以平面與平面夾角的余弦值為.20、（1）（2）所有項(xiàng)的系數(shù)和為，二項(xiàng)式系數(shù)和為【解析】(1)寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，求出其第4項(xiàng)系數(shù)和倒數(shù)第4項(xiàng)系數(shù)，列出方程即可求出m的值；(2)令x＝1即可求所有展開(kāi)項(xiàng)系數(shù)之和，二項(xiàng)式系數(shù)之和為2m.【小問(wèn)1詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，∴展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù)為，倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)為，∴，即.【小問(wèn)2詳解】令可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)由條件列方程求，由此可得拋物線(xiàn)方程；(2)方法一：聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，結(jié)合條件三點(diǎn)共線(xiàn)，可證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，方法二：聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)與直線(xiàn)求，由垂直與軸列方程化簡(jiǎn)，可證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，即，，因?yàn)?，故解得，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，得，所以，由（1）可知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，若時(shí)，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，即，又因?yàn)?，，化?jiǎn)可得，又，進(jìn)而可得，整理得，因?yàn)樗?，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)又直線(xiàn)也過(guò)點(diǎn)，綜上：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)解法二：設(shè)方程，得若直線(xiàn)斜率存在時(shí)斜率方程為即解得：，于是有整理得.（*）代入上式可得所以直線(xiàn)方程為直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).若直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，M點(diǎn)坐標(biāo)為此時(shí)直線(xiàn)方程為過(guò)點(diǎn)綜上：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】解決直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線(xiàn)、拋物線(xiàn)的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題22、（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）求解導(dǎo)函數(shù)，并求出的兩根，得和的解集，從而得函數(shù)單調(diào)性；（2）由（1）得函數(shù)的單調(diào)性，從而得最小值，計(jì)算，再分類(lèi)討論與兩種情況下的