2026屆內(nèi)蒙古自治區(qū)北京八中烏蘭察布分校數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，則等于（）A. B.1C.ln2 D.e2．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.B.平面平面C.的最大值為D.的最小值為3．已知四面體中，，若該四面體的外接球的球心為，則的面積為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是雙曲線上一點(diǎn)，且，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.5．若數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.6．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的極大值為（）A. B.C. D.7．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－198．如圖，在空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，且OM=2MA，則（）A. B.C. D.9．已知直線過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，與C交于A，B兩點(diǎn)，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，若的面積為36，則等于（）A.36 B.24C.12 D.610．等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（）A.72 B.90C.36 D.4511．已知直線過(guò)點(diǎn)，，則直線的方程為（）A. B.C. D.12．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，已知，且，則c的最小值為_(kāi)_________.14．已知滿足的雙曲線（a，b＞0，c為半焦距）為黃金雙曲線，則黃金雙曲線的離心率為_(kāi)_____15．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為_(kāi)__________.16．已知雙曲線兩焦點(diǎn)之間的距離為4，則雙曲線的漸近線方程是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)（Ⅱ）若，，求的取值范圍18．（12分）已知函數(shù)在時(shí)有極值0.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）某市為加強(qiáng)市民對(duì)新冠肺炎的知識(shí)了解，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組：第1組[20，25），共5人，第2組[25，30），共35人，第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求a的值；（2）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場(chǎng)宣傳活動(dòng)，且該市決定在第3，4組的志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第3組至少有-名志愿者被抽中的概率.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）（Ⅰ）寫(xiě)出橢圓C的普通方程和直線l的傾斜角；（Ⅱ）若點(diǎn)P（1，2），設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|的值21．（12分）已知橢圓C：的離心率為，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積的最大值22．（10分）如圖，在正四棱柱中，是上的點(diǎn)，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】求導(dǎo)，由得出.【詳解】，故選：D2、C【解析】∵，，∴面，面，∴，A正確；∵平面即為平面，平面即為平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，∴B正確；當(dāng)時(shí)，為鈍角，∴C錯(cuò)；將面與面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，∴D正確，故選C考點(diǎn)：立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題【思路點(diǎn)睛】立體幾何問(wèn)題的求解策略是通過(guò)降維，轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，具體方法表現(xiàn)為：

求空間角、距離，歸到三角形中求解；2．對(duì)于球的內(nèi)接外切問(wèn)題，作適當(dāng)?shù)慕孛妫纫芊从吵鑫恢藐P(guān)系，又要反映出數(shù)量關(guān)系；求曲面上兩點(diǎn)之間的最短距離，通過(guò)化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點(diǎn)間的距離3、C【解析】根據(jù)四面體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、球的性質(zhì)、正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】由圖設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，由，所以，面，則面，且，所以球心面，所以平面與球面的截面為大圓，延長(zhǎng)線與此大圓交于點(diǎn).在三角形中，由，所以，由正弦定理知：三角形的外接圓半徑為，設(shè)三角形的外接圓圓心為點(diǎn)，則面，有，則，設(shè)的外接圓圓心為點(diǎn)，則面，由正弦定理知：三角形PAB的外接圓半徑為，所以，又三角形中，，所以為的角平分線，則，在直角三角形OMD中，，在直角三角形OED中，，在三角形中，取中點(diǎn)，由，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用正弦定理、勾股定理、線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵.4、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D5、C【解析】利用前項(xiàng)積與通項(xiàng)的關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得.故選：C.6、D【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由已知，先求出，再令，并判斷函數(shù)在其左右兩邊的單調(diào)性，從而確定極大值點(diǎn)，然后帶入原函數(shù)即可完成求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，令，解得或，所以?dāng)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以的極大值為故選：D7、C【解析】將所求進(jìn)行變形可得，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C8、D【解析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：∵N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段OA上，且OM=2MA，且，，，故選：D.9、C【解析】設(shè)拋物線方程為，根據(jù)題意由求解.【詳解】設(shè)拋物線方程為：，因?yàn)橹本€過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，所以，又P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線AB的距離為p，所以，解得，所以，故選：C10、B【解析】由題意結(jié)合成等比數(shù)列，有即可得，進(jìn)而得到、，即可求.【詳解】由題意知：，，又成等比數(shù)列，∴，解之得，∴，則，∴，故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由其中三項(xiàng)成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)性質(zhì)求項(xiàng)，進(jìn)而得到等差數(shù)列的基本量1、由成等比，即；2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.11、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的兩點(diǎn)式方程計(jì)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】由直線的兩點(diǎn)式方程可得，直線l的方程為，即故選：C12、C【解析】利用，把代入中，即可求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先利用正弦定理邊化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根據(jù)與的關(guān)系，求得，即可求得c的最小值.【詳解】，即，又，當(dāng)最大時(shí)，即，最小，且為由正弦定理得：，當(dāng)時(shí)，c的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到.14、##【解析】根據(jù)題設(shè)及雙曲線離心率公式可得，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)即可求離心率.【詳解】由題設(shè)，，整理得：，所以，而，故.故答案為：.15、【解析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得出、，由此可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，則，，，所以，，解得.故答案為：.16、.【解析】根據(jù)條件求出c，進(jìn)而根據(jù)求出a，最后寫(xiě)出漸近線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線兩焦點(diǎn)之間的距離為4，所以，解得，所以，，雙曲線的漸近線方程是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）答案見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求得，分，和三種情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解；（Ⅱ）由不等式，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，得，故在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以沒(méi)有極值點(diǎn)綜上所述，當(dāng)時(shí)，有個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn).（Ⅱ）由，即，可得，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，設(shè)，則設(shè)，則因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題3、根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類(lèi)參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.18、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由在時(shí)有極值0,則，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值，從而得解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由可得，因?yàn)樵跁r(shí)有極值0，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不滿足在時(shí)有極值，故舍去.所以常數(shù)a，b的值分別為.所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，令，解得，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，的遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)有極大值，當(dāng)有極小值，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則須滿足，解得.19、（1）0.04；（2）.【解析】（1）根據(jù)頻率的計(jì)算公式，結(jié)合概率之和為1，即可求得參數(shù)；（2）根據(jù)題意求得抽樣比以及第三組和第四組各抽取的人數(shù)，再列舉所有可能抽取的情況，找出滿足題意的情況，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】第一組頻率為，第二組的頻率為，則第一組與第二組的頻率之和為，又，故.【小問(wèn)2詳解】第3組的人數(shù)為，第4組的人數(shù)為，第5組的人數(shù)為，因?yàn)榈?，4，5組共有60名志愿者，所以利用分層抽樣的方法在60名志題者中抽收6名志愿者，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：；第4組：；第5組：.記第3組的3名志愿者為，第4組的2名志愿者為，則從5名志愿者中抽取2名志愿者有：，，共有10種其中第3組的3名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有：，共9種.所以第3組至少有一名志愿者被抽中的概率為.20、(I)見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用平方法消去θ得到橢圓C的普通方程為，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義求出直線的斜率，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）把直線的方程，代入中，利用直線參數(shù)方程的幾何意義求出直線的斜率結(jié)合韋達(dá)定理可得結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）消去θ得到橢圓C的普通方程為∵直線的斜率為，∴直線l的傾斜角為（Ⅱ）把直線的方程，代入中，得即，∴t1·t2＝4，即｜PA｜·｜PB｜＝421、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計(jì)算得解.(2)設(shè)出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理結(jié)合均值不等式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】橢圓C的半焦距為c，離心率，因過(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為1，將代入橢圓C方程得：，即，則有，解得，所以橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，依題意，直線l的斜率不為0，則設(shè)直線l的方程為，，，由消去x并整理得：，，，的面積，，設(shè)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取得“=”，于是得，，所以面積的最大值為1.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線