歷年考研數(shù)學(xué)真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題，(總共10題，每題2分)。1.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f(x0)=0，f′(x0)=2，則當(dāng)x→0時(shí)，f(x)等價(jià)于（）。A.xB.2xC.x^2D.x^3答案：B2.函數(shù)f(x)=|x-1|在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)是（）。A.-1B.0C.1D.不存在答案：D3.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得（）。A.f(ξ)=0B.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)C.f(ξ)=f(b)-f(a)D.f(ξ)=f(a)+f(b)答案：B4.若級數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則下列級數(shù)中必定收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)a_n^2B.∑(n=1to∞)(-1)^na_nC.∑(n=1to∞)1/(a_n+1)D.∑(n=1to∞)a_n^3答案：A5.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的積分中值定理中的ξ是（）。A.(0+1)/2B.ln(1/2)C.ln(2)D.某個(gè)介于0和1之間的數(shù)答案：D6.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f′(x0)存在，則f′(x0)等于（）。A.0B.1C.-1D.任意數(shù)答案：A7.曲線y=x^3-3x^2+2在拐點(diǎn)處的切線斜率是（）。A.-1B.0C.1D.2答案：C8.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)>0，則∫(atob)sqrt(f(x))dx等于（）。A.∫(atob)f(x)dxB.sqrt(∫(atob)f(x)dx)C.2∫(atob)f(x)dxD.(1/2)∫(atob)f(x)dx答案：B9.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值，且f′(x0)存在，則f′(x0)等于（）。A.0B.1C.-1D.任意數(shù)答案：A10.函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上的定積分是（）。A.1/2B.1C.2D.3答案：A二、多項(xiàng)選擇題，(總共10題，每題2分)。1.下列函數(shù)中在x=0處可導(dǎo)的是（）。A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=e^x答案：BD2.下列級數(shù)中收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)1/nB.∑(n=1to∞)1/n^2C.∑(n=1to∞)(-1)^n/nD.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2答案：BD3.下列函數(shù)中在區(qū)間[-1,1]上連續(xù)的是（）。A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(x)C.f(x)=|x|D.f(x)=tan(x)答案：BC4.下列函數(shù)中在x=0處取得極值的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=e^xD.f(x)=sin(x)答案：AD5.下列級數(shù)中條件收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)(-1)^n/nB.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2C.∑(n=1to∞)1/n^2D.∑(n=1to∞)(-1)^n答案：A6.下列函數(shù)中在區(qū)間[0,1]上可積的是（）。A.f(x)=1/xB.f(x)=x^2C.f(x)=|x|D.f(x)=tan(x)答案：BC7.下列函數(shù)中在x=0處取得拐點(diǎn)的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=e^xD.f(x)=sin(x)答案：BD8.下列級數(shù)中絕對收斂的是（）。A.∑(n=1to∞)(-1)^n/nB.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2C.∑(n=1to∞)1/n^2D.∑(n=1to∞)(-1)^n答案：BC9.下列函數(shù)中在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=e^xD.f(x)=sin(x)答案：BC10.下列函數(shù)中在x=0處取得極小值的是（）。A.f(x)=x^2B.f(x)=x^3C.f(x)=e^xD.f(x)=sin(x)答案：AD三、判斷題，(總共10題，每題2分)。1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn)。答案：錯(cuò)誤2.若級數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則級數(shù)∑(n=1to∞)|a_n|也收斂。答案：錯(cuò)誤3.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f′(x0)存在，則f′(x0)必等于0。答案：正確4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在(a,b)內(nèi)必有最大值和最小值。答案：正確5.若級數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則級數(shù)∑(n=1to∞)a_n^2也收斂。答案：正確6.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得拐點(diǎn)，則f′(x0)必等于0。答案：錯(cuò)誤7.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在(a,b)內(nèi)必有界。答案：正確8.若級數(shù)∑(n=1to∞)a_n絕對收斂，則級數(shù)∑(n=1to∞)a_n也收斂。答案：正確9.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則f(x)在(a,b)內(nèi)必有導(dǎo)數(shù)。答案：錯(cuò)誤10.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，則f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)必存在。答案：錯(cuò)誤四、簡答題，(總共4題，每題5分)。1.簡述函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)的幾何意義。答案：函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)的幾何意義是該點(diǎn)處存在切線，且切線的斜率等于該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。2.簡述級數(shù)收斂的必要條件。答案：級數(shù)收斂的必要條件是級數(shù)的通項(xiàng)趨于0。即若級數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則lim(n→∞)a_n=0。3.簡述函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的必要條件。答案：函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的必要條件是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0。即若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，且f′(x0)存在，則f′(x0)=0。4.簡述函數(shù)在某點(diǎn)處取得拐點(diǎn)的必要條件。答案：函數(shù)在某點(diǎn)處取得拐點(diǎn)的必要條件是該點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于0，且二階導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)處變號。即若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得拐點(diǎn)，則f''(x0)=0，且f''(x)在x0的左側(cè)和右側(cè)異號。五、討論題，(總共4題，每題5分)。1.討論級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n/n的收斂性。答案：級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n/n是交錯(cuò)級數(shù)，滿足Leibniz判別法的條件，即通項(xiàng)的絕對值單調(diào)遞減且趨于0，因此該級數(shù)條件收斂。2.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的單調(diào)性和極值。答案：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x^2-6x，令f′(x)=0，解得x=0和x=2。在區(qū)間[-1,3]上，f′(x)在(-1,0)和(2,3)上為正，在(0,2)上為負(fù)，因此f(x)在(-1,0)和(2,3)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減。f(x)在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值。3.討論函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的積分中值定理。答案：根據(jù)積分中值定理，存在某個(gè)ξ∈(0,1)，使得∫(0to1)e^x