第二十一章一元二次方程

全章知識點梳理人教版數(shù)學(xué)九年級上冊一?選擇題1.下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是(

)A.3(x＋1)2＝2(x＋1)B.－2＝0C.ax2＋bx＋c＝0D.x2＋2x＝x2－1A2.已知一元二次方程(2x＋3)(2x－3)＝72，其二次項系數(shù)?一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是(

)A.4，－81，0B.4，0，81C.4，0，－81D.－4，0，－81C3.一元二次方程2x2＋3x－7＝0的二次項系數(shù)和常數(shù)項分別是(

)A.2，－7 B.2，3 C.2，7 D.3，－7A4.一元二次方程7x2－3x－1＝0的根的情況是(

)A.沒有實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根C5.已知等腰三角形的兩邊長為一元二次方程x2－10x＋9＝0的兩根，則等腰三角形的周長是

(

)A.11 B.19 C.11或19 D.不能確定B6.一元二次方程x2＝x的根是(

)A.x1＝0，x2＝1B.x1＝0，x2＝－1C.x1＝x2＝0D.x1＝x2＝1A7.方程(x－3)(x＋2)＝0的根是(

)A.x1＝－3，x2＝－2 B.x1＝－3，x2＝2 C.x1＝3，x2＝－2 D.x1＝3，x2＝2C8.用配方法解一元二次方程x2－8x＝9時，原方程可變形為(

)A.(x－8)2＝25 B.(x－8)2＝17 C.(x－4)2＝25 D.(x－4)2＝17C9.方程4x2＝x的根為(

)A.x1＝x2＝4B.x1＝0，x2＝4C.x1＝x2＝D.x1＝0，x2＝D10.已知x1，x2是方程x2－3x＝0的兩個實數(shù)根，下列結(jié)論錯誤的是(

)A.x1≠x2

B.x1·x2＝3 C.x1＋x2＝3 D.x

－3x1＝0B11.關(guān)于x的一元二次方程kx2＋3x－1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是

(

)A.k≤－B.k≤且k≠0C.k≥－D.k≥－且k≠0D12.關(guān)于x的一元二次方程x2－6x＋m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值可能是(

)A.8 B.9 C.10 D.11A13.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－3x－2＝0的兩實數(shù)根分別為x1，x2，則x1x2＋x1＋x2的值為(

)A.－1 B.1 C.5 D.－5B14.若兩個連續(xù)奇數(shù)的積為63，則這兩個數(shù)的和為(

)A.16B.17C.±16D.±17C15.某中學(xué)有一塊長30m?寬20m的矩形空地，該中學(xué)計劃在這塊空地上劃出的區(qū)域種花，設(shè)計方案如圖所示，求花帶的寬度.設(shè)花帶的寬度為xm，則可列方程為(

)A.(30－x)(20－x)＝×20×30B.(30－2x)(20－x)＝×20×30C.30x＋2×20x＝×20×30D.(30－2x)(20－x)＝×20×30B二?填空題1.方程x2＝1的根為________.2.把一元二次方程(x＋1)2＝2化為一般形式為________________.3.關(guān)于x的方程(m－2)x|m|－2x＋1＝0是一元二次方程，則m的值為____.4.方程(x＋2)(x－3)＝0的根是________________.5.已知m為一元二次方程x2－3x－1＝0的一個根，則代數(shù)式2m2－6m＋2023的值為______.x＝±1x2＋2x－1＝0－2x1＝－2，x2＝320256.一元二次方程2x2＝8的解為_______________.7.一元二次方程x2－4x＋3＝0配方為(x－2)2＝k，則k的值是___.8.若關(guān)于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是___________.9.已知m，n是一元二次方程x2－3x－2＝0的兩個根，則＝_____.x1＝2，x2＝－21k>－1且k≠010.如圖，在一塊長12m?寬8m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條道路(兩條道路各與矩形的一條邊平行)，剩余部分栽種花草，且栽種花草的面積為60m2.設(shè)道路的寬為xm，則根據(jù)題意，可列方程為_________________.(12－x)(8－x)＝6011.一元二次方程2x2＋1＝3x化為一般形式是_______________.12.方程x2＝3x的解為_____________.13.一元二次方程x2－7x－2＝0的實數(shù)根的情況是_________________________.14.若關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2－1＝0有一個根為0，則m的值是_____.15.在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，則參加酒會的人數(shù)為____.2x2－3x＋1＝0x1＝0，x2＝3方程有兩個不相等的實數(shù)根－111三?解答題1.解方程：(1)x2－3x＋1＝0;解：a＝1，b＝－3，c＝1.Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5>0.∴x＝.∴x1＝，x2＝.(2)(x－1)2－25＝0.解：(x－1)2＝25.x－1＝±5.x＝1±5，即x1＝6，x2＝－4.(3)

x(2x－5)＝2(2x－5).解：x(2x－5)－2(2x－5)＝0.(2x－5)(x－2)＝0.2x－5＝0，或x－2＝0.∴x1＝，x2＝2.

(4)

x(5x＋4)＝5x＋4.解：x(5x＋4)－(5x＋4)＝0.(5x＋4)(x－1)＝0.5x＋4＝0，或x－1＝0.∴x1＝－，x2＝1.（5）x2－4x－5＝0.解：(x－5)(x＋1)＝0.x－5＝0，或x＋1＝0.∴x1＝5，x2

＝－1.2.已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0，求證：無論m取何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根.證明：a＝1，b＝m，c＝－2，∴Δ＝b2－4ac＝m2－4×1×(－2)＝m2＋8.∵m2≥0，∴Δ＝m2＋8>0.∴無論m取何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根.3.已知x＝－1是方程x2＋mx－5＝0的一個根，求m的值及方程的另一個根.解：依題意，得(－1)2＋(－1)×m－5＝0，解得m＝－4.當(dāng)m＝－4時，方程為x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5.∴方程的另一根x2＝5.4.已知x(x＋5)與3x＋15相等，求x的值.解：依題意，得x(x＋5)＝3x＋15，整理，得x2＋2x－15＝0，即(x＋5)(x－3)＝0，解得x1＝－5，x2＝3.∴x的值為－5或3.5.

知關(guān)于x的一元二次方程x2－(k＋5)x＋6＋2k＝0.(1)求證：此方程總有兩個實數(shù)根；(1)證明：a＝1，b＝－(k＋5)，c＝6＋2k.Δ＝b2－4ac＝[－(k＋5)]2－4(6＋2k)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，∴此方程總有兩個實數(shù)根.(2)若此方程恰有一個根小于－1，求k的取值范圍.∴x1＝2，x2＝k＋3.∵此方程恰有一個根小于－1，∴k＋3<－1，解得k<－4.∴k的取值范圍為k<－4.(2)解：∵x＝，6.如圖，在菱形ABCD中，對角線BD的長為8，菱形的邊長是方程x2－9x＋20＝0的一個根，求該菱形的面積.如圖，連接AC交BD于點O，解：∵x2－9x＋20＝0可化為(x－4)(x－5)＝0，∴x－4＝0或x－5＝0.∴x1＝4，x2＝5.當(dāng)x＝4時，4＋4＝8，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝5時，5＋5＝10>8，符合題意.∴該菱形的邊長是5.在菱形ABCD中，AC⊥BD，OD＝BD＝4，∴OA＝＝3.∴AC＝2OA＝6.∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×6×8＝24.7.如圖，矩形ABCD是一塊長16米?寬12米的荒地，要在這塊荒地上建造一個矩形花園EFGH，在花園的外圍是寬度相等的小路.要使花園所占面積為荒地面積的一半，則小路的寬為多少米？解：設(shè)小路的寬為x米，則矩形花園的長為(16－2x)米?寬為(12－2x)米.整理，得x2－14x＋24＝0，解得x1＝2，x2＝12(不合題意，舍去).答：小路的寬為2米.依題意，得(16－2x)(12－2x)＝×16×12，8.若等腰三角形的一邊長是2，另兩邊的長是關(guān)于x的方程x2－6x＋m＝0的兩個根，求m的值.解：當(dāng)?shù)走呴L為2時，則腰長為方程x2－6x＋m＝0的兩個根，∴Δ＝(－6)2－4m＝0，解得m＝9；當(dāng)腰長為2時，則x＝2為方程x2－6x＋m＝0的一個根，∴4－12＋m＝0，解得m＝8.方程化為x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.∵2＋2＝4，∴2，2，4不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去.綜上所述，m的值為9.9.某地區(qū)2022年投入教育經(jīng)費2500萬元，2024年投入教育經(jīng)費3025萬元.(1)求2022年至2024年該地區(qū)投入教育經(jīng)費的年平均增長率；解：(1)設(shè)2022年至2024年該地區(qū)投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x.依題意，得2500(1＋x)2＝3025，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合題意，舍去).答：2022年至2024年該地區(qū)投入教育經(jīng)費的年平均增長率為10%.(2)根據(jù)(1)所得的年平均增長率，預(yù)計2025年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費多少萬元.解：(2)3025×(1＋10%)＝3327.5(萬元).答：預(yù)計2025年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費3327.5萬元.10.某疾病具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有196人患上該疾病，求每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人.解：設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，則第一輪中有x人被傳染，第二輪中有x(1＋x)人被感染.依題意，得1＋x＋x(1＋x)＝196，整理，得(1＋x)2－196＝0，解得x1＝13，x2＝－15(不合題意，舍去).答：每輪傳染中平均每個人傳染了13個人.11.如圖，某工程隊在工地利用互相垂直的兩面墻AE，AF，另外兩邊用鐵柵欄圍成一個長方形場地ABCD，中間再用鐵柵欄分割成兩個長方形，鐵柵欄總長為180m.已知墻AE長為90m，墻AF長為60m.(1)設(shè)BC＝xm，則CD的長為__________m，四邊形ABCD的面積為__________m2.(2)若長方形ABCD的面積為4000m2，則BC的長為多少米？(180－2x)x(180－2x)解：(2)依題意，得x(180－2x)＝4000，解得x1＝4