第4題解三角形的實際應用（一題多變）【河北省邢臺市邢襄聯(lián)盟高三上學期10月期中T8】如圖，已知為某建筑物的高，，分別為該建筑物附近的參照物甲、乙的高，\${{A}_{1}}\$，，分別為該建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分別為該建筑物、甲、乙的頂點，經測量得米，米，，，在C點測得B點的仰角為33.69°，在B點測得A點的仰角為51.34°，則該建筑物的高約為（參考數(shù)據(jù)，，）（）A．268米

B．265米

C．266米

D．267米【思路分析】根據(jù)題意，分別過B，C作，，垂足分別為F，D，找到在B，C兩點處的仰角，過D作，垂足為E．由題中所給的角，借助于直角三角形，利用正弦定理，依次求得，和，即可求出建筑物的高.【詳解】如圖，分別過，作，，垂足分別為F，D，過D作，垂足為E．根據(jù)題意易得，．在中，由正弦定理得，在中，，則，在中，，則，所以米．故選：C.【題后反思】本題是一道解三角形的實際問題，其本質是在實際問題中抽象出具體的三角形模型，然后利用正余弦定理解出所求角或邊即可;解決本題的關鍵是分析題意，作出輔助線，找到在B，C兩點處的仰角.解三角形應用題的一般步驟：（1）閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關系．（2）根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．（3）根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．（4）將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等.變問題背景，求高度【變化角度】改變原題中的實際問題背景，仍求高度，如下：例：如圖甲，首鋼滑雪大跳臺是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產再利用直接結合的競賽場館，大跳臺的設計中融入了世界文化遺產敦煌壁畫中“飛天”的元素.如圖乙，某研究性學習小組為了估算賽道造型最高點A距離地面的高度（與地面垂直），在賽道一側找到一座建筑物，測得的高度為h，并從C點測得A點的仰角為30°；在賽道與建筑物之間的地面上的點E處測得A點，C點的仰角分別為75°和30°（其中B，E，D三點共線）.該學習小組利用這些數(shù)據(jù)估算得約為60米，則的高h約為（）米（參考數(shù)據(jù)：，，）A．11

B．20.8

C．25.4

D．31.8【思路分析】易得，在中，求出，在中，利用正弦定理求得，在解直角三角形即可得出答案.【詳解】由題意可得，則，在中，，在中，因為，所以，所以，又，所以（米）.故選：C.【舉一反三】1．如圖，為了測量某鐵塔的高度，測量人員選取了與該塔底B在同一平面內的兩個觀測點C與D，現(xiàn)測得，，米，在點C處測得塔頂A的仰角為，則該鐵塔的高度約為（

）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）

A．42米 B．47米 C．38米 D．52米【答案】B【分析】在中利用正弦定理求，再在中求.【詳解】在中，由題意可得，則，，由正弦定理可得，在中，可得，所以該鐵塔的高度約為47米.故選：B.2．某數(shù)學興趣小組為測量一古建筑物的高度，設計了測算方案．如圖，在該建筑物旁水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點M的仰角分別為，，，且，則該古建筑的高度為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設，利用三角函數(shù)分別表示，然后分別在中利用余弦定理表示，因為，所以可得,進而求解即可.【詳解】設，在中，，在中，，在中，，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：,因為,所以，即，解得，所以該古建筑的高度為.故選：C.變求高度為求距離【變換角度】改變問法，將原題中的測量高度問題變?yōu)闇y距離，如下：例：海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象．若要測量如圖所示的藍洞的口徑，即兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點，測得，，，，則兩點間的距離為（）A．80

B．

C．160

D．【思路分析】根據(jù)題意，求得各個角度，即可得長，根據(jù)正弦定理，可得長，根據(jù)余弦定理，即可得答案.【詳解】因為，，所以，，所以，又因為，所以，在中，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以.故選：D.【舉一反三】3．海上某貨輪在A處看燈塔B，在貨輪北偏東75°，距離為海里處；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為海里處，貨輪由A處向正北航行到D處時看燈塔B在東偏南30°，則燈塔C與D處之間的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】B【分析】在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求出，得到答案.【詳解】在中，，，，則，由正弦定理得，即，故，解得.在中，，，，則由余弦定理得，所以，即燈塔C與D處之間的距離為海里.故選：B.（2024·云南昆明·一模）4．早期天文學家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑．假設一種理想狀態(tài)：地球E和某小行星M繞太陽S在同一平面上的運動軌道均為圓，三個星體的位置如圖所示．地球在位置時，測出；行星M繞太陽運動一周回到原來位置，地球運動到了位置，測出，．若地球的軌道半徑為R，則下列選項中與行星M的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)：）（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，根據(jù)給定條件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得.【詳解】連接，在中，，又，則是正三角形，，由，，得，，在中，，由正弦定理得，則，在中，由余弦定理得.故選：A

變求高度為求角度【變換角度】改變問法，將原題中的測量高度問題變?yōu)闇y角度，如下：例：如圖，某人在一條水平公路旁的山頂P處測得小車在A處的俯角為30°，該小車在公路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后，到達B處，此時測得俯角為45°.已知此山的高，小車的速度是，則（）A．

B．

C．

D．【思路分析】可由，求得，由，求得，由行駛時間和速度求得，再由余弦定理解出即可.【詳解】由題意可得，，，，，則，.因為，所以由余弦定理可知，.故選：A.【舉一反三】5．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為，向山頂前進到達B處，又測得C對于山坡的斜度為，若，山坡對于地平面的坡度為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在ABC中，由正弦定理得AC＝m，再在ADC中，由正弦定理得解.【詳解】由題知，，，所以，.在ABC中，由正弦定理得，又m，∴AC＝m．在ADC中，，m，由正弦定理得，∴.故選：C.6．如圖所示，位于處的信息中心獲悉：在其正東方向相距海里的處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往處救援，則的值為．【答案】【解析】在中，利用余弦定理計算出，，，再利用兩角和的余弦公式計算即可得到答案.【詳解】由已知，，在中，由余弦定理可得，所以，所以.故答案為：【點睛】本題考查余弦定理在解三角形中的應用，涉及到兩角和的余弦公式，是一道中檔題.7．如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D.測得，，米，并在點C測得塔頂A的仰角為，則塔高AB＝（

）米.A． B．C． D．【答案】A【分析】中，根據(jù)正弦定理解得，在中，利用三角函數(shù)關系得到.【詳解】因為，，所以，在中，根據(jù)正弦定理可知即，解得．在中，所以．故選：A．8．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上由正東向正西方向行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30°的方向上（即）．行駛300m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山頂D相對公路所在平面的高度（

）.A． B．100m C． D．【答案】C【分析】先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解.【詳解】由題意，而，由正弦定理可得，即，解得，注意到，從而.故選：C.（2024·山東臨沂·一模）9．在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺，在的正東方.某次演習時，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點，則炮臺與彈著點的距離為（

）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里【答案】D【分析】設炮彈第一次命中點為，在中利用余弦定理求出，又二倍角公式求出，最后在中利用余弦定理計算可得.【詳解】依題意設炮彈第一次命中點為，則，，，，在中，即，解得，所以，又為銳角，解得（負值舍去），在中，所以，即炮臺與彈著點的距離為公里.故選：D10．《孔雀東南飛》中曾敘“十三能織素，十四學裁衣，十五彈箜篌，十六誦詩書.”箜篌歷史悠久、源遠流長，音域寬廣、音色柔美清撤，表現(xiàn)力強.如圖是箜篌的一種常見的形制，對其進行繪制，發(fā)現(xiàn)近似一扇形，在圓弧的兩個端點，處分別作切線相交于點，測得切線，，，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可估算出該圓弧所對圓心角的余弦值為（

）A．0.62 B．0.56 C． D．【答案】A【分析】由圖形可知，由余弦定理求出，可得.【詳解】由題意，，所以，切線，，由切線長定理，不妨取，又，由余弦定理，有，.故選：A11．一艘輪船航行到A處時看燈塔B在A的北偏東，距離12海里，燈塔C在A的北偏西，距離為12海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東方向，下面結論正確的有（

）A． B．C．或 D．【答案】ABD【分析】先根據(jù)題意畫出平面圖，再根據(jù)正、余弦定理解三角形即可得答案.【詳解】解：如圖：在中，，由正弦定理有，，故A正確.在中，由余弦定理得，因為，所以，故B正確由正弦定理得，所以，故或者，因為，故為銳角，所以，故C不正確，D正確.故選：ABD.12