第14題極值求解三重智慧（解透一題）【成都2024-2025學(xué)年高三下二診T8】若函數(shù)有極值，則的取值范圍為（）A．

B．C．

D．考的過(guò)程一元函數(shù)極值存在的充要條件是導(dǎo)數(shù)為零且導(dǎo)數(shù)變號(hào)（或二階導(dǎo)數(shù)非零），知函數(shù)，其定義域?yàn)椋羟蠛瘮?shù)存在極值時(shí)a的取值范圍，需先對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)，再依據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0且在該點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)這一性質(zhì)進(jìn)行求解．【方法一】常規(guī)求導(dǎo)法利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再依據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0且在該點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)列式求解．對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后設(shè)，，分，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析求解即可．對(duì)求導(dǎo)，依據(jù)乘積的求導(dǎo)法則，其中)．因?yàn)?，所以．由于在上恒成立，所以\\(f(x)\\)存在極值等價(jià)于在上存在變號(hào)零點(diǎn)．對(duì)求導(dǎo)可得．當(dāng)時(shí)，，在上不存在零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，令，即，解得．當(dāng)（即時(shí)，在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增．．要使存在變號(hào)零點(diǎn)，則，即，因?yàn)?，兩邊同時(shí)除以得，，解得．當(dāng))時(shí)，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上存在變號(hào)零點(diǎn)．綜上，的取值范圍是．本題的關(guān)鍵在于將函數(shù)f(x)存在極值轉(zhuǎn)化為存在變號(hào)零點(diǎn)，通過(guò)對(duì)求導(dǎo)并分析其單調(diào)性和最值來(lái)確定零點(diǎn)情況．在求導(dǎo)過(guò)程中要熟練運(yùn)用求導(dǎo)公式和法則，對(duì)于含參函數(shù)的單調(diào)性討論要做到不重不漏．作為選擇題，小題大做不推薦．【方法二】分離參數(shù)法判斷函數(shù)有無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，將方程進(jìn)行變形，使參數(shù)得以分離，轉(zhuǎn)化為的形式，即．通過(guò)對(duì)函數(shù)的圖像特征、單調(diào)性以及極值情況展開(kāi)分析，進(jìn)而確定參數(shù)的取值區(qū)間．原方程可進(jìn)行參數(shù)分離，得到，設(shè)，則．對(duì)求導(dǎo)可得：令，解得其臨界點(diǎn)為．-當(dāng)時(shí)，由于，所以呈單調(diào)遞減態(tài)勢(shì)．-當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以呈單調(diào)遞增態(tài)勢(shì)．函數(shù)在處取得最小值，且因?yàn)榈淖钚≈禐?，?dāng)時(shí)，著原函數(shù)f(x)存在極值．所以，參數(shù)a的取值范圍是．分離參數(shù)法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)求導(dǎo)分析函數(shù))h(x)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而得到(x+1)ln(x+1)的性質(zhì)．這種方法避免了對(duì)參數(shù)a的復(fù)雜分類討論，但需要熟練掌握函數(shù)圖象的繪制和分析技巧，對(duì)極限的理解和運(yùn)用也有較高要求．【方法三】特殊值排除法題目給定函數(shù)，需求出該函數(shù)存在極值時(shí)a的取值范圍．可運(yùn)用特殊值排除法進(jìn)行求解，即代入特定的a值，判斷函數(shù)是否存在極值，從而排除不符合條件的選項(xiàng)．由，其定義域?yàn)椋瑒t，1．當(dāng)時(shí)，)．令，對(duì)求導(dǎo)可得．在區(qū)間上，，呈單調(diào)遞減態(tài)勢(shì)；在區(qū)間上，，呈單調(diào)遞增態(tài)勢(shì)．-所以，又因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增，不存在極值．由于時(shí)函數(shù)無(wú)極值，而選項(xiàng)D中包含1，故可排除D．2．當(dāng)時(shí)，

-令，則．令，即，解得．當(dāng)時(shí)，)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．-所以在處取得極小值，且．則在兩側(cè)符號(hào)不改變，（易錯(cuò)點(diǎn)：誤將導(dǎo)數(shù)為零等同于極值存在，忽略二階條件或符號(hào)變化分析）f(x)不存在極值，所以選項(xiàng)B，C可排除，答案選A．特殊值排除法在解決這類選擇題時(shí)非常有效．通過(guò)選取合適的特殊值，能夠快速地排除不符合條件的選項(xiàng)，縮小答案范圍．在選取特殊值時(shí)，要結(jié)合函數(shù)的特點(diǎn)以及選項(xiàng)的差異進(jìn)行選擇．本題中，根據(jù)選項(xiàng)中a的取值邊界和特殊值進(jìn)行代入驗(yàn)證，先排除了包含使函數(shù)無(wú)極值的a值的選項(xiàng)，再通過(guò)驗(yàn)證確定了正確答案．同時(shí)，在求導(dǎo)過(guò)程中要熟練運(yùn)用求導(dǎo)公式和法則，準(zhǔn)確分析函數(shù)的單調(diào)性和極值情況，這是判斷特殊值是否符合條件的關(guān)鍵．解決函數(shù)有極值問(wèn)題，解決的關(guān)鍵是要保證其導(dǎo)數(shù)有變號(hào)零點(diǎn)，處理方法較多．直接處理函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題需要準(zhǔn)確把握分類討論的分界點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)為二次型的函數(shù)的分界點(diǎn)需要考慮二次項(xiàng)的系數(shù)以及二次方程的判別式．所以不僅要考慮二次方程根的大致范圍，而且要注意函數(shù)值的變化趨勢(shì)．分離參數(shù)法能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)的問(wèn)題，從而避免了復(fù)雜的分類討論過(guò)程，尤其在處理含參方程根的存在性問(wèn)題時(shí)具有顯著優(yōu)勢(shì)．作為選擇題，本題可利用特值法排除不合題意的選項(xiàng)，從而快速得到正確選項(xiàng)，體現(xiàn)了“小題不大做”的解題智慧．值得關(guān)注．1．若函數(shù)在有極值，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求導(dǎo)得到，再根據(jù)題意得到，解不等式即可.【詳解】，，因?yàn)楹瘮?shù)在有極值，所以，解得或.故選：C2．若函數(shù)在處取得極小值，則（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】A【分析】先由，求得的值，再代入導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】由題意可得，則，解得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，則在，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在處取得極小值，此時(shí).故選：A3．已知函數(shù)在上既有極大值，也有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【解析】先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有極大值又有極小值，故導(dǎo)函數(shù)為0的方程有不等的實(shí)數(shù)根，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】,又函數(shù)既有極大值又有極小值，且，且.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值,關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)為0的方程有不等的實(shí)數(shù)根，屬于中檔題.4．若函數(shù)既有極大值也有極小值，則錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知，可得函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答即可．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，所以函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，所以方程有兩個(gè)不等的正根，所以，所以，所以，即．故BCD正確，A錯(cuò)誤．故選：A．5．若函數(shù)恰好有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)恰好有兩個(gè)極值，說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，從而求出a的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?，由函?shù)恰好有兩個(gè)極值，得有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則，且，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D.6．已知函數(shù)在上無(wú)極值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，討論x的取值范圍可得結(jié)果.【詳解】由題意得，，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上無(wú)極值，所以在R上恒成立，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，故，當(dāng)時(shí)，，則.綜上，.故選：D.7．已知函數(shù)的最大值為1．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)及其零點(diǎn)，再分