時(shí)間序列分析

第一章概覽1.1時(shí)間序列分析的范疇1.2時(shí)間序列數(shù)據(jù)特點(diǎn)1.3時(shí)間序列分析中的常用概念

1.1時(shí)間序列分析的范疇

時(shí)間序列分析是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要分支,但它與其他計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)范疇在一些方面存在著明顯的區(qū)別。

首先,時(shí)間序列分析側(cè)重于分析時(shí)間序列數(shù)據(jù),即按照時(shí)間順序排列的數(shù)據(jù),或者是隨著時(shí)間變化而收集的數(shù)據(jù)。

1.2時(shí)間序列數(shù)據(jù)的特點(diǎn)

當(dāng)涉及時(shí)間序列分析時(shí),我們引入按時(shí)間順序排列的數(shù)列,這個(gè)數(shù)列描述了某種隨機(jī)變量的變化,數(shù)列中的數(shù)值是按時(shí)間先后順序排列的。因此,時(shí)間序列數(shù)據(jù)的顯著特征之一就是其與時(shí)間密切相關(guān)。

一般而言,時(shí)間序列變量具有兩個(gè)顯著的組成要素,即時(shí)間跨度和序列的頻率。圖1.1

上海證券綜合指數(shù):1992年1月—2024年4月(月度頻率)資料來源:Wind數(shù)據(jù)庫。圖1.2上海證券綜合指數(shù):1992年1月1日—2024年5月1日(日度頻率)資料來源:Wind數(shù)據(jù)庫。圖1.3人民幣兌美元匯率:2000年1月1日—2024年5月1日資料來源:美聯(lián)儲(chǔ)。圖1.4中國CPI同比增長率:1990年1月—2024年3月資料來源:Wind數(shù)據(jù)庫。圖15中國名義GDP水平值序列:2000年第1季度—2024年第1季度資料來源:Wind數(shù)據(jù)庫。1.3時(shí)間序列分析中的常用概念1.3.1增長率和收益率簡單凈收益率（SimpleNetReturn）:連續(xù)復(fù)合收益率（continuouscompoundingreturn）：對于多期來說,

對于季度頻率數(shù)據(jù)，年度化的增長率計(jì)算公式為:

對于月度頻率數(shù)據(jù)，年度化的增長率計(jì)算公式是:

1.3.2隨機(jī)變量與隨機(jī)過程例如：其中,

表示εt服從均值為0、方差為σ2的正態(tài)分布。注意,正態(tài)分布也被稱為高斯分布(Gausiandistribution),讀者在閱讀不同資料時(shí)應(yīng)注意二者之間的等同性。

其中：表示表示隨機(jī)變量:

誤差項(xiàng)εt就是一個(gè)隨機(jī)變量,這里假設(shè)這一隨機(jī)誤差變量服從正態(tài)分布。在更多情形下,隨機(jī)變量εt被假設(shè)服從獨(dú)立同分布(independentlyandidenticalydistributed),或者簡記為i.i.d.。

與隨機(jī)變量緊密相關(guān)但又有區(qū)別的一個(gè)概念就是隨機(jī)過程。當(dāng)我們希望對一個(gè)金融時(shí)間序列進(jìn)行分析時(shí)，通常把

看作是一個(gè)隨機(jī)過程的實(shí)現(xiàn)。寬泛地說，

隨機(jī)過程就是定義在一定概率空間的一組具有相同特性的隨機(jī)變量。1.3.3隨機(jī)變量的期望與矩

從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度來說，一個(gè)隨機(jī)變量X的第n階矩可以定義為：

一些定義:隨機(jī)變量的1階矩叫做均值。隨機(jī)變量的2階矩叫做方差。隨機(jī)變量的3階矩又稱為偏度，它度量了隨機(jī)變量分布的非對稱程度。隨機(jī)變量的4階矩又稱尾峰度，其衡量隨機(jī)變量分布的尖峰程度或平坦程度。

樣本矩:有用的運(yùn)算規(guī)則:

1.3.4

經(jīng)濟(jì)模型與計(jì)量模型經(jīng)濟(jì)模型依據(jù)的是一定的經(jīng)濟(jì)理論所建立的等式關(guān)系。例如依據(jù)資產(chǎn)定價(jià)模型，寫出確定的等式：

其中，rt表示單項(xiàng)資產(chǎn)的預(yù)期收益率，rf表示無風(fēng)險(xiǎn)收益率，rm表示組合資產(chǎn)預(yù)期收益率，β表示單項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。在這種等式關(guān)系（金融模型）中不包含隨機(jī)擾動(dòng)因素。而計(jì)量模型則是在經(jīng)濟(jì)模型的基礎(chǔ)上增加了隨機(jī)擾動(dòng)因素,用以捕捉可能影響經(jīng)濟(jì)模型等式左側(cè)變量的其他因素。雖然這種隨機(jī)因素一般是不可觀測的,但是我們總可以對其統(tǒng)計(jì)分布特征加以假設(shè)或者約束,從而實(shí)現(xiàn)對計(jì)量模型的回歸估計(jì)。以剛才提到的資產(chǎn)定價(jià)模型為例，其對應(yīng)的計(jì)量模型就應(yīng)該寫成：其中ut是模型中的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。

圖16金融計(jì)量建模流程時(shí)間序列分析張成思30

第二章AR模型2.1基礎(chǔ)概念2.2一階自回歸模型:AR(1)2.3二階自回歸模型:AR(2)2.4p階自回歸模型:AR(p)

差分方程與滯后運(yùn)算是時(shí)間序列分析的重要基礎(chǔ)知識(shí),也是掌握時(shí)間序列建模中動(dòng)態(tài)分析方法的基石?？紤]到現(xiàn)實(shí)中存在各種時(shí)滯問題,如政策信息對股票市場波動(dòng)的影響需要一定的時(shí)間、利率變化對投資的調(diào)節(jié)進(jìn)而帶來經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出等的變化等都需要一定的時(shí)間,所以經(jīng)常需要利用差分方程來刻畫各種時(shí)間序列變量之間的動(dòng)態(tài)機(jī)制

312.1基礎(chǔ)概念2.1.1差分方程2.1.1.1差分方程的定義令yt表示一個(gè)t期的市場利率。假設(shè)t期的這一利率是由剛剛過去的一期(即t-1期)的利率決定的,同時(shí)假設(shè)t期的利率還可能受到當(dāng)期的一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)變量εt的影響,那么可以用下面的等式來表示這里陳述的內(nèi)容圖21中國CPI同比增長率:1990年1月—2024年5月資料來源:Wind數(shù)據(jù)庫。隨機(jī)變量用來捕捉可能會(huì)影響等式左側(cè)變量的“其他”因素。有時(shí)候這種隨機(jī)變量被稱為“驅(qū)動(dòng)過程”(forcingproces)對差分方程(2.1)進(jìn)行進(jìn)一步整理,即在等式左右兩側(cè)都減去yt-1,從而得到y(tǒng)t的一次差對其滯后項(xiàng)的反應(yīng)關(guān)系。為簡化說明,yt-yt-1可以寫成Δyt的形式,其中Δ被稱為差分運(yùn)算符

2.1.1.2一階差分方程的求解

在沒有給定初始值的條件下,一階差分方程的求解仍然可以使用迭代方法,但此時(shí)應(yīng)該使用循環(huán)向后而不是向前迭代的方式來求解。3738圖2-2一階差分方程中不同α系數(shù)對應(yīng)的yt序列說明:在數(shù)據(jù)生成過程中,初始值設(shè)為0,擾動(dòng)項(xiàng)為高斯分布,標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)為0.5。392.1.1.3高階差分方程

一階差分方程可以拓展到二階或者更高階的差分方程,為方便記憶,把高于一階的差分方程統(tǒng)稱為高階差分方程。假設(shè)差分方程的階數(shù)為p,則p階差分方程的一般表達(dá)式可以寫成

仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn),F矩陣的左下部分包含了一個(gè)(p-1)×(p-1)的單位陣,單位陣即對角線元素為1、非對角線元素為0的方陣。為了獲得更為直觀的印象,使用一個(gè)具體的例子來示范F矩陣的構(gòu)成特點(diǎn)。在p=1這一特殊情況下,F矩陣就變成了一維的系數(shù)α。最后,定義p×1維矩陣et在定義了矩陣式或者更明顯地寫成通過迭代,可以把式(2.16)寫成如下形式如果將式(2.18)恢復(fù)成對應(yīng)的矩陣形式,則有進(jìn)一步對式(2.18)進(jìn)行向前迭代,可以得到其中,Fj表示矩陣F的j次冪,這樣對比F矩陣與Y矩陣的定義,可以獲得p階差分方程的動(dòng)態(tài)乘數(shù),即2.1.2動(dòng)態(tài)乘數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)與差分方程聯(lián)系緊密而且非常具有應(yīng)用價(jià)值的概念還包括動(dòng)態(tài)乘數(shù)(dynamicmultipli-er)和脈沖響應(yīng)函數(shù)(impulseresponsefunction,IRF),這兩個(gè)概念既有聯(lián)系又存在細(xì)節(jié)上的差別。2.1.2.1動(dòng)態(tài)乘數(shù)在特殊情況下,當(dāng)j=0時(shí),動(dòng)態(tài)乘數(shù)也經(jīng)常稱作影響乘數(shù)(impactmultiplier)一階差分方程還可以寫成如下形式:2.1.2.2脈沖響應(yīng)函數(shù)產(chǎn)出等在受到一個(gè)正向或者負(fù)向的貨幣政策的沖擊后形成的動(dòng)態(tài)路徑和持續(xù)時(shí)間情況。與脈沖響應(yīng)函數(shù)相聯(lián)系的另外一個(gè)概念是累積脈沖響應(yīng)函數(shù)(cumulativeimpulsere-sponsefunction,CIRF)。以一階差分方程為例,累積脈沖響應(yīng)函數(shù)可以寫成累積脈沖響應(yīng)函數(shù)經(jīng)常用來衡量隨機(jī)擾動(dòng)因素如果出現(xiàn)永久性變化,即εt,εt+1,...,εt+j都變化一個(gè)單位,對yt+j造成的影響和沖擊情況。圖23一階差分方程中不同α值對應(yīng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)圖23一階差分方程中不同α值對應(yīng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)2.1.3滯后算子與滯后運(yùn)算法2.1.3.1滯后算子的定義與性質(zhì)滯后算子(lagoperator)運(yùn)用以上介紹的滯后算子運(yùn)算規(guī)律也等同于簡約的形式在滯后算子運(yùn)算符的諸多性質(zhì)中,有一條非常有用的性質(zhì)二階差分方程其中,c表示常數(shù)項(xiàng)。利用滯后算子根據(jù)滯后算子的性質(zhì),滯后算子對常數(shù)項(xiàng)并不產(chǎn)生影響,所以式(2.35)等號(hào)右側(cè)的第一項(xiàng)就是(1-α1-α2)-1c。從而利用滯后算子,還可以簡化高階差分方程的表達(dá)式2.1.3.2差分方程的穩(wěn)定性差分方程的穩(wěn)定性是指由差分方程生成的數(shù)據(jù)的收斂性。這里需要介紹與差分方程相關(guān)的特征方程(characteristicequation)和逆特征方程(inversecharacteristicequation)。圖2-4差分方程的特征根與單位圓圖25差分方程的逆特征根與單位圓2.2一階自回歸模型:AR(1)2.2.1基本概念2.2.1.1隨機(jī)過程與數(shù)據(jù)生成過程從隨機(jī)概率論的概念出發(fā),隨機(jī)過程是一系列或一組隨機(jī)變量(或隨機(jī)函數(shù))的集合,它用來描繪隨機(jī)現(xiàn)象在接連不斷的觀測過程中的實(shí)現(xiàn)結(jié)果。每一次觀測都可得到一個(gè)隨機(jī)變量。如果讓這種觀測隨時(shí)間的推移永遠(yuǎn)持續(xù)下去,就得到用來描述隨機(jī)現(xiàn)象不斷演變情況的隨機(jī)變量族或者稱集合,也就是一個(gè)隨機(jī)過程2.2.1.2自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)假定yt是一個(gè)隨機(jī)變量,自協(xié)方差(autocovariance)定義的是yt與其自身滯后期之間的協(xié)方差,即“自身的協(xié)方差”。常見的協(xié)方差的基本定義是其中,E[·]表示期望。從而可以知道,yt與其自身滯后j期yt-j之間的協(xié)方差定義為顯然,如果一個(gè)隨機(jī)變量的期望值(均值)保持不變,如E(yt)=E(yt-j)=μ,那么式(2.44)就可以寫成另外,從方差的基本定義還可以知道,隨機(jī)變量yt的方差就是j=0時(shí)的特殊情況。假設(shè)yt的均值保持不變,則方差可以寫成回顧基本的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí),與方差、協(xié)方差相關(guān)的還有相關(guān)系數(shù),例如,隨機(jī)變量x和y的相關(guān)系數(shù)公式為在時(shí)間序列分析中,相應(yīng)地有自相關(guān)(autocorelation)函數(shù),yt與yt-j的自相關(guān)函數(shù)(autocorelationfunction,ACF)定義為2.2.1.3弱平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)的定義弱平穩(wěn)的定義:對于隨機(jī)時(shí)間序列yt,如果其期望值、方差以及自協(xié)方差均不隨時(shí)間t的變化而變化,則稱yt為弱平穩(wěn)隨機(jī)變量,即yt必須滿足以下條件:圖2-6中國CPI同比增長率滾動(dòng)樣本均值估計(jì)資料來源:Wind數(shù)據(jù)庫,樣本區(qū)間為1990年1月—2024年3月。2.2.1.4白噪聲過程白噪聲過程(whitenoiseproces)是時(shí)間序列分析中最常用的平穩(wěn)過程之一。如果組成一個(gè)隨機(jī)過程的所有隨機(jī)序列彼此互相獨(dú)立,并且均值為0,方差為恒定不變值,則該過程被稱為白噪聲過程則yt是白噪聲過程圖2-7白噪聲過程的自相關(guān)函數(shù)圖2.2.2一階自回歸模型AR(1)顧名思義,自回歸模型就是變量對變量自身的滯后項(xiàng)進(jìn)行回歸。自回歸模型也可以稱為自回歸過程。自回歸(AR)模型與差分方程聯(lián)系緊密。事實(shí)上,AR模型本身就是差分方程的一種。2.2.2.1AR(1)過程的基本定義和性質(zhì)一階自回歸過程記作AR(1),表現(xiàn)為當(dāng)期的隨機(jī)變量對自身的滯后一期項(xiàng)和一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行線性回歸。AR(1)模型可以寫成:其中,c是截距項(xiàng)或者稱常數(shù)項(xiàng)。注意,為簡單起見,我們暫時(shí)假定εt是均值為0、方差為σ2的白噪聲過程,即滿足式(2.55)中的條件在t-1期我們可以對yt-2,yt-3,...進(jìn)行類似的代換,重復(fù)這樣的過程n次當(dāng)n→∞時(shí),式(2.61)中的第一項(xiàng)含有一個(gè)無窮等比數(shù)列求和的部分滯后算子將式2.2.2.2AR(1)過程的均值在求解AR(1)過程的均值時(shí)可以利用AR(1)過程的等同表達(dá)形式對式(2.62)左右取期望2.2.2.3AR(1)過程的方差我們求解yt序列的方差。根據(jù)方差的定義,對于平穩(wěn)模型用白噪聲的不變方差σ2平穩(wěn)一階自回歸過程的方差解析表達(dá)式,其中第三個(gè)等號(hào)處使用了白噪聲的性質(zhì)熟悉的無窮等比數(shù)列求和公式,即在滿足條件α2<1的情況下,有圖2-8AR(1)過程模擬生成的序列圖與相關(guān)統(tǒng)計(jì)量圖28AR(1)過程模擬生成的序列圖與相關(guān)統(tǒng)計(jì)量(續(xù))2.2.2.4AR(1)過程的自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)因?yàn)槠椒€(wěn)AR(1)過程的均值恒定,所以自協(xié)方差的定義為AR(1)過程的自協(xié)方差的一般解析表達(dá)式:2.2.2.5一階自回歸系數(shù)α的影響階自回歸系數(shù)α取值不同對自相關(guān)系數(shù)以及yt序列動(dòng)態(tài)走勢的影響考慮AR(1)模型中系數(shù)α=0.9的情況,即沒有特別設(shè)定常數(shù)項(xiàng)c的值,因?yàn)檫@個(gè)系數(shù)不影響自相關(guān)函數(shù)。圖2-9α=0.9和α=0.5時(shí)AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)圖圖2-10α=-0.9時(shí)AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)圖圖2-11不同α值的AR(1)模型對應(yīng)的模擬數(shù)據(jù)圖2-11不同α值的AR(1)模型對應(yīng)的模擬數(shù)據(jù)(續(xù))圖2-11不同α值的AR(1)模型對應(yīng)的模擬數(shù)據(jù)(續(xù))圖2-11不同α值的AR(1)模型對應(yīng)的模擬數(shù)據(jù)(續(xù))2.3二階自回歸模型:AR(2)2.3.1AR(2)過程的基本定義和性質(zhì)二階自回歸模型(過程),記作AR(2),可以寫成下列形式對于AR(2)模型也是一樣只要特征方程與AR(1)過程的處理類似,我們最終可以把AR(2)模型寫成yt是隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的函數(shù)2.3.2AR(2)過程的均值對等式左右兩邊取期望求出AR(2)過程的均值利用平穩(wěn)過程的特性,即均值恒定從而也可以得到同樣的結(jié)果2.3.3AR(2)模型的方差、自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)對于AR(2)模型,方差、自協(xié)方差的求解需要同時(shí)進(jìn)行,而不再像處理AR(1)模型那樣分別進(jìn)行。造出自協(xié)方差的形式自相關(guān)函數(shù)在前兩期的解析表達(dá)式有了ρ0、ρ1和ρ2之后,其他所有期的自相關(guān)函數(shù)的解析表達(dá)式都可以從式(2.94)中求解了。兩側(cè)乘以(yt-μ)并且取期望圖2-12AR(2)模型生成的序列數(shù)據(jù)圖2-12AR(2)模型生成的序列數(shù)據(jù)2.4p階自回歸模型:AR(p)2.4.1AR(p)過程的基本定義和性質(zhì)一般地,p階AR模型記作AR(p),通常寫成以下形式εt是方差為σ2的白噪聲過程。如果使用滯后算子,AR(p)模型還可以其中,α(L)為滯后算子多項(xiàng)式AR(p)模型的基本形式可以寫出對應(yīng)的特征根方程如果式方程的所有根都落在單位圓內(nèi),則AR(p)模型是平穩(wěn)的2.4.2AR(p)過程的均值對式方程兩側(cè)取期望,則得到2.4.3AR(p)過程的方差與自協(xié)方差遵循求解AR(2)模型的方差與自協(xié)方差的思路用方程將常數(shù)項(xiàng)c表示成均值μ和自回歸系數(shù)α的函數(shù),然后將AR(p)模型t期的白噪聲過程εt只與yt相關(guān),而與滯后序列yt-j(j>0)不相關(guān)。進(jìn)而可知AR過程是平穩(wěn)的,那么t-1期與t-j期的自協(xié)方差就等于t期與t-(j-1)期的自協(xié)方差,2.4.4AR(p)過程的自相關(guān)函數(shù)于勒-沃克等式一個(gè)AR(2)過程的理論自相關(guān)函數(shù)滿足以下過程時(shí)間序列分析張成思105

第三章平穩(wěn)ARMA模型3.1移動(dòng)平均過程3.2自回歸移動(dòng)平均過程3.3部分自相關(guān)函數(shù)、樣本自相關(guān)函數(shù)與樣本部分自相關(guān)函數(shù)3.4ARMA模型的建立與估計(jì)

3.1移動(dòng)平均過程3.1.1MA(1)模型3.1.1.1MA(1)模型的基本定義與性質(zhì)移動(dòng)平均過程(MAproces)有時(shí)候也被稱為滑動(dòng)平均過程,是指將時(shí)間序列過程yt寫成一系列不相關(guān)的隨機(jī)變量的線性組合,為避免混淆,本書使用移動(dòng)平均過程的名稱。MA過程最簡單的形式是一階移動(dòng)平均過程MA(1),模型形式為

106利用滯后算子來定義MA(1)過程,則式MA過程對應(yīng)的序列表現(xiàn)是怎樣的呢圖3-1模擬生成的MA(1)序列兩側(cè)取期望,就可以獲得MA(1)過程的均值3.1.1.2MA(1)過程的方差與自協(xié)方差3.1.1.3MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)圖32MA(1)過程的理論自相關(guān)函數(shù)圖3.1.1.4MA(1)過程的可逆性過滯后算子的一個(gè)有用性質(zhì),就是如果|α|<1無窮階AR過程,或?qū)懗葾R(∞)3.1.2MA(2)模型3.1.2.1MA(2)模型的基本定義二階移動(dòng)平均過程,簡記為MA(2)利用滯后算子,可以將式重寫圖3-3MA(2)過程模擬生成的序列:yt=εt+0.5εt-1+0.3εt-23.1.2.2MA(2)過程的均值、自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)MA(2)過程的均值表達(dá)式圖3-4MA(2)過程的理論自相關(guān)函數(shù)圖3.1.3MA(q)模型MA(1)模型和MA(2)模型的更一般化的拓展形式,其基本定義j>0,那么自協(xié)方差是綜合起來,MA(q)過程的自協(xié)方差公式可以寫成3.2自回歸移動(dòng)平均過程3.2.1ARMA(p,q)過程的基本定義一般的ARMA(p,q)利用滯后算子將式寫成以下形式: 3.2.2ARMA(p,q)過程的平穩(wěn)性與可逆性ARMA過程,其平穩(wěn)性要求是ARMA(p,q)過程的可逆條件是方程3.2.3ARMA(p,q)過程的均值、方差與自協(xié)方差A(yù)RMA基本公式兩側(cè)取期望可以得到ARMA過程的均值表達(dá)式常數(shù)項(xiàng)c表示成均值μ和自回歸系數(shù)的函數(shù),然后代入ARMA模型兩側(cè)都乘以(yt-j-μ),并取期望3.2.4ARMA(p,q)過程的自相關(guān)函數(shù)最后一行各項(xiàng)都變?yōu)?推導(dǎo)結(jié)果圖3-5ARMA(1,1)的理論自相關(guān)函數(shù)圖3.2.5AR模型與MA模型的互相轉(zhuǎn)化從ARMA模型開始考察兩側(cè)都乘以θ(L)-1利用滯后算子的特性更為直觀的形式3.3

部分自相關(guān)函數(shù)樣本自相關(guān)函數(shù)

與樣本部分自相關(guān)函數(shù)3.3.1部分自相關(guān)函數(shù)AR(1)過程中,yt通過yt-1與yt-2相關(guān),盡管yt-2并沒有直接出現(xiàn)在AR(1)模型中,yt與yt-2的相關(guān)程度由ρ2=ρ21給出,即圖3-6AR(1)模型的理論部分自相關(guān)函數(shù)給定時(shí)間序列變量yt,假設(shè)其均值為μ,第k期的部分自相關(guān)函數(shù)定義為下面等式中的系數(shù)φk兩側(cè)同乘以(yt-j-μ)并且取期望,可以獲得矩陣知識(shí),就可以得到圖3-7AR模型與MA模型的部分自相關(guān)函數(shù)比較演示3.3.2樣本自相關(guān)函數(shù)T表示給定序列yt的樣本大小,那么樣本均值等統(tǒng)計(jì)量可以通過以下公式獲得從而,可以求出樣本自相關(guān)函數(shù)3.3.3樣本部分自相關(guān)函數(shù)樣本數(shù)據(jù)和樣本自相關(guān)函數(shù)的公式循環(huán)計(jì)算以獲得樣本部分自相關(guān)函數(shù)在其他各滯后期的值圖3-8上海證券綜合指數(shù):1992年1月—2024年4月3.3.4應(yīng)用演示圖3-9上海綜合指數(shù)的樣本自相關(guān)函數(shù)、樣本部分自相關(guān)函數(shù)以及Q統(tǒng)計(jì)量3-10上海證券綜合指數(shù)收益率及其樣本自相關(guān)函數(shù)、樣本部分自相關(guān)函數(shù)以及Q統(tǒng)計(jì)量3-10上海證券綜合指數(shù)收益率及其樣本自相關(guān)函數(shù)、樣本部分自相關(guān)函數(shù)以及Q統(tǒng)計(jì)量3.4ARMA模型的建立與估計(jì)3.4.1ARMA模型的滯后期設(shè)立使用ARMA模型分析實(shí)際問題,首先需要處理的問題就是模型中的滯后期數(shù)。如何設(shè)立一個(gè)“最優(yōu)”的滯后期數(shù),從而使得模型能夠較好地?cái)M合現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)的特征呢?對這個(gè)問題的回答,可以歸結(jié)到著名的Box-Jenkins模型選擇原則,基本思想是在確立滯后期時(shí),應(yīng)該兼顧模型的簡約度和擬合程度。一個(gè)最大的滯后期數(shù),如pm,然后估計(jì)AR(pm)模型假設(shè)不能被拒絕,那么開始下一輪估計(jì)與檢驗(yàn)?zāi)敲碅IC和SIC的定義3.4.2ARMA模型的回歸估計(jì)AR模型當(dāng)t=1時(shí)圖3-11AR模型回歸估計(jì)中滯后造成的觀測值缺失及處理第4章序列相關(guān)4.1Breusch-GodfreyLM序列相關(guān)性檢驗(yàn)4.2Durbin-Watson序列相關(guān)性檢驗(yàn)4.3序列相關(guān)性檢驗(yàn)的基本原理:高斯牛頓回歸方法4.4工具變量估計(jì)與序列相關(guān)性檢驗(yàn)4.5多維模型的序列相關(guān)性問題4.6軟件應(yīng)用演示4.1Breusch-GodfreyLM序列相關(guān)性檢驗(yàn)Breusch-GodfreyLM序列相關(guān)性檢驗(yàn)(簡稱Breusch-GodfreyLM檢驗(yàn)其中,c是常數(shù)項(xiàng),α表示自回歸系數(shù),ut是一個(gè)序列相關(guān)的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)其中,φ是這個(gè)AR(m)模型的自回歸系數(shù),而εt是一個(gè)白噪聲過程原始回歸等式Breusch-GodfreyLM檢驗(yàn)利用的輔助回歸等式圖4-1序列相關(guān)性檢驗(yàn)中滯后造成的觀測值缺失及處理至m期的序列相關(guān)性Breusch-GodfreyLM檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量等于有效樣本大小乘以回歸等式使用與原假設(shè)和備擇假設(shè)相對應(yīng)的F統(tǒng)計(jì)量4.2Durbin-Watson序列相關(guān)性檢驗(yàn)DW檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量定義分子項(xiàng)展開,可以獲得4.3

序列相關(guān)性檢驗(yàn)的基本原理:高斯牛頓回歸方法擾動(dòng)項(xiàng)ut序列獨(dú)立的原假設(shè),備擇假設(shè)是該序列服從AR(1)過程(即ut=ρut-1+εt)4.4工具變量估計(jì)與序列相關(guān)性檢驗(yàn)應(yīng)用Godfrey(1994)的工具變量序列相關(guān)性檢驗(yàn),其基本思想是基于ρ(L)表示滯后算子多項(xiàng)式,η~t是原始模型使用工具變量估計(jì)后獲得的殘差序列,Xt表示原始回歸模型中的自變量矩陣,vt是輔助方程的擾動(dòng)項(xiàng)(允許存在異方差,但不能序列相關(guān))。4.5多維模型的序列相關(guān)性問題使用時(shí)間序列數(shù)據(jù)估計(jì)多元回歸模型時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到這些模型存在序列相關(guān)性的問題yt、ξt(β)、ut和εt都是1×m維向量,R和Ω都是m×m維矩陣可以將上式轉(zhuǎn)化為如下4.6軟件應(yīng)用演示

4.6.1Breusch-GodfreyLM檢驗(yàn)和DW檢驗(yàn)的應(yīng)用檢驗(yàn)一個(gè)回歸模型的殘差項(xiàng)是否具有序列相關(guān)性4.6.2工具變量序列相關(guān)性檢驗(yàn)假設(shè)我們有一個(gè)模型,其中自變量存在內(nèi)生性,并且我們有適當(dāng)?shù)墓ぞ咦兞縼斫鉀Q這個(gè)問題,我們將使用Stata和EViews展示如何進(jìn)行工具變量的序列相關(guān)性檢驗(yàn)。(1)在Stata中進(jìn)行工具變量序列相關(guān)性檢驗(yàn)(2)在EViews中進(jìn)行工具變量序列相關(guān)性檢驗(yàn)。時(shí)間序列分析張成思第5章預(yù)測5.1基本概念與預(yù)測初步5.2基于MA模型的預(yù)測5.3基于AR模型的預(yù)測5.4預(yù)測準(zhǔn)確度的度量指標(biāo)5.1基本概念與預(yù)測初步5.1.1基本概念即預(yù)測信息集、預(yù)測期和最優(yōu)預(yù)測5.1.1.1預(yù)測信息集對y的未來預(yù)測所依據(jù)的信息集可以寫成還有其他變量x也影響y的未來走勢5.1.1.2預(yù)測期預(yù)測期(forecastinghorizon)是指當(dāng)期與預(yù)測對應(yīng)的日期之間的時(shí)間間隔圖5-1預(yù)測期為4期的點(diǎn)預(yù)測5.1.1.3最優(yōu)預(yù)測最優(yōu)預(yù)測(optimalforecast)是指在給定信息集下,預(yù)測結(jié)果能夠最小化預(yù)測損失(假定存在損失函數(shù))。5.1.2預(yù)測初步:基于時(shí)間趨勢模型的預(yù)測基于時(shí)間趨勢模型的預(yù)測可能是最簡單易學(xué)的預(yù)測內(nèi)容,因此這里先講解這部分知識(shí)。事實(shí)上,時(shí)間趨勢模型不僅簡單,而且在現(xiàn)實(shí)中也有很多應(yīng)用5.1.2.1線性時(shí)間趨勢模型時(shí)間趨勢模型又稱確定性趨勢模型,我們在后面的章節(jié)還會(huì)進(jìn)一步涉及此類模型。時(shí)間趨勢模型最簡單的形式就是右側(cè)自變量只有一個(gè)時(shí)間變量t(當(dāng)然可以有一個(gè)常數(shù)項(xiàng))。因?yàn)檫@一模型中時(shí)間變量是線性表達(dá)形式,所以這種簡單形式被稱為線性時(shí)間趨勢模型圖5-2基于不同參數(shù)取值的時(shí)間趨勢序列圖5-3中國人口數(shù)量的線性時(shí)間趨勢模型擬合結(jié)果資料來源:世界銀行。圖5-4上海證券交易所股票交易總額5.1.2.2非線性時(shí)間趨勢模型圖5-5上海證券交易所股票交易總額與二次型時(shí)間趨勢模型擬合結(jié)果5.1.2.3基于時(shí)間趨勢模型的預(yù)測分析我們現(xiàn)在處于時(shí)刻T,預(yù)測期是h寫出h期以后序列y的點(diǎn)預(yù)測值對應(yīng)的表達(dá)式系數(shù)c和β的真實(shí)值歷史數(shù)據(jù)獲得對應(yīng)的估計(jì)

值和5.2基于MA模型的預(yù)測MA(2)模型T+1期的點(diǎn)預(yù)測值就可以寫成從式獲得的T+1期點(diǎn)預(yù)測值應(yīng)該繼續(xù)對T+2期進(jìn)行預(yù)測“T+1”和“T+2”對應(yīng)的擾動(dòng)項(xiàng)的期望都是0對應(yīng)的預(yù)測等式可以寫成依此類推,T+2期以上(我們用T+h表示)的點(diǎn)預(yù)測值應(yīng)該都為0預(yù)測誤差就是指實(shí)際值與預(yù)測值之間的差,即從T+1期開始一直到T+h期對應(yīng)的預(yù)測誤差分別可以寫成如下形式:形式的MA(q)過程無窮階的MA過程,其模型形式可以寫成未來h期以后的yT+h寫成對應(yīng)的預(yù)測誤差則可以表示為5.3基于AR模型的預(yù)測AR模型的介紹,AR(1)可以寫成T+1期的點(diǎn)預(yù)測值表達(dá)式基于T期之前的信息集的點(diǎn)預(yù)測就是基于T期之前的信息集的點(diǎn)預(yù)測就是5.4預(yù)測準(zhǔn)確度的度量指標(biāo)時(shí)間序列分析張成思180

第6章非平穩(wěn)時(shí)間序列

6.1確定性趨勢模型

6.2隨機(jī)趨勢模型

6.3去除趨勢的方法8.1確定性趨勢模型

所謂確定性趨勢，是指模型中含有明確的時(shí)間t變量，從而使得某一時(shí)序變量隨著時(shí)間而明確地向上增長。最簡單的線性確定性趨勢模型可以寫成

其中表示均值為0的平穩(wěn)隨機(jī)變量。

對方程兩邊同取期望，可得

方程說明，只要系數(shù)不為0，則序列的均值隨時(shí)間推移而不斷增大。正因?yàn)檫@個(gè)特點(diǎn)，確定性趨勢模型也稱為“均值非平穩(wěn)”過程圖6-1中國真實(shí)GDP時(shí)序數(shù)據(jù):1992年第1季度—2024年第1季度6.2隨機(jī)性趨勢模型6.2.1隨機(jī)趨勢模型的基本定義

考慮AR(1)模型：其中代表方差為的白噪音過程。

將模型寫成：。

如果假設(shè)初始觀測值為

，那么通過反復(fù)迭代可以得到：

這個(gè)表達(dá)式可以看成是一種隨機(jī)常數(shù)項(xiàng)，由于每個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)因子對

的條件均值的影響都是永久性的，所以這樣的模型經(jīng)常被稱為隨機(jī)趨勢模型。6.2.2隨機(jī)游走模型

實(shí)際上，模型方程式的形式就是一個(gè)隨機(jī)游走過程。那么隨機(jī)游走過程的特點(diǎn)有哪些呢？首先，從基本定義式可以看到，隨機(jī)游走過程就是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為0并且自回歸系數(shù)為1的AR（1）模型。

進(jìn)一步考察隨機(jī)過程的均值和方差：根據(jù)自協(xié)方差的定義，有：進(jìn)而，可以獲得自相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式：圖6-2隨機(jī)游走過程與高持久性AR(1)模型的比較6.2.3帶有截距項(xiàng)的隨機(jī)游走模型如果現(xiàn)在假設(shè)模型(6.8)中增加了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，即

其它假設(shè)均不變。此時(shí)的模型稱為帶有截距項(xiàng)的隨機(jī)游走過程

RWD的均值、方差:RWD的自協(xié)方差:RWD的自相關(guān)函數(shù):圖6-3RWD過程及其樣本自相關(guān)函數(shù)6.3去除趨勢的方法

在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，平穩(wěn)時(shí)間序列要比非平穩(wěn)時(shí)間序列具有更多吸引人的特性。另外，平穩(wěn)時(shí)間序列與非平穩(wěn)時(shí)間序列在某些重要特性方面差異明顯。

但是，含有趨勢的時(shí)間序列卻永遠(yuǎn)也不會(huì)回復(fù)到一個(gè)長期的固定水平。隨機(jī)擾動(dòng)對含有趨勢的時(shí)間序列的影響將是長久的，表現(xiàn)出一種長期的記憶性。

如果含有趨勢成分的非平穩(wěn)時(shí)間序列參與到計(jì)量回歸中，許多經(jīng)典的回歸估計(jì)假設(shè)條件將不再滿足，所以就必須小心解釋相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)推斷，有的情況下會(huì)出現(xiàn)所謂的“偽回歸”現(xiàn)象，而有的條件下需要應(yīng)用協(xié)整分析方法。

一般來說，常用的去除趨勢的方法有差分法和去除趨勢法，前者主要針對隨機(jī)趨勢非平穩(wěn)時(shí)間序列，而后者主要針對含有確定性趨勢的非平穩(wěn)時(shí)間序列。

6.3.1差分法

差分法一般用來去除含有隨機(jī)趨勢的非平穩(wěn)時(shí)間序列。如果從AR模型的平穩(wěn)性條件來考慮，它非平穩(wěn)，就是因?yàn)樗奶卣鞣匠痰母幸粋€(gè)單位根。所以也被稱為“單位根過程”，或者“一階單整過程”，記做I(1)，其中“I”表示單整，“(1)”表示單整的階數(shù)。

隨機(jī)趨勢非平穩(wěn)過程可以通過差分法變?yōu)槠椒€(wěn)過程。如果是I(1)，則一次差分即可實(shí)現(xiàn)，而對于I(2)過程，則可以通過兩次差分獲得平穩(wěn)過程。

以隨機(jī)游走過程為例，一階差分就是指使用原過程獲得一次差分項(xiàng)

的表達(dá)式，其中“

”表示差分符號(hào)。所以：

從模型方程式可以看出，基于隨機(jī)游走過程的一次差分

是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)序變量，因?yàn)?/p>

等于平穩(wěn)白噪音過程

。圖6-4RWD過程與其一次差分后的序列

以上處理方法很容易拓展到高階單整序列。例如，假設(shè)

是一個(gè)I(2)過程，那么對其二次差分就可以獲得平穩(wěn)序列，即：

其中：“

”表示二次差分符號(hào)。依此類推，“

”表表示三次差分符號(hào)，而“

”表示n次差分符號(hào)。對于ARIMA(p,1,q)來說，

雖然我們這里討論的是一階單整形式的ARIMA模型，但二階或者其他高階ARIMA模型可以運(yùn)用類似的思路獲得平穩(wěn)的差分序列。概括地說，一個(gè)ARIMA(p,d,q)過程，經(jīng)過d次差分后就可以獲得對應(yīng)的平穩(wěn)過程。6.3.2去除趨勢法

當(dāng)然，如果不能確定時(shí)間趨勢成分是否僅為一次冪的形式，還可以采用更一般的確定性趨勢非平穩(wěn)序列的模型形式，如：

。

然后可以通過OLS回歸，運(yùn)用“向下檢驗(yàn)法”的原則或者信息準(zhǔn)則法確定出

的階數(shù)，最終獲得平穩(wěn)序列

的估計(jì)值即可。6.3.3去除趨勢的方法比較

前面小節(jié)討論了差分法和去除時(shí)間趨勢法，并且認(rèn)識(shí)到不同的趨勢非平穩(wěn)序列需要采用不同的去除趨勢成分的方法。實(shí)際上，去除含有趨勢成分的非平穩(wěn)時(shí)間序列的方法還有很多濾波方法。常見的有HP濾波、卡爾曼濾波，以及近年來新發(fā)展起來的BK濾波和CF濾波。圖6-5去除趨勢法獲得的序列及其自相關(guān)函數(shù)圖和部分自相關(guān)函數(shù)圖

本小節(jié)開始我們還提到過其他一些常用的濾波法，利用這些方法也可以獲得非平穩(wěn)時(shí)間序列的平穩(wěn)序列成分。HP濾波就是很常用的一種。

假定一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列yt可以分解為趨勢成分μt和平穩(wěn)成分(yt-μt),HP濾波使用下列算法求解趨勢成分μt,即最小化下列函數(shù)其中,T是樣本大小,λ被稱為懲罰參數(shù)(penaltyparameter),用來控制趨勢成分μt的平滑程度,λ越大,該序列越平滑

從式(6.3)不難看出,當(dāng)λ=0時(shí),最小化式(6.3)的結(jié)果給出的是yt=μt,即yt序列的趨勢成分等于其本身。而在另一極端情況下λ→∞,最小化式(6.33)的結(jié)果給出的是(μt+1-μt)-(μt-μt-1)=0。也就是說,在λ→∞的情況下,趨勢的變化幅度是恒定的,從而趨勢成分就是一個(gè)線性時(shí)間趨勢,因?yàn)棣蘴-μt-1=μt-1-μt-2

注意，因?yàn)槟Ｐ?6.33)中的T并不影響函數(shù)最小化過程的實(shí)質(zhì)性結(jié)果，所以有的教材可能會(huì)使用最小化下面的表達(dá)式來代替模型(6.33)，即：

另外，既然懲罰系數(shù)

對HP濾波的結(jié)果至關(guān)重要，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該如何設(shè)定它的值呢？

已有研究表明，對于不同頻率的數(shù)據(jù)，可以參考下列規(guī)則來設(shè)定

的值：圖66差分法獲得的序列及其自相關(guān)函數(shù)圖和部分自相關(guān)函數(shù)圖時(shí)間序列分析張成思

第7章單位根檢驗(yàn)

7.1DF檢驗(yàn)

7.2ADF檢驗(yàn)

7.3其他單位根檢驗(yàn)法

7.4各種單位根檢驗(yàn)法的應(yīng)用7.1DF檢驗(yàn)7.1.1DF檢驗(yàn)的基本概念227

檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列是否有單位根,被稱為單位根檢驗(yàn)。而Dickey-Fuler檢驗(yàn)(簡稱DF檢驗(yàn))是最簡單的單位根檢驗(yàn)法之一一個(gè)簡單的AR(1)模型DF檢驗(yàn)過程中一般是把模型(7.1)先改寫成原來針對式(7.1)的檢驗(yàn)DF檢驗(yàn)的三種情況:

在原假設(shè)條件下,情況I:隨機(jī)游走過程；情況II:帶有截距項(xiàng)的隨機(jī)游走過程；情況III:既帶有截距項(xiàng)又帶有時(shí)間趨勢的隨機(jī)游走過程。

7.1.2DF檢驗(yàn)的三種情形7.1.2.1情形III

情況III用來檢驗(yàn)的原假設(shè)是隨機(jī)游走過程而備擇假設(shè)是趨勢平穩(wěn)過程。

7.1.2.2情形II

原假設(shè)是模型為隨機(jī)游走過程。如果待檢驗(yàn)序列的均值不為0，并且不隨時(shí)間變化，則可以考慮使用情況III來進(jìn)行DF檢驗(yàn)。

7.1.2.3情形I情況I是情況II的一種特殊情況，即截距項(xiàng)為0。在這種情況下，原假設(shè)和備擇假設(shè)與情況II的完全相同。但是，由于沒有截距項(xiàng)的模型暗示

序列的均值為0，而這樣的情況往往比較少，因此在實(shí)際應(yīng)用中并不建議使用情況I。7.2ADF檢驗(yàn)7.2.1ADF檢驗(yàn)介紹

ADF檢驗(yàn)，全稱為AugmentedDickey-Fuller檢驗(yàn)，是DF檢驗(yàn)的拓展。因?yàn)樵贒F檢驗(yàn)中，所有情況對應(yīng)的模型都是AR（1）的形式，而沒有考慮高階AR模型。ADF檢驗(yàn)將DF檢驗(yàn)從AR（1）拓展到一般的AR(p)形式。

模式（7.9）經(jīng)常被稱為ADF形式，因?yàn)檫@種表達(dá)方程式被用在ADF檢驗(yàn)當(dāng)中。一個(gè)AR(2)來說對于AR(3)模型,加、減(α2+α3)yt-1+α3yt-2,從而獲得

相對于情況III的ADF模型：

7.2.2ADF檢驗(yàn)的應(yīng)用利用ADF的兩種情況（II和III）分析上海證券綜合指數(shù)（取自然對數(shù)）月度數(shù)據(jù)是否含有單位根。

下圖繪制了這個(gè)時(shí)序變量隨時(shí)間變動(dòng)的情況。從圖中并不能清楚地判斷改序列是否存在一個(gè)確定性的趨勢。因此，我們可以分別使用情況II和III進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)。圖7-2上海證券綜合指數(shù)(取自然對數(shù))假定

表示取自然對數(shù)的中國國際股票價(jià)格指數(shù)，

情況II:

情況III:

要設(shè)立這兩種情況下分別對應(yīng)的滯后期數(shù)，可以利用信息準(zhǔn)則，如AIC或者SIC等。由于是月度數(shù)據(jù)，可以考慮設(shè)定最大的滯后期數(shù)為12，然后依據(jù)信息準(zhǔn)則確定最優(yōu)滯后期數(shù)。圖7-3EViews中的ADF檢驗(yàn)對話框表71上海證券綜合指數(shù)序列(取自然對數(shù))的ADF檢驗(yàn)結(jié)果:情形II表7-2上海證券綜合指數(shù)序列(取自然對數(shù))的ADF檢驗(yàn)結(jié)果:情形III7.3其他單位根檢驗(yàn)法

除了ADF單位根檢驗(yàn)之外，成熟的單位根檢驗(yàn)理論方法還包括ERS-DFGLS檢驗(yàn)、Phillips-Perron檢驗(yàn)、KPSS檢驗(yàn)、ERSPoint-Optimal檢驗(yàn)和Ng-Perron檢驗(yàn)等。圖7-4EViews中的各種單位根檢驗(yàn)對話框

7.3.1ERS-DFGLS檢驗(yàn)

ERS-DFGLS檢驗(yàn)是Elliott,Rothenberg,andStock(1996)提出的一種單位根檢驗(yàn)法，全稱為Dickey-FullerTestwithGLSDetrending(DFGLS)，即“使用廣義最小二乘法去除趨勢的DF檢驗(yàn)”。ERS-DFGLS檢驗(yàn)實(shí)質(zhì)：利用廣義最小二乘法首先對要檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行一次“準(zhǔn)差分”，然后利用準(zhǔn)差分后的數(shù)據(jù)對原序列進(jìn)行去除趨勢處理，再利用ADF檢驗(yàn)的模型形式對去除趨勢后的數(shù)據(jù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，但是此時(shí)ADF檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭胁辉侔?shù)項(xiàng)或者時(shí)間趨勢變量。

ERS檢驗(yàn)最終還是要利用ADF檢驗(yàn)的形式，所以在EViews軟件中，ERS-DFGLS檢驗(yàn)的對話界面與ADF檢驗(yàn)是相同的，如后圖所示。圖7-5EViews中ERS-DFGLS檢驗(yàn)對話框

ERS檢驗(yàn)步驟

首先定義

的準(zhǔn)差分形式，即：其中:a是一個(gè)給定的點(diǎn)，ERS建議a的值為其中：

表示

對應(yīng)的是常數(shù)項(xiàng)，而

表示其對應(yīng)的是常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢兩個(gè)變量。

然后，依據(jù)下列方程式對準(zhǔn)差分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行GLS回歸，即：

這里，

表示系數(shù)向量，

為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。模型回歸估計(jì)獲得的系數(shù)為

。

下面，利用估計(jì)模型得到的

來獲得去除趨勢的變量，即：

最后，