第1頁（共1頁）2025-2026學(xué)年廣東省中山市紀(jì)雅學(xué)校九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共10小題，每題3分，共30分）1．（3分）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A． B．a(chǎn)x2+bx+c＝0 C．x2+1＝0 D．x2+x＝x22．（3分）已知函數(shù)y＝（m+3）x2+1是二次函數(shù)，則m的取值范圍為（）A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意實(shí)數(shù)3．（3分）若x＝﹣2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx+k+2＝0的一個(gè)根，則k的值為（）A．﹣2 B．2 C． D．64．（3分）將拋物線y＝x2先向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度，得到的新的拋物線的解析式為（）A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x+2）2﹣4 C．y＝（x﹣2）2+4 D．y＝（x﹣2）2﹣45．（3分）新能源汽車已逐漸成為人們的交通工具，據(jù)某品牌新能源汽車經(jīng)銷商1月至3月份統(tǒng)計(jì)，該品牌新能源汽車1月份銷售1000輛，3月份銷售1210輛．設(shè)月平均增長率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．1210（1﹣x）2＝1000 B．1000（1+x）2＝1210 C．1000（1+2x）＝1210 D．1210（1﹣2x）＝10006．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，則（x1﹣1）（x2﹣1）值為（）A．﹣5 B．3 C．7 D．97．（3分）已知A（﹣3，y1），B（2，y2），C（﹣1，y3）是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+2k的圖象上的三點(diǎn)，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y1＞y2＞y38．（3分）函數(shù)y＝ax+1與y＝ax2+bx+1（a≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．9．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列說法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程兩根為﹣1和2，則2a+c＝0；③若方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；④若b＝2a+3c，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根．其中結(jié)論正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，a2+a）和點(diǎn)B（0，﹣a﹣2）在y軸上，點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上，S△ABM＝2，當(dāng)線段OM最長時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，0） B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（﹣5，0）二、填空題（本大題共5小題，每題3分，共15分）211．（3分）將一元二次方程3x2﹣6x＝4化成一般式為．12．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+（b+1）x+4＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則常數(shù)b的值．13．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+3的對稱軸為直線x＝2，則b＝．14．（3分）二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2的圖象如圖所示，則函數(shù)值y＜0時(shí)，x的取值范圍是．15．（3分）如圖，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸為直線x＝1，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（﹣1，0），則以下結(jié)論：①abc＞0；②二次函數(shù)的最大值為a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤2a+b＝0；⑥a+b≥m（am+b）（m為實(shí)數(shù)）；其中正確有（填序號）．三、解答題（一）（本大題共3小題，每題7分，共21分）16．（7分）解方程：（1）x2﹣7x+12＝0；（2）（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0．17．（7分）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），且經(jīng)過點(diǎn)（4，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)表達(dá)式；（2）直接寫出y隨x的增大而減小時(shí)，x的取值范圍．18．（7分）在2025年跳水世界杯女子十米臺單人賽中，中國隊(duì)包攬冠亞軍，某商場為宣傳體育精神，計(jì)劃在如圖所示的長36dm，寬12dm的矩形海報(bào)上分別展示全紅嬋和陳芋汐兩位運(yùn)動健兒的照片，每幅小矩形照片（鋪灰部分）的面積均為165dm2，若海報(bào)外沿與照片之間及相鄰照片之間的空白區(qū)域的寬度均相等，求空白區(qū)域的寬度．四、解答想（二）（各大器共3小題.每題9分，共27分）19．（9分）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+（2+2a）x+a+2＝0（a≠0）．（1）求證：此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若此方程的兩個(gè)根都為整數(shù)，求整數(shù)a的值．20．（9分）浩然文具店新到一種計(jì)算器，進(jìn)價(jià)為25元，營銷時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每天的銷售量為150件，若銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就會減少10件．（1）寫出商店銷售這種計(jì)算器，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大值是多少？21．（9分）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)．（1）經(jīng)過幾秒，使△PBQ的面積等于8cm2？（2）線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動時(shí)間；若不能說明理由．五、解答題（三）（本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分）22．（13分）【綜合與實(shí)踐】數(shù)學(xué)來源于生活，同時(shí)數(shù)學(xué)也可以服務(wù)于生活．【知識背景】如圖，校園中有兩面直角圍墻，墻角內(nèi)的P處有一古棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，在美化校園的活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組想借助圍墻（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設(shè)AB＝xm．【方案設(shè)計(jì)】設(shè)計(jì)一個(gè)矩形花園，使之面積最大，且要將古棵樹P圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)）．【解決問題】思路：把矩形ABCD的面積S與邊長x（即AB的長）的函數(shù)解析式求出，并利用函數(shù)的性質(zhì)來求面積的最大值即可．（1）請用含有x的代數(shù)式表示BC的長；（2）花園的面積能否為192m2？若能，求出x的值，若不能，請說明理由；（3）求面積S與x的函數(shù)解析式，寫出x的取值范圍；并求當(dāng)x為何值時(shí)，花園面積S最大？23．（14分）綜合與實(shí)踐：根據(jù)以下素材，分析問題，探索解決問題．如何設(shè)計(jì)建造花園？提出問題某高端酒店準(zhǔn)備打造一個(gè)面積為450m2的長方形花園，現(xiàn)有墻AB長25m，籬笆長65m的（全部用于建造花園），設(shè)計(jì)公司為酒店提供了兩種方案，請通過計(jì)算幫助酒店作出合理決策．決策依據(jù)長方形的寬與長的長度之比越接近黃金比越美觀，黃金比約為0.6．方案一如圖，選取境