第01講集合目錄考情探究 2知識梳理 3探究核心考點(diǎn) 4考點(diǎn)一集合的含義與表示 4考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系 5考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算 7考點(diǎn)四venn圖 9考點(diǎn)五集合新定義 12三階突破訓(xùn)練 14基礎(chǔ)過關(guān) 14能力提升 17真題感知 23

一、5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2025年北京卷，第一題，5分集合的交集無2025年，全國I卷，5分集合的補(bǔ)集無2024年新I卷，第1題,5分集合的交集一元三次不等式的解法及范圍估算2023年新I卷，第1題,5分集合的交集一元二次不等式的解法2023年新Ⅱ卷，第2題,5分元素的性質(zhì)、集合的子集無2022年新I卷，第1題,5分集合的交集根號不等式的解法2022年新Ⅱ卷，第1題,5分集合的交集單絕對值不等式的解法2021年新I卷，第1題,5分集合的交集無2021年新Ⅱ卷，第2題,5分集合的交集、補(bǔ)集無二、命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】集合是高考數(shù)學(xué)的必考考點(diǎn)，常見以一元一次、一元二次不等式的形式，結(jié)合有限集、無限集來考查集合的交、并、補(bǔ)集等運(yùn)算，偶爾涉及集合的符號辨識，一般出現(xiàn)在高考的第1題，以簡單題為【備考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能夠判斷元素與集合、集合與集合的關(guān)系2.能掌握集合交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算和性質(zhì)3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助Venn圖、數(shù)軸等工具解決集合的計(jì)算問題4.會解一元二次不等式、一元二次方程、簡單的分式不等式、簡單的根號不等式，簡單的指對不等式，簡單的高次不等式和簡單的單絕對值不等式【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給兩個(gè)集合，要求通過解不等式求出一個(gè)集合，然后通過集合的運(yùn)算得出答案。

1．集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2．集合的基本關(guān)系(1)子集：若對于任意的x∈A都有x∈B，則A?B；(2)真子集：若A?B，且A≠B，則A?B；(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B；(4)?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算文字語言集合語言圖形語言記法交集屬于A且屬于B的所有元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B補(bǔ)集全集U中不屬于A的元素組成的集合稱為集合A相對于集合U的補(bǔ)集{x|x∈U，x?A}?UA

考點(diǎn)一集合的含義與表示典例1．已知集合，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．0 C．3 D．或3【答案】C【分析】由或求得并代入集合檢驗(yàn)．【詳解】因?yàn)?，所以分為以下兩種情況討論．①或，當(dāng)時(shí)，集合，滿足題意；當(dāng)時(shí)，集合，不滿足集合的互異性，故舍去．②，此時(shí)集合，不滿足集合的互異性，故舍去．綜上所述，．故選：C．典例2．若集合中只有一個(gè)元素，則.【答案】0或1【分析】分和時(shí)分別討論計(jì)算求解即可.【詳解】因集合中只有一個(gè)元素，則當(dāng)時(shí)，方程為，解得，即集合，則，當(dāng)時(shí)，由，解得，集合，則，所以或.故答案為：0或1跟蹤訓(xùn)練1．（2025·江蘇·模擬預(yù)測）已知集合滿足，若，則必有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集和并集結(jié)果分析即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以必有，且，又，則和4均僅是集合A中元素或僅是集合B中元素.若，則必有.故選：C跟蹤訓(xùn)練2．已知正六棱柱的底面為邊長為2，高為3，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積公式及運(yùn)算律計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)檎庵牡酌鏋檫呴L為2，高為3，平面，所以，則.故選：A.考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系典例1．設(shè)集合，則的真子集的個(gè)數(shù)是（

）A．8 B．7 C．4 D．3【答案】D【分析】寫出集合，計(jì)算真子集個(gè)數(shù).【詳解】，因?yàn)榧现杏袀€(gè)元素，所以真子集個(gè)數(shù)為.故選：D.典例2．（多選）已知集合，則（

）A．滿足的數(shù)列的所有項(xiàng)構(gòu)成的集合是集合A的子集B．滿足的數(shù)列的所有項(xiàng)構(gòu)成的集合是集合A的子集C．若m，，則D．若m，，則【答案】AC【分析】對于A由即可判斷，對于B由于即可判斷，對于C存在，，，使得，，計(jì)算是否滿足集合即可判斷，對于D驗(yàn)證是否滿足集合即可判斷.【詳解】對于A：因?yàn)閷θ我獾模?，顯然，，故的所有項(xiàng)構(gòu)成的集合是A的子集，故A正確；對于B：數(shù)列的首項(xiàng)，，a，，故B錯(cuò)誤；對于C：若m，，則存在，，，使得，，則，故，故C正確；對于D：由C項(xiàng)知，但不一定是整數(shù)，故不一定有，故D錯(cuò)誤．故選：AC.跟蹤訓(xùn)練1．設(shè)集合，則集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合不等式及冪函數(shù)的性質(zhì)求出集合，進(jìn)而結(jié)合非空真子集的結(jié)論求解即可.【詳解】由，，則，即，，由，，，，則，所以，共有個(gè)元素，所以集合的非空真子集的個(gè)數(shù)為.故選：B.跟蹤訓(xùn)練2．（2025·河南·三模）(多選)已知全集，集合，，，若，則（

）A．的取值有個(gè) B．C． D．所有子集的個(gè)數(shù)為【答案】BCD【分析】利用集合的包含關(guān)系結(jié)合集合元素的互異性可求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用交集的定義可判斷B選項(xiàng)；利用并集的定義可判斷C選項(xiàng)；利用集合的運(yùn)算結(jié)合子集個(gè)數(shù)公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，且，則或，且，，解得，故的取值只有個(gè)，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，，，所以，故B正確；對于C選項(xiàng)，，，故C正確；對于D選項(xiàng)，，所以，，則，其的子集的個(gè)數(shù)為，故D正確．故選：BCD.考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算典例1．已知集合，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得1是方程的根，據(jù)此可得答案.【詳解】因?yàn)椋?所以1是方程的根，3不一定是方程的根，則，解得，故，符合題意，故．故選：B．典例2．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式不等式求解方法求出，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出，再根據(jù)集合間的交集和補(bǔ)集計(jì)算即可.【詳解】由題意，即，解得，可得，所以，故，故選：D.典例3．（2025·陜西咸陽·三模）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知寫出集合，再由集合的交運(yùn)算求集合.【詳解】由題設(shè)，則.故選：D跟蹤訓(xùn)練1．設(shè)集合，.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先解對數(shù)不等式和分式不等式得到集合和，再分、和對含參一元二次不等式的解集進(jìn)行討論可得結(jié)果.【詳解】，．當(dāng)時(shí)，，由得；當(dāng)時(shí)，，由得；當(dāng)時(shí)，，與不符．綜上，.故選：D．跟蹤訓(xùn)練2．已知非空集合A，B，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】解不等式得到，根據(jù)交集結(jié)果得到答案.【詳解】由題意可知，因?yàn)?，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：考點(diǎn)四venn圖典例1．已知集合，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求集合，再應(yīng)用集合的交補(bǔ)運(yùn)算求陰影部分集合.【詳解】由題得，，則或，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：A典例2．某寺院有甲、乙、丙三口銅鐘．甲鐘每4秒敲響一聲，乙鐘每5秒敲響一聲，丙鐘每6秒敲響一聲．新年到來時(shí)，三口鐘同時(shí)敲響并且同時(shí)停敲，某人共聽到365聲鐘響．若在此期間，甲、乙、丙三口鐘敲響的次數(shù)分別，則（

）A．365 B．256 C．484 D．516【答案】C【分析】根據(jù)題意分析，結(jié)合容斥原理求解即可.【詳解】設(shè)敲鐘持續(xù)的時(shí)間為秒，則甲乙丙鐘敲響次數(shù)分別為，，，由于甲乙敲響周期的最小公倍數(shù)為20，則甲乙同時(shí)敲響次數(shù)為，由于甲丙敲響周期的最小公倍數(shù)為12，則甲丙同時(shí)敲響次數(shù)為，由于乙丙敲響周期的最小公倍數(shù)為30，則乙丙同時(shí)敲響次數(shù)為，由于甲乙丙敲響周期的最小公倍數(shù)為60，則甲乙丙同時(shí)敲響次數(shù)為，由容斥原理易知，解得，則．故選：C．典例3．（2025·廣東佛山·二模）圖中陰影部分用集合符號可以表示為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算即可得到答案.【詳解】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素，則或，故陰影部分所表示的集合為或者，故A正確.故選：A.跟蹤訓(xùn)練1．（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知全集，集合，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用韋恩圖法即可判斷.【詳解】如圖，對于A：，所以A錯(cuò)誤；對于B：，所以B錯(cuò)誤；對于D：，所以D錯(cuò)誤，對于C：由圖觀察顯然，故C正確．故選：C跟蹤訓(xùn)練2．（多選）若表示集合和關(guān)系的圖如圖所示，則可能是（

）A．B．C．，D．【答案】AD【分析】根據(jù)可知,即可結(jié)合選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由可知,對于A,滿足,故A正確，對于B,，此時(shí)不滿足,故B錯(cuò)誤，對于C,，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故，此時(shí),故C錯(cuò)誤，對于D，或，故,D正確，故選：AD跟蹤訓(xùn)練3．一個(gè)學(xué)校只有三門課程：數(shù)學(xué)、語文、外語，已知修這三門課的學(xué)生分別有172，132，130人；同時(shí)修數(shù)學(xué)、語文兩門課的學(xué)生有48人，同時(shí)修數(shù)學(xué)、外語兩門課的學(xué)生有30人，同時(shí)修語文、外語兩門課的學(xué)生有21人；三門課全修的學(xué)生有5人.問：(1)該校共有多少學(xué)生？(2)只修一門課的學(xué)生有多少？(3)正好修兩門課的學(xué)生有多少？【答案】(1)340人(2)251人(3)84人【分析】（1）設(shè)修數(shù)學(xué)、語文、外語的學(xué)生組成集合為，由容斥原理求解即可；（2）由容斥原理只修一門課的學(xué)生有；（3）由容斥原理正好修兩門課的學(xué)生有【詳解】（1）設(shè)修數(shù)學(xué)、語文、外語的學(xué)生組成集合為，則，，，所以該校共有340人.（2）只修一門課的學(xué)生有,所以只修一門課的學(xué)生有251人.（3）正好修兩門課的學(xué)生有，所以正好修兩門課的學(xué)生有84人.考點(diǎn)五集合新定義典例1．設(shè)，是兩個(gè)非空集合，定義與的差集，則等于（

）A．P B． C． D．M【答案】A【分析】根據(jù)題目當(dāng)中給出的定義，畫出韋恩圖，進(jìn)行集合的運(yùn)算即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由韋恩圖知，為下圖中的陰影部分，則顯然為P．

當(dāng)時(shí)，，則故選：A．典例2．規(guī)定集合為集合的第個(gè)子集，其中，若，則的值是（

）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】D【分析】根據(jù)二進(jìn)制寫出即可求出.【詳解】因，則．故選：D．跟蹤訓(xùn)練1．設(shè)是集合的兩個(gè)子集，若規(guī)定滿足的集合稱為的理想配對，則滿足條件的理想配對有（

）.A．8種 B．9種 C．27種 D．16種【答案】C【分析】根據(jù)題意，對于1，3，5每個(gè)數(shù)都有3種選擇，故有種.【詳解】根據(jù)題意，對1，3，5而言，要么只在集合中，要么只在集合中，要么不在這兩個(gè)集合的任意一個(gè)中，即每個(gè)數(shù)都有3種選擇，故有種.故選：C跟蹤訓(xùn)練2．將集合分拆成兩個(gè)集合和，且，，這樣的分拆方法共有種．【答案】【分析】按集合中元素的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，再應(yīng)用二項(xiàng)式展開式逆用求解.【詳解】按集合中的元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：若中有0個(gè)元素（即種）時(shí)，則有種，共有種；若中有1個(gè)元素（即種）時(shí)，則有種，共有種；若中有2個(gè)元素（即種）時(shí)，則有種，共有種；若中有3個(gè)元素（即種）時(shí)，則有種，共有種；…若中有個(gè)元素（即種）時(shí)，則有種，共有種.可得，故這樣的分拆方法有種.故答案為：跟蹤訓(xùn)練3．給定整數(shù)，設(shè)，，…，是互不相等的非負(fù)實(shí)數(shù)，記集合，，求的最小值，其中表示集合X中元素的個(gè)數(shù)．【答案】【分析】由集合新定義即可求解.【詳解】不妨設(shè)，則，所以．又，所以．故，當(dāng)時(shí)，等號成立．1．已知集合，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求集合，再應(yīng)用集合的交補(bǔ)運(yùn)算求陰影部分集合.【詳解】由題得，，則或，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：A2．集合的子集個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．16 C．31 D．32【答案】B【分析】根據(jù)定義域的求法，先解對數(shù)不等式；再利用集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】依題意得，，所以，因?yàn)椋?，所以集合的子集個(gè)數(shù)為．故選：B．3．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式及分式不等式，再根據(jù)集合的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】等價(jià)于，解得，所以，，即，因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，所以，即，所以，.故選：B.4．（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知全集，集合，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用韋恩圖法即可判斷.【詳解】如圖，對于A：，所以A錯(cuò)誤；對于B：，所以B錯(cuò)誤；對于D：，所以D錯(cuò)誤，對于C：由圖觀察顯然，故C正確．故選：C5．（2025·廣東佛山·二模）圖中陰影部分用集合符號可以表示為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算即可得到答案.【詳解】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素，則或，故陰影部分所表示的集合為或者，故A正確.故選：A.6．（2025·甘肅白銀·二模）已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解不等式求得集合,然后求交集.【詳解】由圖知，陰影部分表示的集合為，或，.或或，，.故選：B7．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知集合的最大元素等于該集合的所有元素之和，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分類討論，根據(jù)題意列出關(guān)系式求解即可.【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性可得：，且.當(dāng)集合時(shí)，集合的最大元素為；當(dāng)集合時(shí)，集合的最大元素為；根據(jù)題意可得：集合的所有元素之和為.且或，解得：.故選：B.8．（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測）如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合.若集合，集合，則集合（

）A．B．C．或D．或【答案】D【分析】根據(jù)給定的韋恩圖，結(jié)合集合的運(yùn)算求解.【詳解】集合，集合，則，由韋恩圖得或.故選：D9．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用解分式不等式來求解集合，然后利用交集運(yùn)算即可．【詳解】由題可知：或，所以．因?yàn)?，所?故選：B1．已知集合，，則滿足的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．7 C．8 D．15【答案】B【分析】根據(jù)題意寫出集合，再由子集和真子集的定義即可解得.【詳解】方法一：的含義是有的都有，有的都有，但不能等于．因?yàn)榧?，，所以集合可為，?個(gè)．方法二：集合中有2個(gè)元素，中有5個(gè)元素，則集合可以是集合的任意一個(gè)真子集與集合并集組成，所以滿足的集合有（個(gè)）．故選：B．2．（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解法解出集合，再利用并集和補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】由可得或，解得或，即或，因此，，則.故選：C.3.已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過解不等式化簡集合，再求【詳解】由得，即，∴，由，得，∴．所以．故選：B．4.已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合并運(yùn)算求集合.【詳解】由，，所以.故選：A5.某寺院有甲、乙、丙三口銅鐘．甲鐘每4秒敲響一聲，乙鐘每5秒敲響一聲，丙鐘每6秒敲響一聲．新年到來時(shí)，三口鐘同時(shí)敲響并且同時(shí)停敲，某人共聽到365聲鐘響．若在此期間，甲、乙、丙三口鐘敲響的次數(shù)分別，則（

）A．365 B．256 C．484 D．516【答案】C【分析】根據(jù)題意分析，結(jié)合容斥原理求解即可.【詳解】設(shè)敲鐘持續(xù)的時(shí)間為秒，則甲乙丙鐘敲響次數(shù)分別為，，，由于甲乙敲響周期的最小公倍數(shù)為20，則甲乙同時(shí)敲響次數(shù)為，由于甲丙敲響周期的最小公倍數(shù)為12，則甲丙同時(shí)敲響次數(shù)為，由于乙丙敲響周期的最小公倍數(shù)為30，則乙丙同時(shí)敲響次數(shù)為，由于甲乙丙敲響周期的最小公倍數(shù)為60，則甲乙丙同時(shí)敲響次數(shù)為，由容斥原理易知，解得，則．故選：C．6.已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先分別求出集合和集合的解集，再求兩個(gè)集合的交集.【詳解】因?yàn)?，，且，，所以必有，解得，則.又，故．故選：B.7．（多選）已知全集，，，，，則下列選項(xiàng)正確的為（

）A． B．的不同子集的個(gè)數(shù)為4C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系作出圖，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】，由，，，，，作出圖，如圖所示，由圖可知，，，故A，正確；集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，錯(cuò)誤.故選：AC8．（多選）非空數(shù)集，同時(shí)滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：（1）若，則；（2）若，則．稱A為一個(gè)“封閉集”，以下說法正確的是（

）A．若A為一個(gè)“封閉集”，則B．若A為一個(gè)“封閉集”，且，則C．若都是“封閉集”，則是“封閉集”的充要條件是或D．若都是“封閉集”，則是“封閉集”的充要條件是或【答案】ABD【分析】對于AB，由“封閉集”的定義可得正確；對于C，舉出反例；D選項(xiàng)，先證明充分性，再利用反證法證明必要性成立，得到D正確.【詳解】對于A，因?yàn)锳為一個(gè)“封閉集”，所以由定義可知若，則，那么，A正確．對于B，因?yàn)锳為一個(gè)“封閉集”，，所以，所以，B正確．對于C，不妨取“封閉集”，則也是“封閉集”，顯然或不成立，C錯(cuò)誤．對于D，充分性：都是“封閉集”，若或，則或，則是“封閉集”．必要性：若是“封閉集”，令，假設(shè)或不成立，則存在，同時(shí)，因?yàn)槭恰胺忾]集”，所以，分兩類情況討論，若，又當(dāng)時(shí)，，所以，這與假設(shè)矛盾，若，又當(dāng)時(shí)，，所以，這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，原結(jié)論是“封閉集”，則或成立，即必要性成立．D正確．故選：ABD.9.設(shè)集合，，，，，中，至少有兩個(gè)元素，且，滿足：①對于任意，，若，都有；②對于任意，，若，則．若有4個(gè)元素，則有個(gè)元素．【答案】7【分析】先通過特例法找出集合中的元素個(gè)數(shù)，再設(shè)集合，且，，，，，得，，，，，，并結(jié)合題意和并集的運(yùn)算求出，進(jìn)而可得出答案.【詳解】由題可知，，，有4個(gè)元素，若取，則，此時(shí)，包含7個(gè)元素，具體如下：設(shè)集合，且，，，，，則，且，則，同理，，，，．①若，則，且，，，，則，故，所以，又，故，所以，故，此時(shí)，，故，與有4個(gè)元素矛盾，舍去．②若，則，故，所以.同理，故，所以.又，故，所以，故，此時(shí)．若，則，故，，，，.故，，，，，即.故，此時(shí)，即中有7個(gè)元素．故答案為：7.10.一個(gè)學(xué)校只有三門課程：數(shù)學(xué)、語文、外語，已知修這三門課的學(xué)生分別有172，132，130人；同時(shí)修數(shù)學(xué)、語文兩門課的學(xué)生有48人，同時(shí)修數(shù)學(xué)、外語兩門課的學(xué)生有30人，同時(shí)修語文、外語兩門課的學(xué)生有21人；三門課全修的學(xué)生有5人.問：(1)該校共有多少學(xué)生？(2)只修一門課的學(xué)生有多少？(3)正好修兩門課的學(xué)生有多少？【答案】(1)340人(2)251人(3)84人【分析】（1）設(shè)修數(shù)學(xué)、語文、外語的學(xué)生組成集合為，由容斥原理求解即可；（2）由容斥原理只修一門課的學(xué)生有；（3）由容斥原理正好修兩門課的學(xué)生有【詳解】（1）設(shè)修數(shù)學(xué)、語文、外語的學(xué)生組成集合為，則，，，所以該校共有340人.（2）只修一門課的學(xué)生有,所以只修一門課的學(xué)生有251人.（3）正好修兩門課的學(xué)生有，所以正好修兩門課的學(xué)生有84人.1．（2025·全國二卷·高考真題）已知集合則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合后結(jié)合交集的定義可求.【詳解】