第01講集合1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運算表示運算文字語言集合語言圖形語言記法并集所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B補集全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合{x|x∈U，且x?A}?UA4.常用結(jié)論(1)若有限集合A中有個元素,則A有個子集,有個真子集,有個非空真子集.考點一Venn圖法解決集合運算問題考點二分類討論法解決元素與集合關(guān)系問題考點三根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)值或范圍考點四數(shù)軸法解決集合運算問題考點一：Venn圖法解決集合運算問題例1．已知全集，，，則如圖所示的陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析韋恩圖可知，其陰影部分所表示的集合為，再利用集合的交并補運算即可得解.【詳解】分析韋恩圖可知，其陰影部分所表示的集合為，因為，，所以，因為，所以.故選：D.對點變式1：已知，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B．或C． D．【答案】D【分析】由圖可得，所求為集合A關(guān)于全集U的補集，后由補集定義可得答案.【詳解】由圖可得，所求為集合A關(guān)于全集U的補集，則.故選：D對點變式2：（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知全集，集合或，，則如圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡集合B，根據(jù)集合的交集、補集運算求解即可.【詳解】，，，由圖可知陰影部分表示的集合是，故選：A.考點二：分類討論法解決元素與集合關(guān)系問題例2．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)集合，，．若，，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合交集的結(jié)果可求的值.【詳解】因為，故，故或，若，則，，此時，符合；若，則，，此時，不符合；故選：B對點變式1：已知集合，，則（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】由元素與集合關(guān)系分類討論，結(jié)合元素的互異性判斷即可.【詳解】∵，∴或．若，解得或．當時，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當時，集合，滿足題意，故成立．若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．綜上所述，．故選：D．對點變式2：（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，，若，則實數(shù)x的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合元素的唯一性分類討論即可.【詳解】因為，所以.當時，，得；當時，則.故實數(shù)x的取值集合為.故選：B.考點三：根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)值或范圍例3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，依題意可得，即可得到不等式，解得即可.【詳解】因為，所以，又，所以，又，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A對點變式1：（2023春·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，根據(jù)得出為的子集，結(jié)合集合間的關(guān)系可得答案.【詳解】，因為，所以為的子集，所以.故選：C.對點變式2：（多選），，且，則的可能值為（

）A． B． C．0 D．【答案】BCD【分析】根據(jù)，，得到，分類討論解決即可.【詳解】由題知由，解得或所以，因為，所以當時，，滿足題意，當時，，，即，或，即；故選：BCD考點四：數(shù)軸法解決集合運算問題例4：（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接解一元二次不等式得集合，解一元一次不等式的集合，從而可得并集.【詳解】因為，解得或，所以或，又，所以或．故選：A.對點變式1：（陜西省榆林市2023屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得，根據(jù)集合的并集運算即可求得答案.【詳解】由題意可得，，則，故選：A對點變式2：（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，，因此，.故選：D.一、單選題1．集合，將集合分別用如下圖中的兩個圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個數(shù)恰好為2的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用圖象求得正確答案.【詳解】，所以:A選項，陰影部分表示，不符合題意.B選項，陰影部分表示，符合題意.C選項，陰影部分表示，不符合題意.D選項，陰影部分表示，不符合題意.故選：B2．如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合的真子集個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】先求得圖中陰影部分表示的集合中的元素個數(shù)，進而求得其真子集個數(shù).【詳解】，則或圖中陰影部分表示的集合為或中有3個元素，其真子集個數(shù)為個故選：C3．已知集合，則如圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的基本運算的概念，可知圖中陰影部分表示的集合為，求解即可.【詳解】根據(jù)集合的基本運算的概念，可知圖中陰影部分表示的集合為.∵，∴或，，∴.故選：D.4．（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若集合，，則圖中陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知，，再根據(jù)題意求即可得答案.【詳解】解：函數(shù)的定義域為，故，因為，所以，即，所以圖中陰影部分表示的集合是故選：B5．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，若，則集合C中的元素有（

）個A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由可知需滿足，利用解方程組代入可得，即C中有2個元素.【詳解】由可得，集合C為集合A，B的公共元素，需滿足，即，又，故或，解得或此時集合有2個元素.故選：C6．（2022秋·上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)?？计谥校┘匣颍?，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】按討論求解集合,按列出滿足的條件求解即可.【詳解】，①當時，即無解，此時，滿足題意．②當時，即有解，當時，可得，要使，則需要，解得．當時，可得，要使，則需要，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是．故選：A．7．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義域與指數(shù)的單調(diào)性化簡集合，再利用集合的交并補運算即可.【詳解】對于，易得，則，故；所以，對于，得，故，所以.故選：B.8．（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合A、B，再求.【詳解】由題意，所以．故選：B．9．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）設(shè)集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意利用指、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求集合，進而可求交集.【詳解】由題意可得：，則.故選：C.二、多選題10．能正確表示圖中陰影部分的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)集合的運算，結(jié)合圖形分析可得.【詳解】因為陰影部分在B中不在A中，根據(jù)集合的運算分析可知ACD正確.故選：ACD11．定義集合運算，設(shè)集合，集合，則（

）A．中有四個元素B．有7個真子集C．D．中的元素之和為13【答案】BC【分析】根據(jù)題目所給的集合新定義進行運算，求出的元素即可求解.【詳解】可取可取,則可取,，，；由集合的互異性可知中有3個元素,故選項A錯誤;，則的真子集有個,故選項B正確;,故選項C正確;中所有元素之和為,故選項D錯誤.故選:BC.12．若集合，則的值可能為（

）A． B．0 C． D．1【答案】ABD【分析】由題意知，只有一個實數(shù)根，分類討論和兩種情況，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，只有一個實數(shù)根，當時，化為，所以.當時，，則.若，則的解集為，所以；若，則的解集為，所以.故選：ABD.三、填空題13．已知集合，，則_________.【答案】【分析】根據(jù)集合元素的互異性以及交集性質(zhì)進行分類討論即可得出符合題意.【詳解】因為，所以，易知，當時，，此時，，不合題意舍去；當時，，此時，，滿足題意，所以.故答案為：14．已知關(guān)于x的不等式的解集是M，若且，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)題意，分析可得和或，解出即可.【詳解】若，則有，解得或，若，則有或，解得，，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）含有3個實數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則_____．【答案】1【分析】根據(jù)集合相等，則元素完全相同，分析參數(shù)，列出等式，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，顯然，故，則；此時兩集合分別是，則，解得或.當時，不滿足互異性，故舍去；當時，滿足題意.所以故答案為：.16．已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍___________