2025年CFA考試《數(shù)量方法》練習(xí)題及答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______指示：請(qǐng)根據(jù)題目要求，在指定位置填寫您的答案。1.某個(gè)樣本包含5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)：7,3,9,5,8。該樣本的均值是多少？2.假設(shè)一個(gè)投資組合由兩種資產(chǎn)組成，資產(chǎn)A的期望收益率為12%，標(biāo)準(zhǔn)差為10%，資產(chǎn)B的期望收益率為18%，標(biāo)準(zhǔn)差為15%。如果資產(chǎn)A和資產(chǎn)B之間的相關(guān)系數(shù)為0.4，投資組合中資產(chǎn)A和資產(chǎn)B的投資比例分別為50%和50%，那么該投資組合的期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差分別是多少？3.根據(jù)中心極限定理，當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，樣本均值的抽樣分布將近似于正態(tài)分布。請(qǐng)問(wèn)樣本量通常需要多大才能認(rèn)為抽樣分布近似于正態(tài)分布？4.在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，第一類錯(cuò)誤是指什么？請(qǐng)給出一個(gè)實(shí)際生活中的例子。5.解釋什么是偏度。一個(gè)分布的偏度為負(fù)數(shù)意味著什么？6.假設(shè)你收集了關(guān)于某城市房?jī)r(jià)（Y）和房屋面積（X）的數(shù)據(jù)，并進(jìn)行了線性回歸分析。得到的回歸方程為：Y=50000+200X。請(qǐng)問(wèn)當(dāng)房屋面積增加100平方米時(shí)，預(yù)計(jì)房?jī)r(jià)會(huì)增加多少？7.解釋什么是時(shí)間序列的平穩(wěn)性。為什么平穩(wěn)時(shí)間序列更易于分析？8.假設(shè)你使用年回報(bào)率數(shù)據(jù)對(duì)某只股票進(jìn)行了自回歸模型（AR(1)）擬合，得到的模型參數(shù)為φ=0.85。請(qǐng)問(wèn)該股票的年回報(bào)率在多大程度上受到其自身上一個(gè)時(shí)期回報(bào)率的影響？9.請(qǐng)解釋什么是貝葉斯定理。它在投資決策中有什么潛在的應(yīng)用？10.如果一個(gè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，其中n=10，p=0.3，請(qǐng)計(jì)算P(X=3)。11.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的期望分別為E(X)=5，E(Y)=7，方差分別為Var(X)=4，Var(Y)=9，協(xié)方差為Cov(X,Y)=2。請(qǐng)計(jì)算X+Y的方差。12.在多元線性回歸模型中，R平方（R-squared）衡量的是什么？請(qǐng)解釋其取值范圍和意義。13.請(qǐng)解釋什么是置信區(qū)間。構(gòu)建一個(gè)95%置信區(qū)間意味著什么？14.假設(shè)你想要檢驗(yàn)?zāi)吵鞘谐赡昴行缘钠骄砀呤欠耧@著高于170厘米。請(qǐng)陳述原假設(shè)和備擇假設(shè)。15.請(qǐng)解釋什么是移動(dòng)平均模型（MA）。它與自回歸模型（AR）有什么主要區(qū)別？16.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=(1/2)*e^(-x/2)forx>0。請(qǐng)計(jì)算X的期望值和方差。17.請(qǐng)解釋什么是抽樣分布。它與總體分布有什么區(qū)別？18.在進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，什么是異方差性？它會(huì)對(duì)回歸結(jié)果產(chǎn)生什么影響？19.假設(shè)你使用移動(dòng)平均模型（MA(2)）擬合了某時(shí)間序列數(shù)據(jù)，得到的模型參數(shù)為θ1=0.6，θ2=-0.4。請(qǐng)寫出該MA(2)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式。20.請(qǐng)解釋什么是假設(shè)檢驗(yàn)中的p值。如何根據(jù)p值判斷是否拒絕原假設(shè)？試卷答案1.均值=(7+3+9+5+8)/5=6.0解析：均值是所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的算術(shù)平均，將所有數(shù)據(jù)點(diǎn)相加后除以數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量。2.投資組合期望收益率=0.5*12%+0.5*18%=15.0%投資組合方差=0.5^2*10%^2+0.5^2*15%^2+2*0.5*0.5*10%*15%*0.4=72.25投資組合標(biāo)準(zhǔn)差=sqrt(72.25)=8.5%解析：投資組合的期望收益率是各資產(chǎn)期望收益率的加權(quán)平均。投資組合的方差考慮了各資產(chǎn)自身的方差、資產(chǎn)間的協(xié)方差（通過(guò)相關(guān)系數(shù)計(jì)算）以及投資比例。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根。3.通常認(rèn)為樣本量n≥30時(shí)，抽樣分布近似于正態(tài)分布。解析：中心極限定理表明，無(wú)論總體分布形態(tài)如何，當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，樣本均值的抽樣分布將趨近于正態(tài)分布。30是一個(gè)常用的經(jīng)驗(yàn)法則，但實(shí)際所需樣本量也可能受總體分布形態(tài)影響。4.第一類錯(cuò)誤是指在原假設(shè)為真時(shí)，錯(cuò)誤地拒絕了原假設(shè)。例如，一個(gè)新藥試驗(yàn)中，原假設(shè)是新藥與安慰劑效果無(wú)顯著差異，第一類錯(cuò)誤是當(dāng)新藥實(shí)際效果與安慰劑無(wú)差異時(shí)，卻判斷新藥有效。解析：第一類錯(cuò)誤也稱為“棄真錯(cuò)誤”。在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們?cè)O(shè)定一個(gè)顯著性水平（α），犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α。5.偏度衡量分布的不對(duì)稱程度。負(fù)偏度意味著分布的左側(cè)尾部更長(zhǎng)或更厚，即數(shù)據(jù)分布更向左傾斜，大部分?jǐn)?shù)據(jù)集中在右側(cè)。解析：偏度描述了數(shù)據(jù)分布對(duì)稱性的程度。正偏度表示右側(cè)尾部更長(zhǎng)，負(fù)偏度表示左側(cè)尾部更長(zhǎng)。6.預(yù)計(jì)房?jī)r(jià)增加=200*100=20000解析：回歸方程中的系數(shù)表示自變量每變化一個(gè)單位，因變量預(yù)計(jì)變化的量。此處X（房屋面積）增加100平方米，Y（房?jī)r(jià)）預(yù)計(jì)增加200*100。7.時(shí)間序列的平穩(wěn)性是指其統(tǒng)計(jì)特性（如均值、方差、自協(xié)方差）不隨時(shí)間變化而變化。平穩(wěn)時(shí)間序列更易于分析，因?yàn)槠浣y(tǒng)計(jì)性質(zhì)穩(wěn)定，可以使用更成熟的統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)和分析。解析：非平穩(wěn)時(shí)間序列可能包含趨勢(shì)或季節(jié)性，需要先進(jìn)行差分等處理使其平穩(wěn)化，才能進(jìn)行有效的建模和預(yù)測(cè)。8.該股票年回報(bào)率在自身上一個(gè)時(shí)期回報(bào)率上的影響為85%。解析：在AR(1)模型Y_t=φ*Y_(t-1)+ε_(tái)t中，φ稱為自回歸系數(shù)，衡量了當(dāng)前時(shí)期值對(duì)前一個(gè)時(shí)期值的依賴程度。φ=0.85表示當(dāng)前回報(bào)率約80%可以由前一個(gè)時(shí)期的回報(bào)率解釋。9.貝葉斯定理描述了后驗(yàn)概率P(A|B)如何根據(jù)先驗(yàn)概率P(A)和P(B|A)進(jìn)行更新：P(A|B)=[P(B|A)*P(A)]/P(B)。在投資決策中，可以用來(lái)更新對(duì)某個(gè)投資機(jī)會(huì)成功概率的估計(jì)，基于新的市場(chǎng)信息。解析：貝葉斯定理提供了在給定新證據(jù)后更新概率估計(jì)的框架。投資者可以根據(jù)新的市場(chǎng)數(shù)據(jù)或事件，調(diào)整對(duì)投資標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)的信念。10.P(X=3)=C(10,3)*(0.3)^3*(0.7)^7=120*0.027*0.08235=0.2668解析：二項(xiàng)分布P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中n=10,p=0.3,k=3。C(10,3)是組合數(shù)，表示從10次試驗(yàn)中選3次成功的組合方式數(shù)量。11.Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2*Cov(X,Y)=4+9+2*2=18解析：這是方差的加法法則。兩個(gè)隨機(jī)變量之和的方差等于它們各自方差之和加上兩倍的協(xié)方差。12.R平方（R-squared）衡量的是多元線性回歸模型中因變量的變異有多少可以通過(guò)模型中的自變量來(lái)解釋。其取值范圍在0到1之間。R平方越接近1，說(shuō)明模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度越好，自變量對(duì)因變量的解釋能力越強(qiáng)。解析：R平方也稱為決定系數(shù)，是衡量模型擬合優(yōu)度的重要指標(biāo)。13.置信區(qū)間是一個(gè)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的區(qū)間，用于估計(jì)總體參數(shù)的可能范圍。構(gòu)建一個(gè)95%置信區(qū)間意味著我們有95%的置信水平認(rèn)為總體參數(shù)真實(shí)值落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)。解析：置信區(qū)間提供了參數(shù)估計(jì)的不確定性范圍。置信水平表示構(gòu)造許多此類區(qū)間的長(zhǎng)期成功率。14.原假設(shè)H0:μ≥170(或?qū)懗蒆0:μ=170，取決于具體檢驗(yàn))；備擇假設(shè)H1:μ<170解析：原假設(shè)通常表示沒(méi)有效應(yīng)或沒(méi)有差異的狀態(tài)，備擇假設(shè)表示研究者想要證明的效果或差異。此題是單邊檢驗(yàn)，備擇假設(shè)指向成年男性平均身高低于170厘米。15.移動(dòng)平均模型（MA）是一種時(shí)間序列模型，它假設(shè)時(shí)間序列當(dāng)前值是過(guò)去若干期隨機(jī)沖擊（誤差項(xiàng)）的加權(quán)平均。它與自回歸模型（AR）的主要區(qū)別是，MA模型基于誤差項(xiàng)的過(guò)去值來(lái)解釋當(dāng)前值，而AR模型基于時(shí)間序列自身過(guò)去值來(lái)解釋當(dāng)前值。解析：MA模型依賴于過(guò)去的隨機(jī)擾動(dòng)，而AR模型依賴于過(guò)去的序列值。MA模型通常需要滿足平穩(wěn)性條件。16.期望值E(X)=∫(-∞to∞)x*f(x)dx=∫(0to∞)x*(1/2)*e^(-x/2)dx=2方差Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=∫(0to∞)x^2*(1/2)*e^(-x/2)dx-2^2=4-4=2解析：對(duì)于指數(shù)分布f(x)=(1/θ)*e^(-x/θ)(參數(shù)θ)，期望E(X)=θ，方差Var(X)=θ^2。此題中θ=2，所以E(X)=2,Var(X)=4。計(jì)算E(X^2)可以使用分部積分。17.抽樣分布是指樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值、樣本方差）自身分布的規(guī)律性?？傮w分布是指研究對(duì)象的全體成員某個(gè)特征值的分布規(guī)律。抽樣分布描述的是從同一總體中反復(fù)抽取相同大小的樣本，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量后這些統(tǒng)計(jì)量形成的分布。解析：總體分布是基礎(chǔ)的，抽樣分布是抽樣研究的重點(diǎn)，它關(guān)系到我們?nèi)绾胃鶕?jù)樣本信息推斷總體特征，以及估計(jì)的準(zhǔn)確性。18.異方差性是指回歸模型中誤差項(xiàng)的方差不是常數(shù)，而是隨著自變量的變化而變化。異方差性會(huì)使得普通最小二乘法（OLS）估計(jì)的系數(shù)不再是最有效的（即不再是最佳線性無(wú)偏估計(jì)量BOLS），并且基于OLS的標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算的假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間可能不再可靠。解析：OLS在假設(shè)誤差方差恒定下最有效。當(dāng)存在異方差時(shí)，OLS結(jié)果可能仍然是無(wú)偏的，但不再是最優(yōu)的，導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)推斷錯(cuò)誤。19.MA(2)模型：Y