一、課程導(dǎo)入：從“已知”到“逆推”的思維躍升演講人04/逆運(yùn)用的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景03/逆運(yùn)用的核心邏輯與分類(lèi)解析02/知識(shí)鋪墊：商不變規(guī)律的再確認(rèn)01/課程導(dǎo)入：從“已知”到“逆推”的思維躍升06/總結(jié)與升華：從“規(guī)律”到“思維”的跨越05/課堂實(shí)踐：在互動(dòng)中深化理解目錄07/課后作業(yè)（分層設(shè)計(jì)）2025小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)除法中商不變規(guī)律的逆運(yùn)用課件01課程導(dǎo)入：從“已知”到“逆推”的思維躍升課程導(dǎo)入：從“已知”到“逆推”的思維躍升作為一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師，我常觀察到一個(gè)有趣的現(xiàn)象：四年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)“商不變規(guī)律”時(shí)，能熟練背誦“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變”，但遇到“已知商不變，需要調(diào)整被除數(shù)或除數(shù)”的問(wèn)題時(shí)，卻容易卡殼。比如，題目問(wèn)“如果180÷30的商不變，被除數(shù)變?yōu)?0，除數(shù)應(yīng)該怎么變？”很多孩子會(huì)猶豫：是乘還是除？變多少？這說(shuō)明學(xué)生對(duì)規(guī)律的“正向運(yùn)用”已初步掌握，但“逆運(yùn)用”的思維路徑尚未打通。今天這節(jié)課，我們就來(lái)聚焦“商不變規(guī)律的逆運(yùn)用”，幫助同學(xué)們完成從“記憶規(guī)律”到“靈活運(yùn)用”的思維升級(jí)。02知識(shí)鋪墊：商不變規(guī)律的再確認(rèn)知識(shí)鋪墊：商不變規(guī)律的再確認(rèn)要理解“逆運(yùn)用”，首先需要對(duì)“原規(guī)律”有精準(zhǔn)的認(rèn)知。讓我們通過(guò)一組經(jīng)典例子，再次梳理商不變規(guī)律的核心要素。1規(guī)律定義與關(guān)鍵要素01020304商不變規(guī)律的標(biāo)準(zhǔn)表述是：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。這里有三個(gè)關(guān)鍵要素需要特別注意：（1）“同時(shí)”：被除數(shù)和除數(shù)的變化必須同步發(fā)生，不能只變一個(gè)；（2）“相同的數(shù)”：乘或除的數(shù)值必須一致，不能一個(gè)乘2、一個(gè)乘3；（3）“0除外”：因?yàn)?不能作除數(shù)，所以乘或除的數(shù)不能是0。2正向運(yùn)用的典型場(chǎng)景為了喚醒已有認(rèn)知，我們先回顧“正向運(yùn)用”的例子：計(jì)算600÷25時(shí)，若同時(shí)乘4，變?yōu)椋?00×4）÷（25×4）=2400÷100=24，計(jì)算更簡(jiǎn)便；驗(yàn)證48÷12=4是否正確，可同時(shí)除以6，得到8÷2=4，商不變，說(shuō)明原計(jì)算正確。這些例子中，我們都是“主動(dòng)選擇”乘或除一個(gè)數(shù)，讓計(jì)算更簡(jiǎn)單或驗(yàn)證結(jié)果。而“逆運(yùn)用”則是反過(guò)來(lái)——已知商不變，根據(jù)其中一個(gè)量的變化，推導(dǎo)另一個(gè)量的變化。例如：已知360÷60=6，若被除數(shù)變?yōu)?80（即除以2），要使商仍為6，除數(shù)需要怎么變？這就需要從“結(jié)果不變”反推“條件如何調(diào)整”。03逆運(yùn)用的核心邏輯與分類(lèi)解析逆運(yùn)用的核心邏輯與分類(lèi)解析商不變規(guī)律的逆運(yùn)用，本質(zhì)是“因果倒置”的推理過(guò)程。正向運(yùn)用是“因（變化）→果（商不變）”，逆運(yùn)用則是“果（商不變）→因（如何變化）”。接下來(lái)，我們通過(guò)具體類(lèi)型，拆解逆運(yùn)用的思維步驟。1類(lèi)型一：已知被除數(shù)變化，求除數(shù)的變化問(wèn)題模型：原算式為a÷b=c，若被除數(shù)變?yōu)閍×k（或a÷k），要使商仍為c，除數(shù)應(yīng)如何變化？推理過(guò)程：根據(jù)商不變規(guī)律，被除數(shù)乘k，除數(shù)也需乘k；被除數(shù)除以k，除數(shù)也需除以k（k≠0）。實(shí)例解析：原算式：240÷40=6（1）若被除數(shù)變?yōu)?40×3=720，要使商仍為6，除數(shù)需變?yōu)?0×3=120，驗(yàn)證：720÷120=6；1類(lèi)型一：已知被除數(shù)變化，求除數(shù)的變化（2）若被除數(shù)變?yōu)?40÷5=48，除數(shù)需變?yōu)?0÷5=8，驗(yàn)證：48÷8=6。易錯(cuò)提醒：部分同學(xué)會(huì)誤將“被除數(shù)乘k”對(duì)應(yīng)“除數(shù)除以k”，需通過(guò)“商=被除數(shù)÷除數(shù)”的基本關(guān)系推導(dǎo)：若被除數(shù)×k，除數(shù)不變，則商×k；要使商不變，除數(shù)必須×k，抵消被除數(shù)×k的影響。2類(lèi)型二：已知除數(shù)變化，求被除數(shù)的變化問(wèn)題模型：原算式為a÷b=c，若除數(shù)變?yōu)閎×m（或b÷m），要使商仍為c，被除數(shù)應(yīng)如何變化？推理過(guò)程：除數(shù)乘m，被除數(shù)也需乘m；除數(shù)除以m，被除數(shù)也需除以m（m≠0）。實(shí)例解析：原算式：150÷30=5（1）若除數(shù)變?yōu)?0×2=60，被除數(shù)需變?yōu)?50×2=300，驗(yàn)證：300÷60=5；（2）若除數(shù)變?yōu)?0÷3=10，被除數(shù)需變?yōu)?50÷3=50，驗(yàn)證：50÷10=5。思維延伸：可以結(jié)合“除法的意義”理解——除法是“平均分”，若除數(shù)（份數(shù)）變多，被除數(shù)（總數(shù)）必須按相同倍數(shù)變多，才能保證每份數(shù)量（商）不變；反之亦然。3類(lèi)型三：已知商不變，求兩個(gè)量的同步變化問(wèn)題模型：原算式為a÷b=c，若被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)發(fā)生變化（如一個(gè)乘k，一個(gè)除以m），但商仍為c，求k與m的關(guān)系。推理過(guò)程：根據(jù)商不變規(guī)律，被除數(shù)和除數(shù)的變化必須“同乘同除相同數(shù)”，因此若被除數(shù)乘k，除數(shù)必須乘k；若被除數(shù)除以m，除數(shù)必須除以m。若題目中被除數(shù)乘k而除數(shù)除以m，只有當(dāng)k=1/m時(shí)（即k×m=1），商才可能不變，但此時(shí)本質(zhì)仍是“同乘或同除相同數(shù)”。實(shí)例辨析：判斷“（48×2）÷（12÷2）=4”是否正確？原算式48÷12=4，若被除數(shù)乘2（變?yōu)?6），除數(shù)除以2（變?yōu)?），則新算式為96÷6=16≠4，因此錯(cuò)誤。這說(shuō)明，只有當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)的變化方向（同乘或同除）和倍數(shù)都相同時(shí)，商才不變。04逆運(yùn)用的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景逆運(yùn)用的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景數(shù)學(xué)規(guī)律的價(jià)值在于解決實(shí)際問(wèn)題。商不變規(guī)律的逆運(yùn)用，在簡(jiǎn)化計(jì)算、解決生活問(wèn)題、驗(yàn)證結(jié)果等場(chǎng)景中都有廣泛應(yīng)用。1簡(jiǎn)化大數(shù)除法：化繁為簡(jiǎn)的“魔法”在計(jì)算較大的數(shù)相除時(shí)，若能通過(guò)逆運(yùn)用找到被除數(shù)和除數(shù)的公因數(shù)，將算式轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的形式，可大幅降低計(jì)算難度。案例：計(jì)算9600÷800。觀察發(fā)現(xiàn)，9600和800末尾都有兩個(gè)0，即它們都是100的倍數(shù)（相當(dāng)于同時(shí)除以100）；根據(jù)逆運(yùn)用，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以100，商不變，因此9600÷800=（9600÷100）÷（800÷100）=96÷8=12；驗(yàn)證：800×12=9600，計(jì)算正確。教學(xué)提示：可以引導(dǎo)學(xué)生觀察“末尾的0”或“明顯的公因數(shù)”，如2、5、10等，快速找到“相同的數(shù)”進(jìn)行簡(jiǎn)化。2解決生活問(wèn)題：公平分配的“計(jì)算器”在分物品、規(guī)劃行程等實(shí)際問(wèn)題中，常需要根據(jù)“每份數(shù)量不變”調(diào)整總數(shù)或份數(shù)，這正是商不變規(guī)律逆運(yùn)用的典型場(chǎng)景。01案例：學(xué)校組織春游，3輛大巴車(chē)可載150名學(xué)生，照這樣計(jì)算，若增加2輛大巴車(chē)（共5輛），需要載多少名學(xué)生？02分析：“照這樣計(jì)算”意味著每輛大巴車(chē)載客量（商）不變。原算式為150÷3=50（名/輛）；03除數(shù)（大巴車(chē)數(shù)量）從3變?yōu)?，即乘5/3（或理解為增加2輛后是原數(shù)量的5/3倍）；04根據(jù)逆運(yùn)用，被除數(shù)（學(xué)生總數(shù)）也需乘5/3，即150×5/3=250（名）；05驗(yàn)證：5輛大巴車(chē)×50名/輛=250名，符合要求。062解決生活問(wèn)題：公平分配的“計(jì)算器”學(xué)生活動(dòng)：讓學(xué)生分組討論類(lèi)似問(wèn)題（如“6個(gè)工人3天完成120件零件，若增加3個(gè)工人，相同效率下需完成多少件？”），強(qiáng)化“商不變”在實(shí)際情境中的應(yīng)用。3驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果：自查自糾的“工具”當(dāng)計(jì)算完除法算式后，可通過(guò)逆運(yùn)用調(diào)整被除數(shù)或除數(shù)，重新計(jì)算來(lái)驗(yàn)證結(jié)果是否正確。案例：計(jì)算720÷45=16是否正確？方法一：將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以9，得到80÷5=16，與原商相同，驗(yàn)證正確；方法二：若原商正確，那么將除數(shù)45乘2得90，被除數(shù)720也應(yīng)乘2得1440，驗(yàn)證1440÷90=16，結(jié)果一致，說(shuō)明原計(jì)算正確。教學(xué)意義：這一應(yīng)用不僅能培養(yǎng)學(xué)生的驗(yàn)算習(xí)慣，更能深化對(duì)“商不變”本質(zhì)的理解——無(wú)論怎么調(diào)整，只要符合規(guī)律，商就像“定海神針”一樣穩(wěn)定。05課堂實(shí)踐：在互動(dòng)中深化理解課堂實(shí)踐：在互動(dòng)中深化理解為了讓學(xué)生真正掌握逆運(yùn)用，需要設(shè)計(jì)梯度化的實(shí)踐活動(dòng)，從“模仿練習(xí)”到“自主創(chuàng)造”，逐步提升思維深度。1基礎(chǔ)鞏固：填空與判斷（1）已知48÷12=4，若被除數(shù)變?yōu)?4（即除以2），除數(shù)應(yīng)變?yōu)椋ǎ滩蛔?；?）已知360÷60=6，若除數(shù)變?yōu)?20（即乘2），被除數(shù)應(yīng)變?yōu)椋ǎ?，商不變?基礎(chǔ)鞏固：填空與判斷判斷：（90×5）÷（15÷5）=6是否正確？（）設(shè)計(jì)意圖：前兩題直接應(yīng)用逆運(yùn)用的基本規(guī)則，第三題辨析“不同變化方向”的錯(cuò)誤，強(qiáng)化“同乘同除相同數(shù)”的關(guān)鍵。2能力提升：解決實(shí)際問(wèn)題（1）媽媽用40元買(mǎi)了8斤蘋(píng)果，照這樣計(jì)算，若買(mǎi)12斤蘋(píng)果需要多少錢(qián)？在右側(cè)編輯區(qū)輸入內(nèi)容（2）工程隊(duì)用5臺(tái)挖掘機(jī)3天挖了1500立方米土，若增加3臺(tái)挖掘機(jī)（共8臺(tái)），同樣效率下，3天能挖多少立方米土？設(shè)計(jì)意圖：聯(lián)系生活場(chǎng)景，讓學(xué)生在“找商”（單價(jià)、工作效率）的過(guò)程中，主動(dòng)應(yīng)用逆運(yùn)用調(diào)整被除數(shù)（總價(jià)、總土方）和除數(shù)（數(shù)量、機(jī)器數(shù)）。3思維拓展：自主編題與互查讓學(xué)生以小組為單位，編寫(xiě)一道“商不變規(guī)律逆運(yùn)用”的題目（需包含原算式、變化后的一個(gè)量、求另一個(gè)量），并交換解答、評(píng)價(jià)。典型學(xué)生作品：“原算式是200÷50=4，若被除數(shù)變成100（除以2），除數(shù)應(yīng)該變成25（除以2），商還是4。”“我編的題：爸爸開(kāi)車(chē)2小時(shí)行駛120公里，照這樣速度，4小時(shí)能行駛多少公里？”（答案：240公里，因?yàn)闀r(shí)間乘2，路程也乘2）教學(xué)反饋：學(xué)生在編題過(guò)程中，需要主動(dòng)構(gòu)建“原商→變化量→求另一個(gè)量”的邏輯鏈，這是對(duì)逆運(yùn)用的深度內(nèi)化。06總結(jié)與升華：從“規(guī)律”到“思維”的跨越總結(jié)與升華：從“規(guī)律”到“思維”的跨越回顧本節(jié)課，我們從商不變規(guī)律的“正向運(yùn)用”切入，重點(diǎn)探討了它的“逆運(yùn)用”——已知商不變，通過(guò)被除數(shù)或除數(shù)的變化，推導(dǎo)另一個(gè)量的變化。核心邏輯可以總結(jié)為：一個(gè)核心：商不變的本質(zhì)是“被除數(shù)和除數(shù)的變化倍數(shù)相同（同乘或同除，0除外）”；兩種方向：已知被除數(shù)變化求除數(shù)，或已知除數(shù)變化求被除數(shù)；三類(lèi)應(yīng)用：簡(jiǎn)化計(jì)算、解決實(shí)際問(wèn)題、驗(yàn)證結(jié)果。作為教師，我始終相信：數(shù)學(xué)規(guī)律的學(xué)習(xí)，最終要轉(zhuǎn)化為解決問(wèn)題的能力和理性思維的習(xí)慣。商不變規(guī)律的逆運(yùn)用，不僅是一個(gè)計(jì)算技巧，更是“逆向思維”“因果