計算方法期中試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.數(shù)值計算中，對數(shù)據(jù)進(jìn)行四舍五入處理，這會產(chǎn)生（）A.截斷誤差B.舍入誤差C.觀測誤差D.模型誤差2.用二分法求方程$f(x)=0$在區(qū)間$[a,b]$內(nèi)的根，若要求誤差小于$\varepsilon$，則二分次數(shù)$n$至少為（）A.$\frac{\ln(b-a)-\ln\varepsilon}{\ln2}$B.$\frac{\ln(b-a)-\ln\varepsilon}{\ln2}+1$C.$\left\lceil\frac{\ln(b-a)-\ln\varepsilon}{\ln2}\right\rceil$D.$\left\lfloor\frac{\ln(b-a)-\ln\varepsilon}{\ln2}\right\rfloor$3.牛頓-拉夫遜迭代法的迭代公式為（）A.$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime}(x_k)}$B.$x_{k+1}=x_k+\frac{f(x_k)}{f^{\prime}(x_k)}$C.$x_{k+1}=x_k-f(x_k)f^{\prime}(x_k)$D.$x_{k+1}=x_k+f(x_k)f^{\prime}(x_k)$4.求積分$\int_{a}^f(x)dx$的復(fù)合梯形公式是（）A.$T_n=\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right]$B.$T_n=\frac{h}{3}\left[f(a)+f(b)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right]$C.$T_n=\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right]$D.$T_n=\frac{h}{3}\left[f(a)+f(b)+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right]$5.線性方程組$Ax=b$（$A$為$n$階方陣），若$A$是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則（）A.雅可比迭代法收斂B.雅可比迭代法發(fā)散C.高斯-賽德爾迭代法發(fā)散D.無法判斷迭代法收斂性6.設(shè)$f(x)$為三次多項式，則$f[x_0,x_1,x_2,x_3]$的值（）A.等于0B.大于0C.小于0D.不確定7.在計算$y=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}$時，若先計算最外層的根號，再依次向內(nèi)計算，這種計算順序符合（）A.遞推算法思想B.迭代算法思想C.遞歸算法思想D.分治算法思想8.已知函數(shù)值$f(0)=1,f(1)=2,f(2)=3$，用拉格朗日插值多項式求$f(1.5)$的近似值，其插值基函數(shù)$l_0(x)$在$x=1.5$處的值為（）A.-0.25B.0.25C.-0.5D.0.59.對于數(shù)值積分公式$\int_{a}^f(x)dx\approxA_0f(x_0)+A_1f(x_1)$，若具有3次代數(shù)精度，則該公式是（）A.梯形公式B.辛普森公式C.中矩形公式D.高斯型求積公式10.用高斯消去法解線性方程組$Ax=b$時，若出現(xiàn)主元為0的情況，通常采用（）A.直接求解B.交換行的方法C.交換列的方法D.迭代法求解二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.數(shù)值計算中常見的誤差類型有（）A.截斷誤差B.舍入誤差C.觀測誤差D.模型誤差2.以下哪些迭代法可用于求解非線性方程$f(x)=0$（）A.二分法B.牛頓-拉夫遜迭代法C.弦截法D.雅可比迭代法3.關(guān)于線性方程組迭代法收斂的條件，以下說法正確的是（）A.雅可比迭代法收斂的充分必要條件是迭代矩陣的譜半徑小于1B.高斯-賽德爾迭代法收斂的充分必要條件是迭代矩陣的譜半徑小于1C.若系數(shù)矩陣$A$是對稱正定矩陣，則高斯-賽德爾迭代法收斂D.若系數(shù)矩陣$A$是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法都收斂4.數(shù)值積分公式的代數(shù)精度（）A.是衡量數(shù)值積分公式精度的一個指標(biāo)B.代數(shù)精度越高，公式越精確C.梯形公式的代數(shù)精度為1D.辛普森公式的代數(shù)精度為35.拉格朗日插值多項式的特點有（）A.插值多項式的次數(shù)與插值節(jié)點個數(shù)有關(guān)B.插值多項式過所有插值節(jié)點C.拉格朗日插值基函數(shù)之和為1D.高次拉格朗日插值可能會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象6.以下關(guān)于誤差的說法正確的是（）A.截斷誤差是由于算法的有限次計算代替無限次計算產(chǎn)生的B.舍入誤差是由于計算機只能表示有限位數(shù)的數(shù)產(chǎn)生的C.觀測誤差是由于測量工具和測量方法引起的D.模型誤差是由于數(shù)學(xué)模型與實際問題之間的差異產(chǎn)生的7.高斯消去法解線性方程組$Ax=b$的步驟包括（）A.選主元B.消元C.回代D.迭代8.求非線性方程根的迭代法收斂性與（）有關(guān)A.迭代函數(shù)B.初始值C.方程的類型D.迭代次數(shù)9.復(fù)合求積公式（）A.是將積分區(qū)間劃分成若干子區(qū)間后再應(yīng)用低階求積公式B.可以提高積分的計算精度C.復(fù)合梯形公式比梯形公式精度高D.復(fù)合辛普森公式比辛普森公式精度高10.以下哪些方法可用于求解線性方程組（）A.高斯消去法B.雅可比迭代法C.高斯-賽德爾迭代法D.牛頓-拉夫遜迭代法三、判斷題（每題2分，共20分）1.數(shù)值計算中的誤差是不可避免的。（）2.二分法一定能收斂到方程的根。（）3.牛頓-拉夫遜迭代法的收斂速度比二分法快。（）4.若線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法都收斂。（）5.拉格朗日插值多項式的次數(shù)越高，逼近效果一定越好。（）6.梯形公式的代數(shù)精度為2。（）7.復(fù)合求積公式的代數(shù)精度一定比相應(yīng)的簡單求積公式高。（）8.高斯消去法解線性方程組時，主元不能為0。（）9.求解非線性方程的迭代法對初始值沒有要求。（）10.觀測誤差與計算過程無關(guān)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述數(shù)值計算中誤差的來源。誤差主要來源于四方面。模型誤差：數(shù)學(xué)模型與實際問題差異產(chǎn)生；觀測誤差：測量工具和方法導(dǎo)致；截斷誤差：算法用有限計算代替無限計算造成；舍入誤差：計算機表示有限位數(shù)數(shù)值引起。2.說明二分法求解非線性方程根的基本思想。二分法是針對區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)且$f(a)f(b)<0$的方程$f(x)=0$。取區(qū)間中點$c=\frac{a+b}{2}$，計算$f(c)$，根據(jù)其與0關(guān)系縮小區(qū)間，反復(fù)操作使區(qū)間長度趨于0逼近根。3.簡述高斯-賽德爾迭代法和雅可比迭代法的區(qū)別。雅可比迭代法在計算$x_{i}^{(k+1)}$時，使用上一輪所有分量$x^{(k)}$的值；而高斯-賽德爾迭代法在計算$x_{i}^{(k+1)}$時，對于已算出的新分量$x_{j}^{(k+1)}(j<i)$直接使用，即利用最新信息。4.解釋數(shù)值積分公式的代數(shù)精度的概念。數(shù)值積分公式$\int_{a}^f(x)dx\approx\sum_{i=0}^{n}A_if(x_i)$，若對于次數(shù)不超過$m$的多項式，該公式精確成立，而對$m+1$次多項式不精確成立，則稱此公式代數(shù)精度為$m$，是衡量公式精度指標(biāo)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論在求解非線性方程根時，二分法和牛頓-拉夫遜迭代法的優(yōu)缺點。二分法優(yōu)點是算法簡單、對函數(shù)要求低且一定收斂；缺點是收斂速度慢。牛頓-拉夫遜迭代法收斂速度快，但對函數(shù)有求導(dǎo)要求，初始值選取不當(dāng)可能不收斂。2.討論線性方程組迭代法的收斂性對求解的重要性。收斂性是迭代法求解線性方程組的關(guān)鍵。若不收斂，迭代結(jié)果會偏離精確解，無法求得有效近似解；收斂的迭代法能通過有限次迭代逼近精確解，可根據(jù)收斂速度選擇合適迭代法提高求解效率。3.討論拉格朗日插值多項式和牛頓插值多項式的異同。相同點：都是解決函數(shù)插值問題的方法，都過所有插值節(jié)點。不同點：拉格朗日插值基函數(shù)形式固定，增加節(jié)點需重新計算；牛頓插值具有承襲性，增加節(jié)點只需在原基礎(chǔ)上添加項。4.討論數(shù)值積分中復(fù)合求積公式和簡單求積公式的關(guān)系及優(yōu)勢。復(fù)合求積公式是將區(qū)間劃分后用簡單求積公式。簡單求積公式對整體區(qū)間計算，而復(fù)合求積公式細(xì)分區(qū)間后求和。優(yōu)勢是能減小積分區(qū)間長度，降低誤差，提高計算精度。答案一、單項選擇題1.B2.C3.A