數(shù)字信號處理第3章Z變換3.1Z變換的定義與收斂域3.1.1Z變換的定義Z變換在離散系統(tǒng)中的地位與作用，類似于連續(xù)系統(tǒng)中的拉普拉斯變換，都是一種變換域運算。對連續(xù)信號進(jìn)行均勻沖激取樣后，就得到離散信號：（3.1.1）兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得

（3.1.2）令，其中s為復(fù)數(shù)，稱為復(fù)頻率。上式將成為復(fù)變量z的函數(shù)，用表示；由得：（3.1.3）

（3.1.4）一般地把的Z變換記為：3.1.2Z變換的收斂域

在

Z變換的定義式（3.1.3）和（3.1.4）中，z是一個連續(xù)的復(fù)變量，具有實部和虛部，是一個以實部為橫坐標(biāo)，虛部為縱坐標(biāo)構(gòu)成的平面上的變量，這個復(fù)平面也稱z平面。

X(z)是關(guān)于z-1的冪級數(shù)，在數(shù)學(xué)上屬于復(fù)變函數(shù)中的羅朗（Laurent）級數(shù)，其系數(shù)是序列x(n)的值，因此Z變換定義為一無窮冪級數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級數(shù)收斂，即

（3.1.5）時，其Z變換才存在。上式稱為絕對可和條件，它是序列的Z變換存在的充分必要條件。收斂域（Regionofconvergence簡稱ROC）的定義：對于任意給定的序列，滿足式（3.1.5）的所有z值組成的集合稱為Z變換的收斂域?；蛘邠Q言之，使式（3.1.3）、（3.1.4）表示的級數(shù)收斂的所有z值組成的集合稱為Z變換的收斂域。一般來說，ROC是由某個極點構(gòu)成的或ROC常用收斂環(huán)表示，內(nèi)環(huán)是以為半徑的圓，可以小為0；外環(huán)是以可以大到。、通稱為收斂半徑。為半徑的圓組成的區(qū)域。為半徑的圓，

序列的Z變換大多數(shù)是z的有理函數(shù)，一般可以表示成有理分式的形式，即

（3.1.6）分子多項式的根是的零點，分母多項式的根是

在極點處Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點，收斂域總是以極點限定其邊界。的極點。序列的收斂域大致有一下幾種情況：有限長的序列、右邊序列（因果序列）、左邊序列（反因果序列）、雙邊序列。3.1.3有限長序列的收斂域圖3-1-1有限長序列的收斂域3.1.4右邊序列的收斂域時，序列有值，其它情況為0：其Z變換為：右邊序列，當(dāng)（3.1.8）圖3-1-2右邊、因果序列序列的收斂域3.1.5左邊序列的收斂域圖3-1-3左邊序列的收斂域數(shù)字信號處理（MATLAB

版）

1

X

(z)

x(n)z

n

x(n)z

n

x(n)z

nn

n

n

0（3.1.11）第

1

項為左邊序列，ROC

為：|

z

|

R1

；第

2

項為右邊序列，ROC

為：|

z

|

R2

。雙邊序列

Z

變換的收斂域為兩者的公共部分，即環(huán)狀區(qū)域：

R1

|

z

|

R2

，如圖

3-1-4

所示。

【例

3-1-2】求雙邊序列

x(k

)

k

bk, k

0的

Z

變換和收斂域。a

, k

0解：可見，其收斂域為|

a

|

|

z

|

|

b

|

，顯然要求|

a

|

|

b

|

，否則無共同收斂域。3.1.6

雙邊序列的收斂域雙邊序列是一般序列，有值區(qū)域是

。對雙邊序列，可以看作是一個左邊序列和一個右邊序列之和。第

3章Z變換如圖

3-1-4所示，|

a

|

R1

，|

b

|

R2

。圖

3-1-3

左邊序列的收斂域圖

3-1-4

雙邊序列的收斂域數(shù)字信號處理（MATLAB

版）31(1

1z

1)(1

2z

1)【例

3-1-3】討論

X

(

z

)

收斂域的形式及其對應(yīng)序列的種類。解：3由(1

1

z

1

)(1

2

z

1

)

0，可求得兩個極點：

2

和

1/3。收斂域?qū)?yīng)有下列三種情況：（1）

|z|>2：序列為因果序列；（2）

|z|<1/3：左邊序列；（3）

1/3<|z|<2：雙邊序列。第

3章Z變換3.2 Z

逆變換根據(jù)

X(z)和其收斂域求序列

x(n)，

就是求

Z

反變換，

也稱為逆

Z

變換，

其定義為x(n)

Z

1[

X

(z)]求

Z

反變換實質(zhì)上就是求

X(z)的冪級數(shù)展開式。與連續(xù)信號的傅立葉變換和拉普拉斯變換離散類似，求

Z

反變換

x(n)的方法通常有觀察法、

圍線積分法(留數(shù)法)、

冪級數(shù)法(長除法)和部分分式展開法，也可以使用

MATLAB

中符號運算的

iztrans()函數(shù)來求

z

逆變換。觀察法是指利用常用序列的

Z

變換表，直接求出序列的方法，可以用于比較簡單的變換。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）（3.2.1）則

z

逆變換為：（3.2.2）積分路徑

c

為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點一周的一條逆時針閉合單圍線，因此該方法也叫“圍線積分法”，如圖

3-2-1

所示。直接計算圍線積分比較麻煩，

一般采用留數(shù)定理求解。根據(jù)留數(shù)定理，有（3.2.3）zpi

為

c

內(nèi)的第

i

個極點，i

為有限值，Res[]表示極點

zpi

處的留數(shù)。

3.2.1

留數(shù)法（圍線積分法）留數(shù)（residue，又稱殘數(shù)），是復(fù)變函數(shù)論中一個重要的概念。如果：第

3章Z變換留數(shù)定理說明：

X

(z)z

n

1

沿圍線

c

逆時針方向的積分等于圍線內(nèi)的各極點之和?；蚋鶕?jù)留數(shù)輔助定理，若

X

(z)z

n

1的分母階次比分子階次高二階以上，有：（3.2.4）數(shù)字信號處理（MATLAB

版）圖

3-2-1

圍線積分路徑z

pk

為

c

外的第

k

個極點，k

為有限值，Res[]表示極點

z

pk

處的留數(shù)。留數(shù)輔助定理說明：X

(z)z

n

1沿圍線c

順時針方向的積分等于圍線外的各極點之和。第

3章Z變換式（3.2.3）、（3.2.4）說明，對于相同的函數(shù)

X

(z)z

n

1

，由于沿圍線

c逆時針方向的積分等于沿圍線順時針方向積分值的相反數(shù)。根據(jù)具體情況的不同，

可以選擇上述兩種方法中的一種。

當(dāng)

n

大于某一個值，

函數(shù)

X

(z)z

n

1

在

z=∞處可能有多重極點時，

若采用圍線外部的極點進(jìn)行留數(shù)運算就比較麻煩，

因而通常選擇圍線內(nèi)部的極點進(jìn)行留數(shù)的計算；

當(dāng)

n

小于某一個值，

函數(shù)X

(z)z

n

1

在

z=0

處可能有多重極點時，

采用圍線內(nèi)部的極點進(jìn)行留數(shù)運算同樣比較麻煩，

通常選擇圍線外部的極點進(jìn)行留數(shù)的計算就會很方便。注意：留數(shù)定理中的極點不是指

X(z)的極點，

而是

F(z)=

X

(z)z

n

1

的極點。在利用留數(shù)定理求

z逆變換時，首先要根據(jù)

X

(z)

的收斂域確定

x(n)

的性質(zhì)是左邊、右邊或雙邊序列。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）圍線

c

內(nèi)的極點一般對應(yīng)于因果序列，

n

0

時，應(yīng)使用式（3.2.3）；圍線

c外的極點一般對應(yīng)于非因果序列，

n

0

時，圍線內(nèi)可能有多重極點，計算留數(shù)就比較麻煩，應(yīng)使用式（3.2.4），計算圍線外的留數(shù)；雙邊序列則分別求之。n

1如果

z

p

0

是

X

(z)z 的單一（一階）極點，則根據(jù)留數(shù)定理有（3.2.5）Re

s[

X

(z)z

n

1

,

z ]

[(z

z )

X

(z)z

n

1

]p

0 p

0 z

z

p

0n

1如果

z

pk

是

X

(z)z 的

N

階極點，則根據(jù)留數(shù)定理有]z

zpk1n

1Re

s[

X

(z)z ,zpk]

(N

1)!dzN

1[(z

zpk)

X(z)zd

N

1n

1

N（3.2.6）第

3章Z變換【例

3-2-1】留數(shù)法求

z

逆變換1（1）已知

X

(z)

1,|

z

|

|

a

|

（2）已知

X

(z)

,|z|

|a

|1

az

1 1

az

1分別求其

z

逆變換。解

（1）在

z

a

處有一極點，從其函數(shù)收斂域可知，收斂域在極點之外，其函數(shù)為右邊序列，當(dāng)n

0

時

x(n)

0

；只有當(dāng)n

0

時，

x(n)

有值。圍線

c

內(nèi)

X

(z)zn

1

有一極點

a，由式（3.2.5）得z

n所以：

x(n)

an

(n)數(shù)字信號處理（MATLAB

版）當(dāng)n

0

時，

x(n)

0

；只有當(dāng)n

0

時，

x(n)

有值。由式（3.2.4）和（3.2.5）得：x(n)

an

(

n

1)可見，同一個函數(shù)，由于收斂域不同，得出的序列是完全不同的，收斂域在求

Z逆變換時是必須考慮的條件。（2）從其函數(shù)收斂域可知，收斂域在極點之內(nèi)，圍線

c

外有一極點

a，其函數(shù)為左邊序列。第

3章Z變換分子多項式

B(z)

的根是

X

(z)

的零點，分母多項式

A(z)的根是

X

(z)

的極點。在極點處

Z

變換不存在，將其展開：其中：

Bk

bk

/

a0

，

Ak

ak

/

a0部分分式展開式中，zpk

poles

為第

k個極點、rk

residues

為第

k個極點對應(yīng)的留數(shù)，r0

為

z=0（即

zp

0

0

）處的留數(shù)，

ck

為第

k

個余項，當(dāng)分子多項式的階次小于分母多項3.2.2

部分分式法Z

變換是一種線性變換，可以把它分解成許多常見的部分分式之和。然后查表求得各部分分式的

Z

反變換，最后把這些

Z

反變換相加即可。在實際應(yīng)用中，

X

(z)

一般是z

的有理多項式，即

（3.2.7）數(shù)字信號處理（MATLAB

版）式的階次，即

M<N

時，余項ck

0

，如果

X

(z)

含有的極點都是一階極點，則

X

(z)

可以展開為：（3.2.8）即：（3.2.9）式中，

r0

、rk

分別為

X

Z

/

z

在

z=0，

z

zpk

極點處的留數(shù)。因此：（1）如果式（3.2.1）中的收斂域(

z

R1

)

，則

x(n)

為因果序列，根據(jù)式（3.2.3）計算出的結(jié)果，第

3章Z變換得（3.2.10）（2）如果式（3.2.1）中的收斂域(

z

R2

)

，則

x(n)

為左邊序列，根據(jù)例

3-1-3(2)計算的結(jié)果，得：

（3.2.11）（3）如果果式（3.2.1）中的收斂域(R1

z

R2

)

，則

x(n)

為雙邊序列，則根據(jù)具體情況結(jié)合上述兩種方法解決。如果

X

(z)

只含有高于一階的極點，則

X

(z)

可以降階修改后用該辦法解決。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）【例

3-2-2】部分分式法求

z

逆變換。，求信號

x(n)

的

z

逆變換。已知信號的

z

頻譜函數(shù)為

解：原式可分解為：

第

1

項為右邊序列，第

2

項為左邊序列。查Z變換表知道：則：第

3章Z變換3.2.3

冪級數(shù)展開法（長除法）根據(jù)式（3.1.3）Z

變換的定義，可知：所以只要在給定的收斂域內(nèi)，把

X（z）展開成冪級數(shù)，則級數(shù)的系數(shù)就是序列

x(n)

?！纠?/p>

3-2-3】冪級數(shù)展開法求

Z

反變換:

解：直接將其展開：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）因此可以看出：

x(

2)

1，

x(0)

1

，其它為

0，即：

0

1n

2n

0其他x(n)

1把

X

(z)

展開成冪級數(shù)的方法很多，當(dāng)

X

(z)

是

log、sin、cos

等函數(shù)時，可以利用已知的冪級數(shù)展開式將其展開。如果

X

(z)

是一個有理分式，分子和分母都是

z

的多項式時可以利用長除法展開。第

3章Z變換解：（1）

X

(z)

在

z

a

處有一極點，收斂域在極點所在圓外，是一種因果序列（右邊序列），

X

(z)

應(yīng)展開為

z

的降冪級數(shù)，所以可按降冪順次長除，有：【例3-2-4】長除法求的Z反變換。（1）(2)故數(shù)字信號處理（MATLAB

版）（2）X

(z)

在

z

a

處有一極點，但收斂域在極點所在圓內(nèi)，是一種左邊序列，X(z)應(yīng)展開為

z

的升冪級數(shù)，所以可按

z

升冪順次長除，有：故

第

3章Z變換3.3.1

求

Z

變換如果離散序列

x(n)

可以用符號表達(dá)式，則可以直接用

MATLAB

的

ztrans()函數(shù)來求離散序列的單邊

Z

變換，其語法如下：X=

ztrans(x)該語法計算符號表達(dá)式

x

的

z

變換。其中

x

是變量

n

的函數(shù)，返回值

X

是

z

的函數(shù)。ztrans()函數(shù)的定義如下：（3.3.1）該函數(shù)只能計算從

0

開始的右邊序列。3.3Z

變換的

MATLAB

實現(xiàn)數(shù)字信號處理（MATLAB

版）【例

3-3-1】求信號

f

(n)

e

an

的

Z

變換。編寫

MATLAB

程序：>>symsnaz;>>

f=exp(-a*n);>>

simplify(ztrans(f))結(jié)果為：ans=

z/(z

-exp(-a))即：z

1

zea

1 z

e

a1F(z)

Z[e

an]

（3.3.2）【例

3-3-2】求右邊序列的

z變換。已知

x(n)

an

(n)

，求其

Z

變換。解：這是一個右邊序列，且是因果序列，其

Z

變換為：第

3章Z變換

X(z)

x(n)z

n

an

(n)z

n

anz

n

(az

1)nn

n

n

0 n

0求該數(shù)列可得：1 zX(z)

,|

z|

|a|1

az

1 z

a（3.3.3）這是一個無窮等比級數(shù)求和，只有在|

z

|

|

a

|

處收斂，

X

(z)

在

z

=

0

處有一個零點，在

z

=a處有一個極點，收斂域正是該極點所在圓|

z

|

|

a

|

以外的區(qū)域，如圖

3-3-1(1)所示。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）解：這是一個左邊序列，且是反因果序列，其

Z

變換為：

X

(z)

(a

1

z)mm

0（3.3.4）求該式得出結(jié)果為：1 aX(z)

,|z|

a1

a

1

z a

z（3.3.5）該級數(shù)只有在|

z

|

|

a

|

處收斂，收斂域正是該極點所在圓|

z

|

|

a

|

以內(nèi)的區(qū)域，如圖3-3-1(2)所示。用

MATLAB

的

ztrans()函數(shù)來求

z

變換。根據(jù)

ztrans()函數(shù)的定義可知，該函數(shù)只【例

3-3-3】求左邊序列的

z

變換。已知

，求其

Z

變換。令

m=-n

得：第

3章Z變換能計算從

0

開始的右邊序列，因此式（3.3.4）可變?yōu)椋?/p>

X

(z)

(a

1

z)m

(a

1

z

2)m

z

mm

0 m

0即：

x(m)

(z

2/

a)m編寫

MATLAB

程序：>>symsmaz;>>X=

ztrans((z^2/a)^m)輸出結(jié)果：X=ztrans((z^2/a)^m,z,w)z a即：

X

(z)

,|z|

|a

|z

z

2/

a a

z圖

3-3-1

右邊、左邊序列的收斂域第

3章Z變換（3.3.6）其語法為：x

=ztrans(X)【例

3-3-4】用

MATLAB

的

iztrans()函數(shù)求

z

逆變換解：上例

3-2-2

可用下列程序求出逆變換：>>symsna

z;>>F=z/(z-1/3)-z/(z-2);>>

iztrans(F)輸出結(jié)果：ans=(1/3)^n-2^n3.3.2

求

Z

逆變換用

iztrans()函數(shù)來求

z

逆變換。iztrans()函數(shù)的定義如下：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）3.3.3

留數(shù)法、部分分式法求

Z

逆變換在

MATLAB

中，residue()函數(shù)是執(zhí)行部分分式展開和多項式系數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，可用

residue()函數(shù)計算極點和留數(shù)。因此可以用于留數(shù)法和部分分式法求

Z

逆變換。語法如下：[r,p,k]

=

residue(b,a)：返回部分分式展開式中的極點

p(poles)、相應(yīng)極點對應(yīng)的留數(shù)

r(residues)和余項

k，a、b為多項式的系數(shù)。（3.3.7）如果

M<N，則k

(z)

=0，注意

MATLAB

的下標(biāo)是從

1

開始，N

=

length(a)-1?！纠?/p>

3-3-5】留數(shù)法求

z

逆變換。z(z

1)(z

0.5)z

3

2z

2

1已知信號的

z

頻譜函數(shù)為

X

(z)

|

z

|

1

，求信號

x(n)

。第

3章Z變換解：由于

X(z)的收斂域為

z

1

，所以

x(n)

必然為因果序列，即

n≥0。將

X(z)的分母展開：>>expand(z*(z-1)*(z-0.5))得到結(jié)果為：ans

=z^3-3/2*z^2+1/2*zz

3

1.5z

2

0.5zz

3

2z

2

1即：

X

(z)

則根據(jù)X

(z)z z

4

1.5z

3

0.5z

2z

3

2z

2

1

求留數(shù)，程序如下：A=[1 -1.5 0.5 0 0];B=[0 1 2 0 1];[r,p,k]=residue(B,A)數(shù)字信號處理（MATLAB

版）輸出結(jié)果為：r

= 8-1362p= 1.00000.500000k= []則信號為：第

3章Z變換3.3.4求函數(shù)零、極點可以用

MATLAB

的下列函數(shù)求函數(shù)的零極點。使用

tf2zpk()函數(shù)求零、極點使用[z,p,k]=tf2zpk(b,a)，可求出函數(shù)的零點

z、極點

p

和增益

k。2.

使用

roots()函數(shù)求零、極點可以使用多項式的

roots()函數(shù)分別求出分子多項式

B(z)

0

和分母

A(z)

0

的根，獲得函數(shù)的極點、零點。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）3.

繪制零極點圖用上述函數(shù)求得零極點后，就可以用

plot()函數(shù)繪制出零極點圖。也可以用下列函數(shù)直接繪制出零極點圖：zplane()函數(shù)用于繪制離散系統(tǒng)的零極點圖，用法如下：zplane(z,p)：使用已知的零極點繪制零極點圖，并顯示單位圓。zplane(b,a)：直接使用系統(tǒng)函數(shù)的分子向量

b

和分母向量

a

繪制零極點圖，并顯示單位圓。MATLAB還提供了函數(shù)

pzmap()來繪制系統(tǒng)的零極點位置圖，其用法如下：[p,z]=pzmap(b,a)：返回多項式形式的極點矢量和零點矢量，而不在屏幕上繪制出零極點圖。pzmap(b,a)：繪制出函數(shù)的零極點位置圖。第

3章Z變換Z

變換的性質(zhì)反映離散信號在時域特性和

z

域特性之間的關(guān)系，若無特別說明該性質(zhì)既適用于單邊也適用于雙邊序列。1.

線性滿足齊次性（比例性）和可加性（疊加性）。若：則：Z[ax(n)

by(n)]

aX

(z)

bY

(z)

（3.4.1）其中，a、b

為任意常數(shù)。3.4 Z

變換的性質(zhì)數(shù)字信號處理（MATLAB

版）ROC：一般情況下，取二者的重疊部分，即max(Rx1

,

Ry1

)

z

min(Rx

2

,

Ry

2)

。注意：如相加過程出現(xiàn)零極點抵消情況，收斂域可能變大。2.

雙邊

Z

變換的移序（移位）性質(zhì)若序列

x(n)

的雙邊

z

變換：

Z[x(n)]

X

(z)，R1

z

R2

，則：（3.4.2）

原序列長度不變，只影響在時間軸上的位置，如圖

3-4-1

所示。第

3章Z變換圖

3-4-1

雙邊

z

變換的移序性質(zhì)3.

單邊

Z

變換的移序性質(zhì)若

x(n)

為雙邊序列，其單邊

z變換為：

Z

x(n)

(n)

雙邊序列的移位序列

x

n

m

、x

n

m

只是位置發(fā)生變化，長度與原序列

x

n

的長度一樣，如圖

3-4-1

所示。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）而雙邊序列的單邊

Z

變換序列的移位序列

x

n

m

n

、x

n

m

n

，比

x(n)

(n)

的長度有所增減，如圖

3-4-2

所示。圖

3-4-2

單邊

Z

變換序列的移位第

3章Z變換（1）左移位性質(zhì)若：

Z[x(n)

(n)]

X

(z)，z

R1則：（3.4.3）其中

m

為正整數(shù)。Z[x(n

m)

(n

m)]

z

m

X

(z)（3.4.4）由此可推出：（3.4.5）x

n

1

(n)

zX

z

zx

0

x

n

2

(n)

z

2

X

z

z

2

x

0

zx

1

（3.4.6）（3.4.7）數(shù)字信號處理（MATLAB

版）【例

3-1-12】收斂域擴(kuò)大。zz

a已知：

x(k

)

ak

(k

)

，

X

(z)

，z

a

。則：

x(k

)

y(k

)

ak

(k

)

ak

(k

1)

δ

k

1

，

X

(z)

Y

(z)

1零極點相消，收斂域擴(kuò)大為整個

z平面。第

3章Z變換（3.4.8）其中

m

為正整數(shù)。例如：

x

k

1

(k

)

z

1

X

z

x

1

，

x

k

2

(k

)

z

2

X

z

z

1

x

1

x

2

對于因果序列k

0

時，

x

k

0

，則：（3.4.9）（3.4.10）（2）右移位性質(zhì)若：

Z[x(n)

(n)]

X

(z)，z

R1

，則：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）若：

Z[x(n)]

X

(z) R1

z

R

2則序列指數(shù)加權(quán)乘an

，a

為非

0

常數(shù)：（3.4.11）5.

時域求和性質(zhì)若：

Z[x(n)]

X

(z)R1

z

，則：zn

X

(z)z

1Z[ x(i)]

i

max(R1,1)

z（3.4.12）4.

Z

域尺度定理在時域乘指數(shù)序列相當(dāng)于在

z

域進(jìn)行尺度變換。第

3章Z變換6.

時域卷積定理時域卷積定理，也叫序列的卷積和定理。兩序列在時域的卷積，其

Z

變換等于兩序列在

Z

域中

z

變換的乘積。

若：

y(n)

x(n)

h(n)

x(m)h(n

m)m

且：

X

(z)

Z[x(n)]

,

Rx1

z

Rx

2

，

H

(z)

Z[h(n)]

,

Rh1

z

Rh

2

，則：Y

(z)

Z[

y(n)]

X

(z)H

(z)

，

max[Rx1

,

Rh1

]

z

min[Rx

2

,

Rh

2]

（3.4.13）收斂域：一般情況下，取二者的重疊部分：

(

z

max(R1

,

R2

)

。注意：如果在相乘過程中有零點與極點相抵消，則收斂域可能擴(kuò)大。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）7.

Z

域卷積定理若：

y(n)

x(n)

h(n)且：

X

(z)

Z[x(n)]

,

Rx1

z

Rx

2

，

H

(z)

Z[h(n)]

,

Rh1

z

Rh

2

，則：（3.4.14）收斂域：

Rx1

Rh1

z

Rx

2

Rh

2第

3章Z變換8.

Z

域微分定理在時域乘

k（線性加權(quán)），相當(dāng)于在

Z

域中對

Z

變換求導(dǎo)再乘-z。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）（3.4.16a）其中m

為整數(shù)，且n

m

0當(dāng)m

0

時，（3.4.16b）10.

時域反轉(zhuǎn)若：

Z[x(n)]

X

(z)，R1

z

R2

，則：

（3.4.17）說明信號在時域反轉(zhuǎn)時，在

z

域坐標(biāo)變換為

z

1

，其收斂域為倒置（因果變?yōu)榉匆蚬?.

Z

域積分定理除n

m

定理。若：

Z[x(n)]

X

(z)，R1

z

R2

，則：第

3章Z變換11.

初值定理若

x(n)

為因果序列，

Z[x(n)

(n)]

X

(z)

，且

x(0)

存在，則：z

x(0)

limX

(z)（3.4.18）z

112.

終值定理若

x(n)

為因果序列，

Z[x(n)

(n)]

X

(z)

，且

x(

)

存在，則：x(

)

lim[(z

1)

X

(z)]

Re

s[

X

(z)]z

1 （3.4.19）終值

x(

)

存在，表明(z

1)

X

(z)

在

z=1

處是收斂的。

X

(z)

的收斂域至少在包含單位圓的圓外（因果序列），

X(z)

的全部極點在單位圓內(nèi)，如在單位圓上有極點，也只能是一階極點且位于

z=1（z=-1

不允許）。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）13.

共軛序列、翻褶序列若：

Z[x(n)]

X

(z)，R1

z

R2

，則：Z[x*(n)]

X*(z*

)

，R

z

Rx1 x

2（3.4.20）其中

x*

(n)

為

x(n)

的共軛序列。翻褶序列：zZ[x(

n)]

X(

)1，

1Rx

2

z

1Rx1（3.4.21）第

3章Z變換系統(tǒng)函數(shù)決定了系統(tǒng)在時域和頻域的一些基本特性。系統(tǒng)的時域、頻域特性都集中地以其系統(tǒng)函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布表現(xiàn)出來。3.5.1

差分方程的

z

域解法差分方程的

z

域解法是離散系統(tǒng)時域分析的一種間接求解法或變換域求解法，即先通過

Z

變換將差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程進(jìn)行分析計算，然后通過反變換求得時域的解。單邊

Z

變換將系統(tǒng)的初始條件自然地包含于其代數(shù)方程中，可求得零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。差分方程的一般形式為：3.5

離散系統(tǒng)函數(shù)及

MATLAB

實現(xiàn)數(shù)字信號處理（MATLAB

版）如果輸入激勵

x(n)

為因果序列，得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的

Z

變換為：（3.5.1）將Y

(z)

進(jìn)行反變換即可得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：y(n)

Z

1[Y

(z)]（3.5.2）將該式兩邊進(jìn)行

Z

變換，得：第

3章Z變換【例

3-5-1】差分方程的

z

域解法。已知離散系統(tǒng)的差分方程為：

y(n)

by(n

1)

x(n)

。求

x(n)

an

(n)

，

y(

1)

0

時的系統(tǒng)響應(yīng)

y(n)

。解：（1）將上式兩邊進(jìn)行

Z

變換：

Z[

y(n)

by(n

1)]

Z[x(n)]

，得：1

bz

1X

(z)Y

(z)

bz

1Y

(z)

X

(z)

，即： Y(z)

（2）已知輸入序列

x(n)

an

(n)

，求出

Z

變換。zz

a，(z

|a

|)這是一個右邊序列，由例

3-3-2

的（3.3.3）式得：

X

(z)

Z[an

(n)]

（3）將上述結(jié)果代入得：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）1 az bzz

2

(

)(z

a)(z

b) a

bz

a z

bz/(z

a)Y

(z)

11

bz（4）將Y

(z)

進(jìn)行反變換即可得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：1(an

1

bn

1)

(n)a

by(n)

數(shù)字信號處理（MATLAB

版）

3.5.2

離散系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)的時域特性用單位脈沖響應(yīng)h(n)

表示，對h(n)

進(jìn)行傅里葉變換，得到：（3.5.3）稱

H

(e

j

)

為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，所以又稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。第

3章Z變換將h(n)

進(jìn)行

Z

變換，得到

H

(z)

h(n)z

nn

（3.5.4）h(n)

和

H

(z)

為一對

z

變換對：

Z

h(n)

H

(z)

，

h(n)

Z

1

H

(z)

一般稱

H

(z)

為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。根據(jù)

Z

變換的時域卷積定理，可知系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是一對

Z

變換，即（3.5.5）如果

H

(z)

的收斂域包含單位圓|

z

|

1

，則：（3.5.6）因此在

z

平面單位圓上計算的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，或者說系統(tǒng)的傳輸函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)在單位圓上的

Z

變換。第

3章Z變換由此定義系統(tǒng)函數(shù)的多項式形式為：（3.5.7）注意：（1）系統(tǒng)函數(shù)

H

(z)

描述了系統(tǒng)的特性，H

(z)

只與系統(tǒng)的差分方程的系數(shù)向量（分母向量用

A、分子向量用

B表示）、結(jié)構(gòu)有關(guān)。3.5.3

系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系從式（3.5.1）可知，對于線性時不變系統(tǒng)，如果輸入激勵

x(n)

為因果序列，得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的

Z

變換為：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）（2）系統(tǒng)函數(shù)按

z

的降冪排列時，系數(shù)向量應(yīng)由最高次項系數(shù)開始，直到常數(shù)項，缺項補(bǔ)零。z

4

2z

3

3z

2

7z

53z

3

5z

2

11z例如：

H

(z)

則：A=[1,2,-3,7,5];B=[0,3,-5,11,0]（3）系統(tǒng)函數(shù)按

z-1

的升冪排列時分子、分母多項式應(yīng)保證維數(shù)相同，缺項補(bǔ)零。例如：則：A=[2,-5,7];B=[1,-5,0]（4）根據(jù)差分方程可以求出系統(tǒng)函數(shù)，反之亦然。（5）離散系統(tǒng)根據(jù)系數(shù)的不同，可分為

FIR

系統(tǒng)與

IIR

系統(tǒng)，這構(gòu)成了數(shù)字濾波器的兩大類型。第

3章Z變換【例

3-5-3】由差分方程求系統(tǒng)函數(shù)。已知離散系統(tǒng)的差分方程為：

y(n)

2

y(n

1)

x(n)

，求系統(tǒng)函數(shù)。解：參考例

3-5-1可知，將上式兩邊進(jìn)行

Z

變換，得Y(z)

X

(z)

11

2z

1 X

(z) 1

2z

1，即：

H

(z)

Y

(z)

在式（3.5.7）中，Y

(z)

是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的

Z變換，

X

(z)

是輸入序列的

Z

變換，則有：Y

(z)

H

(z)

X

(z) （3.5.8）線性時不變系統(tǒng)的輸出的Z

變換Y(Z)等于輸入信號的Z

變換X(Z)與系統(tǒng)函數(shù)H(Z)的乘積。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）系統(tǒng)的零極點分布完全決定了系統(tǒng)函數(shù)的形式，即包含了系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，包括幅頻特性和相頻特性。相應(yīng)的，零極點分布也決定了系統(tǒng)時域特性，極點決定系統(tǒng)的固有頻率或自然頻率，零點的分布情況只影響時域函數(shù)的幅度和相移，不影響振蕩頻率。3.6.1離散系統(tǒng)函數(shù)的零極點對于實際的物理系統(tǒng)極點和零點必為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，極點決定時域的模態(tài)，零點影響各模態(tài)的幅度和震蕩模態(tài)的相位。離散系統(tǒng)函數(shù)的零極點定義將式（3.5.7）所示的系統(tǒng)函數(shù)

H

(z)

進(jìn)行因式分解，采用根的形式表示為多項式，即：3.6

離散系統(tǒng)函數(shù)的零極點及

MATLAB

實現(xiàn)第

3章Z變換（3.6.1）其中bj

為分子多項式的根，稱為系統(tǒng)函數(shù)的零點；ai為分母多項式的根，稱為系統(tǒng)函數(shù)的極點，

g

為比例常數(shù)（代表系統(tǒng)增益

gain）。g

僅決定幅度大小，不影響頻率特性的實質(zhì)。系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布都會影響系統(tǒng)的頻率特性，而影響系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性的只是極點分布。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）（3.6.2）A、B

是分母、分子的系數(shù)向量。系統(tǒng)函數(shù)

H

(z)

的零極點分布完全決定了系統(tǒng)的特性，若某系統(tǒng)函數(shù)的零極點已知，則系統(tǒng)函數(shù)便可確定下來。因此，系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布對離散系統(tǒng)特性的分析具有非常重要意義。通過對系統(tǒng)函數(shù)零極點的分析，可以分析離散系統(tǒng)以下幾個方面的特性：系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)h(n)

的時域特性；離散系統(tǒng)的頻率特性；離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)函數(shù)的多項式形式為：第

3章Z變換2.

用

MATLAB

求系統(tǒng)的零極點如果系統(tǒng)函數(shù)能因式分解成以式（3.6.1）所表示的形式，可以很容易求出零、極點。如果是以式（3.6.2）所表示的多項式形式，可以用

MATLAB的下列函數(shù)求系統(tǒng)的零極點。(1)使用

tf2zpk()函數(shù)求零、極點使用[z,p,g]=tf2zpk(B,A)，可使用分母向量

A、分子向量

B

求出離散系統(tǒng)函數(shù)的零點z、極點

p和增益

g。(2)使用

roots()函數(shù)求零、極點可以使用多項式的

roots()函數(shù)分別求出多項式

B(z)

0

和

A(z)

0

的根，獲得系統(tǒng)函數(shù)的極點、零點。(3)用

zero()和

pole()函數(shù)計算零極點也可以用

zero(sys)和

pole(sys)函數(shù)直接計算零極點，sys

表示系統(tǒng)函數(shù)。用法如下：z

=zero(sys)：返回系統(tǒng)函數(shù)sys

的零點

z

的列向量。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）[z,k]=

zero(sys)：同時返回增益

k。pole(sys)函數(shù)計算極點，使用方法相同。3.

用

zplane()函數(shù)繪制離散系統(tǒng)的零極點圖zplane()函數(shù)用于繪制離散系統(tǒng)的零極點圖：(1)zplane(z,p)：使用已知的零極點繪制零極點圖，并顯示單位圓。(2)zplane(B,A)：直接使用系統(tǒng)函數(shù)的分子向量

B

和分母向量

A

繪制零極點圖。4.

pzmap()函數(shù)MATLAB

提供了函數(shù)

pzmap()來繪制系統(tǒng)的零極點位置圖：（1）[p,z]

=

pzmap(sys)：可以直接計算連續(xù)系統(tǒng)或離散系統(tǒng)的極點

p

和零點

z，sys為系統(tǒng)函數(shù)。（2）pzmap(sys)：根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)直接在

Z

平面上繪制出對應(yīng)的零極點位置。第

3章Z變換y(n)

by(n

1)

ax(n)

，y(-1)=0。求系統(tǒng)函數(shù)和零極點，繪制零極點圖。解：將差分方程兩端取單邊

z

變換得：

Y

(z)

bz

1Y

(z)

by(

1)

aX

(z)將

y(-1)=0

代入得：

(1

bz

1

)Y

(z)

aX

(z)

，即系統(tǒng)函數(shù)如下：設(shè)

b=0.5、a=2，其實現(xiàn)程序如下：b=0.5;a=2;A=[1

-b];B=[a0];[z,p,k]=tf2zpk(B,A)zplane(B,A)【例

3-6-1】繪制離散系統(tǒng)的零極點圖已知離散系統(tǒng)的差分方程為：數(shù)字信號處理（MATLAB

版）程序運行后，繪制零極點圖如圖

3-6-1

所示。z

=0p

=0.5000k

=2圖

3-6-1

繪制零極點圖數(shù)字信號處理（MATLAB

版）3.6.2

零極點分布與系統(tǒng)的時域特性在離散系統(tǒng)中，極點分布決定系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)（假設(shè)無重根）。對式（3.6.1）進(jìn)行反

z

變換得：（3.6.3）r0

、rk

是

H

(z)

的留數(shù)，都與

H

(z)

的零點、極點分布都有關(guān)。

pk

是

H

(z)

的極點，可以是不同的實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，一般為復(fù)數(shù)，它在

z

平面的分布位置決定了系統(tǒng)h(n)

的特性。第

3章Z變換離散系統(tǒng)零、極點分布對幅頻特性的影響規(guī)律如下：離散系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)

h(n)

的時域特性完全由系統(tǒng)函數(shù)

H

(z)

的極點位置決定，其規(guī)律可能是指數(shù)衰減、上升，或為減幅、增幅、等幅振蕩。

H

(z)

位于

Z

平面單位圓內(nèi)的極點決定了

h(n)

隨時間衰減的信號分量。H

(z)

位于

Z

平面單位圓上的一階極點決定了h(n)

的穩(wěn)定信號分量。H

(z)

位于Z

平面單位圓外的極點或單位圓上高于一階的極點決定了h(n)

的隨時間增長的信號分量。極點影響幅頻特性的峰值，峰值頻率在極點的附近。極點越靠近單位圓，峰值越高，越尖銳。極點在單位圓上，峰值幅度為無窮，系統(tǒng)不穩(wěn)定。零點影響幅頻特性的谷值，谷值頻率在零點的附近。零點越靠近單位圓，谷值越接近零。零點在單位圓上，谷值為零。處于坐標(biāo)原點的零極點不影響幅頻特性。第

3章Z變換因果系統(tǒng)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)

為因果序列的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)，因此由3.4

節(jié)內(nèi)容可知，因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

H

(z)

具有包括|

z

|

點的收斂域，即R1

|z

|

（3.6.4）穩(wěn)定系統(tǒng)在離散系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定條件可分為時域和頻域，但這兩個條件是等價的，系統(tǒng)的穩(wěn)定性由極點的分布決定，而零點不影響穩(wěn)定性。只要考察系統(tǒng)的零極點分布，就可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。3.6.3系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析數(shù)字信號處理（MATLAB

版）（1）時域：離散系統(tǒng)：穩(wěn)定的充分必要條件是沖激響應(yīng)h(n)

絕對可和，即

|

h(n)|

n

（3.6.5）（2）頻域：當(dāng)

H

(z)

的收斂域包括單位圓時（|

z

|

1

），則系統(tǒng)穩(wěn)定。3.

因果穩(wěn)定系統(tǒng)如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，則系統(tǒng)函數(shù)

H

(z)

的收斂域為：0

r

1

（3.6.6）系統(tǒng)穩(wěn)定時，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域是在圓外區(qū)域，并一定包含單位圓，系統(tǒng)函數(shù)的極點不能位于單位圓上。如果系統(tǒng)全部極點都位于

z

平面的單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因此因果系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：系統(tǒng)函數(shù)的極點應(yīng)集中在單位圓內(nèi)。對于非因果系統(tǒng)，收斂域并不在圓外區(qū)域，極點不限于單位圓內(nèi)。第

3章Z變換【例

3-6-2】判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（1）已知系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及系統(tǒng)性質(zhì)。（2）因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下，試說明系統(tǒng)是否穩(wěn)定?數(shù)字信號處理（MATLAB

版）解：（1）系統(tǒng)函數(shù)

H

(z)

的收斂域包括|

z

|

點，因此是因果系統(tǒng)。但是單位圓不在收斂域內(nèi)，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)函數(shù)

H

(z)

的極點為：

z1

1/

2

，

z2

2

。由式（3.6.3）可知：由于2n

e(n)

項是發(fā)散的，可見系統(tǒng)確實不穩(wěn)定。第

3章Z變換（2）將系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

z

的降冪標(biāo)準(zhǔn)形式，即：零極點分布圖實現(xiàn)程序如下：>>B=[01

2];>>

A=[8

-2-3];>>[z,p,k]=

tf2zpk(B,A)>>

zplane(B,A)零極點分布如圖

3-6-2

所示。z

=-2p

=0.7500-0.5000k

=0.1250極點

p1

0.75，

p2

0.5

，都在單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。第

3章Z變換3.6.4零極點分布與離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)利用系統(tǒng)函數(shù)直接計算離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)若連續(xù)系統(tǒng)的

H

(s)

收斂域含虛軸，則連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)為：

由于

z

esT

，

s

j

，若離散系統(tǒng)

H

(z)

收斂域含單位圓，則H

(z)存在。令

T

，稱為數(shù)字角頻率。離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)定義為：

（3.6.7）式中：|

H

(e

j

)

|

稱為幅頻響應(yīng)，偶函數(shù)

(

)

稱為相頻響應(yīng)。只有

H

(z)

收斂域含單位圓才存在頻率響應(yīng)，穩(wěn)定離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)就是系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的取值，因此計算離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，可將離散系統(tǒng)函數(shù)中的

z

變量用e

j

代入即可得到。數(shù)字信號處理（MATLAB

版）離散系統(tǒng)的零極點分布完全決定