5.1希爾伯特變換5.1.1信號(hào)的解析形式在實(shí)際應(yīng)用中,發(fā)射和接收的都是實(shí)信號(hào),只是在信號(hào)處理的過程中,將信號(hào)變成復(fù)信號(hào)進(jìn)行處理。實(shí)信號(hào)也可以看成虛部為零的復(fù)信號(hào),如果再考慮信號(hào)頻域的特點(diǎn),解析信號(hào)就是比較理想的復(fù)數(shù)表示方式了。實(shí)信號(hào)頻譜的數(shù)學(xué)模型是含有正負(fù)頻率的雙邊譜,然而在實(shí)際應(yīng)用中,其負(fù)頻率(ω<0)是物理不可實(shí)現(xiàn)的。由于實(shí)信號(hào)的雙邊譜是偶對(duì)稱的,因此,采用單邊譜的信號(hào)形式,既可以簡化問題,又可以恢復(fù)原信號(hào)。下面對(duì)只含正頻率部分的信號(hào)———單邊譜信號(hào)進(jìn)行討論。(1)單邊譜信號(hào)在時(shí)域是復(fù)信號(hào)。設(shè)單邊譜信號(hào)的傅里葉變換為下一頁返回5.1希爾伯特變換

由于因?yàn)閒*t≠ft,所以單邊譜信號(hào)在時(shí)域是個(gè)復(fù)信號(hào)。(2)從實(shí)信號(hào)中分解出單邊譜信號(hào)。設(shè)x(t)為具有連續(xù)頻譜的實(shí)信號(hào)上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

式中X(ω)為信號(hào)x(t)的頻譜,由傅里葉變換可以證明,當(dāng)xt=x*(t)時(shí),有所以實(shí)信號(hào)的頻譜X(ω)是ω的復(fù)函數(shù)。若將X(ω)傅里葉變換分解成正負(fù)兩頻域部分積分之和上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

其中,具有單邊頻譜被稱為實(shí)信號(hào)x(t)的解析信號(hào)。所以,實(shí)信號(hào)x(t)可用一個(gè)僅含有正頻率成分的解析信號(hào)的實(shí)部來表示。上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

5.1.2希爾伯特變換的定義通過上面的推導(dǎo)可以看出將信號(hào)正頻域譜的2倍的傅里葉反變換取實(shí)部,就等于原信號(hào)。如果對(duì)解析信號(hào)的兩邊進(jìn)行傅里葉反變換,由于U(ω)為階躍函數(shù),有上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

則解析信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式為不難看到,解析信號(hào)的虛部式(5.1.10)稱為實(shí)信號(hào)xt的希爾伯特變換,記作上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

由上式可知,對(duì)于任何一個(gè)實(shí)信號(hào)xt,可以分解出一個(gè)單邊譜的解析信號(hào)與其對(duì)應(yīng)。此解析信號(hào)是個(gè)復(fù)信號(hào),其實(shí)部為原信號(hào)xt,虛部為原信號(hào)的希爾伯特變換。希爾伯特變換是通信和信號(hào)檢測(cè)理論研究中的一個(gè)重要工具,在其他領(lǐng)域也有重要應(yīng)用。用希爾伯特變換可以把一個(gè)實(shí)信號(hào)表示成一個(gè)復(fù)信號(hào)(解析信號(hào)),這不僅使理論討論很方便,而且可以研究實(shí)信號(hào)的瞬時(shí)包絡(luò)、瞬時(shí)相位和瞬時(shí)頻率。上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

5.1.3希爾伯特變換的性質(zhì)從希爾伯特變換的定義可知,希爾伯特變換相當(dāng)于把信號(hào)xt與1/(πt)進(jìn)行卷積。因此,信號(hào)的希爾伯特變換可以看作信號(hào)通過沖激響應(yīng)為ht=1/(πt)的線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)。通常稱該線性時(shí)不變系統(tǒng)為希爾伯特變換器。希爾伯特變換有以下幾個(gè)重要性質(zhì)。(1)希爾伯特變換沖激響應(yīng)及傳輸函數(shù)上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

證:由對(duì)稱性性質(zhì):(2)希爾伯特逆變換。定義希爾伯特逆變換為上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

可證明希爾伯特逆變換等于負(fù)的希爾伯特正變換,如式(5.1.13)所示。證:若輸入信號(hào)為通過一個(gè)濾波器hH1（

t）后,輸出為x（t）,上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

則上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

(3)希爾伯特變換相當(dāng)于一個(gè)正交濾波器。因?yàn)橛谑?可以將x（t）的希爾伯特變換看成是將x（t）通過一個(gè)具有沖激響應(yīng)為的線性濾波器,即上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

上式表明,希爾伯特變換相當(dāng)于一個(gè)90°的移相器,它對(duì)所有分量的幅度響應(yīng)都是1,對(duì)所有正頻率分量(包括零頻率分量)移相-90°,而對(duì)所有負(fù)頻率分量移相+90°。所以說,希爾伯特變換是一種正交變換,它相當(dāng)于一個(gè)正交濾波器,如圖5.1所示。(4)兩次希爾伯特變換相當(dāng)于一個(gè)倒相器。證:若對(duì)信號(hào)x（t）進(jìn)行兩次希爾伯特變換,則相當(dāng)于信號(hào)x（t）通過兩個(gè)級(jí)聯(lián)的H[·]網(wǎng)絡(luò)。即上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

從而得到時(shí)域關(guān)系(5)信號(hào)x（t）與其希爾伯特變換具有相同的能量和平均功率,即上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

證明:先證前一個(gè)等式。由帕塞瓦爾定理可知將希爾伯特變換器看成是信號(hào)通過1/(πt)的濾波器的響應(yīng),即上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

代入帕塞瓦爾定理公式可得上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

通過上述證明可知,信號(hào)與其希爾伯特變換后的信號(hào)具有相同的能量。再證后一等式。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)τ=0時(shí),R0為信號(hào)的平均功率。若要證明信號(hào)在希爾伯特變換前后具有相同的平均功率,只需證明信號(hào)變換前后具有相同的自相關(guān)函數(shù)即可。上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

證明:上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

如圖5.2所示,由于Δω/2<ω0,可得所以其希爾伯特變換的頻譜為上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

取的傅里葉反變換可得利用傅里葉變換的頻移性質(zhì)上一頁下一頁返回5.1希爾伯特變換

利用希爾伯特二次變換的性質(zhì)可得上一頁返回5.2解析過程及其性質(zhì)5.2.1解析過程的定義由實(shí)隨機(jī)過程X(t)作為復(fù)隨機(jī)過程Z(t)的實(shí)部,X(t)的希爾伯特變換作為Z(t)的虛部,即這樣所構(gòu)成的復(fù)隨機(jī)過程Z(t)為解析隨機(jī)過程。5.2.2解析過程的性質(zhì)(1)若X(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程,則也是實(shí)平穩(wěn)過程,且聯(lián)合平穩(wěn)。下一頁返回5.2解析過程及其性質(zhì)由于希爾伯特變換是線性變換,線性系統(tǒng)輸入是平穩(wěn)過程,因此輸出也是平穩(wěn)過程,且聯(lián)合平穩(wěn)。(2)實(shí)函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同,有證明:因?yàn)橛奢斎肱c輸出的功率譜密度的關(guān)系,得上一頁下一頁返回5.2解析過程及其性質(zhì)經(jīng)傅里葉反變換,得(3)Xt與X^t的互相關(guān)函數(shù)等于Xt自相關(guān)函數(shù)的希爾伯特變換。即有證明:上一頁下一頁返回5.2解析過程及其性質(zhì)設(shè)t-τ=λ,代入上式進(jìn)行變量置換,可得上一頁下一頁返回5.2解析過程及其性質(zhì)及上一頁下一頁返回5.2解析過程及其性質(zhì)(5)X（t)與X^t的互相關(guān)函數(shù)是τ的奇函數(shù)。證明:由于且RX（τ）是偶函數(shù),則同理可證上一頁下一頁返回5.2解析過程及其性質(zhì)由于X(t)與的互相關(guān)函數(shù)是τ的奇函數(shù),所以在任何同一時(shí)刻當(dāng)τ=0時(shí)互相關(guān)函數(shù)為0,則X(t)與在任何同一時(shí)刻的兩個(gè)狀態(tài)正交。(6)如果X(t)為平穩(wěn)過程,根據(jù)希爾伯特變換的定義X(t)也必為平穩(wěn)過程,解析過程Z(t)也必為平穩(wěn)過程。證明;上一頁下一頁返回5.2解析過程及其性質(zhì)因此,可以看出這樣構(gòu)成的解析過程為復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過程,解析過程的自相關(guān)函數(shù)是復(fù)函數(shù),它的實(shí)部為X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX(τ)的2倍,虛部為RX(τ)的希爾伯特變換的2倍。(7)解析過程的功率譜密度只存在于正頻域。對(duì)Z(t)的自相關(guān)函數(shù)RZ(τ)求傅里葉變換即可得到Z(t)的功率譜密度GZω。X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX(τ)的傅里葉變換為X(t)的功率譜密度GXω,則可得RX(τ)的希爾伯特變換的傅里葉變換為上一頁下一頁返回5.2解析過程及其性質(zhì)及上式表明,解析過程的功率譜密度只存在于正頻域,即它是單邊帶的功率譜密度,其強(qiáng)度等于原實(shí)過程功率譜密度強(qiáng)度的4倍。上一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)5.3.1窄帶隨機(jī)信號(hào)的定義若隨機(jī)信號(hào)x(t)的功率譜密度集中在頻率ω0附近相對(duì)窄的頻帶范圍Δω內(nèi),且Δω?ω0,則稱該信號(hào)為窄帶隨機(jī)信號(hào)。在實(shí)際中,大多數(shù)系統(tǒng)都是窄帶帶通型,通過該類系統(tǒng)輸出的信號(hào)或噪聲必然是窄帶信號(hào)。實(shí)確定信號(hào)x（t）,其傅里葉頻譜X（ω）,若滿足下述特性,則此信號(hào)稱為確定實(shí)高頻窄帶信號(hào):下一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

其中,ω0為角頻率,W為角頻率帶寬,ω0?W,確定的實(shí)高頻窄帶信號(hào)可表示為其中,at、φt、ac(t)與as(t)為相應(yīng)的低頻信號(hào),它們都是時(shí)間的函數(shù),相對(duì)載頻ω0而言都是慢變的。窄帶隨機(jī)過程的每一個(gè)樣本函數(shù)都具有上式的形式,對(duì)于所有的樣本函數(shù)構(gòu)成的窄帶隨機(jī)過程可以表示為上一頁下一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

式中,A(t)是窄帶過程的包絡(luò),Φ(t)是窄帶過程的相位,它們都是隨機(jī)過程。與確定性窄帶信號(hào)一樣,它們相對(duì)于ω0是慢變隨機(jī)過程。窄帶隨機(jī)過程可以視為幅度和相位做緩慢調(diào)制的準(zhǔn)正弦振蕩。5.3.2窄帶隨機(jī)信號(hào)的復(fù)指數(shù)形式若將高頻窄帶信號(hào)的復(fù)指數(shù)形式應(yīng)用到窄帶隨機(jī)過程中,則式中,M(t)稱為X(t)的復(fù)包絡(luò),A(t)稱為包絡(luò),Φ(t)稱為相位,ejω0t稱為復(fù)載頻,且Mt=AtejΦ(t)。上一頁下一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

如果此窄帶隨機(jī)過程X(t)是平穩(wěn)過程,那么用復(fù)指數(shù)形式表示后,其統(tǒng)計(jì)特性如下。(1)自相關(guān)函數(shù):上一頁下一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

(2)功率譜密度。若RM(τ)的功率譜密度函數(shù)為GM（ω）,則有因?yàn)榭傻蒙弦豁撓乱豁摲祷?.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

由上式可得因此,可以得出X(t)與及M(t)之間在頻域上的關(guān)系。5.3.3窄帶隨機(jī)過程的垂直分解上一頁下一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

則有將式展開可得上一頁下一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

或者有可見,窄帶隨機(jī)過程X(t)的包絡(luò)At、相位Φ(t)完全可由Ac(t)、As(t)確定,且Ac(t)和As(t)是一對(duì)在幾何上正交的分量,它們包含了窄帶隨機(jī)過程X(t)的所有隨機(jī)因素。因此,下面討論窄帶隨機(jī)過程X(t)的統(tǒng)計(jì)特性,主要就是討論這一對(duì)垂直分量的統(tǒng)計(jì)特性及它們與過程X(t)之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系。上一頁下一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

在討論統(tǒng)計(jì)特性之前,先推導(dǎo)出X(t)、Ac(t)、As(t)之間的函數(shù)關(guān)系如下:上一頁下一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

5.3.4窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì)若窄帶隨機(jī)過程X（t）是零均值平穩(wěn)的實(shí)過程,且功率譜密度如圖5.7所示,滿足上一頁下一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

這里Ω和Δω皆為正實(shí)常數(shù),Δω?ω0,則Ac

(t)、As(t)這對(duì)垂直分量有下面的性質(zhì)。(1)Ac

(t)、As(t)均為實(shí)隨機(jī)過程;(2)Ac

(t)、As

(t)的期望均為0;(3)Ac(t)、As(t)各自平穩(wěn),它們的自相關(guān)函數(shù)為當(dāng)τ=0時(shí),有上一頁下一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

表示X

(t)、Ac(t)、As(t)三者的平均功率皆相等。其中表示一低通濾波器。上一頁下一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

證:由于兩邊取傅里葉變換,并利用可得上一頁下一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

上式各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的功率譜密度圖形如圖5.8所示,從圖中可以直接得出同理可得上一頁下一頁返回5.3窄帶隨機(jī)信號(hào)

說明隨機(jī)過程Ac(t)、As(t)在同一時(shí)刻的兩個(gè)狀態(tài)之間是相互正交的。因?yàn)锳c(t)、As(t)的均值皆為0,所以當(dāng)τ=0時(shí),有說明隨機(jī)過程Ac(t)、As(t)在同一時(shí)刻的兩個(gè)狀態(tài)之間是不相關(guān)的。(6)Ac(t)、As(t)的互譜密度為上一頁返回5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的分布信號(hào)處理中,有用信號(hào)通常都是調(diào)制在載波的幅度和相位上的,要提取有用信號(hào)通常需要包絡(luò)檢波器和鑒相器檢測(cè)出信號(hào)的包絡(luò)和相位,而檢測(cè)前噪聲通常都是窄帶正態(tài)隨機(jī)過程,為了獲得最佳的檢測(cè)效果,需要分析窄帶正態(tài)隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的分布。本節(jié)討論窄帶正態(tài)過程的包絡(luò)、包絡(luò)平方和相位的分布特性,除特別聲明外,都假定窄帶正態(tài)過程的均值為零,功率譜密度相對(duì)于中心頻率ω0是對(duì)稱的。5.4.1一維分布已知窄帶過程的一般表達(dá)式為下一頁返回5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的分布設(shè)Y(t)的相關(guān)函數(shù)為RY（τ）,方差為RY（0）=σ2,Ac(t)和As(t)都可看作是Y(t)經(jīng)過線性變換的結(jié)果。因此,如果Y(t)為正態(tài)過程,則Ac(t)和As(t)也為正態(tài)過程,并且也具有零均值和方差σ2。Y(t)的包絡(luò)和相位分別為上式說明,Ac(t)和As(t)在同一時(shí)刻是互不相關(guān)的,因二者是正態(tài)過程,故也是互相獨(dú)立的。設(shè)Act和Ast分別表示Ac(t)和As(t)在t時(shí)刻的取值,則其聯(lián)合概率密度為上一頁下一頁返回5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的分布因?yàn)樵O(shè)At和φt分別為包絡(luò)A(t)和相位Φ(t)在t時(shí)刻的取值,則A(t)和Φ(t)的聯(lián)合概率密度為雅克比行列式J為上一頁下一頁返回5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的分布代入上式,得由此得出包絡(luò)的一維概率密度為上一頁下一頁返回5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的分布相位的一維概率密度為從以上兩式可以看出,窄帶正態(tài)過程的包絡(luò)服從瑞利分布,而其相位服從均勻分布。另外,不難看出有該式表明,在同一時(shí)刻t,隨機(jī)變量A(t)和Φ(t)是相互獨(dú)立的。但要注意A(t)與Φ(t)并不是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)過程。上一頁下一頁返回5.4窄帶正態(tài)隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的分布5.4.2二維分布由于Ac(t)和As(t)可以看作Y(t)和Y^(t)經(jīng)過線性變換后的結(jié)果,因此若Y(t)為窄帶平穩(wěn)正態(tài)過程,則Ac(t)和As(t)也必為平穩(wěn)正態(tài)過程。假定Y(t)具有關(guān)于中心頻率對(duì)稱的功率譜,令A(yù)c1和Ac2分別表示Ac(t)和Ac(t-τ)的取值,As1和As2分別表示As(t)和As(t-τ)的取值,求包絡(luò)和相位的二維概率密度步驟如下:先求出四維概率密度fAcAs（Ac1,As1,Ac2,As2）,然后轉(zhuǎn)換為fAΦA(chǔ)1,φ1,A2,φ2,最后再導(dǎo)出fA