微專題8相似三角形的五大?？寄Ｐ湍Ｐ?“A”字模型1.[2025·岳陽二模]如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，D為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，則DE的長為()2．[2025·青海]如圖，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，則的值是____．3．[2025·龍東]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－x＋3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B.四邊形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，…都是正方形，頂點(diǎn)A1，A2，A3，A4，…都在x軸上，頂點(diǎn)B1，B2，B3，B4，…都在直線y＝－x＋3上，連接BA1，B1A2，B2A3，B3A4，…，分別交C1B1，C2B2，C3B3，C4B4，…于點(diǎn)D1，D2，D3，D4，…，設(shè)△BB1D1，△B1B2D2，△B2B3D3，△B3B4D4，…的面積分別為S1，S2，S3，S4，…，則S2025＝________．模型2“母子”模型4．[2025·上海三模]如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為CD，AB上的點(diǎn)，且ED＝2BF，連接CF，EF，DF，其中∠CFE＝∠CDF，CF＝2，則DF＝()5．[2025·云南]如圖，D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件，使△CAD∽△CBA.你添加的條件是：_______________________________________________．∠CAD＝∠B或∠ADC＝∠BAC或(任選一個(gè))6．[2025·運(yùn)城二模]如圖，為某數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)小組利用太陽光下的影子測物體高度的示意圖．上午9點(diǎn)測得樹的影長BC為24.5米，下午14點(diǎn)測得該樹的影長AB為2米．若兩次測量太陽光線形成的夾角剛好為90°，則這棵樹的高度約是__米．77．[2025·重慶二模]如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且滿足∠ADC＝∠CAB，若AC＝4，AD＝3，則BD的長度為____．8．[2025·揚(yáng)州一模]如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，將△ABC沿著DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊的中點(diǎn)(記為A′)處．若AB＝8，BC＝12，則AD的長為____．4.5模型3“8”字模型9.[2025·嘉興二模]如圖，線段AD，BC交于點(diǎn)E，連接AB，CD.若∠A＝∠C，AE＝2，BE＝3，DE＝5，則CE的長為()10．[2025·梅州一模]如圖，E，F(xiàn)是?ABCD的邊AD上的兩點(diǎn)，連接CE，BF交于點(diǎn)O，△EOF的面積為1，△BOC的面積為9，四邊形ABOE的面積為5，則圖中陰影部分的面積為()11．[2025·廣州三模]如圖是小孔成像原理的示意圖，蠟燭AB在暗盒中所成的像CD的長是1cm，則像CD到小孔O的距離為__cm.312．[2024·寧夏]如圖，在?ABCD中，點(diǎn)M，N在AD邊上，AM＝DN，連接CM并延長，交BA的延長線于點(diǎn)E，連接BN并延長交CD的延長線于點(diǎn)F.求證：AE＝DF.小麗的思考過程如下：參考小麗的思考過程，完成推理．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△AEM∽△DCM，同理得△FDN∽△BAN，又∵AM＝DN，∴AM＋MN＝DN＋MN，即AN＝DM，又∵AB＝CD，∴AE＝DF.13．[2025·信陽二模]【閱讀與思考】小剛學(xué)習(xí)了圓這章知識(shí)后，在某本課外書上看到還有一個(gè)相交弦定理(圓內(nèi)的兩條弦相交，這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等)，下面是書上的證明過程，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．已知：如圖1，⊙O的兩條弦AB，CD相交于點(diǎn)P.求證：AP·BP＝CP·DP.證明：如圖1，連接AC，BD，∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴①___________，∴＝②___________，∴AP·BP＝CP·DP，∴兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．【任務(wù)】(1)請將上述證明過程補(bǔ)充完整；(2)小剛又看到一道課后習(xí)題：如圖2，AB是⊙O的弦，P是AB上一點(diǎn)，PB＝6cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半徑．解：(1)△ACP∽△DBP，；(2)延長OP交⊙O于點(diǎn)D，延長PO交⊙O于點(diǎn)F，設(shè)⊙O的半徑為xcm，則PD＝(x－5)cm，PF＝(x＋5)cm，由(1)得PD·PF＝PB·PA，∴(x－5)(x＋5)＝6×4，解得x＝7，∴⊙O的半徑為7cm.模型4“一線三等角”模型14.[2025·自貢]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO平移，得到△EFG，點(diǎn)E，F(xiàn)在坐標(biāo)軸上．若∠A＝90°，tanB＝，A(－4，3)，則點(diǎn)G坐標(biāo)為()A．(11，－4)B．(10，－3)C．(12，－3)D．(9，－4)15．[2023·東營]如圖，在等邊三角形△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)．將△ABC沿DE翻折，點(diǎn)C正好落在線段AB上的點(diǎn)F處，使得AF∶BF＝1∶2.若BE＝2，則CE的長度為()16.[新定義][2025·常州二模]定義：如果一個(gè)四邊形的兩條對角線將它分成的四個(gè)小三角形都是相似三角形，那么稱這樣的四邊形是“全相似四邊形”．如圖，△ABC和△ADC關(guān)于直線AC對稱，下列條件能使四邊形ABCD成為“全相似四邊形”的是()A．∠BAD＝90°B．∠ABC＝90°C．∠BCD＝60°

D．∠CDA＝60°17．[2025·鐵嶺模擬]如圖，以矩形ABCO的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)直角系，BC的中點(diǎn)D落在y軸上，反比例函數(shù)y＝(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－1，m)，則k的值是_____．模型5

旋轉(zhuǎn)型(手拉手模型)18.[2025·滁州三模](1)如圖1，正方形AEGH的頂點(diǎn)E，H在正方形ABCD的邊上，則HD∶GC∶EB＝__________；(2)把圖1中的正方形都換成矩形，并以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，且AD∶AB＝AH∶AE＝m∶n，此時(shí)HD∶GC∶EB＝_____________．19．[2025·湖北模擬]如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝8，AB＝4，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE.將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α.(1)問題發(fā)現(xiàn)：當(dāng)α＝0°時(shí)，＝_______；當(dāng)α＝180°時(shí)，＝_______；(2)拓展探究：試判斷，當(dāng)0°≤α<360°時(shí)，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；(3)問題解決：當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長．20．[2024·東營]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3.(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，將△CAB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CDE，連接AD，BE，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是________，AD與BE的位置關(guān)系是_________；(2)類比探究將△CAB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度得到△CDE，連接AD，BE，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系與(1)中結(jié)論是否一致？若AD交CE于點(diǎn)N，請結(jié)合圖2說明理由；(3)遷移應(yīng)用如圖3，將△CAB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定角度得到△CDE，當(dāng)點(diǎn)D落到AB邊上時(shí)，連接BE，求線段BE的長．解：(1)延長DA交BE于點(diǎn)H，如圖1，∵將△CAB繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△CDE，∴CD＝AC＝1，CE＝BC＝3，∠ACD＝∠ACB＝90°，∴BE＝3AD.∵CD＝AC，CE＝BC，∠ACD＝∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠DAC＝×90°＝45°，∠CBE＝∠CEB＝×90°＝45°，∴∠BHD＝180°－∠ADC－∠CBE＝180°－45°－45°＝90°，∴AD⊥BE.故答案為：BE＝3AD，AD⊥BE；(2)線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系與(1)中結(jié)論一致；理由如下：延長DA交BE于點(diǎn)H，如圖2，∵將△CAB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△CDE，∴CD＝AC＝1，CE＝BC＝3，∠ACD＝∠BCE，∠DCE＝∠