酒泉市普通高中2025~2026學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)日填寫清楚.3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：湘教版必修第一冊第1章~第5章第2節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式得到集合的具體范圍，再分別計(jì)算與，逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】由已知解得集合，.選項(xiàng)A，由于，不是空集，所以A錯誤；選項(xiàng)B，由于，即，所以B錯誤；選項(xiàng)C，由于，即，所以C正確；選項(xiàng)D，由于，不等于，所以D錯誤.故選：C.2.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)可得，進(jìn)而求解即可.【詳解】由，得，解得，則不等式的解集為.故選：B3.下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對每個(gè)選項(xiàng)逐一分析，找出特例或者反例驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】選項(xiàng)A：要使，則需要，而，所以為假命題；選項(xiàng)B：所有，可找反例，取特殊值，代入得，此時(shí)不成立，所以為假命題；選項(xiàng)C：存在，符合即可，取，代入得成立，所以為真命題；選項(xiàng)D：所有，可找反例，取特殊值，代入得，，此時(shí)不成立，所以為假命題；故選：C.4.已知是第四象限角，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式計(jì)算求值.【詳解】已知是第四象限角，，則，，.故選：D5.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小即得.【詳解】，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此，所以.故選：A6.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)性質(zhì)得到為單調(diào)遞增函數(shù)，再利用零點(diǎn)存在性定理即可判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，一次函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增.；；；因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.7.下列函數(shù)值：①；②；③；④，其結(jié)果為負(fù)值的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及各象限內(nèi)三角函數(shù)的正負(fù)判斷即可.【詳解】對于①：，對于②：，對于③：，因?yàn)?，所以，即，對于④：因?yàn)椋?故選：C8.已知，，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意可得，再利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?，即，所以，又，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號成立.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)為冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)的可能性取值為（）A.1 B.-2 C.3 D.-4【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義得到方程，求出實(shí)數(shù)，檢驗(yàn)后得到答案.【詳解】由題意得，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，均滿足要求.故選：AD10.下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求解.【詳解】對于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確，對于B，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以B正確，對于C，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以C錯誤，對于D，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以D正確，故選：ABD.11.下列說法正確的是（）A.函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.若函數(shù)是奇函數(shù)，則C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D.函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義及其判定方法，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.【詳解】A：設(shè)為圖象上的一點(diǎn)，其關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，且，對于，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A正確；B：若為奇函數(shù)，其定義域可能不包含0，則不成立，故B錯誤；C：函數(shù)圖象向右平移1個(gè)長度單位，向上平移1個(gè)長度單位，可得的圖象，而函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以圖象關(guān)于對稱，故C正確；D：設(shè)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，所以，即為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】二次函數(shù)是開口向上的拋物線，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，說明對稱軸落在區(qū)間內(nèi)，因此列出不等式計(jì)算即可.【詳解】函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，其對稱軸為直線：二次函數(shù)在對稱軸的一側(cè)單調(diào)，若在區(qū)間上不單調(diào)，則對稱軸需落在區(qū)間內(nèi)，即.故答案為：.13.如圖，已知矩形截圓所得的弧的長為，，則矩形在圓外部分的面積為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用弧長公式得圓的半徑，再結(jié)合條件，利用扇形的面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓半徑為，由題有，解得，又，所以，又點(diǎn)在圓上，，則所以矩形的面積為，又扇形的面積為，所以矩形在圓外部分的面積為，故答案為：.14.已知函數(shù)若方程有四個(gè)不等實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合法，把方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)圖象：因?yàn)?，，所以在處是連續(xù)的，根據(jù)方程有四個(gè)不等實(shí)數(shù)解，則直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，即a的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知，求值；（2）計(jì)算：．【答案】（1）當(dāng)為第一象限角時(shí)，，；當(dāng)為第三象限角時(shí)，，；（2）.【解析】【分析】（1）討論所在的象限，結(jié)合商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系即可求解；（2）結(jié)合誘導(dǎo)公式，化簡后即可求解.【詳解】（1）由，得，又由，得，即由，得為第一或第三象限角，當(dāng)為第一象限角時(shí)，，故，；當(dāng)為第三象限角時(shí)，，故，；（2）利用誘導(dǎo)公式得：.16.（1）計(jì)算：；（2）化簡：；（3）已知，求m的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（3）由已知利用指數(shù)冪的運(yùn)算得，然后利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則得，即可得解．詳解】（1）；（2）由得；（3）因?yàn)?，所以，所以，又，所以?7.已知函數(shù)，其中，（1）求的定義域；（2）若，求a的值；（3）討論的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）4；（3）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的成立的條件建立不等式組即可求出函數(shù)的定義域；（2）把代入的解析式，即可求出a的值；（3）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡的解析式，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由條件，要使函數(shù)有意義，須有：，解得：，故的定義域?yàn)?；【小?詳解】由得，即，得，滿足，故若，；【小問3詳解】由條件得：,由（1）知，令，，該函數(shù)的圖象是開口向下，對稱軸為的拋物線，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，可得在定義域上是單調(diào)遞增的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.18.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求證：在上單調(diào)遞增；（3）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用定義在上奇函數(shù)有，求出實(shí)數(shù)的值，然后驗(yàn)證奇偶性即可.（2）根據(jù)單調(diào)性定義證明即可.（3）由單調(diào)性求區(qū)間最小值，結(jié)合恒成立條件即可得解.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得.此時(shí)，則，滿足題意.故實(shí)數(shù)的值為.【小問2詳解】證明：由（1）可得，任取，且，則，因?yàn)?，且指?shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)椋?因此，即.故根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】由（2）可得在定義域上單調(diào)遞增，要使對任意恒成立，只需，而當(dāng)時(shí)，，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.某科技公司設(shè)立了兩個(gè)研發(fā)實(shí)驗(yàn)室，分別探索不同技術(shù)路線來提升人工智能芯片的性能．兩個(gè)實(shí)驗(yàn)室的研發(fā)起點(diǎn)相同（月時(shí)，芯片基礎(chǔ)性能得分均為0），記錄了研發(fā)時(shí)間t（月）與芯片性能得分P（得分越高，性能越好）的關(guān)系如下：實(shí)驗(yàn)室A（技術(shù)路線甲）：早期數(shù)據(jù)增長迅猛，如下表所示：t（月）1234P（得分）3122748實(shí)驗(yàn)室B（技術(shù)路線乙）：增長平穩(wěn)，符合對數(shù)函數(shù)特點(diǎn)，已知其性能增長模型為，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（1）根據(jù)實(shí)驗(yàn)室A的數(shù)據(jù)，判斷性能得分P與時(shí)間t更符合哪一種函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)還是冪函數(shù)?說明理由，并寫出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)實(shí)驗(yàn)室B的數(shù)據(jù)，求出常數(shù)a，b的值，并寫出P關(guān)于t的函數(shù)解析式；（3）若兩個(gè)實(shí)驗(yàn)室均研發(fā)至第6個(gè)月．（i）用實(shí)驗(yàn)室A的模型預(yù)測性能得分；（ⅱ）用實(shí)驗(yàn)室B的模型預(yù)測性能得分；（ⅲ）從從技術(shù)發(fā)展的長期可持續(xù)性角度，哪一種技術(shù)路線能獲得更高的性能得分？請結(jié)合函數(shù)增長特性說明理由．（，）【答案】（1）；（2）；（3）甲,理由見解析.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)過原點(diǎn)，可確定冪函數(shù)模型，再用待定系數(shù)法求解即可；（2）利用待定系數(shù)法直接可求出函數(shù)解析式；（3）利用兩函數(shù)的解析式分別求第6個(gè)月的函數(shù)值，即可得到預(yù)測性能分，然后根據(jù)二次函數(shù)和對數(shù)型函數(shù)模型的增長率作出比較即可得到答案．【小問1詳解】由時(shí)，，若，則，此時(shí)，不滿足題意，故，又當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，故；【小問2詳解】由于用實(shí)驗(yàn)室的數(shù)據(jù)來求參數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，代入得：，當(dāng)時(shí)，，