第08講等高線問題與函數(shù)的整數(shù)解問題【典型例題】例1．（2024·全國·模擬預(yù)測）當時，恒成立，則整數(shù)的最大值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】由題意得，在上恒成立，設(shè)，，所以，因為，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，，所以在上僅有一個實數(shù)根，設(shè)為，所以，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以.因為，，所以，將代入可得，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，當時，不成立，又，則整數(shù)的最大值為.故選：B.例2．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，，，又函數(shù)對稱軸為，在同一平面直角坐標系中畫出與的圖象，因為方程有四個不同的解，，，，且，即與有四個交點，所以，由圖可知，又，關(guān)于對稱，即，又，且，即，則，所以，則；所以，令，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，又，，所以，即．故選：D．例3．（2024·安徽池州·三模）已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方程有四個不同的解等價于與有四個不同的交點，如下圖所示：則與關(guān)于對稱，，，，，令，解得：；令，解得：；，在上單調(diào)遞增，，即的取值范圍為.故選：.例4．（2024·四川巴中·一模）已知函數(shù)對任意都有，當時，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實數(shù)滿足，則得取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)對任意都有，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，作出函數(shù)的圖象，如圖，所以，令，解得；令，解得；所以，又，所以，即，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，即.故選：D.例5．（2024·高三·江西·期末）若集合中僅有2個整數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】原不等式等價于，設(shè)，，則，令，得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.又，時，，因此與的圖象如圖，當時，顯然不滿足題意；當時，當且僅當，或.由第一個不等式組，得，即，由第二個不等式組，得，該不等式組無解.綜上所述，.故選：A.例6．（2024·高三·江蘇·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對任意的恒成立，則整數(shù)的最大值為（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】B【解析】因為對于任意恒成立，等價于對于任意恒成立，令，，則，令，，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以在有且僅有一個根，滿足，即，當時，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，時，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，由對勾函數(shù)可知，即，因為，即，，，所以，當時，不等式為，因為，不合題意；所以整數(shù)的最大值為0.故選：B例7．（2024·浙江溫州·二模）若關(guān)于的方程的整數(shù)根有且僅有兩個，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則原方程為，由，當且僅當，即時等號成立，所以，整理得①，顯然不滿足，令，即必有兩根，且，故為兩個正根，所以，可得或，對于，有，即，即恒滿足①，要使①中整數(shù)根有且僅有兩個，則對應(yīng)兩個整數(shù)根必為，若整數(shù)根為且，則，即，所以，得，綜上，故選：C例8．（2024·高二·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當時，求證：；(2)當時，函數(shù)在上的最大值為，求不超過的最大整數(shù)．【解析】（1）令，則，

當時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，則，

所以，即.（2）當時，，，

令，則，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，

又，，，所以存在唯一的，使，即，所以當時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，∴，

，又，所以，

所以不超過的最大整數(shù)為.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·高三·陜西西安·期末）已知函數(shù)，對任意的，關(guān)于的方程有兩個不同實根，則整數(shù)的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由，即，得，設(shè)，則，顯然是上的增函數(shù).因為，所以存在，使得，即；當時，，當時，0，則；令，則，當時，，在上單調(diào)遞減，因為，所以，則，又為整數(shù)，所以.故選：A2．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）已知x表示不超過x的最大整數(shù)，xm為函數(shù)（x1）的極值點，則fm（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，，則令，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，函數(shù)存在唯一零點．,單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以是函數(shù)的極小值點，即，．故選：A．3．（2024·高二·浙江杭州·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個整數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，且，可得，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，且，由題意可得，解得，所以的取值范圍是.故選：C.4．（2024·高二·四川成都·期中）若關(guān)于的不等式的解集中恰有2個整數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知可得，將不等式可化為，令，，所以，時，，在為增函數(shù)；時，，在為減函數(shù).所以，在處有極大值，也是最大值1.令，顯然，所以單調(diào)遞增.作出的圖象因為不等式的解集中恰有2個整數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象可知，1和2滿足不等式，且3不滿足不等式，即，解得.故選：C．5．（2024·高三·重慶·期中）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有三個整數(shù)解，則整數(shù)a的取值是（

）(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】不等式可整理為，當時，成立，所以其它兩個整數(shù)解大于1，當時，原不等式可整理為，令，則，令，則，當時，，則在上單調(diào)遞增，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以不等式的兩個整數(shù)解只能是2,3，所以不等式的三個整數(shù)解為1,2,3，則，解得，因為，，，所以整數(shù).故選：B.6．（2024·高二·河北邢臺·階段練習(xí)）若函數(shù)，在其定義域上只有一個零點，則整數(shù)a的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)在上單調(diào)遞增，故當時，則在上單調(diào)遞增，，根據(jù)零點存在定理，在存在唯一零點，則當時，無零點時，，令，則，時，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是時，有最小值依題意，，解得，所以最小整數(shù)為故選：C7．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）若當時，關(guān)于x的不等式恒成立，則滿足條件的a的最小整數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】關(guān)于x的不等式恒成立，因為，所以，即，即，即，令單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；易證，且，所以，所以當時原不等式一定成立，即．令又易知，據(jù)此可以判斷滿足不等式成立，故最小整數(shù)為1．故選:A．8．（2024·高二·重慶北碚·階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個零點，且存在唯一的整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意函數(shù)有兩個零點，即，得有兩個正實根，設(shè)，則，令，解得，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減；故當時，函數(shù)取得極大值，且，又時，；當時，；當時，，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：直線與的圖象的兩個交點的橫坐標即分別為，由題意知，又，因為存在唯一的整數(shù)，所以，又直線與的圖象有兩個交點，由圖可知：，即，故選：D.9．（2024·高二·山西運城·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，令，因為存在唯一的整數(shù)使得，即，，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)取得極小值也是最小值，作出其大致圖象如圖：是斜率為a，且過定點的直線，當時，存在無窮多個滿足條件的整數(shù)滿足不等式，不符合題意，故，又，，此時需滿足在圖象上只有一個橫坐標為整數(shù)的點在直線下方，則需滿足，解得，則實數(shù)a的取值范圍是，故選：C．10．（2024·高三·河北石家莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)對于任意，均滿足，當時，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實數(shù)滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由知關(guān)于對稱，如圖，因此，所以，又因為，所以，因此，由題意知，令，則，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，由，則，故.故選：D.11．（2024·河北石家莊·二模）已知函數(shù)存在互不相等實數(shù)，，，，有．現(xiàn)給出三個結(jié)論：（1）；（2），其中為自然對數(shù)的底數(shù)；（3）關(guān)于的方程恰有三個不等實根．正確結(jié)論的個數(shù)為A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】畫出函數(shù)圖像如圖所示，顯然當時方程存在互不相等實根，，，，則（1）正確；（2）當時，，即；當時，，故（2）正確；（3）求函數(shù)與交點的個數(shù)，當時，yu恰有四個不等實根．故（3）錯誤故選C12．（2024·高二·四川成都·期中）已知函數(shù)，函數(shù)，直線分別與兩函數(shù)交于、兩點，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】設(shè)，，則，，消去得．所以，其中.令，，則，當時，，當時，．故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，所以的最小值為．故選：A．13．（2024·高三·貴州黔西·期中）已知函數(shù)，若方程有3個不同的實根，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，故可得，令，解得，當或時，；時，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．則的極大值為，的極小值為，∵，∴當時，；當時，；當時，，根據(jù)以上信息，作出的大致圖象如圖所示：由圖可知，直線與函數(shù)的圖象有3個交點時，方程有3個不同的實根，則，因為方程的3個不同的實根為，則，又因為，故，令，則，令，解得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，又，，故可得，所以時，，即．故選：A．14．（2024·高三·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有3個不同的實根，，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，函數(shù)，可得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；又由當時，，時，，且，，，故可大致畫出的圖象如下：由圖象可知，a的取值范圍為，此時對應(yīng)的取值范圍為，而，故令，則，故當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；而，，，故的取值范圍是.故選：A.15．（2024·高三·廣東·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個不等實根，且，則的最小值是（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)．考慮函數(shù)在上的單調(diào)性，由于，當時，，可得；當時，，，所以，即當時，總有，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)為奇函數(shù)，即函數(shù)在R上遞增，令，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖以及題意可知，僅在上有一解，即，由，解得，即有，設(shè)，可得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減增，所以.故選：D.16．（2024·福建廈門·二模）已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有兩個不等實根，且，則的最小值是A．2 B． C． D．【答案】D【解析】由題可得，當時，，當時，，∴在上恒成立，∴是上的增函數(shù).令，則有且只有一解，則要使方程有兩解，只要有兩解即可.∵，∴在和上都是增函數(shù)，作出函數(shù)與的圖象，因此當時，有兩解，設(shè)解為且，則，，，，，，令，，易知時，，時，，即時取得極小值也是最小值.故選：D.17．（2024·高三·河南·開學(xué)考試）已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有兩個不等實根，，且，則的最大值是（

）A．0 B．2 C． D．【答案】C【解析】由于，故函數(shù)在上遞增，又有兩個相異實根，所以存在，使得有兩個相異實根，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖以及題意可知，，由，解得，，即有，設(shè)，，可得，所以在上單調(diào)遞增，．故選：C.18．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程（）有四個實數(shù)解，且，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示：因為關(guān)于x的方程（）有四個實數(shù)解，且，，所以.的對稱軸為，所以.因為，所以，即，.因為，所以.所以，令，，因為，為減函數(shù)，所以.故選：A.19．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方程有四個不同的解等價于與有四個不同的交點，如下圖所示：則與關(guān)于對稱，，，，，令，解得：；令，解得：；，在上單調(diào)遞增，，即的取值范圍為.故選：D.二、多選題20．（2024·遼寧葫蘆島·二模）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個實數(shù)解，且，則的值可能是（

）A．0 B．1 C．99 D．100【答案】BC【解析】如圖所示：因為關(guān)于的方程有四個實數(shù)解，且，所以.的對稱軸為，所以.因為，所以，即，.因為，所以.所以，因為，為減函數(shù)，所以.故選：BC三、填空題21．（2024·安徽合肥·一模）已知直線y＝b與函數(shù)f（x）＝2x+3和g（x）＝ax+lnx分別交于A，B兩點，若AB的最小值為2，則a+b＝.【答案】2.【解析】設(shè)A（x1，b），B（x2，b），可設(shè)x1＜x2，則2x1+3＝ax2+lnx2＝b，∴x1（ax2+lnx2﹣3），∴|AB|＝x2﹣x1＝（1a）x2lnx2，令y＝（1a）xlnx，則y′＝1?（x＞0），由|AB|的最小值為2，可得2﹣a＞0，函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，∴x時，函數(shù)y取得極小值，且為最小值2，即有（1a）?ln2，即得ln0解得a＝1，由x2＝1，則b＝ax2+lnx2＝1+ln1＝1，可得a+b＝2．故答案為：2．四、解答題22．（2024·高二·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，是自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；(3)若，為整數(shù)，且當時，恒成立，求的最大值.【解析】（1），若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，若，，得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，綜上可知，時，的增區(qū)間是，當時，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）方程，顯然當時，方程不成立，則，，若方程有兩個不等實根，即與有2個交點，，當時，，在區(qū)間和單調(diào)遞減，并且時，，當時，當時，，單調(diào)遞增，時，當時，取得最小值，，如圖，函數(shù)的圖象，與有2個交點，則；（3）當時，，，所以，當時，，，令，，則，由（1）可知，在單調(diào)遞增，而且，所以在上存在唯一的零點，即在上存在唯一的零點，設(shè)此零點為，則，且，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，所以整數(shù)的最大值為2.23．（2024·高一·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求；(2)若，求滿足不等式的最大整數(shù).【解析】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以，化簡得：解得，經(jīng)檢驗均符合題意，所以.（2）依題意有，即，因此當時，；當時，，所以，又，所以，因此滿足不等式，因為，所以在上單調(diào)遞減，因此，即，解得，即.因為，因此滿足不等式的最大整數(shù).24．（2024·高二·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若對任意，有恒成立，求整數(shù)m的最小值【解析】（1）因為，當時，在上恒成立，此時在上單調(diào)遞增；當時，，得舍去，，當時，，則在上單調(diào)遞增；當時，，則在上單調(diào)遞減；綜上：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）因為對任意，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，則.設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，因為，，所以，使得，即.當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.因為，所以，故整數(shù)m的最小值為25．（2024·高三·四川巴中·階段練習(xí)）函數(shù)；(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)在恒成立，求整數(shù)的最大值.【解析】（1）當時，，，當單調(diào)遞減；當或單調(diào)遞增；故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和（2）因為，所以，即，故，在恒成立，即，則在恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以方程有且只有一個實根，且，，所以在上，，單調(diào)遞減；在,上，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，從而，又為整數(shù)，所以的最大值為：2．26．（2024·寧夏銀川·一模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．【解析】（1），，所以，當時，，，單調(diào)遞增，當時，令得，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）因為，恒成立，所以恒成立，所以恒成立，令，則，在上單調(diào)遞減，又，，所以存在唯一實數(shù)，使得，即，即，所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，所以，令，則恒過點，若，則在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以符合題意，若，則，所以成立，所以符合題意，若時，則在上單調(diào)遞減，當時，，且，又，所以當時，，下證：當時，，即證，則，且在上單調(diào)遞減，所以，所以時符合題意，當時，，取，則，因為，不滿足，所以當時，不符合題意，綜上所述，整數(shù)的最大值為．27．（2024·河南·三模）已知函數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若此函數(shù)的圖象與直線交于點P，求該曲線在點P處的切線方程；(2)判斷不等式的整數(shù)解的個數(shù)；(3)當時，，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1），所以，又

所以該曲線在點P處的切線方程為:，即（2）的定義域為，，當時，，單調(diào)遞增；當，，單調(diào)遞減．

又，，，，

所以，不等式的整數(shù)解的個數(shù)為3．（3）不等式可整理為，

令，，所以當，，單調(diào)遞增，當，，單調(diào)遞減，所以，又，所以令，則

令，則

令，則

令，，則，，

所以單調(diào)遞減，，所以，單調(diào)遞減，，所以，所以，所以單調(diào)遞減，

所以.28．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．【解析】（1）當時，，因為，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即．（2）由題意，知對任意恒成立，可知對任意恒成立．設(shè)函數(shù)，只需．對函數(shù)求導(dǎo)，得．設(shè)函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．又，所以存在，使，即，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以．又，所以，所以整數(shù)的最大值為2．29．（2024·高三·廣東·開學(xué)考試）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)當時，求的最小值；(2)若對定義域內(nèi)的一切實數(shù)，都有，求整數(shù)的最小值．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）時，，故，因為在上均為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當時，，當時，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故.（2）由的定義域為，，因為在上均為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，而，當（從的右側(cè)）時，，故在上存在一個零點，且時，；時，；故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，而，故，且，故，故，故，故，故.若，則即，因為在均為增函數(shù)，故在為增函數(shù)，而，但，故，即，故，但，即成立故時，恒成立，故整數(shù)的最小值為1.30．（2024·高三·寧夏石嘴山·期末）設(shè)函數(shù)(1)若曲線在點處的切線斜率為，求實數(shù)的值及該切線方程；(2)若，為整數(shù)，且當時，恒成立，求的最大值.【解析】（1）由已知條件得，在點處的切線斜率為，即，此時，所以，所以切線方程為，即；（2）由得，整理得，當時，，即，令，則.令，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，其中，，∵由零點存在性定理可知在上存在唯一的零點，即，∴在上，在上，∴在上，在上，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在上的最小值為，又，∴，即，∴，且為整數(shù)，∴的最大值.31．（2024·高三·浙江寧波·期末）已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若在內(nèi)恒成立，求整數(shù)的最大值.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，當時，，，令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由可得：，記，，①若，即，，則在上單調(diào)遞增，又時，，不合題意；②若，即，令，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，則令，解得：