中考數(shù)學(xué)

§3.5二次函數(shù)的綜合應(yīng)用考點一拋物線與線段長、面積、角度1.(2020新疆,23,13分)如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,拋物線y=ax2+bx+c的頂點是A(1,3),將

OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到OB,點B恰好在拋物線上,OB與拋物線的對稱軸交于點C.(1)求拋物線的解析式;(2)P是線段AC上一動點,且不與點A,C重合,過點P作平行于x軸的直線,與△OAB的邊分別交于M,N兩點,

將△AMN以直線MN為對稱軸翻折,得到△A'MN.設(shè)點P的縱坐標為m.①當△A'MN在△OAB內(nèi)部時,求m的取值范圍;②是否存在點P,使S△A'MN=

S△OA'B?若存在,求出滿足條件的m的值;若不存在,請說明理由.

解析(1)過點A作AD⊥y軸,垂足為點D,過點B作BE⊥x軸,垂足為點E.則∠ODA=∠OEB=90°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OB,∠AOB=90°,∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°,∴∠AOD=∠BOE,

在△AOD和△BOE中,

∴△AOD≌△BOE(AAS),∴OD=OE,AD=BE,∵A(1,3),∴BE=AD=1,OD=OE=3,∴點B的坐標為(3,-1),∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點是A(1,3),∴y=a(x-1)2+3,把B(3,-1)代入,解得a=-1,∴y=-(x-1)2+3,∴y=-x2+2x+2.(2)①拋物線的對稱軸為x=1,A(1,3),P(1,m),根據(jù)翻折可知AP=A'P,則A'(1,2m-3),由B(3,-1)可求得直線OB的解析式為y=-

x,則C

,∴-

<2m-3<3,解得

<m<3.②存在.由A(1,3)和B(3,-1)可求得直線OA和AB的解析式分別為y=3x和y=-2x+5.情況一:當

<m<3時,如圖所示.

M

,N

,∴MN=

-

=

=

.∴S△A'MN=S△AMN=

·MN·AP=

·

·(3-m)=

.∵C

,∴A'C=2m-

,∴S△OA'B=S△OA'C+S△BA'C=

·A'C·xC+

·A'C·(xB-xC)=

×A'C×3=

×

×3=3m-4.∵S△A'MN=

S△OA'B,∴

=

,∴m1=6+

(舍去),m2=6-

,∴m=6-

.情況二:當0≤m<

時,如圖所示.

由情況一得S△A'MN=

.∵C

,∴A'C=

-2m,∴S△OA'B=S△OA'C+S△BA'C=

A'C×3=

×

×3=4-3m.∵S△A'MN=

S△OA'B,∴

=

,∴m2+1=0,無解.情況三:當-

<m<0時,如圖所示.

M(-3m,m),N

,∴MN=

,∴S△A'MN=S△AMN=

·MN·AP=

·

·(3-m)=

.由情況二得S△OA'B=4-3m,∵S△A'MN=

S△OA'B,∴

=

,∴m1=

(舍去),m2=

,∴m=

.綜上所述,m的值是6-

或

.解后反思本題考查了二次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)與翻折變換,綜合性較強,計算能力要求較高.在分析、解決問題

時,要注意挖掘已知條件,充分利用圖形變換的性質(zhì)解題.(2)的②中涉及分類討論,在處理用含m的代數(shù)式

表示點坐標、線段長度和三角形面積時要細心.2.(2020山西,23,13分)如圖,拋物線y=

x2-x-3與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C.直線l與拋物線交于A,D兩點,與y軸交于點E,點D的坐標為(4,-3).(1)請直接寫出A,B兩點的坐標及直線l的函數(shù)表達式;(2)若點P是拋物線上的點,點P的橫坐標為m(m≥0),過點P作PM⊥x軸,垂足為M,PM與直線l交于點N,當點

N是線段PM的三等分點時,求點P的坐標;(3)若點Q是y軸上的點,且∠ADQ=45°,求點Q的坐標.

解析(1)A(-2,0),B(6,0),直線l的函數(shù)表達式為y=-

x-1.

(3分)詳解:令

x2-x-3=0,得x2-4x-12=0,∴(x-6)(x+2)=0,∴x1=-2,x2=6.∴A(-2,0),B(6,0).設(shè)直線l的函數(shù)表達式為y=kx+b(k≠0),把A(-2,0),D(4,-3)代入得

解得

∴直線l的函數(shù)表達式為y=-

x-1.(2)如圖,根據(jù)題意可知,點P與點N的坐標分別為P

,N

.

PM=

=-

m2+m+3,MN=

=

m+1.NP=

-

=-

m2+

m+2.分兩種情況:①當PM=3MN時,得-

m2+m+3=3

.

(4分)解得m1=0,m2=-2(舍去).當m=0時,

m2-m-3=-3.∴點P的坐標為(0,-3).

(5分)②當PM=3NP時,得-

m2+m+3=3

.

(6分)解得m1=3,m2=-2(舍去).當m=3時,

m2-m-3=-

.∴點P的坐標為

.∴當點N是線段PM的三等分點時,點P的坐標為(0,-3)或

.

(7分)(3)∵直線y=-

x-1與y軸交于點E,∴點E的坐標為(0,-1).分兩種情況:①如圖,當點Q在y軸正半軸上時,記為點Q1.過點Q1作Q1H⊥直線l,垂足為H,則∠Q1HE=∠AOE=90°,∵∠Q1EH=∠AEO,∴△Q1HE∽△AOE.∴

=

.即

=

.∴Q1H=2HE.

(8分)又∵∠Q1DH=45°,∠Q1HD=90°,∴∠HQ1D=∠Q1DH=45°.∴DH=Q1H=2HE.∴HE=ED.?(9分)連接CD,∵點C的坐標為(0,-3),點D的坐標為(4,-3),∴CD⊥y軸.∴ED=

=

=2

.∴HE=2

,Q1H=4

.∴Q1E=

=

=10.∴OQ1=Q1E-OE=10-1=9,∴點Q1的坐標為(0,9).?(10分)②如圖,當點Q在y軸負半軸上時,記為點Q2.過點Q2作Q2G⊥直線l,垂足為G.則∠Q2GE=∠AOE=90°,

∵∠Q2EG=∠AEO,∴△Q2GE∽△AOE.∴

=

.即

=

.∴Q2G=2EG.

(11分)又∵∠Q2DG=45°,∠Q2GD=90°,∴∠DQ2G=∠Q2DG=45°.∴DG=Q2G=2EG.∴ED=EG+DG=3EG.?(12分)由①可知,ED=2

.∴3EG=2

.∴EG=

.∴Q2G=

.∴EQ2=

=

=

.∴OQ2=OE+EQ2=1+

=

.∴點Q2的坐標為

.∴點Q的坐標為(0,9)或

.

(13分)方法總結(jié)與二次函數(shù)有關(guān)的解答題中涉及線段長度或最值問題時一般采用坐標法,就是以坐標系為

橋梁,通過坐標把線段轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題,通過代數(shù)運算解決問題,同時注意分類討論思想的應(yīng)用.難點突破本題第(3)問注意分類討論.當點Q在y軸正半軸上時,記作Q1,作Q1H⊥直線l于H,構(gòu)造△Q1HE

∽△AOE;當點Q在y軸負半軸上時,記作Q2,作Q2G⊥直線l于G,構(gòu)造△Q2GE∽△AOE.然后根據(jù)相似比和

勾股定理進行解答.3.(2020海南,22,15分)拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0)和點B(2,0),與y軸交于點C.(1)求該拋物線的函數(shù)表達式;(2)點P是該拋物線上的動點,且位于y軸的左側(cè).①如圖1,過點P作PD⊥x軸于點D,作PE⊥y軸于點E,當PD=2PE時,求PE的長;②如圖2,該拋物線上是否存在點P,使得∠ACP=∠OCB?若存在,請求出所有點P的坐標;若不存在,請說明

理由.解析(1)∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0)、B(2,0),∴

(2分)解得

(4分)∴拋物線的函數(shù)表達式為y=x2+x-6.?(5分)(2)①設(shè)PE=t(t>0),則PD=2t,因為點P是拋物線上的動點且位于y軸左側(cè),當點P在x軸上時,點P與A重合,不合題意,故舍去,因此分為以

下兩種情況討論:i.如圖1,當點P在第三象限時,點P的坐標為(-t,-2t),則t2-t-6=-2t,即t2+t-6=0,?(6分)解得t1=2,t2=-3(舍去),∴PE=2.?(7分)

ii.如圖2,當點P在第二象限時,點P的坐標為(-t,2t),則t2-t-6=2t,即t2-3t-6=0,?(8分)解得t1=

,t2=

(舍去),∴PE=

.

(9分)綜上所述,PE的長為2或

.

(10分)②存在點P,使得∠ACP=∠OCB.當x=0時,y=-6,∴C(0,-6),∴OC=6.在Rt△AOC中,AC=

=

=3

,過點A作AH⊥AC,交直線CP于點H,則∠CAH=∠COB,又∠ACP=∠OCB,∴△CAH∽△COB,∴

=

=

=

,

(11分)過點H作HM⊥x軸于點M,則∠HMA=∠AOC,∵∠MAH+∠OAC=90°,∠OAC+∠OCA=90°,∴∠MAH=∠OCA,∴△HMA∽△AOC,∴

=

=

,即

=

=

,∴MH=1,MA=2.?(12分)i.如圖3,當點P在第三象限時,點H的坐標為(-5,-1),

圖3由H(-5,-1)和C(0,-6)得直線CP的解析式為y=-x-6,于是有x2+x-6=-x-6,即x2+2x=0,解得x1=-2,x2=0(舍去),∴點P的坐標為(-2,-4).

(13分)ii.如圖4,當點P在第二象限時,點H的坐標為(-1,1),

圖4由H(-1,1)和C(0,-6)得直線CP的解析式為y=-7x-6,于是有x2+x-6=-7x-6,即x2+8x=0,解得x1=-8,x2=0(舍去),∴點P的坐標為(-8,50).?(14分)綜上所述,點P的坐標為(-2,-4)或(-8,50).?(15分)解后反思對于(2)中的②,由點A,B,C的坐標易得OB∶OC=1∶3及AC的長.過點A作AH⊥AC,過點H作

HM⊥x軸于點M,分點P在第二象限和第三象限兩種情況,易得△HMA∽△AOC,進而求出點H的坐標,這

樣便可得到直線CP的解析式,聯(lián)立直線的解析式和拋物線的解析式求出點P的坐標即可.4.(2019湖北武漢,24,12分)已知拋物線C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2.(1)如何將拋物線C1平移得到拋物線C2?(2)如圖1,拋物線C1與x軸正半軸交于點A,直線y=-

x+b經(jīng)過點A,交拋物線C1于另一點B,請你在線段AB上取點P,過點P作直線PQ∥y軸交拋物線C1于點Q,連接AQ.①若AP=AQ,求點P的橫坐標;②若PA=PQ,直接寫出點P的橫坐標;(3)如圖2,△MNE的頂點M,N在拋物線C2上,點M在點N右邊,兩條直線ME,NE與拋物線C2均有唯一公共點,

ME,NE均與y軸不平行.若△MNE的面積為2,設(shè)M,N兩點的橫坐標分別為m,n,求m與n的數(shù)量關(guān)系.解析(1)將C1先向左平移1個單位長度,再向上平移4個單位長度得到C2.或?qū)1先向上平移4個單位長度,再向左平移1個單位長度得到C2.(2)①如圖,設(shè)直線AB與y軸交于點D,延長AQ交y軸于點D',∵C1:y=(x-1)2-4,∴A(3,0),∵直線y=-

x+b經(jīng)過A(3,0),∴b=4,∴D(0,4),則易知D'(0,-4),∴直線AD'的解析式為y=

x-4,由

得x1=3,x2=

,∴xQ=

,∴xP=xQ=

,∴點P的橫坐標為

.

②點P的橫坐標為-

.詳解:由

得x1=-

,x2=3,故B

.設(shè)點P的橫坐標為a

,∵點P在線段AB上,∴點P的坐標為

,∵點Q在拋物線C1上,∴點Q的坐標為(a,a2-2a-3).∴PQ2=

,又∵PA=PQ,∴PA2=(a-3)2+

=

,∴(a-3)2=(a-3)(a+1)(a-3)

,又∵a≠3,∴(a+1)

=1,∴

(a+4)=0,∴a1=-

,a2=-4(舍),∴點P的橫坐標為-

.(3)∵C2:y=x2,∴M(m,m2),N(n,n2),設(shè)直線ME的解析式為y=kx+t,∵M(m,m2),∴t=m2-km,由

得x2-kx+km-m2=0,依題意有Δ=k2-4(km-m2)=0,∴k=2m,∴直線ME的解析式為y=2mx-m2,同理,直線NE的解析式為y=2nx-n2,由

得E

,∵M(m,m2),N(n,n2),∴直線MN的解析式為y=(m+n)x-mn,過E作EF∥y軸交MN于點F,則F

,∴EF=

-mn=

(m-n)2,∴S△MNE=

(m-n)·

(m-n)2=

(m-n)3=2,∴m-n=2.∴m與n的數(shù)量關(guān)系為m-n=2.

5.(2019吉林,26,10分)如圖,拋物線y=(x-1)2+k與x軸相交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸相交于點C(0,-

3),P為拋物線上一點,橫坐標為m,且m>0.(1)求此拋物線的解析式;(2)當點P位于x軸下方時,求△ABP面積的最大值;(3)設(shè)此拋物線在點C與點P之間部分(含點C和點P)最高點與最低點的縱坐標之差為h.①求h關(guān)于m的函數(shù)解析式,并寫出自變量m的取值范圍;②當h=9時,直接寫出△BCP的面積.

解析(1)把(0,-3)代入y=(x-1)2+k,得-3=(0-1)2+k,解得k=-4.所以此拋物線的解析式為y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.(2)令y=0,得(x-1)2-4=0,解得x1=-1,x2=3.所以A(-1,0),B(3,0),所以AB=4.解法一:由(1)知,拋物線頂點坐標為(1,-4).由題意知,當點P位于拋物線頂點時,△ABP的面積取得最大值,最大值為

×4×4=8.解法二:由題意,得P(m,m2-2m-3),所以S△ABP=

×4×(-m2+2m+3)=-2m2+4m+6=-2(m-1)2+8.所以當m=1時,S△ABP有最大值8.(3)①當0<m≤1時,h=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m;當1<m≤2時,h=-3-(-4)=1;當m>2時,h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1.②△BCP的面積為6.提示:當h=9時,即m2-2m+1=9,解得m1=4,m2=-2(舍).所以點P的坐標為(4,5),可求得△BCP的面積為6.6.(2019貴州貴陽,24,12分)如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,且關(guān)于直線

x=1對稱,點A的坐標為(-1,0).(1)求二次函數(shù)的表達式;(2)連接BC,若點P在y軸上時,BP和BC的夾角為15°,求線段CP的長度;(3)當a≤x≤a+1時,二次函數(shù)y=x2+bx+c的最小值為2a,求a的值.

(備用圖)解析(1)∵二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1,∴-

=1,∴b=-2,將(-1,0)代入y=x2-2x+c中,解得c=-3.∴二次函數(shù)的表達式為y=x2-2x-3.(2)∵A(-1,0),拋物線的對稱軸是直線x=1,∴B(3,0),又∵當x=0時,y=-3,∴C(0,-3),∴OB=OC,∴∠OBC=45°.①當點P在點C上方P1的位置時,如圖,∵∠P1BC=15°,∴∠P1BO=30°,在Rt△P1BO中,OP1=OBtan30°=

,∴CP1=3-

.②當點P在點C下方P2的位置時,如圖,∵∠P2BC=15°,∴∠P2BO=60°,在Rt△P2BO中,OP2=OBtan60°=3

,∴CP2=3

-3.綜上所述,CP的長為3-

或3

-3.

(3)①當a+1<1,即a<0時,y隨x增大而減小,當x=a+1時,y=x2-2x-3取最小值2a,∴2a=(a+1)2-2(a+1)-3,解得a1=1+

,a2=1-

,∵a<0,∴a=1-

.②當a≤1≤a+1,即0≤a≤1時,當x=1時,y=x2-2x-3取最小值-4,即2a=-4,a=-2,∵0≤a≤1,∴a=-2不合題意,舍去.③當a>1時,y隨x增大而增大,當x=a時,y=x2-2x-3取最小值2a,∴2a=a2-2a-3,解得a1=2+

,a2=2-

,∵a>1,∴a=2+

.綜上,a=1-

或a=2+

.思路分析(1)先根據(jù)對稱軸方程得出b的值,然后代入點A的坐標,求出c的值,即得二次函數(shù)解析式;(2)分點P在點C上方和下方兩種情況,先求出∠OBP的度數(shù),再利用三角函數(shù)求出OP的長,從而得出CP的

長度;(3)分a+1<1,a≤1≤a+1,a>1三種情況討論,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.解題關(guān)鍵本題是二次函數(shù)的綜合問題,解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角函數(shù)的運

用、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及分類討論思想的運用.考點二拋物線與特殊三角形、特殊四邊形1.(2020湖北武漢,24,12分)將拋物線C:y=(x-2)2向下平移6個單位長度得到拋物線C1,再將拋物線C1向左平

移2個單位長度得到拋物線C2.(1)直接寫出拋物線C1,C2的解析式;(2)如圖1,點A在拋物線C1(對稱軸l右側(cè))上,點B在對稱軸l上,△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形,求

點A的坐標;(3)如圖2,直線y=kx(k≠0,k為常數(shù))與拋物線C2交于E,F兩點,M為線段EF的中點;直線y=-

x與拋物線C2交于G,H兩點,N為線段GH的中點.求證:直線MN經(jīng)過一個定點.解析(1)拋物線C1:y=(x-2)2-6,拋物線C2:y=x2-6.(2)如圖1,設(shè)點A(m,n),則n=m2-4m-2.當點A在x軸上方時,過點A作AP⊥x軸,過點B作BQ⊥AP,垂足分別為P,Q.∵△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形,∴△ABQ≌△OAP.∴BQ=AP=n,AQ=OP=m,∴m=n+2.聯(lián)立

解得

或

(不合題意,舍去).∴A(5,3).如圖,當點A在x軸下方時,同理求得A(4,-2).綜上,點A的坐標是(5,3)或(4,-2).

(3)證明:由

消去y,得x2-kx-6=0,∴xE+xF=k.∵M為線段EF的中點,∴將EM沿EF方向平移與MF重合,∴xM-xE=xF-xM,∴xM=

(xE+xF)=

.∴點M的坐標是

.同理得點N的坐標是

.設(shè)MN的解析式為y=ax+b,則

解得

∴MN的解析式為y=

x+2.∴當x=0,k為任意不等于0的實數(shù)時,總有y=2,即直線MN過定點(0,2).思路分析(1)根據(jù)平移的規(guī)律可求C1,C2的解析式.(2)先設(shè)A(m,n),再分兩種情況:①點A在x軸上方時,過

點A作AP⊥x軸,過點B作BQ⊥AP,垂足分別為P,Q,先利用△OAB是等腰直角三角形證明△ABQ≌△OAP,

由此推出m=n+2,與n=m2-4m-2聯(lián)立,解出m,n,即得A點坐標;②點A在x軸下方時,同①可求出另一個A點坐

標.(3)根據(jù)直線y=kx(k≠0,k為常數(shù))與拋物線C2交于E,F兩點,聯(lián)立兩個解析式,得到關(guān)于x的一元二次方

程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出點M的橫坐標,進而求出縱坐標,同理求出點N的坐標,再用待定系數(shù)法求出

直線MN的解析式,從而證明直線MN過定點即可.解題關(guān)鍵抓住△OAB是等腰直角三角形證明△ABQ≌△OAP,并由此推出m、n之間的關(guān)系是求出點A

的關(guān)鍵.易錯警示只考慮點A在x軸的上方而忽略點A在x軸的下方這種情況是解答本題易犯的錯誤.2.(2020黑龍江齊齊哈爾,24,14分)在平面直角坐標系中,拋物線y=

x2+bx+c經(jīng)過點A(-4,0),點M為拋物線的頂點,點B在y軸上,且OA=OB,直線AB與拋物線在第一象限交于點C(2,6),如圖①.(1)求拋物線的解析式;(2)直線AB的函數(shù)解析式為

,點M的坐標為

,cos∠ABO=

;連接OC,若過點O的

直線交線段AC于點P,將△AOC的面積分成1∶2的兩部分,則點P的坐標為

;(3)在y軸上找一點Q,使得△AMQ的周長最小.具體作法如圖②,作點A關(guān)于y軸的對稱點A',連接MA'交y軸

于點Q,連接AM、AQ,此時△AMQ的周長最小.請求出點Q的坐標;(4)在坐標平面內(nèi)是否存在點N,使以點A、O、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出

點N的坐標;若不存在,請說明理由.解析(1)由已知,得

∴b=2,c=0.∴y=

x2+2x.(2)∵OA=OB,∴OB=4,則B(0,4),設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m(k≠0),把A(-4,0),B(0,4)代入可得

解得

∴直線AB的解析式為y=x+4.由(1)可知y=

x2+2x,則y=

(x+2)2-2,∴M的坐標為(-2,-2),∵OA=OB=4,∠AOB=90°,∴∠ABO=45°,∴cos∠ABO=cos45°=

.∵OP將△AOC的面積分成1∶2兩部分,∴S△APO∶S△ACO=1∶3或S△APO∶S△ACO=2∶3,∵△APO與△ACO有公共底邊AO,且點C的坐標為(2,6),∴

=

或

=

.∴yP=2或yP=4.∵點P在直線AB上,∴x=-2或x=0.∴點P的坐標為(-2,2)或(0,4).(3)設(shè)直線MA'的解析式為y=k1x+b1(k1≠0),將A'(4,0)和M(-2,-2)代入,得

∴k1=

,b1=-

.∴y=

x-

.把x=0代入,得y=-

.∴Q

.(4)存在,N1(-2,6),N2(6,6),N3(-6,-6).詳解:由平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì),可通過平移已知頂點來找到點N.①A到C的平移變換與O到N的平移變換是一致的,即先向上平移6個單位,再向右平移6個單位,因此點O

平移后得到N(6,6);②C到A的平移變換與O到N的平移變換是一致的,即先向下平移6個單位,再向左平移6個單位,因此點O

平移后得到N(-6,-6);③O到A的平移變換與C到N的平移變換是一致的,即向左平移4個單位,因此C(2,6)平移后得到N(-2,6).3.(2020重慶A卷,25,10分)如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=x2+bx+c與直線AB相交于A,B兩點,其

中A(-3,-4),B(0,-1).(1)求該拋物線的函數(shù)表達式;(2)點P為直線AB下方拋物線上的任意一點,連接PA,PB,求△PAB面積的最大值;(3)將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),平移后的拋物線與原拋物線相交

于點C,點D為原拋物線對稱軸上的一點,在平面直角坐標系中是否存在點E,使以點B,C,D,E為頂點的四

邊形為菱形?若存在,請直接寫出點E的坐標;若不存在,請說明理由.

備用圖解析(1)∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(-3,-4),點B(0,-1),∴

解這個方程組,得

∴該拋物線的函數(shù)表達式為y=x2+4x-1.?(3分)(2)設(shè)直線AB的函數(shù)表達式為y=kx+m(k≠0).將點A(-3,-4),點B(0,-1)代入函數(shù)表達式,得

解這個方程組,得

∴直線AB的函數(shù)表達式為y=x-1.如圖1所示,過點P作PQ⊥x軸交AB于點Q.設(shè)P(t,t2+4t-1)(-3<t<0),則Q(t,t-1).∴PQ=(t-1)-(t2+4t-1)=-t2-3t.∴S△PAB=

PQ·|xA-xB|=

(-t2-3t)×3=-

t2-

t.∵-

=-

,-3<-

<0,∴當t=-

時,S△PAB有最大值,最大值為S△PAB=

=

.∴△PAB面積的最大值為

.

(6分)

圖1圖2(3)如圖2所示,滿足條件的點E的坐標為(1,-3),(-3,-4+

),(-3,-4-

),(-1,2).

(10分)詳解:由(1)可知原拋物線解析式為y=x2+4x-1=(x+2)2-5.∴將拋物線向右平移2個單位長度后的拋物線的解析式為y=x2-5.聯(lián)立

解得

∴點C(-1,-4).∵點D是原拋物線對稱軸上一點,E是平面直角坐標系內(nèi)一點,∴設(shè)D(-2,m),E(s,t).當BC為菱形的邊時,將點C向右平移1個單位長度,再向上平移3個單位長度可得點B,同樣點D(或E)向右

平移1個單位長度,再向上平移3個單位長度可得點E(或D).∴

①或

②當點D在點E下方時,則BE=BC,即s2+(t+1)2=12+32.③聯(lián)立①③可得s=-1,t=2或-4(舍去).∴點E(-1,2).當點D在點E上方時,則BD=BC,即(-2)2+(m+1)2=12+32.④聯(lián)立②④得s=-3,t=-4±

.∴點E(-3,-4+

)或E(-3,-4-

).當BC是菱形的對角線時,則

⑤∵BD=BE,∴22+(m+1)2=s2+(t+1)2.⑥聯(lián)立⑤⑥得s=1,t=-3.∴點E(1,-3).綜上,點E的坐標為(-1,2)或(-3,-4+

)或(-3,-4-

)或(1,-3).解題關(guān)鍵此題第(2)問關(guān)鍵在于利用P點坐標中的參量t表示出三角形PAB的面積,再用二次函數(shù)求最

值的方法求最大值即可.4.(2019甘肅蘭州,28,12分)二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象交x軸于A(-1,0),B(4,0)兩點,交y軸于點C,動點M從

點A出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿AB方向運動,過點M作MN⊥x軸交直線BC于點N,交拋物線于點D,

連接AC.設(shè)運動的時間為t秒.(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+2的表達式;(2)連接BD,當t=

時,求△DNB的面積;(3)在直線MN上存在一點P,當△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時,求此時點D的坐標;(4)當t=

時,在直線MN上存在一點Q,使得∠AQC+∠OAC=90°,求點Q的坐標.解析(1)將A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2中,得

解得

∴二次函數(shù)的表達式為y=-

x2+

x+2.(2)∵t=

,∴AM=3,又∵OA=1,∴OM=2,設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n(k≠0),將C,B點的坐標代入,得

解得

∴直線BC的解析式為y=-

x+2.將x=2分別代入y=-

x2+

x+2和y=-

x+2中,得D(2,3),N(2,1),∴DN=2.∴S△DNB=

×2×2=2.

(3)由題意得BM=5-2t,M(2t-1,0),設(shè)P(2t-1,m),則PC2=(2t-1)2+(m-2)2,PB2=(2t-5)2+m2,∵PB=PC,∴(2t-5)2+m2=(2t-1)2+(m-2)2,∴m=4t-5,∴P(2t-1,4t-5),∵PC⊥PB,∴

·

=-1,∴t=1或t=2,經(jīng)檢驗t=1或t=2為上述方程的解.∴M(1,0)或M(3,0),∴D(1,3)或D(3,2).(4)當t=

時,AM=

×2=

,∴M

,由(1)知拋物線的對稱軸方程是x=

,如圖所示,在Rt△OAC中,AC=

=

,在Rt△OBC中,BC=

=

,又AB=5,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,又∠AOC=90°,∴∠ACO=∠ABC,要使∠AQC+∠OAC=90°,只需∠AQC=∠ABC,則點Q在以AB為直徑的圓上,且在直線MN

上,又點M為圓心,∴MQ=

,∴Q

或Q

.5.(2019山西,23,13分)如圖,拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點A(-2,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C.點D是拋物線上一

個動點,設(shè)點D的橫坐標為m(1<m<4).連接AC,BC,DB,DC.(1)求拋物線的函數(shù)表達式;(2)當△BCD的面積等于△AOC的面積的

時,求m的值;(3)在(2)的條件下,若點M是x軸上一動點,點N是拋物線上一動點,試判斷是否存在這樣的點M,使得以點B,

D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在,請直接寫出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

解析(1)∵拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點A(-2,0),B(4,0),∴

(1分)解得

(2分)∴拋物線的函數(shù)表達式為y=-

x2+

x+6.

(3分)(2)作直線DE⊥x軸于點E,交BC于點G.作CF⊥DE,垂足為點F.

∵點A的坐標為(-2,0),∴OA=2.由x=0,得y=6.∴點C的坐標為(0,6),∴OC=6.∴S△AOC=

OA·OC=

×2×6=6.

(4分)∵S△BCD=

S△AOC,∴S△BCD=

×6=

.設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為y=kx+n(k≠0).由B,C兩點的坐標得

解得

∴直線BC的函數(shù)表達式為y=-

x+6.

(5分)∴點G的坐標為

.∴DG=-

m2+

m+6-

=-

m2+3m.

(6分)∵點B的坐標為(4,0),∴OB=4.∴S△BCD=S△CDG+S△BDG=

DG·CF+

DG·BE=

DG·(CF+BE)=

DG·BO=

×4=-

m2+6m.(7分)∴-

m2+6m=

.

(8分)解得m1=1(舍去),m2=3,∴m的值是3.

(9分)(3)存在,M1(8,0),M2(0,0),M3(

,0),M4(-

,0).(13分)提示:以BD為邊時,有3種情況,由點D的坐標可得N點的縱坐標為±

,令二次函數(shù)的值等于

或-

,分別求出N2,N3,N4的坐標,進而求出M2,M3,M4的坐標,以BD為對角線時,有1種情況,采用中點坐標公式求得M1的

坐標.考點三拋物線與全等三角形、相似三角形1.(2020陜西,24,10分)如圖,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(3,12)和(-2,-3),與兩坐標軸的交點分別為A,B,C,它的

對稱軸為直線l.(1)求該拋物線的表達式;(2)P是該拋物線上的點,過點P作l的垂線,垂足為D,E是l上的點.要使以P、D、E為頂點的三角形與△

AOC全等,求滿足條件的點P,點E的坐標.

解析(1)由題意,得

解之,得

∴y=x2+2x-3.?(3分)(2)由(1)可得,對稱軸l為直線x=-1.令y=0,則x2+2x-3=0.解之,得x1=-3,x2=1.∴A(-3,0),B(1,0).令x=0,則y=-3.∴C(0,-3).∴OA=OC=3.?(6分)∵∠PDE=∠AOC=90°,∴當PD=DE=3時,△PDE與△AOC全等.設(shè)P(m,n),當點P在l右側(cè)時,m-(-1)=3.∴m=2.∴n=22+2×2-3=5.∴P(2,5).∴E(-1,2)或E(-1,8).?(9分)當點P在l左側(cè)時,由拋物線的對稱性可知,P(-4,5)也滿足條件.相應(yīng)的點E的坐標同上.∴滿足條件的點P,點E的坐標為P(2,5)或P(-4,5),E(-1,2)或E(-1,8).

(10分)疑難突破(1)求拋物線的表達式,可利用待定系數(shù)法列方程組解答.(2)由題意及圖象可知△AOC為直角

三角形,通過計算得知OA=OC=3,因此△AOC為等腰直角三角形,所以以P、D、E為頂點的三角形與△

AOC全等,即PD=DE=3時滿足條件,所以對P點位置進行分類討論(點P在l右側(cè)和左側(cè)),可以結(jié)合拋物線

的對稱性進行說明.2.(2020四川成都,28,12分)在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(4,0)兩點,

與y軸交于點C(0,-2).(1)求拋物線的函數(shù)表達式;(2)如圖1,點D為第四象限拋物線上一點,連接AD,BC交于點E,連接BD,記△BDE的面積為S1,△ABE的面積

為S2,求

的最大值;(3)如圖2,連接AC,BC,過點O作直線l∥BC,點P,Q分別為直線l和拋物線上的點.試探究:在第一象限是否存

在這樣的點P,Q,使△PQB∽△CAB.若存在,請求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

圖1圖2解析(1)解法一:將(4,0),(0,-2),(-1,0)分別代入y=ax2+bx+c,得

解得

∴拋物線的函數(shù)表達式為y=

x2-

x-2.解法二:∵A(-1,0),B(4,0)在拋物線上,∴-

=

=

.∴b=-3a.∵C(0,-2)在拋物線上,∴c=-2,∴y=ax2-3ax-2,將(-1,0)代入y=ax2-3ax-2,得a=

,∴拋物線的函數(shù)表達式為y=

x2-

x-2.(2)過點B作AD邊上的高BH,過點D作DG⊥x軸于點G,交BC于點F,過點A作AK⊥x軸,交BC的延長線于點K,

∴

=

=

=

.∵B(4,0),C(0,-2),∴直線BC的表達式為y=

x-2,當x=-1時,y=-

,∴AK=

.設(shè)D

(0<m<4),∴F

,∴DF=-

m2+2m,∴

=

=-

m2+

m=-

(m-2)2+

,∵0<m<4,∴當m=2時,

取最大值

.(3)存在.由(2)可得直線l的表達式為y=

x,設(shè)P

(m>0).①當點P在直線BQ右側(cè)時,如圖,過P作PN⊥x軸,過Q作QM⊥NP交NP的延長線于M,

則∠QMP=∠PNB=90°,易知∠QPB=∠ACB=90°,∴∠QPM+∠MQP=90°,∠QPM+∠BPN=90°,∴∠MQP=∠NPB,∴△QPM∽△PBN,∴

=

=

.∵△PQB∽△CAB,∴

=

=

=

,∴MP=

BN=

m-2,MQ=

NP=

,∴Q

.將Q的坐標代入y=

x2-

x-2中,得m=

(m=0舍去),∴P

.②當點P在直線BQ左側(cè)時,由①的方法同理可得Q

,此時P

.綜上,在第一象限存在符合條件的點P,Q,所有符合條件的點P的坐標為

,

.3.(2019陜西,24,10分)在平面直角坐標系中,已知拋物線L:y=ax2+(c-a)x+c經(jīng)過點A(-3,0)和點B(0,-6),L關(guān)于

原點O對稱的拋物線為L'.(1)求拋物線L的表達式;(2)點P在拋物線L'上,且位于第一象限,過點P作PD⊥y軸,垂足為D.若△POD與△AOB相似,求符合條件的

點P的坐標.解析(1)由題意,得

解之,得

∴L:y=-x2-5x-6.?(2分)(2)∵點A、B在L'上的對應(yīng)點分別為A'(3,0)、B'(0,6),∴設(shè)拋物線L'的表達式為y=x2+bx+6.將A'(3,0)代入y=x2+bx+6,得b=-5.∴拋物線L'的表達式為y=x2-5x+6.?(4分)∵A(-3,0),B(0,-6),∴AO=3,OB=6.設(shè)P(m,m2-5m+6)(m>0).∵PD⊥y軸,∴點D的坐標為(0,m2-5m+6).∴PD=m,OD=m2-5m+6.∵Rt△POD與Rt△AOB相似,∴

=

或

=

.

(6分)①當

=

,即

=

時,解之,得m1=1,m2=6.∴P1(1,2),P2(6,12).②當

=

,即

=

時,解之,得m3=

,m4=4.∴P3

,P4(4,2).∵P1、P2、P3、P4均在第一象限,∴符合條件的點P的坐標為(1,2)或(6,12)或

或(4,2).

(10分)思路分析(1)把點A和點B的坐標代入拋物線解析式,求出a,c的值即可求得拋物線的解析式;(2)首先求

出拋物線L'的解析式,設(shè)點P的坐標為(m,m2-5m+6)(m>0),得點D的坐標為(0,m2-5m+6),根據(jù)Rt△POD與Rt

△AOB相似,分兩種情況列出比例式,求出m的值,進而得出點P的坐標.4.(2019新疆,23,13分)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三點.(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;(2)將(1)中的拋物線向下平移

個單位長度,再向左平移h(h>0)個單位長度,得到新拋物線.若新拋物線的頂點D'在△ABC內(nèi),求h的取值范圍;(3)點P為線段BC上一動點(點P不與點B,C重合),過點P作x軸的垂線交(1)中的拋物線于點Q,當△PQC與

△ABC相似時,求△PQC的面積.解析(1)把A(-1,0),B(4,0),C(0,4)代入y=ax2+bx+c中,得

解得

∴拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.?(3分)∵y=-

+4=-

+

,∴頂點D的坐標是

.

(4分)(2)將拋物線y=-

+

向下平移

個單位長度,再向左平移h(h>0)個單位長度得拋物線y'=

+

.∴新拋物線的頂點D'的坐標是

.

(6分)由題意得,直線BC的解析式為y=-x+4,直線AC的解析式為y=4x+4,當頂點

在直線BC上時,

=-

+4,解得h=0.當頂點

在直線AC上時,

=4

+4,解得h=

.∵新拋物線的頂點D'在△ABC內(nèi),∴h的取值范圍是0<h<

.

(8分)(3)如圖,設(shè)直線PQ交x軸于點M.

∵B(4,0),C(0,4),∴OB=OC=4.∵∠BOC=90°,∴∠OBC=∠OCB=45°,∵PQ⊥x軸,∴∠PMB=90°,∴∠CPQ=∠BPM=∠OBC=45°.∵A(-1,0),B(4,0),C(0,4),∴AB=5,BC=4

.設(shè)P(m,-m+4),則Q(m,-m2+3m+4),∴PQ=-m2+4m,CP=

m.

(9分)由題易得,∠BAC>45°,∠ACB>45°,∴點P與點B是對應(yīng)點.①當△ABC∽△CPQ時,

=

,∴

=

.∴m=0(舍)或m=

.∴PQ=

,∴S△PQC=

×

×

=

.

(11分)②當△ABC∽△QPC時,

=

,∴

=

,∴m=0(舍)或m=

.∴PQ=

,∴S△PQC=

×

×

=

.綜上所述,△PQC的面積為

或

.

(13分)考點四二次函數(shù)在實際生活(生產(chǎn))中的應(yīng)用1.(2020山西,9,3分)豎直上拋物體離地面的高度h(m)與運動時間t(s)之間的關(guān)系可以近似地用公式h=-5t2

+v0t+h0表示,其中h0(m)是物體拋出時離地面的高度,v0(m/s)是物體拋出時的速度.某人將一個小球從距地

面1.5m的高處以20m/s的速度豎直向上拋出,小球達到的離地面的最大高度為?()A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20.5m答案

C

由已知可得v0=20m/s,h0=1.5m,則h=-5t2+20t+1.5(t>0),其圖象的對稱軸方程為t=-

=2,圖象開口向下,∴當t=2時,h最大,為-5×22+20×2+1.5=21.5,故選C.2.(2020遼寧營口,24,12分)某超市銷售一款“免洗洗手液”,這款“免洗洗手液”的成本價為每瓶16元,

當銷售單價定為20元時,每天可售出80瓶.根據(jù)市場行情,現(xiàn)決定降價銷售.市場調(diào)查反映:銷售單價每降

低0.5元,則每天可多售出20瓶(銷售單價不低于成本價),若設(shè)這款“免洗洗手液”的銷售單價為x(元),每

天的銷售量為y(瓶).(1)求每天的銷售量y(瓶)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)當銷售單價為多少元時,銷售這款“免洗洗手液”每天的銷售利潤最大,最大利潤為多少元?解析(1)y=80+20×

,

(3分)∴y=-40x+880(x≥16).?(4分)(2)設(shè)每天的銷售利潤為w元,?(5分)w=(-40x+880)(x-16)?(7分)=-40(x-19)2+360.?(8分)∵a=-40<0,∴二次函數(shù)圖象開口向下,∴w有最大值.?(10分)∴x=19時,w最大,此時w最大值=360.?(11分)答:當銷售單價為19元時,每天的銷售利潤最大,最大利潤為360元.?(12分)易錯警示在解決第(2)問時,要檢驗x的取值是否在取值范圍內(nèi),如果不在,要結(jié)合函數(shù)的增減性進行判

斷.3.(2020內(nèi)蒙古呼和浩特,24,12分)已知某廠以t小時/千克的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求0.1<t≤

1),且每小時可獲得利潤60

元.(1)某人將每小時獲得的利潤設(shè)為y元,發(fā)現(xiàn)t=1時,y=180,所以得出結(jié)論:每小時獲得的利潤最少是180元.

他是依據(jù)什么得出該結(jié)論的?用你所學(xué)數(shù)學(xué)知識幫他進行分析說明;(2)若以生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得利潤1800元的速度進行生產(chǎn),則1天(按8小時計算)可生產(chǎn)該產(chǎn)品多少千

克?(3)要使生產(chǎn)680千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:該廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度?并求此最大利潤.解析(1)依據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論.由已知得y=60

,當t=1時,y=180,∵當0.1<t≤1時,

隨t的增大而減小,-3t也隨t的增大而減小,∴-3t+

的值隨t的增大而減小,∴y=60

隨t的增大而減小,∴當t=1時,y有最小值,為180,∴他的結(jié)論正確.(2)由題意可得60

×2=1800,整理得-3t2-14t+5=0,解得t=

或t=-5(舍),經(jīng)檢驗,t=

是原方程的解且符合題意.故該廠以

小時/千克的速度勻速生產(chǎn)產(chǎn)品,則1天(按8小時計算)可生產(chǎn)該產(chǎn)品8÷

=24千克.(3)由題意知生產(chǎn)680千克該產(chǎn)品,需要680t小時,設(shè)生產(chǎn)680千克該產(chǎn)品獲得的利潤為w元,則w=680t·60

,整理得w=40800(-3t2+t+5),當t=

時,w取最大值,為207400.故該廠應(yīng)該選取

小時/千克的生產(chǎn)速度,最大利潤為207400元.4.(2019湖北武漢,22,10分)某商店銷售一種商品,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該商品的周銷售量y(件)是售價x(元/件)

的一次函數(shù).其售價、周銷售量、周銷售利潤w(元)的三組對應(yīng)值如下表:售價x(元/件)506080周銷售量y(件)1008040周銷售利潤w(元)100016001600注:周銷售利潤=周銷售量×(售價-進價)(1)①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍);②該商品進價是

元/件;當售價是

元/件時,周銷售利潤最大,最大利潤是

元;(2)由于某種原因,該商品進價提高了m元/件(m>0),物價部門規(guī)定該商品售價不得超過65元/件.該商店在

今后的銷售中,周銷售量與售價仍然滿足(1)中的函數(shù)關(guān)系.若周銷售最大利潤是1400元,求m的值.解析(1)①設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),依題意有

解得

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x+200.②40;70;1800.進價是50-(1000÷100)=40元/件.w=(-2x+200)(x-40)=-2(x-70)2+1800,∴當售價為70元/件時,周銷售利潤最大,最大利潤是1800元.(2)依題意有w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8000-200m=-2

+

m2-60m+1800,∵m>0,∴

>70,∵-2<0,∴拋物線開口向下,∵x≤65,∴w隨x的增大而增大,∴當x=65時,w有最大值,為(-2×65+200)(65-40-m),∴(-2×65+200)(65-40-m)=1400,∴m=5.∴若周銷售最大利潤是1400元,則m的值為5.5.(2019四川成都,26,8分)隨著5G技術(shù)的發(fā)展,人們對各類5G產(chǎn)品的使用充滿期待.某公司計劃在某地區(qū)

銷售一款5G產(chǎn)品,根據(jù)市場分析,該產(chǎn)品的銷售價格將隨銷售周期的變化而變化.設(shè)該產(chǎn)品在第x(x為正

整數(shù))個銷售周期每臺的銷售價格為y元,y與x之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.(1)求y與x之間的關(guān)系式;(2)設(shè)該產(chǎn)品在第x個銷售周期的銷售數(shù)量為p(萬臺),p與x的關(guān)系可以用p=

x+

來描述.根據(jù)以上信息,試問:哪個銷售周期的銷售收入最大?此時該產(chǎn)品每臺的銷售價格是多少元?

解析(1)設(shè)y=kx+b(k≠0),把(1,7000)和(5,5000)代入,得

解得

∴y與x之間的關(guān)系式為y=-500x+7500.(2)設(shè)第x個銷售周期的銷售收入為w萬元,則w=p·y=

(-500x+7500)=-250(x-7)2+16000.∵-250<0,∴當x=7時,w有最大值,此時y=-500×7+7500=4000.答:第7個銷售周期的銷售收入最大,此時該產(chǎn)品每臺的銷售價格是4000元.方法總結(jié)用待定系數(shù)法可以求得函數(shù)解析式,用配方法可以求得二次函數(shù)的最值.考點一拋物線與線段長、面積、角度教師專用題組1.(2020云南,23,12分)拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點A的坐標為(-1,0),點C的坐

標為(0,-3).點P為拋物線y=x2+bx+c上的一個動點.過點P作PD⊥x軸于點D,交直線BC于點E.(1)求b、c的值;(2)設(shè)點F在拋物線y=x2+bx+c的對稱軸上,當△ACF的周長最小時,直接寫出點F的坐標;(3)在第一象限,是否存在點P,使點P到直線BC的距離是點D到直線BC的距離的5倍?若存在,求出點P所有

的坐標;若不存在,請說明理由.解析(1)將A(-1,0),C(0,-3)分別代入y=x2+bx+c,得

(1分)解得

∴b=-2,c=-3.?(3分)(2)點F的坐標為(1,-2).?(7分)提示:設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點G,因為AC的長為定值,所以當AF+CF的長最小時,△ACF的周長最

小,由(1)易得G(1,0),B(3,0),點A關(guān)于直線FG的對稱點為點B,當點B、C、F在一條直線上時,AF+CF的長

最小.∵OC∥GF,∴△BGF∽△BOC,∴

=

,∴GF=2,∴F(1,-2).(3)存在滿足要求的點P,且點P的坐標為(5,12).由(1)知b=-2,c=-3,∴y=x2-2x-3.令y=0,得0=x2-2x-3,解得x1=-1,x2=3,∵A(-1,0),∴B(3,0).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m(k≠0),把B(3,0),C(0,-3)代入y=kx+m,得

解得

∴直線BC的解析式為y=x-3.

設(shè)P(n,n2-2n-3),根據(jù)題意得n>3,E(n,n-3),D(n,0),PE=n2-3n,DE=n-3.

(9分)∵點P到直線BC的距離是點D到直線BC的距離的5倍,∴以BE為底的△BEP的面積是以BE為底的△BED面積的5倍,即S△BEP=5S△BED.∵S△BEP=

PE·BD,S△BED=

DE·BD,∴

PE·BD=5×

DE·BD,∴PE=5DE.?(11分)∴n2-3n=5(n-3),即(n-3)(n-5)=0,解得n=3或n=5.∵n>3,∴n=5,∴y=52-2×5-3=12,∴點P的坐標為(5,12).?(12分)思路分析(1)用待定系數(shù)法可求出b、c的值;(2)運用軸對稱及三角形相似可求得點F的坐標;(3)求出直

線BC的解析式,設(shè)出點P,點E的坐標,再分別表示線段PE,DE的長,將題中的距離關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形的面

積關(guān)系,可得S△BEP=5S△BED,進而得出PE=5DE,解方程求出點P的坐標.2.(2020云南昆明,22,8分)如圖,兩條拋物線y1=-x2+4,y2=-

x2+bx+c相交于A,B兩點,點A在x軸負半軸上,且為拋物線y2的最高點.(1)求拋物線y2的解析式和點B的坐標;(2)點C是拋物線y1上A,B之間的一點,過點C作x軸的垂線交拋物線y2于點D,當線段CD取最大值時,求S△BCD.

解析(1)解法一:當y1=0時,即-x2+4=0,解得x=±2,∵點A在x軸負半軸上,∴A(-2,0),?(1分)∵y2=-

x2+bx+c的最高點為A(-2,0),∴

解得

(2分)∴拋物線y2的解析式為y2=-

x2-

x-

.

(3分)當y1=y2時,即-x2+4=-

x2-

x-

,解得x1=3,x2=-2(舍去).?(4分)∴當x=3時,y=-32+4=-5,∴B(3,-5).?(5分)解法二:當y1=0時,即-x2+4=0,解得x=±2,∵點A在x軸負半軸上,∴A(-2,0),?(1分)∵y2=-

x2+bx+c的最高點為A(-2,0),∴拋物線y2的解析式為y2=-

(x+2)2,即y2=-

x2-

x-

.

(3分)當y1=y2時,即-x2+4=-

x2-

x-

,解得x1=3,x2=-2(舍去).?(4分)∴當x=3時,y=-32+4=-5,∴B(3,-5).?(5分)(2)如圖,設(shè)點C(m,-m2+4),則點D

,∵點C是拋物線y1上A,B之間的一點,∴-2<m<3,∴CD=-m2