【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考1卷專用）黃金卷08（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，若集合A、B滿足：，則集合對共有（

）個．A．36 B．48 C．64 D．81【答案】D【詳解】因為，，當(dāng)時，又，故，當(dāng)集合中有一個元素時，又，這樣的集合對有，當(dāng)集合中有兩個元素時，又，這樣的集合對有，當(dāng)集合中有三個元素時，又，這樣的集合對有，當(dāng)集合中有四個元素時，又，這樣的集合對有，所以集合對共有.故選：D.2．在年巴黎奧運會上，我國網(wǎng)球選手鄭欽文歷經(jīng)場比賽，勇奪巴黎奧運會女子網(wǎng)球單打冠軍，書寫了中國網(wǎng)球新的歷史．某學(xué)校有2000名學(xué)生，一機構(gòu)在該校隨機抽取了名學(xué)生對鄭欽文奧運會期間場單打比賽的收看情況進行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)分組整理后，列表如下：觀看場次觀看人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比從表中數(shù)據(jù)可以得出的正確結(jié)論為（

）．A．表中的數(shù)值為B．觀看場次不超過場的學(xué)生的比例為C．估計該校觀看場次不超過場的學(xué)生約為人D．估計該校觀看場次不低于場的學(xué)生約為人【答案】D【詳解】由表可知，，解得，選項A錯誤；觀看場次不超過場的學(xué)生的比例為，選項B錯誤；觀看場次不超過場的學(xué)生的比例為，則觀看場次不超過場的學(xué)生約為人，選項C錯誤；觀看場次不低于場的學(xué)生的比例為，則觀看場次不低于場的學(xué)生約為人，選項D正確．故選：D3．若，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，且，，所以，，所以，所以．故選：D．4．已知，C是以AB為直徑的圓上一點，，D為AC的中點，則（

）A．-9 B．-12 C．-15 D．-16【答案】D【詳解】解：如圖所示：因為，C是以AB為直徑的圓上一點，，所以，又D為AC的中點，所以，，故選：D.5．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【詳解】因為，令，則由，即，解得或或，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出，，，的圖象如圖所示，

由圖象可知與有1個交點，即有1個根，與有3個交點，即有3個根，與有2個交點，即有2個根，所以函數(shù)的零點個數(shù)為個，故選：C6．在三棱錐P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱錐P-ABC的外接球，則球O的表面積為（

）A．96π B．84π C．72π D．48π【答案】B【詳解】在中，，則，中點為的外心，于是平面，取中點，連接，則，而平面PAB⊥平面ABC，平面平面，平面，則平面，，令正的外心為，則為的3等分點，，又平面，則，而，則四邊形是矩形，，因此球O的半徑，所以球O的表面積為.故選：B7．已知點為橢圓上第一象限的一點，左、右焦點為，，的平分線與軸交于點，過點作直線的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點，若，則面積為（

）A． B． C． D．3【答案】C【詳解】如圖所示，延長，交的延長線于點，因為為的平分線，⊥，由三線合一得為等腰三角形，即，為的中點，因為為的中點，所以為的中位線，故，設(shè)，由橢圓定義知，，由得，解得，故，，在中，由余弦定理得，故，故.故選：C8．已知及其導(dǎo)函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由為偶函數(shù)，得，則．兩邊取導(dǎo)數(shù)，得①．由的圖象關(guān)于點1,0對稱，得②．①②，得，所以，則數(shù)列中所有奇數(shù)項是公差為2的等差數(shù)列，所有偶數(shù)項是公差為2的等差數(shù)列．在中，令，得．在中，令，得．在中，令，得，所以，所以數(shù)列是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，則．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．函數(shù)過定點，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最小值為C．最小值為 D．最小值為【答案】BC【詳解】對A：由，故，由，故有，即，故A錯誤；對B：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，故B正確；對C：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；對D：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即最大值為，故D錯誤.故選：BC.10．在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，若點P滿足，其中，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時，的面積S的最大值為C．當(dāng)時，有且僅有一個點P，使得D．當(dāng)時，有且僅有一個點P，使得平面【答案】AC【詳解】由題意得，.∵，平面，平面，，∴平面，∵，∴平面.由得點在四邊形內(nèi)（包含邊界）.以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，∴，由得，.A.當(dāng)時，，此時點到距離為，故，為定值，選項A正確.B.當(dāng)時，，，當(dāng)時，，由平面，平面，得，∴，最大值為，選項B錯誤.C.當(dāng)時，，由得，，故有且僅有一個點P，使得，選項C正確.D.當(dāng)時，，由題意得，四邊形為正方形，故，要使平面，需，∵，∴不成立，選項D錯誤.故選：AC.11．已知拋物線的焦點為，圓，圓上存在動點，過作圓的切線，也與拋物線相切于點，拋物線上任意一點到直線與直線的距離分別為．若點的坐標(biāo)為，則（

）A．B．C．的最小值為D．圓上的點到直線的最大距離為【答案】BCD【詳解】由圓，得圓心，又點的坐標(biāo)為，所以．因為直線為圓的切線，所以，所以，所以直線的方程為，即．聯(lián)立得方程組，消去并整理，得．因為直線與拋物線相切，所以，解得（舍去），所以拋物線的方程為，所以，當(dāng)時，方程為，解得，所以，解得，所以切點，所以，故A錯誤，B正確．設(shè)點到直線的距離為．因為，所以．因為點到直線的距離，所以，故C正確．因為，所以直線的方程為，即．因為圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線的最大距離為，故D正確．故選：BCD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．等差數(shù)列中，，記，則當(dāng)時，取得最大值．【答案】4【詳解】在等差數(shù)列中，，，即，．所以數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，故當(dāng)時，取得最大值．故答案為：413．在函數(shù)的圖象與直線的交點中，任取兩點與原點組成三角形，這些三角形的面積的最小值為，則．【答案】【詳解】原點到直線的距離為，設(shè)交點，，且，由，即，點，相鄰，且在的一條對稱軸兩側(cè)時，，此時，，，兩式相減，得，所以．故答案為：14．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的最大值為．【答案】/【詳解】設(shè)，則其定義域為，且，故為奇函數(shù).而，且僅在時，所以為增函數(shù).同時，不等式可化為，即.而是奇函數(shù)，故原不等式又等價于，再根據(jù)是增函數(shù)，知這等價于.當(dāng)x>0時，這可化為，故條件即為對任意x∈0,+∞①一方面，在條件中取x=1，即可得到，從而一定有；②另一方面，當(dāng)時，我們證明對任意的，都有.首先，代入，然后兩邊同乘正數(shù)，可知該不等式等價于.設(shè)，則，故對有，對有.從而在上遞減，在上遞增，所以對均有.這就意味著，所以.從而由即可得到.這就證明了不等式對恒成立，從而原條件一定滿足.綜合①②兩方面，可知的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，.(1)若，求面積的最大值；(2)若，在邊AC的外側(cè)取一點D（點D在外部），使得，，且四邊形的面積為，求的大小.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡得，由余弦定理求得，得到，再由余弦定理和基本不等式求得ac的最大值，進而求得面積的最大值；（2）設(shè)，利用余弦定理和為正三角形，求得，列出方程，即可求解.【詳解】（1）由因為，可得，又由正弦定理得，即，由余弦定理得，因為，可得，所以，在中，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以面積的最大值為.（2）設(shè)，則，在中，由余弦定理得，由（1）知，且，所以為正三角形，所以，可得，故，因為，所以，可得.16．某校高三年級在一次數(shù)學(xué)測驗中，各位同學(xué)的成績，現(xiàn)規(guī)定：成績在的同學(xué)為“成績頂尖”，在的同學(xué)為“成績優(yōu)秀”，低于90分的同學(xué)為“不及格”.(1)已知高三年級共有2000名同學(xué)，分別求“成績優(yōu)秀”和“不及格”的同學(xué)人數(shù)（小數(shù)按四舍五入取整處理）；(2)現(xiàn)在要從“成績頂尖”的甲乙同學(xué)和“成績優(yōu)秀”的丙丁戊己共6位同學(xué)中隨機選4人作為代表交流學(xué)習(xí)心得，在已知至少有一名“成績頂尖”同學(xué)入選的條件下，求同學(xué)丙入選的概率：(3)為了了解班級情況，現(xiàn)從某班隨機抽取一名同學(xué)詢問成績，得知該同學(xué)為142分.請問：能否判斷該班成績明顯優(yōu)于或者差于年級整體情況，并說明理由.（參考數(shù)據(jù)：若，則，）【答案】(1)“成績優(yōu)秀”和“不及格”的同學(xué)人數(shù)分別為人、人(2)(3)班級成績優(yōu)于年級成績【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中已知區(qū)間上的概率可求及，故可求成績優(yōu)秀的人數(shù)和不及格人數(shù)；（2）根據(jù)條件概率的概率公式可求同學(xué)丙入選的概率：（3）根據(jù)小概率幾乎不發(fā)生可判斷該班成績由于年級成績.【詳解】（1）由已知，“成績優(yōu)秀”的概率為：.“不及格”的概率為：，所以“成績優(yōu)秀”的人數(shù)為人，“不及格”的人數(shù)為人.（2）設(shè)事件：至少一名“成績頂尖”同學(xué)入選，事件：丙入選，則，（3）由條件知年級中，而在該班隨機抽查中，同學(xué)成績在一次隨機事件中就發(fā)生了，這說明班級成績優(yōu)于年級成績.17．如圖，在三棱錐中，為正三角形，平面，點為線段BC上的動點，(1)若點為BC中點，證明：(2)在（1）的條件下，求平面PAC與平面ACF夾角的余弦值(3)求線段長的最小值【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）證法1：由等腰三角形的性質(zhì)得，由線面垂直的性質(zhì)得，則得平面，再證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論；證法2：在中求出，在中求出，從而可求出，再在中求出，最后在中利用勾股定理的逆定理可證得結(jié)論；（2）以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中EC，EA為軸，軸的正半軸，然后利用空間向量求解即可；（3）法1：以的中點為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中為軸，軸的正半軸，設(shè)，由表示出，從而可表示出，進而可求出其最小值；法2：設(shè)BC的中點為，取PA中點，過點作平面PBC垂線，垂足為，可得點軌跡為在平面PBC中的以為圓心，為半徑的圓弧，從而可求得結(jié)果.【詳解】（1）法1：因為為正三角形，點為BC中點，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以；法2：因為為正三角形，點為BC中點，，所以，因為平面，平面，所以，所以，因為，所以，則，因為為正三角形，點為BC中點，所以，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，所以，所以，所以；（2）由（1）知，則以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中EC，EA為軸，軸的正半軸，則，設(shè)平面PAC的法向量為，則，令，則法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面PAC與平面ACF夾角為，則，即平面PAC與平面ACF夾角的余弦值為；（3）法1：以的中點為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中為軸，軸的正半軸，則，設(shè)，，令則，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增當(dāng)時，，法2：設(shè)BC的中點為，取PA中點，過點作平面PBC垂線，垂足為，且平面，點的軌跡為以PA為直徑，即的球與平面PBC的相交圓弧，由（1）可知，，相交圓半徑，點軌跡為在平面PBC中的以為圓心，為半徑的圓弧，，【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查線線垂直的證明，考查二面角的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意合理建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，考查空間想象能力和計算能力，屬于較難題.18．已知為坐標(biāo)原點，是橢圓的左、右焦點，的離心率為，點是上一點，的最小值為.(1)求橢圓的方程；(2)已知是橢圓的左、右頂點，不與軸平行或重合的直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，且.①證明：直線過定點；②設(shè)的面積為，求的最大值.【答案】(1)(2)①證明見解析；②.【分析】（1）應(yīng)用離心率公式及焦點到橢圓距離的最值列方程組求解，即可求出橢圓方程；（2）①設(shè)直線方程聯(lián)立方程組得出韋達定理再應(yīng)用斜率公式得出，再結(jié)合韋達定理計算求出即可得出定點；②先表示面積計算化簡結(jié)合對勾函數(shù)得出最值.【詳解】（1）由題可知，，

解得，，橢圓的方程為.（2）①證明：設(shè)直線的方程為，，由得，，即，，在橢圓上

，

，即，，，即，在直線上，，，，即，此時，直線的方程為，即直線過定點.②解：記直線過定點，

，，，，令，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，有最大值.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是構(gòu)造對勾函數(shù)形式應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)的最值進而求出面積的最大值.19．牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法.如圖，是函數(shù)的零點，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近的實數(shù)，在橫坐標(biāo)為的點處作的切線，則在處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)是，同理在處的切線與軸交點的橫坐標(biāo)是，一直繼續(xù)下去，得到數(shù)列.