8.1信號采樣與采樣定理8.1.1概述離散時(shí)間系統(tǒng)(簡稱離散系統(tǒng))是指系統(tǒng)中全部或一部分

的環(huán)節(jié)或變量具有離散信號形式的系統(tǒng)。系統(tǒng)中的信號不全

部為連續(xù)信號，在系統(tǒng)中必須有一處或多處信號是脈沖序列。如圖8-1所示，利用采樣開關(guān)，可以將連續(xù)的輸入信號r(t)和反

饋信號b(t)采樣成為離散信號(脈沖信號)r*(t)和b*(t)。星號

表示將連續(xù)信號離散化。因此，偏差信號也是離散型的時(shí)間函數(shù)，即e

*(

t

)

=

r

*(

t

)

一

b

*(

t

)

(8-1)r(t)r*(1)

e(t)b(t)G(s)H(s)圖8-1離散系統(tǒng)框圖c(t)這里的采樣開關(guān)不一定是實(shí)際的開關(guān)，也可以是控制程序。一般情況下，圖8-1中兩個采樣開關(guān)的動作是同步的，所以

圖8-1所示的離散系統(tǒng)框圖可以等效為圖8-2。r(t)

e(1)

e(t)

G(s)

c(t)b(t)H(s)圖8-2離散系統(tǒng)等效框圖一般情況下，采樣開關(guān)每經(jīng)過一定時(shí)間T

就會重復(fù)閉合，每次閉合時(shí)間為τ,且t<T,如圖8-3(a)所示。由于數(shù)值t遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于T,所以大多數(shù)情況下可以忽略不計(jì)。經(jīng)過周期為T的采樣

之后，就由連續(xù)信號e(t)得到了如圖8-3(b)所示的離散信號e*

(t)。圖8-3連續(xù)信號與離散信號在離散系統(tǒng)中，采樣開關(guān)重復(fù)閉合的時(shí)間間隔T

稱為采樣周期，且有

(8-2)

(8-3)

分別稱為采樣頻率及采樣角頻率。圖8-4是一種典型離散控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

一方面，因?yàn)橛?jì)算機(jī)控制器需要輸入的信號是離散信號，所以需要把連續(xù)誤差信號e(t)變換為離散信號e*(t),這就是采樣過程，因此在控制器之前使用采樣開關(guān)；另一方面，為了控制連續(xù)式的被控對

象，需要在控制器之后使用保持器將脈沖控制信號u*(t)

變換

為連續(xù)信號u?(t)(時(shí)間和幅值均為連續(xù)的信號稱為連續(xù)信號)。b(t)反饋裝置圖8-4典型離散控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖u(t)保持器u(t)被控對象e*(t)控制器c(t)e(t)8.1.2采樣過程實(shí)現(xiàn)離散控制首先需要將連續(xù)信號變換為脈沖序列信號。

把連續(xù)信號變換為脈沖序列的裝置稱為采樣器(或采樣開關(guān))。

按一定的時(shí)間間隔對連續(xù)信號進(jìn)行采樣，將其轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的脈沖序列的過程就是采樣過程。采樣器用一個周期為T的開關(guān)來表示，每閉合一次就是

采樣一次，每次閉合持續(xù)的時(shí)間為τ。τ遠(yuǎn)小于采樣周期T,也遠(yuǎn)

小于系統(tǒng)連續(xù)部分的時(shí)間常數(shù)。因此，可近似認(rèn)為τ趨近于0,

即認(rèn)為是瞬間采樣完畢。如圖8-

3所示，輸入信號為連續(xù)信號e(t),經(jīng)過周期為T

的采樣開關(guān)后，其輸出信號e*(t)

是一個脈沖序列，即e(0T),e(1T),e(2T)

等

。e*(t)=e(t)δ(t—0T)+e(t)δ(t-1T)+…+e(t)δ(t—kT)+

…=e(0T)δ(t—0T)+e(1T)δ(t-1T)十…+e(kT)δ(t—kT)+

…

(8-4)式(8-4)可表示為(8-5)(8-6)或8.1.3采樣定理采樣的目的是將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為周期為T的脈沖信號，

進(jìn)而輸入給計(jì)算機(jī)控制器。也就是說，采樣后的離散信號必

須能夠保留有原連續(xù)信號的完整或近似完整的信息。因此，

周期T的設(shè)定非常重要。采樣定理(也叫Shannon

定理)從理論上給出了必須以多快的采樣周期(或多高的采樣頻率)對連續(xù)信號進(jìn)行采樣，才能

保證采樣后離散信號可以不失真地保留原連續(xù)信號的信息。

換句話說，采樣定理給出了對采樣周期的限定條件，即采樣周

期要在多短時(shí)間之內(nèi)，才能保證采樣后的離散信號保留有采

樣之前的連續(xù)信號的盡量多的信息。式(8-8)為采樣信號的頻譜函數(shù)。n=0時(shí)，被稱為主頻譜，只有它對應(yīng)原連續(xù)信號。原連續(xù)函數(shù)e(t)的頻譜是孤立的，上限最高頻率為wmax,

如圖

8

-

5(a)所示。而離散函

數(shù)

e*(t)則如式(8-8)所示，具有以采樣角頻率w,為周期的無數(shù)多個頻譜。圖8

-

5(b)為

采樣角頻率ws較高時(shí)

E*(jw)

的頻譜。由于采樣頻率較高，使得圖8

-

5(b)中各頻譜分量

彼此不重疊。而當(dāng)采樣角頻率ws

較低時(shí)，會造成

E*(jw)的各頻譜分量彼此重疊，如圖8

-

5(c)

所示。式

中

，ws=2π/T為采樣角頻率。用jw

代替式(8

-

7)中的復(fù)變量s,

得到的拉普拉斯變換式為采樣函數(shù)(8-7)(8-8)圖8-5連續(xù)信號及采樣后離散信號的頻譜-Wmax(b)m

0

(a)0m2max2E(jw)||E(jw)o(C)|E(jw)Wmax

W22Wmax由圖8-5(b)可知，離散信號相鄰兩頻譜互不重疊的條件為或m,≥20

(8-9)即采樣開關(guān)的采樣角頻率必須要大于原連續(xù)信號最高角頻率的

2

倍

。8.2信號保持器8.2.1零階保持器零階保持器是一種按常值外推的保持器。它把前一時(shí)刻

nT

的脈沖值e(nT)一直保持到下一時(shí)刻(n+1)T

到來之前。因

為在一個采樣區(qū)間內(nèi)的值不變，其導(dǎo)數(shù)為零，因此稱為零階保持器。零階保持器的輸入信號e(nT)和輸出信號e?

(t)的關(guān)系如

圖8-6所示。圖8-6中，原連續(xù)信號為e(t),經(jīng)過采樣周期為T

的采樣后，得到離散的信號e(O)、e(T)、e(2T)等值(圖8-6中帶有箭頭的

有向線段)。離散信號經(jīng)過零階保持器處理后的連續(xù)信號為

階梯狀的eh(t)。可見，零階保持器的輸出eh(t)與原信號e(t)是

存在較大誤差的。e(t)

e(t)0

T

2T

3T

4T

5T圖8-6零階保持器輸入信號與輸出信號的關(guān)系下面推導(dǎo)零階保持器的表達(dá)式。利用泰勒級數(shù)展開公式，可以得到e(t)

(Lt)2+

…

,

0≤△t<T

(8-10)如

果

略

去

含

△t

、(△t)2等項(xiàng)，可得e(t)|nT+△:=e(nT),o≤△t<T

(8-

11)這就是零階保持器的公式。由式(8-11)可得零階保持器輸出信號的完整表達(dá)式為事實(shí)上，如果在式(8-10)中還保留△t項(xiàng)，就成為了一階保持器。(8-

12)(8-13)(8-

14)(8-

15)1.零階保持器的傳遞函數(shù)對式(8-12)取拉普拉斯變換，得所以，零階保持器的傳遞函數(shù)為則根據(jù)上式，可畫出零階保持器的幅頻特性|G?(jw)

|

和相頻特性∠Gh(ja),如圖8-7所示。令s=jw,可以得到零階保持器的頻率特性為圖8-7零階保持器的頻率特性2.零階保持器的特性零階保持器具有如下特性：(1)由圖8-7可知，零階保持器幅頻特性中，幅值隨頻率值的

增大而迅速衰減，說明零階保持器基本上是一個低通濾波器。

圖8-8為理想的低通濾波器頻率特性。零階保持器與理想低

通濾波器相比，在w=w/2

時(shí)，其幅值只有初值的63.7%。而且雖然零階保持器是低通濾波器，但它除了允許主頻譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過，這會在數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出

中產(chǎn)生紋波。IG(jo)

2

圖8-8-理想濾波器的頻率特性w0(2)零階保持器的輸出信號是階梯信號。由圖8-9可見，如果把階梯信號的各中點(diǎn)連接成曲線，可以得到與連續(xù)信號形

狀基本一致但在時(shí)間上落后T/2的響應(yīng)曲線。這反映了零階

保持器的相位滯后特性。e(t)

e(t-T/2)

e(t)0

4T

t圖8-9零階保持器的相位滯后特性(3)圖8-9表明，零階保持器的輸出為階梯信號eh(t),其平均響應(yīng)為e(t-T/2),表明輸出比輸入在時(shí)間上要滯后T/2,

相當(dāng)于給

系統(tǒng)增加了一個時(shí)間為T/2的延遲環(huán)節(jié)，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。一階保持器復(fù)現(xiàn)原信號的準(zhǔn)確度與零階保持器相比有所提高。但由于在式(8-16)中仍然忽略了高階微分，一階保持器的輸出信號與原連續(xù)信號之間仍有不同。8.2.2一階保持器與零階保持器按照常值外推不同，

一階保持器是按線性

外推的，其外推公式為(8-16)由式(8-16)可知，

一階保持器的響應(yīng)可以分解為階躍響應(yīng)和斜坡輸入響應(yīng)之和。將式(8-16)的微分形式變換成式(8-17)

的差分形式，對應(yīng)的傳遞函數(shù)為式(8-18)。e(t)

,0<△t<T

(8-

17)(8-

18)一階保持器的頻率特性如圖8-10中實(shí)線所示。作為對比，圖中的虛線為零階保持器的頻率特性。W,

2w,

3w?W圖8-10一階保持器與零階保持器的頻率特性對比0l∠G(jo)0

-180°

-280°lG.(io)8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如果離散系統(tǒng)滿足疊加原理，則稱為線性離散系統(tǒng)，并且有如下關(guān)系式：若c?(n)=F[r?(n)],c?(n)=F[r?(n)],且有r(n)=ar?(n)±br?(n),

其

中a和b為任意常數(shù)，則c(n)=F[r(n)]=F[ar?(n)±br?(n)]=aF[r?(n)]±bF[r?(n)]=ac?(n)±bc?(n)

(8-19)如果輸入與輸出關(guān)系不隨時(shí)間而改變的話，這樣的線性離散系統(tǒng)稱為線性定常離散系

統(tǒng)，可以用線性定常差分方程(線性常系數(shù)差分方程)描述。8.3.1差分方程對于一般的線性定常離散系統(tǒng)，輸出c(k)

與輸入r(k)的關(guān)系可以用下列差分方程描述：c(k)+a?c(k—1)+a?c(k—2)+…+anc(k—n)=b?r(k)+b?r(k-1)+…+bmr(k-m)(8-20)上式也可表示為

(8-21)式中，a;(i=1,2,…,n)和b;(j=1,2,…,m)

為常數(shù)，m≤n

。

式(8-21)稱為n階線性常系數(shù)差分方程，它在數(shù)學(xué)上代表一個線性定常離散系統(tǒng)。線性定常離散系統(tǒng)也可以用如下n

階前向差分方程描述：c(k+n)+a?c(k+n-1)+a?c(k+n—2)+…+anc(k)=bor(k+m)

十b?r(k+m-1)

十

…

+bmr(k)上式可表示為(8-22)圖8-11所示離散系統(tǒng)，描述它的一階微分方程為u(t)=c(t)=Ke(t)=Kr(t)—Kc(t)即c(t)+Kc(t)=Kr(t)將微分變換成差分，有得到一階差分方程為圖8-

11離散系統(tǒng)方框圖u(t)c(t)r(t)

e(t)K318.3.2差分方程求解差分方程求解常用迭代法和Z變換法。迭代法是已知差分方程式，并給出輸入和輸出序列初值，則可以利用遞推關(guān)系，

一步步迭代推算出輸出序列。Z變換法是對差分方程兩端取Z變換，將差分方程轉(zhuǎn)化為

以z

為變量的代數(shù)方程，然后再進(jìn)行Z

反變換，求出各采樣時(shí)刻

的響應(yīng)

。例8

-

1

已知差分方程c(k)—2c(k-1)+3c(k-2)=r(k)輸入序列r(k)=1,初始條件為c(0)=0,c(1)=1,利用迭代法求輸出序列c(k),k=0,1,2,3。解

根據(jù)初始條件及遞推關(guān)系，得k=0:c(0)=0k=1:c(1)=1k=2:c(2)=r(2)+2c(1)—3c(0)=3k=3:c(3)=r(3)+2c(2)—3c(1)=4所以，方程的Z

變

換

為z2C(z)一z2c(0)—zc(1)+3zC(z)—3zc(0)+2C(z)=0整理得(z2+3z+2)C(z)=c(0)z2+[c(1)+3c(O)]z代初始條件后，得(z2+3z+2)C(z)=z即例8

-2已知c(0)=0,c(1)=1,

用Z

變換法解二階差分方程c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0解對方程兩端進(jìn)行Z

變換。需要注意的是，因?yàn)槌跏贾挡粸榱悖虼吮仨毷褂猛暾?/p>

Z變換公式。

Z

變換性質(zhì)中的超前平移公式為求

Z

反變換得c(k)=(-1)*—(-2)*c*(t)=δ(t

一T)—38(t-2T)+78(t-3T)-158(t-4T)+

…8.3.3脈沖傳遞函數(shù)1.脈沖傳遞函數(shù)的定義在線性離散系統(tǒng)中，零初始條件下系統(tǒng)的輸出采樣信號Z

變換與輸入采樣信號Z

變換之比，稱為該系統(tǒng)的脈沖傳遞函

數(shù)，也稱為Z

傳遞函數(shù)。即實(shí)際上，多數(shù)離散系統(tǒng)的最終輸出往往是連續(xù)信號，而不是離散信號。此時(shí)，可以在輸出端虛設(shè)一個理想采樣開關(guān)，如圖8-

12所示，并使它與輸入采樣開關(guān)以相同的采樣周期T同步工作。(8-23)圖8-12離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)r(t)

r(t)R(z)R(z)G(z)

C(z)e(I)

C(z)c(t)G(z)一G(s)2.脈沖傳遞函數(shù)的求法(1)若已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s),則脈沖傳遞函數(shù)G(z)為

G(z)=4[G(s)](2)若已知系統(tǒng)的差分方程，就可以在零初始條件下，對差

分方程兩端進(jìn)行Z變換，并整理成

的

形

式

。例8-3求如下離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)c(k+2)-2.5c(k+1)-3c(k)=4.3r(k+1)+2r(k)解對該差分方程在零初始條件下進(jìn)行Z變換，有z2C(z)-2.5zC(z)-3C(z)=4.3zR(z)+2R(z)則3.開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)若離散函數(shù)的拉氏變換E*(s)與

連

續(xù)

函

數(shù)

的

拉氏

變換

G(s)相乘后再離散化，則E*(s)可以從離散符號中提

出來，即[G(s)E*(s)]*=G*(s)E*(s)

(8-24)當(dāng)開環(huán)離散系統(tǒng)由幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時(shí)，由于采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同，其脈沖傳遞函數(shù)也是不同的。下面討論離散系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下的脈沖傳遞函數(shù)。當(dāng)有兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，存在圖8-13(a)和(b)所示的兩

種不同結(jié)構(gòu)。(1)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時(shí)，脈沖傳遞函數(shù)為在這種情況下，必須將兩個環(huán)節(jié)G?(s)與G?(s)串聯(lián)之后作為

一個整體，再求Z

變換。(8-25)上式表明，由理想采樣開關(guān)隔開的兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩個環(huán)節(jié)各自的脈沖傳遞函數(shù)之積。(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時(shí)，脈沖傳遞函數(shù)為(8-26)G(z)=[G?(s)G?(s)]=G?G?(z)r(t)r'(t)

c(t)G?(s)

G?(s)(a)兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)G(z)=G?(z)·G?(z)G,(z)

G?(z)r(t)

r(t)

u(t)

u(t)

c(t)(b)兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)圖8-13環(huán)節(jié)串聯(lián)的結(jié)構(gòu)G?(s)G?(s)(3)帶有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。因?yàn)榱汶A保持器是常用的保持器，在此我們給出帶有零

階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。設(shè)有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)

如圖8-14(a)所示，可以變換為如圖8-14(b)所示的等效開環(huán)系

統(tǒng)。r(t

r()e?7(b)

等效系統(tǒng)圖8-14帶有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(a)

帶有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)r(t)

r*(t)G(s)c(t)c(t)于是，當(dāng)有零階保持器時(shí)，開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為由圖8-14(b)可得(8-27)則解因?yàn)樗岳?-4

設(shè)離散系統(tǒng)為具有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)，求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。4.閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)在離散系統(tǒng)中，由于設(shè)置采樣開關(guān)的位置不同，閉環(huán)系統(tǒng)

的結(jié)構(gòu)也是不一樣的。圖8-15是比較常見的系統(tǒng)框圖。圖中，

在系統(tǒng)的輸入端和輸出端都虛設(shè)了采樣開關(guān)。H(s)圖8-15閉環(huán)系統(tǒng)方框圖e(t)

e(1),

G(s)c(1)r(2)Φ(z)r'(t)c(t)式中，GH(z)為開環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。因?yàn)閮蓚€串聯(lián)的線性環(huán)節(jié)G(s)

和

H(s)

之間有一邊沒有采樣開關(guān)，因此它們必須相乘后再求Z變換，記作GH(z)。(8-28)(8-29)閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為采樣開關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中的位置不同時(shí)，離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其輸出信號

Z

變換C(z)可參見表8-1類似于連續(xù)系統(tǒng)，令Φ(z)或Φe(z)的分母多項(xiàng)式為零，可以得到離散系統(tǒng)的特征方程為D(z)=1+GH(z)=0

(8-30)序號系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖輸出C(z)1R(s)G(s)H(s)C(s)2R(s)G(s)H(s)C(s)3G?(s)

G?(s)C(s)H(s)表

8

-

1

離散系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖R(s)4G,(s)

G?(s)H(s)C(s)5G(s)C(s)H(s)6G?(s)

G?(s)C(s)H(s)7R(s)G(s)

C(s)H(s)R(s)R(s)R(

s)需要注意的是，閉環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)和誤差脈沖傳遞函數(shù)不能直接從Φ(s)或Φe(s)求Z變換而得，即Φ(z)≠2[Φ(s)],Φ(z)≠4[Φ(s)]這是因?yàn)檫B續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總是存在的。但是，離散化之后的離散系統(tǒng)卻有可能不存在脈沖傳遞函數(shù)。如表8-1

中序號1的結(jié)構(gòu)圖所示，因?yàn)轫憫?yīng)但是，表8-1中序號5的結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的響應(yīng)為所以閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可以表示為考慮到E(s)=R(s)—H(s)C(s)=R(s)離散化有E*(s)=R*(s)即對

E?(s)

離散化，有

E(s)=G1(s)E*(s),

則C(s)=G?(s)G(s)E*(s)一H(s)G?(s)G?(s)E*(s)一

HG?(s)G?(s)E*(s)例

8

-

5

設(shè)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如表8

-

1中序號3所示，試證明其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為C(s)=G?(s)E(s)E?(s)=G?(s)E*(s)輸出信號的采樣拉普拉斯變換為進(jìn)

行Z

變換，證得證

明

由圖可得8.3.4一種求取閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的簡易方法閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)是分析和設(shè)計(jì)離散控制系統(tǒng)的有力工

具。然而，求取離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)要比求取

連續(xù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)難，這是因?yàn)椴蓸娱_關(guān)在離散控制

系統(tǒng)中的位置是多種多樣的。因此，離散控制系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求取不能像連續(xù)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)那樣有統(tǒng)一的

求取方法。一般情況下，求取閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，是根據(jù)系統(tǒng)中信

號的傳遞關(guān)系逐步進(jìn)行推導(dǎo)，這種方法存在非常明顯的缺點(diǎn)，

比較繁瑣、費(fèi)時(shí)。并且對于同一結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，若是采樣開關(guān)

的位置發(fā)生了變化，則必須從頭推導(dǎo)其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。(2)將所有采樣開關(guān)都打開，恢復(fù)成離散系統(tǒng)，求采樣后的輸出拉氏變換C*(s)。①C(s)的分子部分G

前向(s)·R(s)是由系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)及輸入的拉氏變換R(s)

相乘而得。從輸入R(s)

沿著前向通路看向C(s),

若前向通路中環(huán)節(jié)與環(huán)節(jié)之間存在采樣

開關(guān)，則這幾個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別采樣后再相乘，表現(xiàn)為各個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)由G;(s)

變?yōu)镚;(s)

。

若環(huán)節(jié)與環(huán)節(jié)之間不存在采樣開關(guān)，則這幾個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)先相乘之后再

采樣。以三個環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)為例，表現(xiàn)為這三個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)由G?(s)G?(s)G?(s)

變?yōu)镚?G?G?(s)。②C(s)的分母部分是由常數(shù)項(xiàng)1和系統(tǒng)各個回環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)組成。從回環(huán)中的任意一個采樣開關(guān)處，沿回環(huán)中信號的傳遞方向看一圈，仍然根據(jù)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求

取方法，求取各個回環(huán)采樣后的開環(huán)傳遞函數(shù)。③寫出C*(s)。為此，本節(jié)提出一種求取離散控制系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的簡易方法。它借鑒了求連續(xù)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的方法。因此，這種方法具有比較統(tǒng)一的步驟。步驟如下：(1)將離散控制系統(tǒng)中的所有采樣開關(guān)都閉合，將系統(tǒng)看作是一個連續(xù)系統(tǒng)，求出該連續(xù)系統(tǒng)的輸出拉氏變換D(3)求取輸出的Z變換C(z)

。即將C*(s)表達(dá)式中的*號去

掉，把s換成z

即可。(4)若R(s)與前向通道的第一個環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)隔離，

則R(z)能夠分離出來，這時(shí)可以寫出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

Φ(z)

。

否則就不存在閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，只能求出C(z)。F(s)H(s)圖8-16離散控制系統(tǒng)方框圖例8-6求圖8-16所示離散控制系統(tǒng)輸出的Z

變換C(z)。R(s)G(s)C(s)(4)由于該系統(tǒng)中R(s)

與G(s)之間存在采樣開關(guān)，因此可以寫出該系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)φ(z)

為(2)寫出C*(s):(3)寫出C(z):解(1)求采樣開關(guān)閉合后的連續(xù)系統(tǒng)的C(s):8.4離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析8.4.1離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件根據(jù)線性連續(xù)系統(tǒng)特征方程的根在s

平面的分布位置，可以判別線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)的所有特征根都要在s平面的左半平面。線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是脈沖傳遞函數(shù)，因此需要在z

平面對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。為了從連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析過渡過來，首先需要弄清s平面與z平面之間的相互關(guān)系。1.s

平面到z平面的映射在Z變換定義中，復(fù)變量s

和z的相互關(guān)系為z=eT

(8-31)其

中T

為采樣周期。s域中的任意點(diǎn)可表示為s=σ+jw,映射到z域則為z=e(σ+jo)T=eσTejoT。于是，s平面到z

平面的映射關(guān)系為(8-32)由此可得如下結(jié)論

：(1)s平面虛軸(σ=0)對應(yīng)z平面上以原點(diǎn)為中心的單位圓

周，即

z=1。(2)s左半平面(?<0)對應(yīng)z

平面上以原點(diǎn)為中心的單位圓

內(nèi)部，即|z<1。(3)s右半平面(?>0)對應(yīng)z

平面上以原點(diǎn)為中心的單位圓

外部，即|z|>1。圖8-17給出了s

平面與z平面之間的相互關(guān)系。即s

平面

的穩(wěn)定區(qū)域?yàn)樽蟀肫矫?，對?yīng)z

平面的單位圓內(nèi)部。圖8-17s平面與z平面的映射關(guān)系2.線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件在線性連續(xù)系統(tǒng)中，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是以下幾點(diǎn)之一：①系統(tǒng)齊次微分方程的解是收斂的；②系統(tǒng)特征方程式的根均具有負(fù)實(shí)部；③系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于s左半平面。現(xiàn)在我們分析線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。線性離散系統(tǒng)的特征方程為D(z)=1+GH(z)=08.4.2離散系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù)線性連續(xù)系統(tǒng)中的勞斯判據(jù)是通過系統(tǒng)特征方程的系數(shù)及其符號來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的，其實(shí)質(zhì)是判別系統(tǒng)特征根是

否都在s左半平面。而離散系統(tǒng)中需要判斷的是系統(tǒng)特征根

是否都存在于z平面的單位圓內(nèi)。雙線性變換(又稱為w

變換),可以作為這種新的坐標(biāo)變換。令

或

式

中

，z和

w

均為復(fù)數(shù)，且z=x+jy,w=u+jv則在

z

平面的單位圓內(nèi)時(shí)，應(yīng)滿足

|z|=√x2+y2<1,從而可以得到(8-33)(8-34)式(8-34)說明，z平面單位圓內(nèi)的部分對應(yīng)左半w平面，w平面的虛軸對應(yīng)z平面的單位圓上。如圖8-18所示，經(jīng)過這種

變換后，就可以使用勞斯判據(jù)了。這種變換因?yàn)閺?fù)變量z與w

互為線性變換，所以叫作雙線性變換。圖8-18-雙線性變換(s平面，z平面，w平面的對應(yīng)關(guān)系)例8-7設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖8-19所示，其中采樣周期T=0.1s,試求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K

的變化范圍。圖8-19閉環(huán)系統(tǒng)方框圖r(t)c(t)故閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為1+G(z)=0即z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0令

代入上式得式中

，G(z)為前向通道的傳遞函數(shù)的

Z

變換，且有解

閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為化簡后，得w

平面的特征方程為0.632Kw2+1.264w+(2.736—0.632K)=0列出勞斯表為w2

0.632K

2.736—0.632Kw11.264

0w?2.736—0.632K

0為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，從勞斯表第一列系數(shù)可以看出，必須使K>0

且

2.736—0.632K>0即0<K<4.338.4.3離散系統(tǒng)的朱利穩(wěn)定判據(jù)朱利穩(wěn)定判據(jù)(July判據(jù))是直接在z

平面內(nèi)應(yīng)用的穩(wěn)定判據(jù)，類似于連續(xù)系統(tǒng)中的爾維茨判據(jù)。朱利判據(jù)是直接根據(jù)離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程

D(z)=1+GH(z)=0的系數(shù)，判別其根是否位于z平面上的單位圓內(nèi)，從而判斷該離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為D(z)=anz"+…+a?

z2+a?

z+ao=0,

a>0特征方程的系數(shù)按照下述方法構(gòu)造2n-3行、n+1列朱利陣列，如表8-2所示。行

數(shù)z°z1z2z3…z"-kz”-1z"1234562n-52n-42n-3aoanbobn-1CoCn-2pop?90a1an-1b?bn-2C1Cn-3p1p?91a2an-2b?bn-3C2Cn-4p2PiQ2a3an-3b?b-4C3Cn-5:p3po………………an-k

…a

…bn-k

…bk-1Cn-2Coan-1a1bn-1boanao表

8

-

2

朱

利

陣

列………*…k=0,1,…,n-2,k=0,1,…,n-3從第3行起，陣列中各元素的定義如下：:及下列n-1個約束條件同時(shí)成立：la

。l<an,|b?I>|bn-11,Icol>|cn-2lld?I>ldn-3|,…,Iq

。l>lq?l只有當(dāng)上述諸條件均滿足時(shí)，離散系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不

穩(wěn)

定

。朱利穩(wěn)定判據(jù)：特征方程D(z)=0的根，全部位于z平面單位圓內(nèi)的充分必要條件是當(dāng)n

為偶數(shù)時(shí)當(dāng)n

為奇數(shù)時(shí)D(1)>0,例

8

-

8

已知離散系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D(z)=z?-1.368z3+0.4z2+0.08z+0.002=0利用朱利判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解

由于n=4,

所

以2n—3=5,n+1=5

。

因此，朱利陣列有5行5列。ao=0.002,a?=0.08,a?=0.4,a?=-1.368,a?=1計(jì)算朱利陣列中的元素

b

和

c

為行數(shù)z°z1z2z3z?10.0020.080.4-1.368121—1.3680.40.080.0023-11.368一0.399一

0

.

0

8

24一0.082一0.3991.368-150.993-1.4010.511列出如下朱利陣列：因

為n=4

為偶數(shù)，且D(1)=0.114>0,D(-1)=2.69>0laol=0.002,

a?=1,

滿足|a

。l<a|b?|=1,

b?

I=0.082,

滿足|b?

I>|b?

IIcol=0.993,Ic?|=0.511,

滿足|col>|c?

l故由朱利穩(wěn)定判據(jù)知，該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。8.4.4采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響我們知道，連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益K、

系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布和傳輸延遲等因素。但是，影響離散系統(tǒng)

穩(wěn)定性的因素，除了上述因素外，還與采樣周期T

的取值有關(guān)。顯而易見，開環(huán)增益

K

與采樣周期T對離散系統(tǒng)穩(wěn)定性有如下影響

：(1)當(dāng)采樣周期T

一定時(shí)，開環(huán)增益

K

增大會使離散系統(tǒng)

的穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。(2)當(dāng)開環(huán)增益

K

一定時(shí)，采樣周期T

越長，丟失的信息越多，對離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能均不利，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)

失去穩(wěn)定。8.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線性連續(xù)系統(tǒng)計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的方法有兩種：

一種是利用拉普拉斯變換終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差；另一種是從系統(tǒng)的誤

差傳遞函數(shù)出發(fā)，求出系統(tǒng)動態(tài)誤差的穩(wěn)態(tài)分量。這兩種方法都可以推廣到離散系統(tǒng)中來。這里僅利用Z變換的終值定理求取離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。設(shè)單位負(fù)反饋離散系統(tǒng)如圖8-20所示，系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G(z)。離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可以從輸出信號在各

采樣時(shí)刻上的數(shù)值c(nT)(n=0,1,2,…,)和動態(tài)過程曲線c*(t)

求取，也可以應(yīng)用Z

變換的終值定理來計(jì)算。r(t)

e(t)

e*(t)

G(s)

c(t)b(t)圖8-20單位負(fù)反饋系統(tǒng)框圖因?yàn)镃(z)=Φ(z)R(z)利用Z

變換的終值定理求出離散系統(tǒng)采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差為(8-35)(8-36)所以為了更詳細(xì)地分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，與線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析類似，我們引入系統(tǒng)型別這個概念。由于

z=eST,原線性連續(xù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)

在s=0

處極點(diǎn)的個數(shù)

v

作為劃分系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn)，可推廣為將離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳

遞函數(shù)G(z)在z=1處極點(diǎn)的數(shù)目v作為離散系統(tǒng)的型別，稱v=0,1,2的系統(tǒng)分別為0型、

I

型、Ⅱ型離散系統(tǒng)，如式(8-37)

所

示

。(8-37)下面考查幾種典型輸入作用下不同型別離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤

差

。1.單位階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t)時(shí)，

采樣瞬時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為(1

)

若G(z)沒

有z=1的極點(diǎn)，即

中

v=0,這樣的系統(tǒng)稱為0型離散系統(tǒng)。因?yàn)?/p>

Kp≠

∞,所

以e(∞)≠0。式

中

，

,稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。(8-38)(2)若G(z)有一個或一個以上z=1的極點(diǎn)，這樣的系統(tǒng)相應(yīng)地稱為

I

型或Ⅱ型及以上的離散系統(tǒng)。因?yàn)?/p>

Kp=∞,所以e(o)=0。因此，在單位階躍函數(shù)作用下，0型離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)存在位置誤差。

I

型或Ⅱ型及以上的離散系統(tǒng)，在采樣瞬時(shí)沒

有位置誤差，這與連續(xù)系統(tǒng)十分相似?？梢?，若需要系統(tǒng)對單

位階躍信號輸入在采樣時(shí)刻無穩(wěn)態(tài)誤差，至少需要

I

型系統(tǒng)。這里我們強(qiáng)調(diào)的離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差是指在采樣時(shí)刻的瞬

時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差。而在采樣時(shí)刻之間，系統(tǒng)的輸出是否存在穩(wěn)態(tài)

誤差，利用該方法還不可求得。

(8-39)

式中，

,稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。(1)對于0型系統(tǒng)，因?yàn)镵

、=0,所以e(∞)=∞

。0型離散系統(tǒng)對于單位斜坡函數(shù)的

輸入不穩(wěn)定。(2)I型系統(tǒng)的K為有限值，所以e(∞)也為有限值。I型離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)

作用下存在速度誤差。(3)Ⅱ型及其以上系統(tǒng)的K、=∞,

所以e(∞)=0。Ⅱ型和Ⅱ型以上離散系統(tǒng)在單位斜

坡函數(shù)作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差。2.單位斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位斜坡函數(shù)r(t)=t時(shí)，

,采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差為

(8-40)

式中，

,稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。(

1

)

對

于

0

型

及I型系統(tǒng)，因?yàn)镵

。=0,

所

以e(∞)=∞

。0型及I型離散系統(tǒng)對于單

位加速度函數(shù)輸入不穩(wěn)定。(2)Ⅱ型系統(tǒng)的K。為常值，所以e(∞)

也為有限值。Ⅱ型離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)

作用下存在加速度誤差。(3)Ⅲ型及以上系統(tǒng)的Ka=∞,所

以e(∞)=0。Ⅲ

型及以上的離散系統(tǒng)在單位加速度

函數(shù)作用下，不存在采樣瞬時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。不同型別單位負(fù)反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，如表8-3所示。3.單位加速度輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位加速度函數(shù)r(t)=t2/2時(shí)，

,采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)型別v階躍輸入r(t)=1(t)斜坡輸入r(t)=t加速度輸入0型∞○∞I型0xⅡ

型00表

8

-

3

不同型別單位負(fù)反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差8.6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能離散系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在z平面上單位圓內(nèi)的分布，對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)具有重要的影響。設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的

脈沖傳遞函數(shù)為為分析簡便，設(shè)式(8-41)無重極點(diǎn)，p??P?…,pn

為n個

互

不

相等的閉環(huán)極點(diǎn)。若閉環(huán)極點(diǎn)均位于z平面的單位圓內(nèi)，則離散

系統(tǒng)穩(wěn)定

。(8-41)式中，第一項(xiàng)為系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量，若其值為1,則單位反饋離散系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零；第二項(xiàng)為

系統(tǒng)輸出的動態(tài)分量。對于單位階躍輸入，已知C(z)=Φ(z)R(z),其中

,

則通過Z

反變換導(dǎo)出輸出信號的脈沖序列c*(t),得(8-42)(8-43)容易看出，隨著極點(diǎn)pi在z

平面上位置的變化，它所對應(yīng)的動態(tài)分量也就不同。下面分幾種情況來討論。1.實(shí)軸上的閉環(huán)單極點(diǎn)設(shè)p為正實(shí)數(shù)，p

對應(yīng)的動態(tài)分量為(1)若閉環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)位于右半z

平面，則輸出動態(tài)響應(yīng)形式為單向正脈沖序列。實(shí)數(shù)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，脈沖序列收斂，且實(shí)數(shù)極點(diǎn)越接近原點(diǎn)，收斂越快；實(shí)數(shù)極點(diǎn)位于單位圓上，脈沖序列等幅變化；實(shí)數(shù)極點(diǎn)位于單位圓外，脈沖序列發(fā)散。(2)若閉環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)位于左半z平面，則輸出動態(tài)響應(yīng)形

式為雙向交替脈沖序列。實(shí)數(shù)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，雙向脈沖

序列收斂；實(shí)數(shù)極點(diǎn)位于單位圓上，雙向脈沖序列等幅變化；實(shí)

數(shù)極點(diǎn)位于單位圓外，雙向脈沖序列發(fā)散。2.閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，pk和Pk+1對應(yīng)的

動態(tài)分量為Ck(nT)=2|A?le"Tcos(nwT+φk)式中，;0<θ<π,為共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)pk的相角。(1)若IpA>1,閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于z

平面上的單位圓外，動態(tài)

響應(yīng)為振蕩脈沖序列。(2)若pI=1,閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于z

平面上的單位圓上，動態(tài)

響應(yīng)為等幅振蕩脈沖序列。(3)若Ipk<1,閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于z

平面上的單位圓內(nèi)，動態(tài)

響應(yīng)為振蕩收斂脈沖序列，且p

|越小，即復(fù)極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，振

蕩收斂得越快。求其單位階躍響應(yīng)的離散值，并分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。采樣周

期T=0.2s。例8-9已知單位負(fù)反饋離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為利用長除法得C(z)=0.381z-1+1.124z-2+1.488z-3+1.313z-?+0.945z-5+0.760z-?+0.841z??+1.025z-8+1.118z-?+1.079z-10+0.989z-11+0.942z-12+0.960z-13+1.005z-1?+

…=∑ckz*解

當(dāng)輸入量

r(t)=1(t)時(shí),,輸出量的z

變換為基于Z變換的定義，得到c(kT)=∑cδ(t—kT)可以求得系統(tǒng)在單位階躍作用下的輸出序列c(kT)

為c(0)=0c(T)=0.381c(2T)=1.124

c(3T)=1.488

c(4T)=1.313c(5T)=0.945c(6T)=0.760c(7T)=0.841

c(8T)=1.025c(9T)=1.1188.7離散系統(tǒng)的校正8.7.1數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)圖8-21為線性離散系統(tǒng)，數(shù)字控制器D(s)串聯(lián)引入后，輸

出新的脈沖序列u*(t)

。因

為D(s)前后都有采樣開關(guān)，所以輸

入脈沖序列e*(t)與輸出脈沖序列u*(t)的脈沖傳遞函數(shù)D(z)

是可以分離出來的。在確定數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(Z)

時(shí)，假設(shè)其前后兩個采樣開關(guān)的動作是同步的，即認(rèn)為計(jì)算過

程很快，輸出對輸入沒有明顯的滯后。在圖8-21所示的線性離散系統(tǒng)中，設(shè)反饋通道的傳遞函數(shù)

H(s)=1,則單位負(fù)反饋線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

為可以得到(8-

44)(8-45)誤差脈沖傳遞函數(shù)為可以得到(8-46)(8-47)u(t)

G(s)C(s)圖8-21加入數(shù)字控制器的離散系統(tǒng)DD(s)H(s)e(t)R(s)因此，數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)可以表示為式(8-45)和式(8-47)。也就是說，可以根據(jù)線性離散系統(tǒng)連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)G(z)及系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)或Φe(z)確定。而數(shù)字控制器的一般形式為式中，a(i=1,2,…,n)及b;(i=1,2,…,m)為常系數(shù)，且n≥m。(8-48)8.7.2最少拍系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)在離散控制過程中，通常把一個采樣周期稱為一拍。所

謂最少拍系統(tǒng)，是指在典型輸入作用下，能以有限的最少周期

結(jié)束響應(yīng)過程，且在采樣時(shí)刻上無穩(wěn)態(tài)誤差。最少拍系統(tǒng)的

設(shè)計(jì)，是針對典型輸入信號進(jìn)行的。常見的典型輸入信號為

單位階躍信號、單位速度信號和單位加速度信號，其Z

變換分r(t)=1(2),

r()=t,

別為為使穩(wěn)態(tài)誤差為0,Φ(z)中應(yīng)包含(1-z-1)“因子。因此，必須有Φ(z)=(1-z?1)F(z-1)式中，F(xiàn)(z-1)為不包含(1-z-1)因子的z-

1

多項(xiàng)式。式中，A(z-1)是不包含(1-z?1)因子的z-

1的多項(xiàng)式。由于

因此有

E(z)=Φ.(z)R(z),

則利用終值定理，離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為可見，典型輸入信號的Z變換可寫為(8-50)(8-51)(8-49)要想成為最少拍控制系統(tǒng)，需要動態(tài)響應(yīng)過程盡快結(jié)束。可見，當(dāng)F(z-1)=1時(shí)，Φ(z)中包含z-

1的項(xiàng)數(shù)最少，離散系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)過程會最快結(jié)束。因此Φ(z)=(1-z-1)a

(8-52)所以，無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為Φ(z)=1—Φ(z)=1-(1-z-

1)“

(8-53)進(jìn)而得到輸出為C(z)=Φ(z)R(z)(8-54)(1

)

當(dāng)r(t)=1(t),

,α=1時(shí)，可得Φ(z)=1-z-1,Φ(z)=z-

1于

是

有可見，串聯(lián)上按照式(8

-

45)和式(8

-

47)設(shè)計(jì)的控制器，只有在

T=0時(shí)存在誤差，最少拍離