2025年病毒建模測(cè)試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共30分）1.某新型冠狀病毒的傳播模型采用改進(jìn)的SEIRS模型，其中Ecompartment表示：A.已暴露但未感染個(gè)體B.已暴露且具有傳染性個(gè)體C.已暴露但處于潛伏期無(wú)傳染性個(gè)體D.已暴露且處于恢復(fù)期個(gè)體2.若某病毒的基本再生數(shù)R?=4.2，其臨界群體免疫接種率（假設(shè)疫苗完全有效）約為：A.76.2%B.80.9%C.85.7%D.90.5%3.在基于Agent的病毒傳播模型中，以下哪項(xiàng)不是微觀模擬的關(guān)鍵參數(shù)？A.個(gè)體移動(dòng)半徑B.場(chǎng)所接觸頻率C.群體平均感染率D.個(gè)體免疫狀態(tài)異質(zhì)性4.采用最大似然估計(jì)法擬合病毒傳播數(shù)據(jù)時(shí)，若似然函數(shù)L(θ|x)表示參數(shù)θ下觀測(cè)數(shù)據(jù)x的概率，優(yōu)化目標(biāo)通常是：A.最大化L(θ|x)B.最小化L(θ|x)C.最大化-log(L(θ|x))D.最小化|θ-θ?|（θ?為先驗(yàn)值）5.某地區(qū)實(shí)施“50%社交距離措施”（即有效接觸率降低50%），原傳播系數(shù)β=0.4/天，干預(yù)后β'=0.4×(1-0.5)=0.2/天，若原R?=β/γ（γ=0.1/天），則干預(yù)后R?'為：A.2B.4C.6D.86.在空間傳播模型中，若采用核函數(shù)K(d)=e^(-d/λ)描述距離d對(duì)傳播的影響，λ增大時(shí)，病毒的遠(yuǎn)距離傳播能力會(huì)：A.增強(qiáng)B.減弱C.不變D.先增強(qiáng)后減弱7.以下哪項(xiàng)不是SEIR模型與SIR模型的主要區(qū)別？A.增加潛伏期階段B.允許康復(fù)者再次感染C.區(qū)分暴露期與傳染期D.可能影響峰值時(shí)間計(jì)算8.若某病毒的潛伏期分布為對(duì)數(shù)正態(tài)分布（均值μ=3天，標(biāo)準(zhǔn)差σ=1.5天），則平均潛伏期約為：A.e^(μ+σ2/2)B.μC.(μ+σ)/2D.e^μ9.在評(píng)估疫苗接種策略時(shí)，若優(yōu)先接種高接觸率人群（如醫(yī)護(hù)人員），其核心邏輯是：A.降低整體傳播系數(shù)βB.減少易感人群數(shù)量C.阻斷傳播鏈的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)D.提高群體免疫閾值10.某模型預(yù)測(cè)某城市3個(gè)月后感染人數(shù)為10萬(wàn)，95%置信區(qū)間為[8.5萬(wàn),11.5萬(wàn)]，以下解釋正確的是：A.實(shí)際感染人數(shù)有95%概率落在該區(qū)間B.模型參數(shù)估計(jì)的不確定性導(dǎo)致區(qū)間范圍C.該區(qū)間反映了數(shù)據(jù)測(cè)量誤差D.若重復(fù)100次模擬，95次結(jié)果在該區(qū)間內(nèi)二、填空題（每空2分，共20分）1.SIR模型的基本微分方程中，dI/dt=______，其中S為易感者數(shù)量，I為感染者數(shù)量，β為傳播系數(shù)，γ為恢復(fù)率。2.若某病毒的代際間隔（SerialInterval）為5天，R?=3，則其傳播增長(zhǎng)率r≈______（提示：r≈ln(R?)/代際間隔）。3.在貝葉斯參數(shù)估計(jì)中，后驗(yàn)概率P(θ|x)∝______×______，其中x為觀測(cè)數(shù)據(jù)。4.空間傳播模型中，若采用重力模型，傳播概率通常與兩地人口數(shù)的乘積成______，與距離的______成反比。5.干預(yù)措施的“有效再生數(shù)”Rt=______，當(dāng)Rt______1時(shí)，疫情呈下降趨勢(shì)。6.考慮年齡分層的傳播模型中，若兒童的接觸率是成人的1.5倍，兒童占總?cè)丝诘?0%，則兒童群體的傳播貢獻(xiàn)權(quán)重為_(kāi)_____（假設(shè)其他參數(shù)相同）。三、計(jì)算題（共40分）1.（12分）某地區(qū)初始人口N=100萬(wàn)，無(wú)免疫人口，初始感染數(shù)I?=100，采用SIR模型（β=0.3/天，γ=0.1/天）。（1）計(jì)算基本再生數(shù)R?；（2）求感染人數(shù)峰值時(shí)的易感者比例s；（3）若該地區(qū)在疫情爆發(fā)后第10天開(kāi)始實(shí)施隔離措施，使γ提升至0.2/天（β不變），計(jì)算措施實(shí)施后的R?'，并說(shuō)明對(duì)疫情的影響。2.（14分）某病毒的潛伏期服從伽馬分布，形狀參數(shù)k=2，尺度參數(shù)θ=3天（均值=kθ=6天，方差=kθ2=18天2）。（1）寫(xiě)出潛伏期的概率密度函數(shù)f(t)；（2）計(jì)算潛伏期超過(guò)7天的概率（提示：Γ函數(shù)近似值Γ(2)=1，Γ(3)=2，Γ(2,7/θ)=Γ(2,7/3)≈0.41）；（3）若該病毒的傳染期為潛伏期結(jié)束后開(kāi)始，持續(xù)時(shí)間服從指數(shù)分布（均值=4天），求從暴露到不再傳染的總時(shí)間的期望。3.（14分）某城市有A、B兩個(gè)區(qū)域，人口分別為N?=80萬(wàn)、N?=20萬(wàn)，區(qū)域內(nèi)接觸率β?=0.25/天、β?=0.3/天，區(qū)域間傳播系數(shù)β??=0.05/天（表示A區(qū)感染者對(duì)B區(qū)易感者的傳播率）。初始時(shí)A區(qū)有1000例感染者，B區(qū)無(wú)感染，假設(shè)無(wú)恢復(fù)（γ=0），采用雙區(qū)域SIR模型（忽略死亡）。（1）寫(xiě)出A區(qū)感染人數(shù)變化的微分方程dI?/dt（用S?、I?、S?、I?表示）；（2）若t=0時(shí)S?≈N?，S?≈N?，計(jì)算t=0時(shí)A區(qū)的感染增長(zhǎng)率r?；（3）分析區(qū)域間傳播對(duì)疫情擴(kuò)散的影響機(jī)制。四、綜合分析題（共30分）1.（15分）某新型病毒的流行病學(xué)數(shù)據(jù)顯示：潛伏期2-14天（均值5天），傳染期為癥狀出現(xiàn)前2天至癥狀出現(xiàn)后5天（共7天），基本再生數(shù)R?=5.0，人群中30%為高接觸率個(gè)體（接觸率是平均水平的2倍），70%為低接觸率個(gè)體。（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)分層SIR模型（區(qū)分高、低接觸率群體），寫(xiě)出各群體的微分方程（用S_h、I_h、R_h表示高接觸率群體，S_l、I_l、R_l表示低接觸率群體，總接觸率包括群體內(nèi)和群體間接觸）；（2）若對(duì)高接觸率群體實(shí)施90%的疫苗接種（疫苗有效率100%），計(jì)算干預(yù)后的有效再生數(shù)Rt（假設(shè)低接觸率群體無(wú)接種，總接觸率矩陣為：高-高接觸率c_hh=2c，高-低c_hl=c，低-高c_lh=c，低-低c_ll=0.5c，其中c為平均接觸率基準(zhǔn)值）；（3）結(jié)合模型結(jié)果，說(shuō)明優(yōu)先接種高接觸率群體的合理性。2.（15分）某團(tuán)隊(duì)使用SEIRS模型（考慮免疫消退）預(yù)測(cè)某城市未來(lái)1年的疫情，模型參數(shù)如下：β=0.28/天（傳播系數(shù)），σ=1/5天?1（潛伏期轉(zhuǎn)化率，潛伏期均值5天），γ=1/7天?1（恢復(fù)率，傳染期均值7天），α=1/365天?1（免疫消退率，免疫持續(xù)時(shí)間約1年）。初始狀態(tài)：S=99%N，E=0，I=0.5%N，R=0.5%N。（1）繪制SEIRS模型的compartments流程圖（文字描述即可）；（2）計(jì)算模型的基本再生數(shù)R?（提示：R?=β/(σ+γ)×(σ/(σ+γ))？不，正確公式需考慮潛伏期對(duì)傳播的影響，實(shí)際R?=β/(γ)×(σ/(σ+γ))？需重新推導(dǎo)：在SEIR模型中，R?=β/(γ)×(σ/(σ+γ))？或更準(zhǔn)確的，R?=β/(γ)×[1e^(-σT)]，其中T為傳染期？需明確正確推導(dǎo)過(guò)程）；（3）若該城市在第100天開(kāi)始接種疫苗（接種率20%/月，疫苗有效率80%），請(qǐng)描述模型需要調(diào)整的參數(shù)及預(yù)測(cè)結(jié)果的變化趨勢(shì)（如峰值時(shí)間、感染規(guī)模）。答案--一、單項(xiàng)選擇題1.C（SEIRS中E為暴露但未傳染的潛伏期）2.C（臨界接種率=1-1/R?=1-1/4.2≈85.7%）3.C（群體平均感染率是宏觀結(jié)果，非微觀參數(shù)）4.A（最大似然估計(jì)目標(biāo)是最大化似然函數(shù)）5.A（原R?=0.4/0.1=4，干預(yù)后β'=0.2，R?'=0.2/0.1=2）6.A（λ為空間衰減參數(shù)，λ越大，遠(yuǎn)距離傳播權(quán)重越高）7.B（SEIR不允許康復(fù)者再次感染，SEIRS才允許）8.A（對(duì)數(shù)正態(tài)分布均值為e^(μ+σ2/2)）9.C（高接觸率人群是傳播鏈的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)）10.B（置信區(qū)間反映參數(shù)估計(jì)的不確定性，非實(shí)際結(jié)果概率）二、填空題1.βSI/NγI（SIR模型中dI/dt=βSI/NγI）2.0.2197（r≈ln(3)/5≈1.0986/5≈0.2197/天）3.似然函數(shù)P(x|θ)；先驗(yàn)概率P(θ)（貝葉斯公式：后驗(yàn)∝似然×先驗(yàn)）4.正比；某次方（通常為2次方，如重力模型T_ij=kP_iP_j/d_ij2）5.R?×s(t)；＜（Rt=R?×易感者比例s(t)，Rt＜1時(shí)疫情下降）6.0.3（貢獻(xiàn)權(quán)重=接觸率×人口比例=1.5×0.2=0.3）三、計(jì)算題1.（12分）（1）R?=β/γ=0.3/0.1=3（2）SIR模型峰值條件為dI/dt=0，即βS/N=γ→S=γN/β=(0.1/0.3)N≈0.333N，故易感者比例s=1/3≈33.3%（3）干預(yù)后γ'=0.2/天，R?'=β/γ'=0.3/0.2=1.5＜3，有效再生數(shù)下降，疫情增長(zhǎng)速度減緩，峰值降低，結(jié)束時(shí)間提前。2.（14分）（1）伽馬分布密度函數(shù)f(t)=(t^(k-1)e^(-t/θ))/(θ^kΓ(k))，代入k=2，θ=3，得f(t)=(te^(-t/3))/(32×1)=te^(-t/3)/9（2）P(T＞7)=1P(T≤7)=1γ(k,7/θ)/Γ(k)，其中γ為下不完全伽馬函數(shù)。已知Γ(2)=1，γ(2,7/3)=∫?^(7/3)te^(-t)dt=[-te^(-t)e^(-t)]?^(7/3)=-7/3e^(-7/3)e^(-7/3)+1≈1(10/3)e^(-7/3)≈13.333×0.095≈10.317=0.683（但題目提示Γ(2,7/3)≈0.41，可能指上不完全伽馬函數(shù)Γ(k,x)=Γ(k)-γ(k,x)，則P(T＞7)=Γ(2,7/3)/Γ(2)=0.41/1=0.41）（3）總時(shí)間=潛伏期+傳染期，期望=E[潛伏期]+E[傳染期]=6+4=10天3.（14分）（1）A區(qū)感染人數(shù)變化需考慮區(qū)內(nèi)傳播和區(qū)際傳播：dI?/dt=β?(S?I?)/N?+β??(S?I?)/N?（假設(shè)區(qū)際傳播為A區(qū)易感者接觸B區(qū)感染者，或B區(qū)易感者接觸A區(qū)感染者？需明確。通常雙區(qū)域模型中，dI?/dt=β?(S?I?)/N?+β??(S?I?)/N?（A區(qū)易感者被B區(qū)感染者感染的速率為β??×S?×I?/N?，假設(shè)N?為A區(qū)人口））（2）t=0時(shí)，S?≈80萬(wàn)，I?=1000，I?=0，故dI?/dt≈β?(S?I?)/N?=0.25×(800000×1000)/800000=0.25×1000=250例/天，增長(zhǎng)率r?=dI?/dt/I?=250/1000=0.25/天（3）區(qū)域間傳播會(huì)導(dǎo)致疫情從高感染區(qū)向低感染區(qū)擴(kuò)散，增加整體感染規(guī)模；若區(qū)域間傳播系數(shù)β??較大，可能加速疫情在不同區(qū)域的同步化，延長(zhǎng)流行周期。四、綜合分析題1.（15分）（1）分層模型假設(shè)高（h）、低（l）接觸率群體，總接觸率包括群體內(nèi)（c_hh,c_ll）和群體間（c_hl,c_lh）接觸。模型方程：dS_h/dt=-β(c_hhS_hI_h/N_h+c_hlS_hI_l/N_l)dI_h/dt=β(c_hhS_hI_h/N_h+c_hlS_hI_l/N_l)γI_hdR_h/dt=γI_h（低接觸率群體類似，dS_l/dt=-β(c_lhS_lI_h/N_h+c_llS_lI_l/N_l)，dI_l/dt=β(...)γI_l，dR_l/dt=γI_l）（2）接種后，高接觸率群體易感者變?yōu)镾_h'=S_h×(1-0.9)=0.1S_h（假設(shè)初始S_h=0.3N）。有效再生數(shù)Rt需計(jì)算每個(gè)群體的二次感染數(shù)?？偨佑|矩陣為：高群體感染一個(gè)個(gè)體，感染高群體的人數(shù)=β×c_hh×S_h'/N_h=β×2c×0.1×0.3N/(0.3N)=0.2βc感染低群體的人數(shù)=β×c_hl×S_l/N_l=β×c×0.7N/(0.7N)=βc低群體感染一個(gè)個(gè)體，感染高群體的人數(shù)=β×c_lh×S_h'/N_h=β×c×0.1×0.3N/(0.3N)=0.1βc感染低群體的人數(shù)=β×c_ll×S_l/N_l=β×0.5c×0.7N/(0.7N)=0.5βcRt=（高群體貢獻(xiàn)+低群體貢獻(xiàn)）=[0.2βc+βc]×(0.3N/N)+[0.1βc+0.5βc]×(0.7N/N)（需更準(zhǔn)確計(jì)算：Rt為每個(gè)感染階段的平均二次感染數(shù)，高群體感染者的二次感染數(shù)=β(c_hhS_h'/N_h+c_hlS_l/N_l)=β(2c×0.1×0.3N/(0.3N)+c×0.7N/(0.7N))=β(0.2c+c)=1.2βc；低群體感染者的二次感染數(shù)=β(c_lhS_h'/N_h+c_llS_l/N_l)=β(c×0.1×0.3N/(0.3N)+0.5c×0.7N/(0.7N))=β(0.1c+0.5c)=0.6βc；初始R?=[高比例×高二次感染數(shù)+低比例×低二次感染數(shù)]=0.3×(β×2c/γ)+0.7×(β×0.5c/γ)=(0.6βc+0.35βc)/γ=0.95βc/γ=5（已知R?=5），故βc/γ=5/0.95≈5.26。干預(yù)后Rt=0.3×(1.2βc/γ)+0.7×(0.6βc/γ)=0.3×6.31+0.7×3.16≈1.89+2.21=4.1，仍＞1但顯著下降。（3）高接觸率群體雖占比30%，但接觸率是2倍，其傳播貢獻(xiàn)大；接種后大幅降低其易感者比例，能更有效切斷傳播鏈，比均勻接種更高效。2.（15分）（1）SEIRS流程圖：S（易感）→E（暴露，σ轉(zhuǎn)化率）→I（感染，γ恢復(fù)率）→R（康復(fù)，α消退率）→S（再次易感）。（2）SEIR模型的R?推導(dǎo)：每個(gè)感染者在傳染期內(nèi)接觸的易感者數(shù)×傳染概率。潛伏期內(nèi)無(wú)傳染，傳染期從I開(kāi)始，持續(xù)時(shí)間1/γ天。傳播率為β×S/N，假設(shè)S≈N（初始），則每個(gè)I在傳染期內(nèi)感染的人數(shù)為β×(1/γ)。但因暴露者需經(jīng)過(guò)潛伏期（1/σ天）才成為I，故考慮潛