壓軸點二幾何壓軸題題型一折疊問題(2024真題.22，2024省一模.22)第二篇難題解構突破壓軸典例解構1突破訓練2典例解構1

原題設問(1)如圖1，連接EQ，求證：QB=QG.答案略設問拆分(1)a.求證：BE=GE，

∠

EGP=90°；證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，由折疊知EG＝EF＝EB，∠EGP＝∠F＝∠B＝90°.b.求證：QB=QG.證明：∵∠EGP＝90°，∴∠EGQ＝180°－∠EGP＝90°.在Rt△EBQ和Rt△EGQ中，∵EQ＝EQ，EB＝EG，∴Rt△EBQ≌Rt△EGQ(HL)，∴QB＝QG.要點提煉知識必備將△

ABC

沿AC

折疊后得到△

ADC.結論：

△

ABC

≌△

ADC.原題設問(2)如圖2，當點E

與點A

重合時，若點G

落在邊AD

上，

連接BF，EC

與BF

相交于點M，與PQ

相交于點N，求MN

的長．答案略設問拆分(2)a.求∠ACB的度數(shù)和CM的長；b.求CQ

的長；c.求MN

的長.要點提煉知識必備1.將

△ABC

沿AC

折疊后得到△ADC，連接BD.結論：

AC

垂直平分BD.2.已

知AB，BC

的長，求CM的長.

答案略設問拆分(3)①

如圖，

過點G

作GR

⊥

BC于點R.a.求QG，QR

和AG

的長；b.設AE=x，用含x

的式子表示EG，并求x

的值；c.求AH

和HG

的長.要點提煉模型抽離正A字型相似模型條件：AH

∥

BC.結論：△EAH

∽△

EBC.原題設問②

當點E

在線段AB

上時，

請直接寫出HG

的長．答案略設問拆分②

如圖，過點G

作GR⊥BC，垂足為R.a.求QG，QR

和AG

的長；b.設AE=x，用含x

的式子表示EG，并求x

的值；c.求AH

和HG

的長.要點提煉模型抽離正8字型相似模型條件：AH

∥

BC結論：△EAH

∽△

EBC.知識必備利用同一未知數(shù)表示出直角三角形的三條邊長，利用勾股定理列方程.1.[原創(chuàng)題]在菱形ABCD

中，AB=8，∠

BAD=120°，E，F(xiàn)

分別是邊AB，BC

上的點，沿直線EF

折疊△BEF，點B

的對應點為點B'，連接AC，BD，相交于點O.突破訓練2(1)如圖1，當點B'與點O

重合時，求證：△BEO

≌△

BFO；證明：由折疊的性質得，BE＝OE，BF＝OF，∴∠EOB＝∠EBO，∠FOB＝∠FBO.∵四邊形ABCD是菱形，∴∠EBO＝∠FBO，∴∠EOB＝∠FOB.又∵BO＝BO，∴△BEO≌△BFO(ASA)．(2)如圖2，當點B'落在AC

上，且B'C=3AB'時，求CF

的長；解：如解圖1，過點F作FH⊥AC于點H.∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝8，AD∥BC.∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝8.（圖1）（圖1）(3)如圖3，若點B'落在AD

上.①

當B'E⊥AC

時，求四邊形B'FCD

的面積；解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠CAD＝∠BAD＝60°，∠ABC＝180°－∠BAD＝60°.由折疊的性質得∠EB′F＝∠EBF＝60°，∵B′E⊥AC，∠CAD＝60°，∴∠AB′E＝90°－∠CAD＝30°.∴∠AB′F＝∠AB′E＋∠EB′F＝90°.∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝8.②當B'為AD

的中點時，求cos∠

BFE的值.2.[2025皇姑區(qū)零模]如圖1，在Rt△ABC

中，∠

ACB=90°，AC=8，BC=6，點D

和點E

分別在邊AC

和AB

上，連接DE，將△ABC

沿DE

折疊，使點A

落在直線BC上的點G

處，連接AG．證明：如解圖1，設AG與DE相交于點F，由折疊的性質得AD＝GD，AE＝GE，∠ADE＝∠GDE.∵EG∥AC，∴∠ADE＝∠GED.∴∠GDE＝∠GED.∴GD＝GE.∴AD＝GD＝GE＝AE.∴四邊形ADGE是菱形．(1)如圖2，若EG

∥

AC，求證：四邊形ADGE

是菱形；（圖1）(2)如圖3，當點G

落在線段BC

的延長線上，且CG=2時，直接寫出線段AE

的長；（圖2）

（圖2）(3)如圖4，在四邊形BCDE

中，∠

DEB=∠

DCB=90°，CE=BE=5，對角線CE

與BD

交于點F，sin∠

DCE=35，求線段CF

的長.解：如解圖3，過點E分別作EN∥BC交CD的延長線于點N，作EM⊥BC于點M，交BD于點O，過點D作DT⊥CE于點T，過點O作OK⊥CE于點K.則∠N＝∠DCB＝∠EMC＝∠EMB＝90°，∴四邊形CMEN是矩形，EM∥NC，∴CM＝EN，EM＝CN.（圖3）（圖3）（圖3）

（圖3）

（圖3）3.(12分)[原創(chuàng)題]如圖，將矩形紙片ABCD

對折，使AB

與DC

重合，然后展開鋪平，折痕為EF；點G

在線段AE

上，沿直線BG

折疊△

ABG，使點A

的對應點M

落在線段EF上，延長GM

交射線DC

于點N.(1)如圖1，若AB=BC，求證：MN=CN.證明：

如解圖1，連接BN.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°.由折疊的性質得AB＝BM，∠BMG＝∠A＝90°.∴∠BMN＝90°＝∠C.∵AB＝BC，∴BC＝BM.又∵BN＝BN，∴Rt△BMN≌Rt△BCN.∴MN＝CN.(2)如圖2，若點M

為EF

的中點，求證：點C是DN

的中點.證明：如解圖2，連接CM，設GN與BC的交點為L.∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠BCD＝90°.由折疊的性質得EF⊥BC，BF＝CF，∠BMG＝∠A＝90°，BM＝BA＝CD，∴CM＝BM＝CD，四邊形EFCD是矩形，∠BML＝90°，∴EF＝CD＝CM.(3)如圖3，若AB=5，BC=6.①求DN

的長；②

延長BM

交CD

的延長線于點H，連接GH，BN，求四邊形GBNH

的面積.

（圖3）（圖3）4.[2023沈陽改編]如圖1，在ABCD

紙片中，AB=10，AD=6，∠

DAB=60°，點E

為BC邊上的一點(點E

不與點C

重合)，連接AE，將ABCD

紙片沿AE

所在直線折疊，點C，D

的對應點分別為C'，D'，射線C'E與射線AD

交于點F．(1)求證：AF=EF；證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FAE＋∠AEC＝180°，由折疊可知，∠AEC′＝∠AEC，∴∠FAE＋∠AEC′＝180°.∵∠AEF＋∠AEC′＝180°，∴∠FAE＝∠AEF，∴AF＝EF.(2)如圖2，當EF⊥AF

時，求DF

的長；解：如解圖1，過點A作AG⊥CB，交CB的延長線于點G.∵EF⊥AF，∴∠F＝