貴州省部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．4．直線被圓截得的弦的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．5．已知A，B分別為橢圓的右、上頂點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．2025年8月27日，中國(guó)藝術(shù)體操隊(duì)在藝術(shù)體操世錦賽收獲1金1銅.如圖，藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花的圖案，它可看作是由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的三條曲線與C組合而成的圖形，其中，分別是這四條曲線兩兩相交的交點(diǎn)，且四邊形ABDE的周長(zhǎng)為64，則（

）A．8 B．6 C．4 D．27．在正方體中，棱的中點(diǎn)為O，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．8．已知是軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，雙曲線，雙曲線，則（

）A．的實(shí)軸長(zhǎng)等于的虛軸長(zhǎng) B．的虛軸長(zhǎng)等于的實(shí)軸長(zhǎng)C．的離心率等于的離心率 D．的焦距等于的焦距10．在平行六面體中，，，且，則的值可能為（

）A．2 B．4 C．5 D．611．已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，，分別是的左、右頂點(diǎn)，為上不與，重合的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)的離心率為，為的內(nèi)心，為內(nèi)切圓的半徑，延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)，則（

）A．直線和斜率的乘積為 B．直線和斜率的乘積為C．點(diǎn)到軸的距離為 D．三、填空題12．拋物線的準(zhǔn)線方程為.13．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)均在外，且，則P到的距離為.14．若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是.四、解答題15．已知圓(1)判斷點(diǎn)與圓M的位置關(guān)系(需說(shuō)明理由)；(2)求圓M的半徑和圓心M的坐標(biāo)；(3)若圓M與圓N:外切，求R.16．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，與x軸垂直，且(1)求C的方程;(2)若直線與C交于A，B兩點(diǎn)，求17．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，.(1)證明：平面平面.(2)求平面與平面夾角的余弦值.18．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，設(shè)的軌跡為曲線.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值;(3)若過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，判斷的條數(shù)，并說(shuō)明理由.19．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，（異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，分別記直線，的斜率為，.①當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求的面積;②求的最小值.

1．C根據(jù)空間中的點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)求解.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.2．A求出直線的斜率，即可得出該直線的傾斜角.【詳解】直線的方程為，該直線的斜率為，故該直線的傾斜角為.故選：A.3．D將雙曲線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線漸近線方程的概念即可求出答案.【詳解】將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：D.4．D求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，故直線被圓截得的弦的長(zhǎng)度為.故選：D.5．B由橢圓方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，代回橢圓方程并求得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)榉謩e為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則，令，得，故，令，得，故，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以橢圓方程為，所以，則，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.6．C根據(jù)“四角花瓣”圖形的對(duì)稱性，得到四邊形為正方形，求得邊長(zhǎng)為，求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，即可求解.【詳解】由題意知，“四角花瓣”圖形是由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到的三條曲線與組合而成的圖形，其中分別是這四條曲線兩兩相交的交點(diǎn)，且四邊形的周長(zhǎng)為，根據(jù)“四角花瓣”圖形的對(duì)稱性，可得四邊形為正方形，所以正方形邊長(zhǎng)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入拋物線的方程，可得，解得.故選：C.7．B根據(jù)正方體的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)及向量坐標(biāo)，進(jìn)而利用投影向量公式計(jì)算求解．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立下圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，向量在上的投影向量為，故B正確．故選：B．8．D設(shè)點(diǎn)，，，，根據(jù)垂直可得關(guān)于的方程有解，即，，結(jié)合正弦函數(shù)的值域可得，解不等式即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，又圓，即，設(shè)圓上一點(diǎn)，，又，且存在點(diǎn)滿足，則，由，，則有解，即，其中，化簡(jiǎn)可得方程有解，又，所以不等式，又，所以恒成立，即不等式為，解得，又，所以，故選：D.9．ABD先根據(jù)已知雙曲線方程，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，分別求出雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和焦距，再分析選項(xiàng)的正誤．【詳解】由題意得雙曲線，則，雙曲線，則，又，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，，，即的實(shí)軸長(zhǎng)等于的虛軸長(zhǎng)，故A正確；，即的虛軸長(zhǎng)等于的實(shí)軸長(zhǎng)，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，雙曲線的離心率不一定等于的離心率，故C錯(cuò)誤；，的焦距等于的焦距，故D正確．故選：ABD．10．BC利用向量的平行四邊形法則，將轉(zhuǎn)化為之間的關(guān)系，結(jié)合向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】如圖，設(shè)，則，所以，，，又，，所以，因?yàn)?，所以的值可能?和5.故選：BC.11．ACD對(duì)于A，設(shè)出的坐標(biāo)結(jié)合在橢圓上計(jì)算即可；對(duì)于B，舉反例即可求解；對(duì)于C,等面積法即可求解；對(duì)于D，由角平分線分線段成比例定理，得，則，所以．又的離心率，所以，D正確．【詳解】如圖：設(shè)，則．因?yàn)?，，所以，A正確．當(dāng)為上頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，則，B錯(cuò)誤．的面積，又，所以，C正確．在中，連接，．因?yàn)槭堑膬?nèi)心，所以，分別平分和．由角平分線分線段成比例定理，得，則．因?yàn)?，，所以．又的離心率，所以，D正確．故選：ACD12．根據(jù)拋物線的方程，即可求得準(zhǔn)線.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且解得，所以準(zhǔn)線方程為.故答案為：13．利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄靠扇?，向量，所?故答案為：14．將整理為，發(fā)現(xiàn)該曲線為雙曲線的一支，在坐標(biāo)系中畫出該曲線及其漸近線，再結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合即可確定的取值范圍.【詳解】可整理為，其圖象為雙曲線的一支，其漸近線為.過(guò)定點(diǎn)，過(guò)該定點(diǎn)且與漸近線平行的直線為與.由雙曲線的性質(zhì)，并結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，與雙曲線的右支只有一個(gè)公共點(diǎn).故答案為：.15．(1)點(diǎn)在圓外(2)圓心，半徑(3)（1）將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，通過(guò)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的比較判斷位置關(guān)系；（2）由圓的標(biāo)準(zhǔn)式直接得圓心和半徑；（3）利用兩圓外切時(shí)“圓心距等于半徑和”的性質(zhì)求解.【詳解】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式：.點(diǎn)到圓心的距離平方：，因，故點(diǎn)在圓外.（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)式為，故圓心的坐標(biāo)為，半徑為.（3）圓的圓心為，兩圓心與的距離為.因兩圓外切，半徑和等于圓心距，即，解得.16．(1)(2)（1）根據(jù)雙曲線的定義，可得a值，根據(jù)條件，可求得，即可得C的方程.（2）將直線l與雙曲線C聯(lián)立，可得關(guān)于x的一元二次方程，求得兩根，代入弦長(zhǎng)公式，即可得答案.【詳解】（1）由雙曲線的定義得，解得，設(shè)焦距，則，因?yàn)榕cx軸垂直，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為c，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線C上，所以，解得，因?yàn)榕cx軸垂直，且，所以，解得，所以雙曲線C的方程為.（2）將直線l與雙曲線C聯(lián)立，得，解得，所以.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)（1）由面面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面角向量法計(jì)算即可求解.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，，因?yàn)?，，平面，所以平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）可知，是直角三角形，所以，在中，，所以是直角三角形，即，因?yàn)椋矫?，所以平面，即兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量可以為，設(shè)平面與平面夾角，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．(1)(2)；(3)直線的條數(shù)為3條，理由見(jiàn)解析.（1）利用拋物線定義求解；（2）設(shè)，由兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可；（3）由題意可得在線段的垂直平分線上，設(shè)，直線的方程為，直線與曲線聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)坐標(biāo)為，分直線斜率存在與不存在兩種情況求出垂直平分線所在直線方程，代入計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題意可得點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，則，令，則，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，有最小值為；（3）因?yàn)椋栽诰€段的垂直平分線上，設(shè)，直線的方程為，則，則，，所以，則，，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，若直線斜率不存在，則線段的垂直平分線為軸，此時(shí)不在線段的垂直平分線上，不滿足題意；若直線的斜率存在，則線段的垂直平分線的斜率為，此時(shí)垂直平分線為，因?yàn)辄c(diǎn)在垂直平分線上，代入可得，化簡(jiǎn)可得，即，解得或；經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意.綜上，直線的條數(shù)