4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)4.1.1一般線性系統(tǒng)以單輸入和單輸出線性系統(tǒng)為例,所謂系統(tǒng)在本質(zhì)上應(yīng)該理解為將一個激勵信號輸入其中后,對應(yīng)的輸出相應(yīng)的映射或運(yùn)算,如圖4.1所示。x(t)經(jīng)過系統(tǒng)映射為y(t)的過程可表示為式中,y(t)是系統(tǒng)的輸入,L[x(t)]表示系統(tǒng)對x(t)的作用,它是對信號x(t)進(jìn)行運(yùn)算的符號,稱為運(yùn)算子。L[·]代表著各種可能的數(shù)學(xué)運(yùn)算方法,如加法、乘法、微分、積分以及積分方程、微分方程的求解運(yùn)算等。下一頁返回4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)若系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時間信號,則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時間系統(tǒng);若系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時間信號,則稱該系統(tǒng)為離散時間系統(tǒng)。如果輸入信號是從t=-∞起一直作用于系統(tǒng)的,則稱輸入信號為雙側(cè)信號,這時的系統(tǒng)稱為雙側(cè)系統(tǒng);如果輸入信號是在t=0時刻開始作用于系統(tǒng)的,則稱該信號為單側(cè)信號,這時的系統(tǒng)被稱為單側(cè)系統(tǒng)。1.一般線性系統(tǒng)1)線性系統(tǒng)的定義當(dāng)對一個系統(tǒng)輸入xk(t)(k=1,2,…,n)的線性組合進(jìn)行研究時,如果其響應(yīng)等于系統(tǒng)對相應(yīng)單個響應(yīng)的線性組合,那么該系統(tǒng)就稱為線性系統(tǒng)。換言之,滿足疊加定理的系統(tǒng)即為線性系統(tǒng),而在此時的L[·]稱為線性運(yùn)算子。上一頁下一頁返回4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)疊加原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是式中,ak為任意常數(shù),n可以是無窮大。該式所表達(dá)的物理意義是:信號通過系統(tǒng)的過程與其分量分別通過系統(tǒng)再匯合的過程等效。2)線性系統(tǒng)的響應(yīng)在信號與系統(tǒng)的分析中,常常會利用沖激函數(shù)的性質(zhì),因此,我們利用沖激函數(shù)作進(jìn)一步的推導(dǎo)。若沖激函數(shù)的表達(dá)式如下:上一頁下一頁返回4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)將此式代入疊加原理公式有其中L·移動至被積項(xiàng)上是利用其運(yùn)算線性的結(jié)果。為了更方便研究,現(xiàn)在定義一個新函數(shù)h(t)作為線性系統(tǒng)對δ(t)的沖激響應(yīng),即于是,可以得到進(jìn)一步的響應(yīng)表達(dá)式上一頁下一頁返回4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)由以上各式可見,線性系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)完全由其各時刻的沖激響應(yīng)和輸入信號共同決定。因而,線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式就是其各時刻的沖激響應(yīng)函數(shù)族{h(τ),τ∈(-∞,∞)}。2.線性時不變系統(tǒng)所謂時不變系統(tǒng)是指系統(tǒng)的響應(yīng)只隨輸入信號時間的移動而移動,這樣的移動不會改變信號的本質(zhì)。也就是若輸入信號x(t)時移,使輸出y(t)也會有一個相同的時移,即上一頁下一頁返回4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)因此,如果系統(tǒng)是時不變的,設(shè)t=0時刻沖激δ(t)作用時,系統(tǒng)產(chǎn)生響應(yīng)為h(t),那么在t=τ時刻用沖激δ(t-τ)作用時,將產(chǎn)生響應(yīng)h(t-τ)。于是一定有下式成立:這是卷積公式,時不變的重要價值在于:線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式可進(jìn)一步明確為單個函數(shù)零時刻的沖激響應(yīng)h(t)。上一頁下一頁返回4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)在頻域線性時不變系統(tǒng)對于輸入信號的作用具有特殊性質(zhì),也就是信號在時域相卷積相當(dāng)于信號在頻域相乘,具體是以H(ω)實(shí)施“乘積傳輸”。作為中間橋梁的函數(shù)H(ω)稱為線性時不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)。它與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)h(t)構(gòu)成傅里葉變換對。3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性實(shí)際應(yīng)用中的系統(tǒng),其本身必定是穩(wěn)定和可實(shí)現(xiàn)的,它們應(yīng)該具有下面兩個共同特點(diǎn)。上一頁下一頁返回4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)1)系統(tǒng)穩(wěn)定性如果一個線性時不變系統(tǒng)對任意有界輸入的響應(yīng)必然也是有界的,那么,此系統(tǒng)是穩(wěn)定的,由式有若輸入信號有界,則必存在某正常數(shù)M,對所有的t均滿足于是,上一頁下一頁返回4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)所以,如果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)是絕對可積的,即那么,系統(tǒng)的輸出必然是有界的,也就是說,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2)系統(tǒng)因果性在討論信號與系統(tǒng)時,我們往往會討論系統(tǒng)是否具有因果性。那么什么是系統(tǒng)的因果性呢?在實(shí)際工程應(yīng)用中,系統(tǒng)的因果性表現(xiàn)為物理上可能實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)在任何時刻的輸出只取決于其現(xiàn)在和過去的輸入,也就是說,系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)應(yīng)滿足上一頁下一頁返回4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)這就是因果系統(tǒng)具有的基本性質(zhì),這樣,式(4.1.9)可以改寫為結(jié)論:如果當(dāng)t<0時,h(t)=0,那么該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng),也即是所有實(shí)際的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)都是因果的。4.1.2連續(xù)線性時不變系統(tǒng)的分析方法1.時域分析設(shè)x(t)是連續(xù)時不變線性系統(tǒng)的輸入,則系統(tǒng)輸出為上一頁下一頁返回4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)式中h(t)為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。2.頻域分析如果x(t)和h(t)絕對可積,則它們的傅里葉變換存在,即H(ω)為線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù),h(t)為H(ω)的傅里葉反變換。設(shè)Y(ω)是輸出y(t)的傅里葉變換,則有上一頁下一頁返回4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)4.1.3離散線性時不變系統(tǒng)的分析方法1.時域分析設(shè)x(n)是離散時不變線性系統(tǒng)的輸入,則系統(tǒng)輸出為式中h(n)為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。上一頁下一頁返回4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)2.頻域分析如果x(n)和h(n)絕對可和,則它們的離散傅里葉變換存在,即H(ejω)為線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)或頻率響應(yīng),h(n)為H(ejω)的傅里葉反變換。設(shè)Y(ejω)為線性系統(tǒng)輸出y(n)的離散傅里葉變換,則有上一頁下一頁返回4.1線性系統(tǒng)的基本性質(zhì)若在上式中令z=ejω,則有3.物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)如果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足當(dāng)n<0時,h(n)=0,那么稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。物理可實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定系統(tǒng)的極點(diǎn)都位于z平面的單位圓內(nèi)。上一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析如果系統(tǒng)輸入的不是確定信號而是隨機(jī)信號,那么其輸出也是隨機(jī)信號,也具有一定的概率分布。由于隨機(jī)信號通常用它的統(tǒng)計(jì)特性來描述,因而其輸出信號往往也用統(tǒng)計(jì)特性來描述,且輸出信號的統(tǒng)計(jì)特性和輸入信號的統(tǒng)計(jì)特性具有一定的關(guān)系。當(dāng)輸入信號是平穩(wěn)的,輸出信號是否也是平穩(wěn)的呢?它的統(tǒng)計(jì)特性和輸入信號的統(tǒng)計(jì)特性之間有何關(guān)系?這就是下面要研究的問題。隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析的中心問題是:給定系統(tǒng)的輸入函數(shù)和線性系統(tǒng)的特性,求輸出函數(shù),由于輸入是隨機(jī)過程,所以輸出也是隨機(jī)過程;對于隨機(jī)過程,一般很難給出確切的函數(shù)形式,因此,通常只分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)后輸出的概率分布特性和某些數(shù)字特征。下一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析線性系統(tǒng)既可以用沖激響應(yīng)描述,也可以用系統(tǒng)傳遞函數(shù)描述,因此,隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的常用分析方法也有兩種:沖激響應(yīng)法(時域分析法)和頻域分析法。4.2.1時域分析法1.系統(tǒng)的輸出假定隨機(jī)信號X(t)輸入某個(確知的)線性時不變系統(tǒng)h(t),由前面章節(jié)可知X(t)是不確定的,它可以視為很多樣本函數(shù)的集合,即x(t,ξi),其中ξi表示它的某種可能結(jié)果,i=1,2,3,…,而每一個樣本函數(shù)都是確知的,當(dāng)它輸入系統(tǒng)h(t)時,可得出相應(yīng)響應(yīng)信號為上一頁下一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析于是,對于X(t)每一種可能ξi,有不同的輸入信號與不同的響應(yīng)信號。因此,從整體上看,響應(yīng)信號也是不確定的。也就是說對于X(t)的所有樣本{xi(t),ξ∈Ω},系統(tǒng)輸出一族樣本函數(shù){yi(t),ξ∈Ω}與其對應(yīng),這族樣本函數(shù)的總體構(gòu)成一個新的隨機(jī)信號Y(t)。所以,隨機(jī)信號X(t)通過線性時不變系統(tǒng)h(t)的響應(yīng)信號也是隨機(jī)信號,它與輸入隨機(jī)信號X(t)的關(guān)系可以更為簡潔地表示為上一頁下一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析上式可以理解為X(t)的樣本函數(shù)集合與h(t)的卷積,得到Y(jié)(t)的樣本函數(shù)集合。2.系統(tǒng)輸出的數(shù)字特征在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到這樣的情況:即僅知輸入隨機(jī)過程的某些統(tǒng)計(jì)特性,要求能夠得到系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性。例如已知輸入隨機(jī)過程的均值與自相關(guān)函數(shù),求系統(tǒng)輸出隨機(jī)過程的均值與自相關(guān)函數(shù)。1)系統(tǒng)輸出的均值已知輸入隨機(jī)信號的均值,求系統(tǒng)輸出的均值。上一頁下一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析這個關(guān)系式可用系統(tǒng)的術(shù)語給予解釋:若把mX(t)加到一個具有單位沖激響應(yīng)h(t)的連續(xù)系統(tǒng)的輸入端,則其輸出端就是EY(t)。如果X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程,則其中H(0)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在ω=0時的值。2)系統(tǒng)輸出的互相關(guān)函數(shù)上一頁下一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析線性系統(tǒng)的輸出必定以某種方式依賴于輸入,即輸入與輸出必定是相關(guān)的,其相關(guān)性由輸入與輸出之間互相關(guān)函數(shù)描述。線性系統(tǒng)輸入輸出之間的互相關(guān)函數(shù)為上一頁下一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析同理3)系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)時,已知輸入隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù),求給定系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)。上一頁下一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析計(jì)算如下:上一頁下一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析這就是系統(tǒng)輸出自相關(guān)函數(shù)與輸入自相關(guān)函數(shù)之間的基本關(guān)系式。此外,比較RX(t1,t2)、RY(t1,t2)、RXY(t1,t2)和RYX(t1,t2),則有4)系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性及其統(tǒng)計(jì)特性的計(jì)算有關(guān)輸入為平穩(wěn)隨機(jī)信號時,系統(tǒng)輸出信號的平穩(wěn)性及統(tǒng)計(jì)特性的計(jì)算問題,包含兩種情況,一種情況是平穩(wěn)輸入隨機(jī)信號X(t)在t=-∞時刻開始就一直作用于系統(tǒng)輸入端,即輸入是雙側(cè)隨機(jī)信號;另一種情況是X(t)在t=0時刻開始作用于系統(tǒng)輸入端(輸入為X(t)U(t)),即輸入是單側(cè)隨機(jī)信號。對于同一個輸入隨機(jī)信號X(t),在上述兩種情況下,同一系統(tǒng)的輸出的結(jié)論是不同的。上一頁下一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析4.2.2頻域分析法在確定信號輸入線性時不變系統(tǒng)時,常常在頻域里借助傅里葉變換這一有效工具分析系統(tǒng)輸出的響應(yīng),避免了時域分析中計(jì)算卷積積分所遇到的困難,并且得出,輸出的頻譜等于輸入確定信號的頻譜與系統(tǒng)頻率響應(yīng)之乘積。在系統(tǒng)輸入為隨機(jī)信號的情況下,由于隨機(jī)信號樣本函數(shù)的傅里葉變換不存在,因此不能再直接利用分析確定輸入時所得出的結(jié)果。然而,當(dāng)系統(tǒng)的輸入、輸出均為平穩(wěn)隨機(jī)信號時,輸入和輸出的功率譜是存在的。這樣就可以利用傅里葉變換分析系統(tǒng)輸出的功率譜密度與輸入功率譜密度之間的關(guān)系。這里假定下面所要討論的輸入信號是雙側(cè)平穩(wěn)隨機(jī)信號,根據(jù)上一小節(jié)的討論結(jié)論可知,輸出也是寬平穩(wěn)的,且輸入和輸出是聯(lián)合寬平穩(wěn)的。上一頁下一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析因此,在下面的討論中,可以直接利用傅里葉變換。線性時不變系統(tǒng)輸出的功率譜密度GY(ω)與輸入功率譜密度GX(ω),具有如下關(guān)系式中,H(ω)是系統(tǒng)的傳輸函數(shù),其模的平方被稱為系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)。上一頁下一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析證明:上式表明,線性系統(tǒng)輸出的功率譜密度等于輸入功率譜密度乘以系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)。通過傅里葉反變換可得到線性系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)上一頁下一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析于是系統(tǒng)輸出的均方值或平均功率可表示為將輸出信號互相關(guān)函數(shù)的卷積公式兩邊取傅里葉變換,有上一頁下一頁返回4.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析這兩個公式是很有用的,因?yàn)樗鼈兗群蟹l特性,又含有相頻特性。由自功率譜密度和互功率譜密度的測量可以確定線性系統(tǒng)傳輸函數(shù),即到目前為止,已經(jīng)研究了隨機(jī)信號經(jīng)過線性系統(tǒng)后響應(yīng)的兩種方法。卷積積分法能夠解得系統(tǒng)輸入是平穩(wěn)或非平穩(wěn)時的輸出響應(yīng)。當(dāng)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)函數(shù)h(t)為比較簡單的函數(shù)時,應(yīng)用此法比較方便。而頻域分析法只能計(jì)算平穩(wěn)輸出隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)特性,這就存在局限性,但是其簡單易用。上一頁返回4.3隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析4.3.1時域分析法如果離散隨機(jī)信號X(n)輸入某個(確知的)線性時不變系統(tǒng)h(n),其情形與前面討論過的連續(xù)隨機(jī)信號情形相似。X(n)可以視為很多樣本序列(函數(shù))的集合,其每一個樣本序列都是確知的,當(dāng)它們輸入系統(tǒng)h(n)時,可按沖激響應(yīng)法得出相應(yīng)的響應(yīng)序列。于是,對于X(n)的每一種可能性,不同的輸入信號引起不同的響應(yīng)信號,輸出信號也是不確定的?？紤]某個固定的n參量時,它是一個不確定的量,即隨機(jī)參量,記為Y(n)。顯然,對于給定的參量集N(通常為-∞~+∞的全部整數(shù)),隨機(jī)變量族是一個離散隨機(jī)信號,簡記為Y(n)。下一頁返回4.3隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析所以,離散隨機(jī)信號X(n)通過線性時不變系統(tǒng)h(n)的響應(yīng)信號也是離散隨機(jī)信號Y(n),它與輸入隨機(jī)信號X(n)的關(guān)系可以更為簡潔地表示為上式應(yīng)該理解為X(n)的樣本序列集合與h(n)的卷積,得到Y(jié)(n)的樣本序列集合。一般而言,輸入隨機(jī)信號X(n)與線性時不變系統(tǒng)h(n)都可以是復(fù)數(shù)的,其輸出隨機(jī)信號Y(n)也將是復(fù)數(shù)的。輸出隨機(jī)信號的時域特性如下。上一頁下一頁返回4.3隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析1.均值2.相關(guān)函數(shù)如果輸入隨機(jī)信號是平穩(wěn)的,其輸出隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)只與所選隨機(jī)變量的時間差m有關(guān),并且可計(jì)算如下:而均方值為上一頁下一頁返回4.3隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析3.互相關(guān)函數(shù)如果輸入隨機(jī)信號是平穩(wěn)的,其輸入、輸出隨機(jī)信號的互相關(guān)函數(shù)只與所選隨機(jī)變量的時間差m有關(guān),并且可計(jì)算如下:由上式分析可見,平穩(wěn)隨機(jī)信號通過線性時不變系統(tǒng)后,其輸出隨機(jī)信號也是寬平穩(wěn)的。上一頁下一頁返回4.3隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析4.3.2頻域分析法離散平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜與其自相關(guān)函數(shù)之間為離散傅里葉變換。于是,其輸入、輸出隨機(jī)信號的功率譜具有如下關(guān)系:輸入、輸出隨機(jī)信號的互功率譜為上一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析4.4.1白噪聲通過線性系統(tǒng)設(shè)連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H(ω)或H(s),其輸入白噪聲功率譜密度為GX(ω)=N0/2,那么系統(tǒng)輸出的功率譜密度為或物理譜密度為上面的分析表明,若輸入端是具有均勻譜的白噪聲,則輸出端隨機(jī)信號的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性H(ω)決定,不再保持常數(shù),輸出的是色噪聲。下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析輸出自相關(guān)函數(shù)為輸出平均功率為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析4.4.23dB帶寬3dB帶寬也叫半功率帶寬,它是功率下降到最大值的一半時(此時幅度為最大值的0.707)的正頻率或正頻率差。如果系統(tǒng)特性為低通的,例如,RC濾波器,其3dB帶寬定位為幅頻特性H(ω)值下降到最大值的1/2,即的正頻率,這時功率譜下降到峰值功率譜的一半,即-3dB,因此把3dB帶寬也稱為半功率帶寬。上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析4.4.3等效噪聲帶寬實(shí)際系統(tǒng)中的噪聲通常伴隨有噪聲,并對其造成不良影響。在許多實(shí)際問題中,形形色色的噪聲可以有不同的頻譜形式,但它們的影響能力可以籠統(tǒng)地只使用一個簡單的指標(biāo)———噪聲功率來衡量。噪聲功率大的影響大,噪聲功率小的影響小。于是,具有相同的功率并作用于同一個頻率范圍上的噪聲,可以被粗略地視為等同。若討論產(chǎn)生噪聲的系統(tǒng),可以從輸出噪聲等同的角度用一個理想的系統(tǒng)來等效地代替實(shí)際系統(tǒng),使分析計(jì)算得到簡化。上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析等效噪聲帶寬按以下等效原則來計(jì)算:(1)理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵下,兩個系統(tǒng)的輸出平均功率相等;(2)理想系統(tǒng)的增益等于實(shí)際系統(tǒng)的最大增益。如圖4.9所示,等效理想系統(tǒng)的帶寬被稱為實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬,常記為ωN、BN或Δωe。1)低通系統(tǒng)的等效噪聲帶寬上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析若實(shí)際系統(tǒng)H(ω)是低通形式的,其輸出自相關(guān)函數(shù)為RY(τ),這時的等效理想系統(tǒng)是理想低通系統(tǒng),其幅頻特性可以表示為很明顯,等效理想低通系統(tǒng)的輸出噪聲功率為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析而實(shí)際系統(tǒng)的輸出噪聲功率為根據(jù)等效噪聲帶寬的定義與條件,兩者的輸出噪聲功率應(yīng)相等,即有上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析所以,等效噪聲角頻率帶寬與Hz頻率帶寬分別為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析由于上面考慮的是實(shí)際物理頻率范圍,也就是正頻率范圍,因此,也稱為單邊帶寬,如圖4.9(a)所示。如果實(shí)際系統(tǒng)的幅頻特性是歸一化的,即則上式簡化為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析應(yīng)用等效噪聲帶寬,很容易計(jì)算系統(tǒng)的輸出噪聲功率。比如,功率譜為N0/2的白噪聲通過等效噪聲帶寬ωN的歸一化低通型線性時不變系統(tǒng),其輸出噪聲功率為若等效噪聲Hz頻率帶寬為BN,則有上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析上式表明,在白噪聲輸入下,系統(tǒng)的輸出噪聲功率與等效噪聲帶寬成正比,而且,當(dāng)輸入白噪聲功率一定時,輸出噪聲功率的大小完全取決于系統(tǒng)的等效噪聲帶寬。要減小系統(tǒng)的輸出噪聲,就要減小其等效噪聲帶寬。由此可見,在實(shí)際應(yīng)用中采用等效噪聲帶寬的簡便之處。4.4.4隨機(jī)信號等效帶寬與系統(tǒng)頻帶對應(yīng)的是信號的頻帶,隨機(jī)信號也具有相應(yīng)的帶寬問題。如果隨機(jī)信號的功率譜密度集中在零頻附近,則稱這個信號為低通信號;相應(yīng)地,如果隨機(jī)信號的功率譜密度集中在某個頻率f0(f0>0)附近,則稱它為帶通信號。特別地,當(dāng)f0遠(yuǎn)大于隨機(jī)信號功率譜所占有的帶寬時,稱它為窄帶信號。上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號的等效帶寬也用功率譜密度來定義。低通信號X(t)的等效帶寬定義與系統(tǒng)等效噪聲帶寬的定義方法類似,就是把隨機(jī)信號X(t)的功率譜密度GX(ω)曲線下的面積等效成一個高為GX(0),寬為Δω的矩形,用GX(ω)和GX(0)代替系統(tǒng)等效噪聲帶寬公式里面的就得到低通信號的等效帶寬為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析如果X(t)為帶通信號,用GX(ω0)代替上式中的GX(0)即可得到帶通信號的等效帶4.4.5白噪聲通過理想線性系統(tǒng)1.白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析理想低通線性系統(tǒng)具有如下的幅頻特性如圖4.11所示。實(shí)際中的低通濾波器或低頻放大器,都可以用這樣的理想低通線性系統(tǒng)來等效。設(shè)白噪聲的物理譜GX(ω)=N0,則系統(tǒng)輸出的物理譜為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析輸出自相關(guān)函數(shù)為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析輸出平均功率為輸出相關(guān)系數(shù)為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析輸出相關(guān)時間為該式表明,輸出隨機(jī)信號的相關(guān)時間與系統(tǒng)的帶寬成反比。這就是說,系統(tǒng)帶寬越寬,相關(guān)時間τ0越小,輸出隨機(jī)信號隨時間變化(起伏)越劇烈;反之,系統(tǒng)帶寬越窄,則τ0越大,輸出隨機(jī)信號隨時間變化就越緩慢。上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析2.白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)理想帶通系統(tǒng)的幅頻特性為若輸入白噪聲的物理譜GX(ω)=N0,則輸出的物理譜為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析輸出相關(guān)函數(shù)為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析式中現(xiàn)在,我們對上面的結(jié)果做幾點(diǎn)分析。(1)若Δω?ω0,即該帶通系統(tǒng)的中心頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的帶寬,則稱這樣的系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。這時,經(jīng)過帶通系統(tǒng)輸出的隨機(jī)信號的功率譜分布在高頻ω0周圍一個很窄的頻域內(nèi)。上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析(2)從上式可以看出,輸出自相關(guān)函數(shù)RY(τ)等于a(τ)與cosω0

τ的乘積,其中a(τ)是τ的慢變化函數(shù),而cosω0

τ是τ的快變化函數(shù)?？梢奱(τ)是RY(τ)的慢變化部分,是RY(τ)的包絡(luò)。而cosω0

τ是RY(τ)的快變化部分,其相關(guān)函數(shù)波形如圖4.13所示。(3)令上式中的ω0=0,則得可見,a(τ)與前面導(dǎo)出的低通濾波器輸出相關(guān)函數(shù)形式完全一樣(相差一個系數(shù)2是因?yàn)檫@里的通帶寬度是前面低通濾波器帶寬的2倍)。因此,理想帶通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)等于其相應(yīng)的低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)與cosω0τ的乘積。上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析帶通系統(tǒng)輸出的平均功率為輸出的相關(guān)系數(shù)為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析根據(jù)窄帶隨機(jī)信號相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn),常用ρY(τ)的慢變化部分(包絡(luò))來定義輸出隨機(jī)信號的相關(guān)時間該式與低通系統(tǒng)的相關(guān)時間形式相同,同樣說明了相關(guān)時間τ0與系統(tǒng)帶寬Δf成反比。但必須注意到這里的τ0是表示輸出窄帶隨機(jī)信號的包絡(luò)隨時間起伏的快慢程度。因此,式(4.4.32)表明,系統(tǒng)帶寬越寬,輸出包絡(luò)的起伏變化越劇烈;反之,帶寬窄,則包絡(luò)變化較為緩慢。上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析3.白噪聲通過具有高斯頻率特性的線性系統(tǒng)在單調(diào)諧多級放大器中,級數(shù)越多,其幅頻特性就越接近高斯曲線。因此,實(shí)際的多級調(diào)諧回路的頻率特性是以高斯曲線為極限的,而所有的系統(tǒng)頻率特性又是以理想帶通頻率特性為極限的。工程上只要有4~5級單調(diào)諧回路,就認(rèn)為它具有高斯頻率特性。這里以帶通系統(tǒng)為例,分析高斯帶通系統(tǒng)輸出功率和起伏的變化。如果高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析式中,β是與系統(tǒng)帶寬有關(guān)的量,β越大帶寬越寬。當(dāng)輸入隨機(jī)信號N(t)是具有單邊功率譜的白噪聲時,GN(ω)=N0,輸出也用單邊功率譜表示為按照前面給出的結(jié)論,利用相應(yīng)的低通系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)來求帶通系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)的包絡(luò),即上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析因此帶通系統(tǒng)的輸出自相關(guān)函數(shù)為輸出隨機(jī)信號的平均功率為相關(guān)系數(shù)為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析等效噪聲帶寬為相關(guān)時間為由于β與系統(tǒng)帶寬成正比,因此相關(guān)時間與帶寬Δf成反比。其他分析結(jié)果與理想帶通系統(tǒng)相同。在這里輸出自相關(guān)函數(shù)的包絡(luò)是高斯曲線,功率譜密度也是高斯曲線。上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析4.4.6色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器線性系統(tǒng)分析的兩個重要應(yīng)用:(1)如何得到一個特定功率譜密度;(2)如何將色噪聲變?yōu)榘自肼?。這兩個應(yīng)用都可以通過線性系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn),也就是說,要設(shè)計(jì)一個線性系統(tǒng)來解決這個問題。1.色噪聲的產(chǎn)生這里要設(shè)計(jì)這樣一個線性系統(tǒng),當(dāng)它的輸入為單位功率譜密度的白噪聲時,其輸出為特定功率譜密度的色噪聲。實(shí)現(xiàn)原理框圖如圖4.15所示。上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析由于輸入單位功率譜密度,則這時,輸出功率譜由系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)決定,所以輸出的功率譜密度不再為常數(shù),即為色噪聲。為了便于討論,式(4.4.41)可改寫為復(fù)頻域形式,這時上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析注意,H(s)和H(-s)的零、極點(diǎn)在s平面關(guān)于Y軸對稱。顯然,如果SY(s)能分解成且包括所有s平面的左半平面的零、極點(diǎn),則擬構(gòu)造的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析具體步驟如下:(1)將色噪聲改寫成拉普拉斯變換形式;(2)將色噪聲分解成形式,且包括所有s平面的左半平面的零、極點(diǎn)。(3)所擬構(gòu)造的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析2.白化濾波器顧名思義,就是要設(shè)計(jì)這樣一個線性系統(tǒng),當(dāng)它的輸入為色噪聲時,其輸出為單位功率譜密度的白噪聲,這樣的線性系統(tǒng)統(tǒng)稱為白化濾波器。同樣地,為討論方便,將線性系統(tǒng)輸出的功率譜密度表達(dá)式寫出拉普拉斯變換形式或z變換的形式,即由于輸出功率譜密度為1,則上一頁下一頁返回4.4白噪聲通過線性時不變系統(tǒng)的分析顯然,如果輸入色噪聲可以分解成形式,且包括所有s平面的左半平面的零、極點(diǎn)或包括所有單位圓內(nèi)的零、極點(diǎn),這時可求得物理可實(shí)現(xiàn)的線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為上一頁返回4.5線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)信號的概率分布以上討論了隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)后輸出隨機(jī)信號的數(shù)字特征,沒有涉及輸出隨機(jī)信號的概率分布。而當(dāng)線性系統(tǒng)輸入是一個隨機(jī)信號時