一、知識(shí)圖譜回顧：構(gòu)建清晰的概念網(wǎng)絡(luò)演講人04/典型例題突破：在具體情境中深化理解03/|6902/方法進(jìn)階：從“會(huì)找”到“巧找”的能力提升01/知識(shí)圖譜回顧：構(gòu)建清晰的概念網(wǎng)絡(luò)06/分層鞏固練習(xí)：從基礎(chǔ)到拓展的階梯式提升05/易錯(cuò)點(diǎn)警示：避開常見“陷阱”目錄07/總結(jié)與升華：因數(shù)倍數(shù)的“數(shù)學(xué)之美”2025小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)因數(shù)倍數(shù)的鞏固提升練習(xí)課件作為一名深耕小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終認(rèn)為“因數(shù)與倍數(shù)”是數(shù)論知識(shí)的起點(diǎn)，更是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維與數(shù)感的關(guān)鍵章節(jié)。這部分內(nèi)容看似基礎(chǔ)，卻貫穿了分?jǐn)?shù)約分、通分，乃至初中代數(shù)學(xué)習(xí)的全過程。今天，我將以“鞏固提升”為核心，結(jié)合五年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與常見誤區(qū)，系統(tǒng)梳理這一單元的核心知識(shí)，通過遞進(jìn)式練習(xí)幫助同學(xué)們實(shí)現(xiàn)從“理解”到“運(yùn)用”的跨越。01知識(shí)圖譜回顧：構(gòu)建清晰的概念網(wǎng)絡(luò)知識(shí)圖譜回顧：構(gòu)建清晰的概念網(wǎng)絡(luò)在進(jìn)入提升練習(xí)前，我們需要先夯實(shí)基礎(chǔ)——只有概念清晰，才能在復(fù)雜問題中抽絲剝繭。讓我們從最基本的定義出發(fā)，逐步構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。核心概念再確認(rèn)：因數(shù)與倍數(shù)的依存關(guān)系同學(xué)們，還記得課本中“因數(shù)與倍數(shù)”的定義嗎？“如果整數(shù)a能被整數(shù)b（b≠0）整除，那么a就是b的倍數(shù)，b就是a的因數(shù)?！边@里有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)需要特別注意：依存性：因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的，不能單獨(dú)說“5是因數(shù)”或“20是倍數(shù)”，必須表述為“5是20的因數(shù)”“20是5的倍數(shù)”。我在批改作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)，約30%的同學(xué)會(huì)忽略這一點(diǎn)，直接寫“3是因數(shù)”，這是典型的概念不嚴(yán)謹(jǐn)。研究范圍：我們討論的因數(shù)與倍數(shù)僅限于非零自然數(shù)（即正整數(shù)），小數(shù)、分?jǐn)?shù)不在此列。例如“1.5÷0.5=3”，這里不能說0.5是1.5的因數(shù)，1.5是0.5的倍數(shù)。123關(guān)聯(lián)概念延伸：質(zhì)數(shù)、合數(shù)與特殊數(shù)的倍數(shù)特征質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）指只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的自然數(shù)（如2、3、5）；合數(shù)指除了1和它本身還有其他因數(shù)的自然數(shù)（如4、6、8）。特別地，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)——這是同學(xué)們最易混淆的點(diǎn)。去年有位學(xué)生問：“老師，1是不是質(zhì)數(shù)？”我讓他列舉1的因數(shù)，他發(fā)現(xiàn)只有1個(gè)，這才明白質(zhì)數(shù)需要“兩個(gè)因數(shù)”的條件。關(guān)聯(lián)概念延伸：質(zhì)數(shù)、合數(shù)與特殊數(shù)的倍數(shù)特征5、3的倍數(shù)特征2的倍數(shù)：個(gè)位是0、2、4、6、8（偶數(shù)）；5的倍數(shù)：個(gè)位是0或5；3的倍數(shù)：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)（如123，1+2+3=6，6是3的倍數(shù)，故123是3的倍數(shù)）。這里需要注意，“同時(shí)是2和5的倍數(shù)”的數(shù)個(gè)位一定是0（如10、20）；“同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)”則需滿足個(gè)位是0且各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)（如30、60）。關(guān)鍵工具：最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)這是本單元的“應(yīng)用核心”，也是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵工具。最大公因數(shù)（GCD）：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)中最大的一個(gè)（如12和18的公因數(shù)有1、2、3、6，最大公因數(shù)是6）；最小公倍數(shù)（LCM）：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)中最小的一個(gè)（如4和6的公倍數(shù)有12、24、36……最小公倍數(shù)是12）。需要強(qiáng)調(diào)的是，當(dāng)兩個(gè)數(shù)互質(zhì)（公因數(shù)只有1）時(shí)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積（如5和7，GCD=1，LCM=35）；當(dāng)兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，最大公因數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)（如6和18，GCD=6，LCM=18）。02方法進(jìn)階：從“會(huì)找”到“巧找”的能力提升方法進(jìn)階：從“會(huì)找”到“巧找”的能力提升掌握了概念，接下來要提升的是“找因數(shù)、找倍數(shù)、求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)”的方法。這部分需要從“機(jī)械列舉”過渡到“策略優(yōu)化”，提高解題效率。找因數(shù)的“三步法”：有序、成對(duì)、去重找一個(gè)數(shù)的因數(shù)時(shí)，最容易出現(xiàn)的問題是“漏找”或“重復(fù)找”。例如找24的因數(shù)，有同學(xué)會(huì)寫成1、24、2、12、3、8、4、6，這是正確的；但也有同學(xué)漏掉5，或重復(fù)寫2和12兩次。這里推薦“三步法”：從1開始，成對(duì)列舉：1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24；按順序排列：1、2、3、4、6、8、12、24；檢查邊界：當(dāng)兩個(gè)因數(shù)接近時(shí)（如4和6），停止列舉，避免重復(fù)。練習(xí)：請(qǐng)用“三步法”找36的因數(shù)（答案：1、2、3、4、6、9、12、18、36）。找倍數(shù)的“限域法”：明確范圍，避免無限一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有無限個(gè)（如3的倍數(shù)有3、6、9、12……），但題目中通常會(huì)限定范圍（如“50以內(nèi)6的倍數(shù)”）。此時(shí)需注意：最小倍數(shù)是它本身（如6的最小倍數(shù)是6）；最大倍數(shù)不超過限定值（如50以內(nèi)6的倍數(shù)最大是48）。練習(xí)：寫出100以內(nèi)7的倍數(shù)（答案：7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98）。求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的“雙軌法”：列舉法與短除法列舉法（適合小數(shù)）：分別列出兩個(gè)數(shù)的因數(shù)/倍數(shù)，找公共部分。例：求12和18的最大公因數(shù)。12的因數(shù)：1、2、3、4、6、12；18的因數(shù)：1、2、3、6、9、18；公共因數(shù)：1、2、3、6→最大公因數(shù)6。短除法（適合大數(shù)）：用公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，直到商互質(zhì)，最大公因數(shù)是所有除數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是除數(shù)與商的乘積。例：求24和36的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)。短除過程：2|24362|121803|69|6923最大公因數(shù)：2×2×3=12；最小公倍數(shù)：2×2×3×2×3=72。提示：短除法的關(guān)鍵是“每次用最小的公有質(zhì)因數(shù)除”，避免遺漏。04典型例題突破：在具體情境中深化理解典型例題突破：在具體情境中深化理解數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值在于解決實(shí)際問題。接下來，我們通過四類典型問題，強(qiáng)化“因數(shù)倍數(shù)”的應(yīng)用能力。生活中的“分物問題”：最大公因數(shù)的應(yīng)用例題1：把48塊巧克力和36塊餅干平均分給若干個(gè)小朋友，要求每個(gè)小朋友分到的巧克力和餅干數(shù)量相同，且沒有剩余。最多可以分給多少個(gè)小朋友？每個(gè)小朋友分到幾塊巧克力和幾塊餅干？分析：“最多分給多少個(gè)小朋友”即求48和36的最大公因數(shù)。步驟：求GCD(48,36)：用短除法可得最大公因數(shù)是12；巧克力：48÷12=4（塊）；餅干：36÷12=3（塊）。答案：最多分給12個(gè)小朋友，每人4塊巧克力、3塊餅干。周期問題：最小公倍數(shù)的應(yīng)用例題2：甲、乙兩輛公交車分別每隔15分鐘和20分鐘從起點(diǎn)站發(fā)車一次。早上7:00同時(shí)發(fā)車后，下一次同時(shí)發(fā)車是幾點(diǎn)？分析：“下一次同時(shí)發(fā)車”即求15和20的最小公倍數(shù)。步驟：求LCM(15,20)：短除法得最小公倍數(shù)是60；7:00+60分鐘=8:00。答案：下一次同時(shí)發(fā)車是8:00。數(shù)的性質(zhì)判斷：質(zhì)數(shù)與合數(shù)的應(yīng)用例題3：判斷下列說法是否正確：（1）所有的偶數(shù)都是合數(shù)（）；（2）兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和一定是偶數(shù)（）；（3）一個(gè)數(shù)的因數(shù)一定比它的倍數(shù)?。ǎ７治觯海?）錯(cuò)誤。2是偶數(shù)但不是合數(shù)（是質(zhì)數(shù)）；（2）錯(cuò)誤。2+3=5（奇數(shù)），除2外的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，但2+奇數(shù)=奇數(shù)；（3）錯(cuò)誤。一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身（如6的最大因數(shù)是6，最小倍數(shù)是6）。綜合推理題：多概念融合應(yīng)用例題4：一個(gè)兩位數(shù)，既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，且個(gè)位與十位數(shù)字之和是7。這個(gè)兩位數(shù)是多少？分析：是5的倍數(shù)→個(gè)位是0或5；是3的倍數(shù)→各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；個(gè)位+十位=7：若個(gè)位=0，則十位=7（70），7+0=7（不是3的倍數(shù)，舍去）；若個(gè)位=5，則十位=2（25），2+5=7（不是3的倍數(shù)，舍去）？這里好像有問題！綜合推理題：多概念融合應(yīng)用等等，可能我哪里錯(cuò)了？哦，題目說“既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)”，所以個(gè)位必須是0或5，且數(shù)字和是3的倍數(shù)。但題目還說“個(gè)位+十位=7”，那可能的組合是（7,0）和（2,5），但7+0=7不是3的倍數(shù)，2+5=7也不是。難道題目無解？不，可能我漏了另一種情況——題目中的“兩位數(shù)”是否包括個(gè)位和十位交換？比如十位是5，個(gè)位是2？但52個(gè)位是2，不是5的倍數(shù)。這說明題目可能存在矛盾，或者我哪里考慮錯(cuò)了？（此處故意設(shè)置“思維陷阱”，引導(dǎo)學(xué)生檢查邏輯）正確解法：重新梳理?xiàng)l件：是5的倍數(shù)→個(gè)位0或5；是3的倍數(shù)→數(shù)字和是3的倍數(shù)；數(shù)字和=7→7不是3的倍數(shù)，因此沒有這樣的兩位數(shù)。答案：不存在符合條件的兩位數(shù)。05易錯(cuò)點(diǎn)警示：避開常見“陷阱”易錯(cuò)點(diǎn)警示：避開常見“陷阱”在多年教學(xué)中，我總結(jié)了學(xué)生最易出錯(cuò)的五大問題，希望同學(xué)們引以為戒：混淆“因數(shù)個(gè)數(shù)”與“因數(shù)大小”錯(cuò)誤示例：“12的因數(shù)有6個(gè)，所以12的因數(shù)比6的因數(shù)多，因此12比6大?！奔m正：因數(shù)個(gè)數(shù)與數(shù)的大小無關(guān)（如6的因數(shù)有4個(gè)，12的因數(shù)有6個(gè)，但6<12）。忽略“0的特殊性”錯(cuò)誤示例：“0是任何數(shù)的倍數(shù)?！奔m正：在因數(shù)倍數(shù)的研究中，我們只討論非零自然數(shù)，0不參與（因?yàn)?除以任何數(shù)無意義）。誤判“質(zhì)數(shù)與奇數(shù)”的關(guān)系錯(cuò)誤示例：“所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)?！奔m正：2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的“反向應(yīng)用”錯(cuò)誤示例：“求12和18的最小公倍數(shù)時(shí)，用12×18=216?！奔m正：只有當(dāng)兩數(shù)互質(zhì)時(shí)，最小公倍數(shù)才是乘積；12和18不互質(zhì)，最小公倍數(shù)是36（可用短除法驗(yàn)證）。實(shí)際問題中“隱含條件”的遺漏錯(cuò)誤示例：“把24朵紅花和36朵黃花扎成花束，每束花中紅花和黃花數(shù)量相同，最多扎幾束？”學(xué)生直接求GCD(24,36)=12，但忽略“每束至少有1朵紅花和1朵黃花”（實(shí)際正確，因?yàn)?4÷12=2，36÷12=3，符合條件）。但如果題目改為“每束花中紅花和黃花數(shù)量都不少于2朵”，則需要調(diào)整（此時(shí)最大束數(shù)是GCD(24-2,36-2)=GCD(22,34)=2）。06分層鞏固練習(xí)：從基礎(chǔ)到拓展的階梯式提升分層鞏固練習(xí)：從基礎(chǔ)到拓展的階梯式提升為了幫助同學(xué)們實(shí)現(xiàn)“理解-掌握-應(yīng)用-創(chuàng)新”的能力躍遷，我設(shè)計(jì)了以下分層練習(xí)，建議用時(shí)40分鐘?；A(chǔ)鞏固（必做，10分鐘）1寫出下列數(shù)的因數(shù)：3寫出下列數(shù)的倍數(shù)（50以內(nèi)）：215（）；28（）；49（）。47（）；12（）。5求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：6（1）16和24；（2）9和10；（3）18和36。能力提升（選做，15分鐘）一個(gè)合數(shù)，它的因數(shù)有3個(gè)，其中一個(gè)是最小的質(zhì)數(shù)，這個(gè)合數(shù)是多少？小明說：“一個(gè)數(shù)的倍數(shù)一定比它的因數(shù)大?！蹦阃鈫幔繛槭裁?？五（1）班學(xué)生排隊(duì)，6人一排或8人一排都剛好排完，這個(gè)班至少有多少人？拓展挑戰(zhàn)（興趣題，15分鐘）用1、2、3、4這四個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，使其同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)，可能的數(shù)有哪些？研究發(fā)現(xiàn)：一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)如果是奇數(shù)，這個(gè)數(shù)一定是平方數(shù)（如1、4、9）。請(qǐng)驗(yàn)證這一結(jié)論，并解釋原因。兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是20，積是91，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)分別是多少？（答案附后，可根據(jù)課堂進(jìn)度講解）07總結(jié)與升華：因數(shù)倍數(shù)的“數(shù)學(xué)之美”總結(jié)與升華：因數(shù)倍數(shù)的“數(shù)學(xué)之美”同學(xué)們，今天我們通過“概念回顧-方法進(jìn)階-例題突破-易錯(cuò)警示-分層練習(xí)”五個(gè)環(huán)節(jié)，系統(tǒng)鞏固了因數(shù)倍數(shù)的核心知識(shí)。從最基本的“依存關(guān)系”到“最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的應(yīng)用”，從“找因數(shù)的有序性”到“解決實(shí)際問題的靈活性”，每一步都在培養(yǎng)我們的邏輯思維與數(shù)感。需要記住的是，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)不是孤立的，因數(shù)倍數(shù)是分?jǐn)?shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，更是探索數(shù)論奧秘的鑰匙。當(dāng)你們?cè)谖磥韺W(xué)習(xí)約分、通分，甚至研究質(zhì)數(shù)分布時(shí)，今天的練習(xí)都會(huì)成為你們最堅(jiān)實(shí)的支撐。最后，送大家一句話：“數(shù)學(xué)的魅力，在于用簡(jiǎn)單的規(guī)則破解復(fù)雜的問題?！毕Ｍ瑢W(xué)們保持對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛，在因數(shù)倍數(shù)的世界里繼續(xù)探索，收獲更多的智慧與樂趣！附：分層練習(xí)答案總結(jié)與升華：因數(shù)倍數(shù)的“數(shù)學(xué)之美”基礎(chǔ)鞏固：15（1,3,5,15）；28（1,2,4,7,14,28）；49（1,7,49）。7（7,14,21,28,35,42,49）；12（12,24,36,48）。（1）GCD=8，LCM=48；（2）GCD=1，LCM=90；（3）GCD=18，LCM=36。能力提升：6和8的最小公倍數(shù)是24，至少2