第第頁廣東省深圳外國語高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1．已知a∈R，若集合{a,?a,0}=c,aA．0 B．?1 C．1 D．2【答案】B【解析】【解答】解：{a,?a,0}=c,a2,a，則故答案為：B.【分析】根據(jù)集合相等建立方程求解即可.2．已知命題“?x∈RA．?∞,?5 B．?5,+∞【答案】C【解析】【解答】解：易知命題“?x∈R則Δ=16+4a+1≤0，解得a≤?5故答案為：C.【分析】先寫出命題的否定，其為真命題，再根據(jù)一元二次不等式恒成立求解即可.3．已知角α的終邊過點(diǎn)4,?3，則A．34 B．?34 C．24【答案】D【解析】【解答】解：由角α的終邊過點(diǎn)4,?3，

可得則sin2α=2故答案為：D.【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出sinα,4．用二分法求方程x?A．0,13 B．13,1【答案】B【解析】【解答】解：函數(shù)fx=x?3?xf1f1f2f1根據(jù)二分法可知，零點(diǎn)位于13故答案為：B.【分析】函數(shù)fx5．函數(shù)fxA． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：要使函數(shù)fx=2cos2x?1ex?e滿足f?xf1故答案為：A.【分析】求函數(shù)的定義域，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性、特殊點(diǎn)函數(shù)值判斷即可.6．已知α∈0,π,β∈A．π4 B．3π4 C．5【答案】C【解析】【解答】解：由tanα+tanβ=43即sin(α+β)=因為sin(α+β)=2cos(α?β)即43cosαcosβ=2所以α,β一個鈍角一個銳角，所以π2則tan(α+β)=tanα+故答案為：C.【分析】由題意，利用切化弦、兩角和的正弦公式求得tanα7．已知a>0,b∈R，若關(guān)于x的不等式ax?2x2+bx?6≥0A．2 B．22 C．3 D．【答案】B【解析】【解答】解：令fx=ax?2，gx=x2+bx?6，

當(dāng)x∈0,2a時，fx<0要使關(guān)于x的不等式ax?2x2+bx?6則當(dāng)x∈0,2a時，gx<0即g2a=2a則4a?b=a+2a≥22，當(dāng)且僅當(dāng)故答案為：B.【分析】令fx=ax?2，gx=x2+bx?6，先判斷函數(shù)fx的單調(diào)性，再分x∈0,2a和x∈8．已知函數(shù)fx=x3+A．?1,12 B．?1,79【答案】D【解析】【解答】解：要使函數(shù)fx=x3+因為f?x+f所以f?x=?fx又因為函數(shù)y=x3在x∈R上單調(diào)遞增，?則x=x=xx1+x12所以x1因為函數(shù)y=lgx在x∈0,+函數(shù)y=lgx+x函數(shù)fx=x由f3cos2θ則3cos2θ>?7sinθ+5，即則cos2θ=1?2故答案為：D.【分析】求函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性去掉"f"，解不等式，求出sinθ二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．已知2aA．1a+1b=1 B．a(chǎn)+b>4 【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因為2a=3b=6A、1aB、a+b=a+b1a+1因為a≠b，所以a+b>4，故B正確；C、1=1a+1b≥21ab，則D、因為a≠b，所以a2+b2>2ab故答案為：ABD.【分析】利用指數(shù)、對數(shù)互化求得a,b，再根據(jù)換底公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷A；利用基本不等式求解即可判斷BCD（注意等號是否成立）.10．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，乘客坐在摩天輪慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．已知摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，摩天輪設(shè)置有36個座艙，轉(zhuǎn)一周需要30min．游客甲在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，tmin后距離地面的高度為HtA．HB．甲進(jìn)艙10分鐘后距離地面的高度是82.5mC．在運(yùn)行一周的過程中，HtD．游客乙在甲后的第6個座艙進(jìn)艙，乙進(jìn)艙后12min內(nèi)，存在某一時刻甲、乙距離地面高度相等【答案】A,C【解析】【解答】解：A、以摩天輪軸心為原點(diǎn)，以與地面平行的直線為橫軸建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)摩天輪距地面最近點(diǎn)為P，

則當(dāng)t=0時，游客甲位于P0,?55，以O(shè)P為終邊的一個角為?而轉(zhuǎn)一圈需要大約30min，可知角速度約為π15由題意可得：HtB、當(dāng)t=10時，H5C、由Ht由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)x∈0,2π時，則π15t?D、甲、乙所在位置分別設(shè)為A、B兩點(diǎn)，甲乙座艙差6個，則∠AOB=6×2π36=π由?55cosπ15即cosπ15t=即π15t=π6+k故答案為：AC.【分析】以摩天輪軸心為原點(diǎn)，以與地面平行的直線為橫軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)摩天輪距地面最近點(diǎn)為P，建立三角函數(shù)模型，求得Ht11．已知函數(shù)fx是定義域為R的奇函數(shù)，fx?1=f3?x，當(dāng)A．fx=fx+4C．當(dāng)x∈2,3時，fx【答案】A,C【解析】【解答】解：A、因為fx?1=f3?x又因為函數(shù)fx是定義域為R的奇函數(shù)，所以f?x=?fx，所以則fx+4B、令x∈1,2，則2?x∈0，1，fx因為log3lg3lg8<lg所以log35>logC、令x∈2,3，則x?2∈0，D、令x∈3,4，則x?2∈1,2，這函數(shù)∣fx則方程∣fx故答案為：AC.【分析】由fx?1=f3?x可得fx=f2?x，再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求得fx+4=fx即可判斷A；由x∈0,1時函數(shù)解析式以及函數(shù)的關(guān)系，寫出三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知扇形的周長是其半徑的4倍，若該扇形的面積為2，則該扇形的周長為．【答案】42【解析】【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為α，則扇形的周長C=2r+αr=4r，解得α=2，扇形的面積S=12α故扇形的周長C=42故答案為：42【分析】設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為α，根據(jù)扇形的周長求得圓心角α，代入扇形的面積公式求得扇形的半徑r，再根據(jù)扇形的周長公式計算即可.13．已知a>0,b>0，且2a+b=2，若t2?3t≤a【答案】?1,4???????【解析】【解答】解：a>0,b>0，且2a+b=2，

t2?3t≤aab+2則t2?3t≤4，即t?4t+1則實數(shù)t的取值范圍是?1,4.故答案為：?1,4.【分析】問題轉(zhuǎn)化為t214．將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移π4個單位后，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的12ω(ω>0)，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)fx的圖象，若fx【答案】(0,1【解析】【解答】解：由題意可得：f(x)=sin由π<x<2若f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有零點(diǎn)，

則ω>0，當(dāng)k=?1時，0<ω≤116，當(dāng)k=0時，18則ω的取值范圍為(0,1故答案為：(0,1【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移伸縮變換求得f(x)的表達(dá)式，由x的范圍求得2ωx-π4的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到關(guān)于四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知不等式2x?1x+3>1的解集為A，集合（1）當(dāng)a=3時，求A和?R（2）若A∪B=A，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）解：由2x?1x+3>1，可得x?4x+3>0，整理可得x?4x+3>0，

解得x>4或則?R當(dāng)a=3時，集合B=x1≤x≤7，則（2）解：由A∪B=A，可得B?A，當(dāng)B=?時，則a?2>2a+1，解得a<?3，滿足B?A；當(dāng)B≠?時，則a?2≤2a+12a+1<?3或a?2≤2a+1a?2>4，解得?3≤a<?2或綜上所述，a的取值范圍為-∞，-2∪【解析】【分析】（1）解分式不等式求得集合A，將a=3代入求得集合B，再根據(jù)集合的補(bǔ)集、交集的運(yùn)算求解即可；（2）由A∪B=A，可得B?A，分B=?和B≠?兩種情況討論，結(jié)合集合的包含關(guān)系列式求解即可.（1）由2x?1x+3>1，得即x?4x+3>0，解得x>4或所以A=xx>4或則?R當(dāng)a=3時，B=x所以?R（2）因為A∪B=A，所以B?A，當(dāng)B=?時，則a?2>2a+1，解得a<?3，此時B?A；當(dāng)B≠?時，則a?2≤2a+12a+1<?3或a?2≤2a+1解得?3≤a<?2或a>6，綜上所述，a的取值范圍為a<?2或a>6.16．為了充分挖掘鄉(xiāng)村發(fā)展優(yōu)勢，某新農(nóng)村打造“有機(jī)水果基地”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：Wx=3（1）求單株利潤fx（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）解：由題意可得：fx即fx=45（2）解：當(dāng)0≤x≤2時，fx=45x2?30x+90為對稱軸x=當(dāng)2<x≤5時，fx36x+2+x+2≥236x+2×則fx≤?30×12+600=240，即綜上所述，當(dāng)x=4時，該水果單株利潤最大，最大利潤是240元.【解析】【分析】（1）由題意可得：fx=15Wx（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式求每段函數(shù)的利潤最大值，比較判斷即可.（1）由題意可得：fx即fx=45（2）當(dāng)0≤x≤2時，fx=45x所以當(dāng)0≤x≤2時，fx當(dāng)2<x≤5時，fx因為36x+2+x+2≥236x+2×所以fx≤?30×12+600=240，即綜上所述，當(dāng)x=4時，該水果單株利潤最大，最大利潤是240元．17．已知函數(shù)fx是定義在?2,2上的偶函數(shù)，f12=2，當(dāng)?2≤x≤0（1）求函數(shù)fx（2）解不等式：f2x?1【答案】（1）解：當(dāng)0≤x≤2時，?2≤?x≤0，fx=f?x=cos?πx2（2）解：令2kπ≤πx2≤π+2kπ,k∈Z，解得4k≤x≤2+4k，k∈Z，

則函數(shù)fx在0,2上單調(diào)遞減，在?2,0上單調(diào)遞增，

【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合當(dāng)?2≤x≤0時的表達(dá)式，求得0≤x≤2時函數(shù)fx的解析式，再由f12=2（2）先判斷函數(shù)fx的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性、單調(diào)性得到關(guān)于x（1）令0≤x≤2，則?2≤?x≤0，∴fx∵f12=cos即fx（2）令2kπ≤π∴函數(shù)fx在0,2上單調(diào)遞減，在?2,0f2x?1<fx?3，∴3x2+2x?8>02x?1≤218．已知函數(shù)fx=2sin（1）求ω的值及函數(shù)fx（2）設(shè)gx=bsinx+cos【答案】（1）解：fx=2sinωxsinωx+π3+cos2ωx=sin2ωx+3sinωxcosωx+cos2ωx

=?121?2sin2ωx+（2）解：gx=bsinx+cosx?sinxcosx，gx=bsinx+cosx?sinx+cosx2?12，

令t=sinx+cosx=2sinx+π4，t在0,π4上單調(diào)遞增，即t∈1,2，

gt=?t22【解析】【分析】（1）利用兩角和的正弦公式，正弦、余弦的二倍角公式以及輔助角公式化簡求得函數(shù)解析式，再由周期求得求ω的值，利用正弦函數(shù)的對稱中心求得函數(shù)fx（2）化簡整理函數(shù)gx解析式，由題意得到函數(shù)gx在0,π4上的最大值小于fx在?π6,0上的最大值，令（1）fxfxfxfxfx∵周期T=2π2ω=∴fx令2x+π6∴函數(shù)fx圖像的對稱中心?（2）gxgx令t=sinx+cosx=2sinx+π∴gt令?π2∴函數(shù)fx在區(qū)間?π6,0上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f∵?x1∈∴g1當(dāng)b≤1時，gt=?t22+bt+12的圖象的對稱軸為∴b≤1.19．對于函數(shù)y=fx,x∈D，若存在x0∈D，使得fx0=（1）證明：fx的定義域為R（2）若fx在R（3）若fx在區(qū)間0,2【答案】（1）證明：由題意知，a(4x+4?x又因為a≥0,(2x?2故f(x)的定義域為R；（2）解：函數(shù)f(x)在R上僅有一個不動點(diǎn)，即方程log2將等式變形為a(4令t=2x(t>0)，則方程變形為a(t令u=t?1t，則u(t)在(0,+∞方程①可化為au當(dāng)a=0時，u=1，即t?1t=1，整理得t2?t?1=0當(dāng)a≠0時，方程au2?u+1=0有一個根，則Δ此時14u2?u+1=0，解得u=2，即t?1t=2綜上，a∈{0,1（3）解：f(x)在[0,2]上有兩個不動點(diǎn)，由（2）知，當(dāng)0≤x≤2時，1≤t≤4，則0≤u≤15方程au2?u+1=0設(shè)g(u)=au2?u+1，則g(0)≥0g(154)≥0Δ>0，即a·【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)有意義，可得a(4x+（2）函數(shù)f(x)在R上僅有一個不動點(diǎn)，即方程log2[a(4（3）由新定義，方程au2?u+1=0在u∈[0,（1）由題意知，a(4x+整理得a(2x所以a(2x故f(x)