時間序列分析

張成思第

8

章

向量自回歸

(VAR)模

型8.1

VAR模型介紹8.2

VAR模型的估計與相關(guān)檢驗8.3格蘭杰因果關(guān)系8.4VAR模型與脈沖響應(yīng)分析8.5VAR模型與方差分解28.1

VAR模型介紹8.1.1VAR模型的基本概念考慮一組變量y,y?,L,yn,

定義t=1,2,L,Tε,代表(n×1)維的向量白噪音

(VWN),

滿足

E(ε)=0E(ε,ε')=ΩE(ε,ε')=0,s≠tVWN不是序列相關(guān)的。例如，在兩變量的模型中，如果使用滯后算子Φ(L)Y?=C+ε,Φ(L)=In

一Φ?

L—

Φ?L2—…—ΦL一個兩變量(VAR)模型的例子高階VAR

模型要使用很多的上標(biāo)和下標(biāo)。若用φ①表示Φ,矩陣Φ,的第i行第

j

列的元素，則有十…8.1.2

VAR模型的平穩(wěn)性條件如果以下條件滿足，則對應(yīng)的VAR

模型為平穩(wěn)的：E(Y)=μE(Y,-μ)(Y,-μ)'=I。E(Y,-μ)(Y,_,-μ)'=I,其中，I,定義的是Y,在第j期的自協(xié)方差矩陣。對

于

一

個VAR(p)模型

，

其平穩(wěn)性條

件

是①(z)|=|In—Φ?z—Φ?z2-…—Φpz|=0換成等同的判斷方法|Inλ—Φ?λ-1—Φ?λ-2—…—Φ,|=0的所

有

根

都

落

在

單

位

圓

內(nèi)

，

那

么

對

應(yīng)

的VAR(p)

模

型

是

平

穩(wěn)

的為了深入地理解VAR模型的平穩(wěn)性條件，為了考慮含有2個變量的簡

單VAR(1)

模型：10

-0.7→z2+0.75z—2.5=0→z?=5/4,z?=—2→(1—z)(1+0.7z)+0.3z2=0在上面給出的例子中，很明顯第一個等式的自回歸系數(shù)是1(φ1=1),但是整個VAR(1)系統(tǒng)是平穩(wěn)的!所以，整個VAR模

型系統(tǒng)的平穩(wěn)與否，千萬不能單憑某一個

等式中的自回歸系數(shù)判斷，而是要考慮整

個系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件。這是因為，在只考

慮單個等式中的某個自回歸系數(shù)時，卻忽

略了y1

和

y21之間的互動關(guān)系，整個VAR模

型是一個互動的動態(tài)系統(tǒng)!→(1—0.9z)(1—0.8z)—0.02z2=0→z?=1,z?=10/7另外一個例子8.1.3

VAR(p)模型與VAR(1)的轉(zhuǎn)化μ=C+Φ?μ+Φ?μ+…+Φpμ→μ=(In-Φ?-Φ?-…-Φ,)?1C→Y-μ=Φ?(Y?-1-μ)+Φ?(Y-2-μ)+

…

+Φ,(Y?-p-μ)+&,定義一個(np×1)

維的矩陣Y,

即再來定義一個np×np

維矩陣F以及一個(np×1)

的矩陣V并

且

：8.1.4

向量自協(xié)方差和向量自相關(guān)函數(shù)一個平穩(wěn)的VAR(p)模型的向量自協(xié)方差的一般定義式可以寫成：T,=E(Y,-μ)(Y_-μ)'.此

外

，T,=E(Y,-μ)(Y,_,-μ)=Φ?E(Y

?-μ)(

)+Φ?E(Y-2-μ)(Y,-μ)+

…

+ΦE(Y,?-μ)(Y,_,-μ)'+E[&,(Y_,-μ']=ΦI,-1+Φ?I?-2+…+ΦI;-,j>1I,'=E[(Y,-μ)(Y?,-μ']'E[(Y?_,-μ)(Y,-μ'T?=E(Y-μ)(Y,-μ)=ΦE(Y1-μ)(Y-μ)'+Φ?E(Y?2-μ)(Y,-μ)'+

…

+ΦE(Y??p-μ)(Y,-μ'+E[e,(Y,-μ']=ΦI?+Φ?I?+…+ΦI

+E[e(Y,-μ)]E[8,(Y,-μ)']=E[e(Y?1-μ)']φ+E[8(Y?-μ)'φ2…+E[E,(Y??-μ'φ,+E(,8)=0+0+…+0+Ω=ΩF?=ΦI?+ΦI

2+…+ΦI+ΩP

P=ΦI′+ΦI'

+

…+

n—

n

+Q用自協(xié)方差除以方差矩陣對應(yīng)的對角線元素，就可以獲得向量自相關(guān)函數(shù)

VACF。8.1.5

VAR模型與VMA模型的轉(zhuǎn)化VMA過程，就是用向量形式表示的移

動平均過程，在這樣的移動平均過程中，

隨機(jī)擾動項以向量白噪音的形式出現(xiàn)。所

以，一個VMA(q)過程的定義為：Y,=C+8,+Y?ε-1+Y?ε1-2+…81-其中，C表示常數(shù)向量V,

表示系數(shù)矩陣，&

仍然表示向量白噪音。8.1.5.1

VAR(1)

模型的轉(zhuǎn)化(In一ΦL)Y,=C

十ε,其中，In

表示n

維單位矩陣。這樣，可以進(jìn)一步獲得Y,=(In

一ΦL)-1(C+εt)=(In

十ΦL+Φ2L2+…)(C+ε,)=(I

十Φ+Φ+…)C+ε,十Φε,

-1+Φε1-2+

…利用了滯后算子的性質(zhì)：(In

一ΦL)?1=In十ΦL+Φ2L2+

…8.1.5.2

VAR(p)

模型的轉(zhuǎn)化Y,=FY?-1+V?其

中再利用滯后算子，可以將該模型進(jìn)一步寫成(In-FL)Y?=V?滯后算子多項式的性質(zhì)Y?=(Inp—FL)-1v?=(In+FL+F2L2+…)V,Y+

這個向量系統(tǒng)的前

n

行可以寫成：Y+s=μ+8+s+

?ε1+s-1+

?81+s-2+

…+

181+1+F?S(Y,-μ)+其中：表示F1矩陣的左上角的部分，而F1是矩陣F的i次冪。F??(Y,1-

μ)+…

十只要VAR(p)模型為平穩(wěn)系統(tǒng)，就確保了矩陣F

對應(yīng)的特征根λ都落在單位圓內(nèi)，從而

滿足以下關(guān)系，即：S→∞,F?→0,如果將Y

看成是減去均值μ的形式，模型還可以寫更為簡潔的形式，即：因此關(guān)于VMA(∞),

以下幾點(diǎn)需要注意：第一，因為矩陣F是由VAR模型中的

系數(shù)組成的，所以(L)

是這些系數(shù)的

非線性函數(shù)。第二，在VMA模型中，方程右側(cè)只有

向量白噪音過程(和均值μ)

出現(xiàn)。這

可以理解為，當(dāng)滯唇項

經(jīng)過反復(fù)

迭代之后都從VAR(p)中被替換掉了。8.2

VA

R

模

型

的

估

計

與

相

關(guān)檢驗8.2.1

VAR模型的估計方法雖然VAR模型系統(tǒng)比一維模型看上去復(fù)雜得多，但是用來估計VAR的方法卻并

不一定很繁難。常見的估計方法包括最

大似然估計和常見的最小二乘估計。在

特定條件下，極大似然估計與普通最小

二乘估計獲得的系數(shù)是完全相同的。估計方法Y?=C

十Φ?

Y?-1十Φ?Y-2+

…十ΦpY-p十εtEt～i.i.d.N(0,Ω)④={C,Φ?,Φ2,…,Φp,2}I′=(C

Φ?Φ?2

…Φp)如果熟悉OLS估計的系數(shù)矩陣表達(dá)式，很容易看出，模型(10.45)就等于OLS估

計的系數(shù)矩陣。將

的

第j行明確地寫出來，貝可以看出，模型(10.46)對應(yīng)的正是利用OLS方法，X,對

進(jìn)行回歸得到的

系數(shù)估計值。8.2.2VAR模型的設(shè)定8.2.2.1

使用平穩(wěn)變量還是非平穩(wěn)變量Sims,Stock,和

Watson(1990)提出，非平穩(wěn)序列仍然可以放在VAR模型中，通過估計結(jié)果分析經(jīng)濟(jì)、金融含義。但是，如果利用VAR模型分析實際問題時，使用非平穩(wěn)序列變量，卻

會帶來統(tǒng)計推斷方面的麻煩，因為標(biāo)

準(zhǔn)的統(tǒng)計檢驗和統(tǒng)計推斷要求分析的

所有序列必須都是平穩(wěn)序列。作為指導(dǎo)性的原則，如果要分析不同變量之間可能存在的長期均衡關(guān)系，則可

以直接選用非平穩(wěn)序列；而如果分析的是

短期的互動關(guān)系，則選用平穩(wěn)序列，對于

涉及到的非平穩(wěn)序列，必須先進(jìn)行差分或

去除趨勢使其轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的平穩(wěn)序列，然

后包含在VAR模型中進(jìn)行進(jìn)一步分析。8.2.2.2

VAR模型中變量的選擇VAR模型中選擇哪些變量來進(jìn)行分析，一般來說沒有確定性地嚴(yán)格規(guī)定。

變量的選擇需要根據(jù)經(jīng)濟(jì)、金融理論，

同時還需要考慮手中的樣本大小。8.2.2.3

VAR模型中滯后期數(shù)的選擇(a)信息準(zhǔn)則AIC=ln

十SIC=1n

十2pn2Tpn2ln(T)Tb)似然比率檢驗法，即Likelihood

Ratio(LR)檢驗簡單地說，

LR檢驗法就是比較不同滯后期數(shù)對應(yīng)的似然函數(shù)值。具體地說，考慮VAR)

與P?)VAR?

>P?,并且

。這樣，分別估計對應(yīng)的兩個VAR系統(tǒng)，獲得相應(yīng)的和

。LR

檢驗統(tǒng)計量定義為：(T-K)(In

,-In

2)實際應(yīng)用中，首先需要給定一個最大的滯后期數(shù)，然后循環(huán)運(yùn)用LR檢驗來

判斷最優(yōu)滯后期數(shù)。正因為如此，有些

計量軟件的輸出結(jié)果會顯示“sequential

LR

test”

(循環(huán)LR檢驗)的字樣，實際上就是循環(huán)地應(yīng)用了以上

介紹的LR檢驗過程。最大滯后期數(shù)的設(shè)定具有一定的主觀性。但是，通?？梢愿鶕?jù)分析的數(shù)

據(jù)的頻率來確定。例如，對于月度數(shù)據(jù)，可以考慮12、18或者24期為最大滯后期數(shù)；對于

季度數(shù)據(jù)，

一般可以先給定一個最大的

4或8期滯后期；對于年度數(shù)據(jù)，可以考

慮2、3或者4為最大滯后期數(shù)。FinalPredictionError(FPE)Hannan-Quinn(HQ)很多情況下，不同的準(zhǔn)則或檢驗統(tǒng)

計量選擇的最優(yōu)滯后期數(shù)可能會不同。在這種情況下，我們可以根據(jù)“多數(shù)原

則”,即超過半數(shù)以上的可用判斷準(zhǔn)則

指向的那個滯后期數(shù)，很可能就是一個

最優(yōu)的選擇。如果利用這個原則仍然無法判斷，則可以對不同滯后期的VAR模型進(jìn)行回

歸估計，然后考查結(jié)果是否對滯后期

很敏感，不同滯后期對分析的問題的

結(jié)論是否影響很大。這樣的過程實際

上就是所謂的穩(wěn)健性檢驗過程。LagLogLLRFPEAICSCHQ01064.022NA0.000000423-9.000—8.971—8.98811670.2341197.0122.57E—09-14.104—14.016—14.06821723.120103.5311.7E—09—14.518-14.371*—14.45931729.88413.1261.66E—09-14.541—14.336—14.45941736.45512.6401.62E—09—14.563—14.299—14.45751748.83823.6121.51E—09-14.634-14.311-14.50461759.48520.1221.43E—09—14.691—14.309—14.53771760.8222.5041.46E—09—14.668—14.228-14.49081768.70614.6311.41E—09-14.701—14.202—14.50091782.84225.9961.3E—09—14.787-14.229—14.562*101789.53112.189*1.27e—09*—14.810*-14.193—14.561111792.3905.1601.28E—09-14.800-14.125-14.528121794.2343.2981.31E—09-14.782—14.048—14.486表8-2

EViewsVAR

模型滯后期數(shù)的判斷結(jié)果*indicateslagorder

selectedby

the

criterionLR:sequential

modified

LR

test

statistic(each

testat

5%level)FPE:Final

prediction

errorAIC:Akaikeinformation

criterionSC:Schwarzinformation

criterionHQ:Hannan-QuinninformationcriterionVAR

Lag

OrderSelectionCriteriaEndogenousvariables:GDPIPD

FFRExogenous

variables:CSample:1961Q12022Q4Included

observations:2488.3

格蘭杰因果關(guān)系從計量經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的歷史來看，格

蘭杰因果關(guān)系的概念要早于VAR模型。格蘭杰因果關(guān)系檢驗經(jīng)常被解釋為在VAR模型中，某個變量是否可以用來提

高對其他相關(guān)變量的預(yù)測能力。所以，“格蘭杰因果關(guān)系”的實質(zhì)是一種“預(yù)測”關(guān)系，而并非真正漢語意義上的“因果關(guān)系”。例如，如果y?,

的

系

數(shù)

都

是

0

,y?1不是

y?的格蘭杰因果關(guān)系，即：H?:

備擇假設(shè)是這些系數(shù)中至少有一個不為0?？紤]一個簡單的兩個變量的V

A

R(p)

模型如果原假設(shè)成立，則有：LR

檢驗：(T-K)(lIn|>In

)

如何檢驗y2t是不是y?t的格蘭杰因果關(guān)系在VAR的相關(guān)內(nèi)容中，與格蘭杰因果關(guān)系一個相關(guān)的概念就是所謂的block

exogeneity檢驗，翻譯過來可以稱為“區(qū)塊外生性”或“一攬子”外生

性檢驗。在選擇VAR模型中是否要包含

額外的變量時，經(jīng)常使用blockexogeneity檢驗。Dependent

variable:RSP500ExcludedChi-sqdfProb.RSHANGHAI0.1533120.9262All0.1533120.9262Dependent

variable:RSHANGHAIExcludedChi-sqdfProb.RSP50020.3935420All20.3935420表

8

-

3

格蘭杰因果關(guān)系LR檢驗結(jié)果8.4V

A

R

模

型

與

脈

沖

響

應(yīng)

分

析8.4.1

VAR模型中的脈沖響應(yīng)介紹在很多情況下，VAR

模型中的各個等式中的系數(shù)并不是研究者關(guān)注的對象，其主要原因就是VAR模型系統(tǒng)中的系數(shù)往往非常多。經(jīng)濟(jì)學(xué)家和計量經(jīng)濟(jì)學(xué)者經(jīng)常使用脈沖響應(yīng)函數(shù)來解釋VAR模型的經(jīng)濟(jì)學(xué)上圖8

-

3

EViews中VAR脈沖響應(yīng)分析的菜單界面Iapulse

ResponsesDisplayImpulseDefinition-DecompositionMethod:OResidual-gne

unitOResidual-onestd.devia◎Cholesky-dof

adjustedOCholesky

-no

dofadjustiOGeneralizedImpulsesStructural

DecompositionOUserSpecifi.-CholeskyOrdering:gdpipd

ffr確定

取消8.4.2

簡單脈沖響應(yīng)函數(shù)這里介紹的簡單IRF包括兩種形式：一是所謂的單位殘差脈沖響應(yīng)函數(shù)；另一個是單位標(biāo)準(zhǔn)差脈沖響應(yīng)函數(shù)。8.4.2.1單位殘差脈沖響應(yīng)函數(shù)考慮如下這個VMA(∞)模型Y,=μ+E+Y?ε1-1+Y?81-2十

···表示

的第

i行，第j列元素。(8.67)其中，ψ;表示W(wǎng)h的

第i

行

第j

列的元素。換言之，式(8.67)說明，ψ,;刻畫了第j

個隨機(jī)擾動因素(e;π)

在

t

期發(fā)生一個單位變化對

VAR

模型中第

i

個變量在t+h期(yi,+h)

的影響情況，在這個過程中假定其他所有擾動項不變。根據(jù)以上定義，我們還可以知道，Y?=In,其中I,表示n維單位矩陣。所以，當(dāng)i=j時

，在其他情況下8.4.2.2

單位標(biāo)準(zhǔn)差脈沖響應(yīng)函數(shù)從模型(8.67)可以看到，當(dāng)隨機(jī)沖擊為單位1時，即=1時，其

影響馬上就能體現(xiàn)在模型(8.67)中。但是，因為VAR模型中的變量之間是線性關(guān)系，所以這種影響的大小會隨隨

機(jī)沖擊的單位變化而變化。為此，經(jīng)

常使用的是隨機(jī)沖擊的一個單位的標(biāo)

準(zhǔn)

差

。所以，單位標(biāo)準(zhǔn)差I(lǐng)RF的定義是變量在受到隨機(jī)沖擊一個單位標(biāo)準(zhǔn)差

的變化后的動態(tài)變化路徑。在這種IRF的計算過程中，同樣不考慮各個

隨機(jī)擾動項之間的相關(guān)性(即假定相

關(guān)性為0)。利用模擬方法獲得

IRF:a).對于給定的VAR(p)模型，選定一個特定

時刻點(diǎn)t,先設(shè)

Y?1=Y?-2=…=Y??p=0b).再令ε=1或其一個單位的標(biāo)準(zhǔn)差，并且

如果i≠j,

則令8

=0。c).為方便起見，設(shè)

C=0。d).

現(xiàn)在VAR系統(tǒng)就可以用來遞歸式地計算

h=0,1,2,…,m

對應(yīng)的Y+h。8.4.3

正交脈沖響應(yīng)函數(shù)在簡單IRF的介紹中，實際上有一個非

常強(qiáng)假設(shè)，就是我們假設(shè)當(dāng)ε;發(fā)生變化時，

如變化了一個單位或者一個單位的標(biāo)準(zhǔn)差，

其他的擾動項的變化為0。這種假設(shè)實質(zhì)上

是假定擾動項的方差-協(xié)方差矩陣為對角矩

陣

，

即

：但一般情況下，這個方差一協(xié)方差矩陣卻并不是一個對角矩陣。解決

這個問題的辦法之一就是使用所謂的

“正交脈沖響應(yīng)函數(shù)”。正交IRF的基

本思想是依據(jù)VAR模型中變量的排列順序，將互相有相關(guān)性的擾動項轉(zhuǎn)化成不相關(guān)的一組隨物干擾項

，這種互不相關(guān)的特性在計

量經(jīng)濟(jì)里稱為“正交”。如果我們能夠找到這樣的u則有(u,u)=0,i≠j這樣，就可以分析VAR模型中的變量在受到

1個單位的

的沖擊后的動態(tài)路徑了，

這就是正交IRF。從上面的分析不難看到，關(guān)鍵是要將相關(guān)的擾動項向量分解成不相關(guān)的擾

動項向量。到目前為止有以下幾種常用

的分解方法。8.4.3.1

三角分解我們總是能找到一個實對稱正定矩陣Ω,使得Ω=ADA',其中…

0

…

00nn使

u,=A?1ε,則E(u,u)=(A?1)E(E,ε')(A?1'

=(A?1Ω(A?1)'=(A?1ADA'(A?1)'=Dyjt

的沖擊對

的影響，就可以通過正交IRF

計算，即：Oyi,t+houjt8.4.3.2

喬利斯基分解D設(shè)

表示一個對角矩陣，對角；線)

uj位置的元素等A于的標(biāo)準(zhǔn)差，=這梯3D

就可以將模型重新寫成

：P=AD1/2其

中：

O8.4.3.3

廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)上文已經(jīng)介紹過，正交IRF的一個主

要問題是其對VAR模型中變量排序比較敏

感。為了克服這一問題，Pesaran

andShin(1998)

在一篇快訊文章中(Economics

Letters)

提出了一種新方

法，用以構(gòu)建隨機(jī)沖擊項的一系列正交

集。該方法稱為廣義IRF

。這種方法不需

要將所有沖擊項都正交化，并且不受VAR模型中變量的排序影響。8.4.3.4使用者自定義的脈沖響應(yīng)函數(shù)有些軟件，如EViews,還為實踐者提供了自行設(shè)立脈沖響應(yīng)的選項。你需

要在相應(yīng)的編輯窗口給出用來保存脈沖

響應(yīng)函數(shù)的矩陣或者是向量。但是要注

意，如果VAR模型有n個內(nèi)生變量，那么

脈沖響應(yīng)函數(shù)的矩陣必須具有n行、1或n

列，這樣，每一列便對應(yīng)一個脈沖函數(shù)

向

量

。8.5VAR模型與方差分解所謂方差分解，就是指我們希望

知道一個沖擊要素

的方差能由

其他隨機(jī)擾動項解釋多少。通過獲得

這個信息，我們可以獲知每個特定的

沖擊因素對于

的相對重要性。

基于Y

)的線性預(yù)測可以寫成：未來h期預(yù)測所對應(yīng)的均方差：此處

Ω

=E(c,ε{)。又ε,=

Au,=au?+a?U?+…+anunt→Ω=E(ε,ε')=a?a'var(u?)+其中，var(uπ)

表示矩陣D的對角線元素。未來h期預(yù)測對應(yīng)的均方差的表達(dá)式為MSE(?t+h|t)=E[(Yt+h-?t+h|t)(Yt+h-?t+h|t)']=Ω+V?QY′?+Y?QY'?+…+Wh-1QYh