第5章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.1數(shù)字濾波器的基本概念5.2模擬濾波器設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法2026/1/162第5章IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計本章目錄2026年1月16日3IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.1數(shù)字濾波器的基本概念5.1.1數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器的種類很多，分類方法也不相同。（1）按照濾波器的適用對象，可分為經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器（2）按照單位脈沖響應(yīng)長度或者實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，可分為無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR）濾波器和有限長單位脈沖響應(yīng)（FIR）濾波器（3）按照頻率特性或功能，數(shù)字濾波器可分為低通（LowPass，LP）、高通（HighPass，HP）、帶通（BandPass，BP）和帶阻（BandStop，BS）這4種數(shù)字濾波器2026年1月16日4IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.1數(shù)字濾波器的基本概念圖5-1數(shù)字濾波器的理想幅頻特性

圖5-2模擬濾波器的理想幅頻特性2026年1月16日5IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.1數(shù)字濾波器的基本概念5.1.2數(shù)字濾波器的技術(shù)指標濾波器一般屬于選頻濾波器，又常分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器。各種濾波器設(shè)計都是基于低通濾波器設(shè)計，然后通過頻率變換實現(xiàn)的。設(shè)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(ejω)用下式表示H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)式中|H(ejω)|稱為幅頻特性，θ(ω)稱為相頻特性。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況，相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。即使兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不一樣，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的一般情況下濾波器的技術(shù)指標由幅頻特性給出，相頻特性一般不作要求。圖5-3所示為低通濾波器的幅度特性2026/1/166圖5-3數(shù)字低通濾波器的歸一化幅頻特性IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.1數(shù)字濾波器的基本概念2026/1/167IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.1數(shù)字濾波器的基本概念5.1.3數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述IIR數(shù)字濾波器和FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法完全不同。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法有間接法和直接法。FIR數(shù)字濾波器不能采用間接法，常用的設(shè)計方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當成熟，常用的典型的模擬濾波器有巴特沃思(Butterworth)濾波器，切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Ellipse)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等。這些濾波器都有嚴格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。本節(jié)重點介紹低通模擬濾波器設(shè)計的典型方法和公式，模擬濾波器的設(shè)計過程如下。（1）根據(jù)信號處理要求確定設(shè)計指標。（2）選擇濾波器類型。（3）計算濾波器的階數(shù)。（4）通過計算或查表確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，借助計算機可省去查表的麻煩。（5）綜合實現(xiàn)并調(diào)試，具體內(nèi)容會在其他相關(guān)課程中詳細介紹。2026/1/168IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計5.2.1模擬濾波器技術(shù)指標通帶頻率范圍為0~Ωp內(nèi)允許通帶內(nèi)幅度有波動，最大逼近誤差為阻帶[Ωs~∞]內(nèi)幅度最大誤差1/A逼近零，即Ωp稱為通帶邊界頻率，Ωs稱為阻帶邊界頻率。通帶和阻帶內(nèi)的最大誤差稱為紋波幅度，分別由參數(shù)ε和A決定。ε越小，通帶紋波越小。而A越大，阻帶紋波越小頻率Ωp到Ωs區(qū)間稱為過渡帶，一般是單調(diào)下降的。2026/1/169≤|Ha(jΩ)|≤1，|Ω|≤Ωp

(5-5)|Ha(jΩ)|≤，Ωs≤|Ω|≤∞

(5-6)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計實際應(yīng)用中，通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，αp表示通帶內(nèi)最大衰減，αs表示阻帶內(nèi)最小衰減，即由式(5-3)和(5-4)得用損耗函數(shù)α(Ω)(或稱衰減函數(shù))描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性，即α(Ω)=20lg|Ha(jΩ)|=-10lg|Ha(jΩ)|2dB

2026/1/1610dBdB(5-7)(5-8)(5-10)(5-9)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計與模擬濾波器設(shè)計相關(guān)的參數(shù)還有過渡比和偏離參數(shù)。過渡比或選擇性參數(shù)k為k=Ωp/Ωs(5-12)k稱為過渡比或選擇性參數(shù)。顯然，k越接近于1，選擇性越好，也就是過渡帶越窄。偏離參數(shù)k1為應(yīng)當注意，對于給定的設(shè)計指標，濾波器的設(shè)計結(jié)果不是唯一的。2026/1/1611(5-13)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計給定了模擬濾波器的設(shè)計指標，需要設(shè)計一個系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標。一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實函數(shù)，因此可以將幅度平方函數(shù)表示為如果能由αp、Ωp、αs和Ωs求出|Ha(jΩ)|2，那么就可求得所需的Ha(s)。幅度平方函數(shù)在模擬濾波器的設(shè)計中起很重要的作用典型濾波器都有自己的表達式，可以直接引用。2026/1/1612IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計（5-14）5.2.2巴特沃思低通濾波器設(shè)計1．巴特沃思低通濾波器設(shè)計原理(1)幅度平方函數(shù)巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2為其損耗函數(shù)為α(Ω)=-20lg|Ha(jΩ)|=-10lg|Ha(jΩ)|2=10lg[1+(Ω/Ωc)2N]幅度特性與Ω和N的關(guān)系如圖5-6所示。2026/1/1613(5-15)(5-16)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計因為巴特沃思低通濾波器頻率響應(yīng)隨頻率增大而單調(diào)下降，通帶邊界頻率Ωp必然到達通帶最小幅度，阻帶邊界頻率Ωp必然到達阻帶最大幅度1/A。將式(5-1)和(5-2)分別代入(5-11)得式(5-13)和(5-14)聯(lián)立求解，得由式(5-15)得2026/1/1614(5-17)(5-18)(5-19)(5-20)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計N值代入式(5-13)得3dB截止頻率Ωc

N值代入式(5-14)得3dB截止頻率Ωc

式(5-21)和(5-22)求得的Ωc均滿足指標要求，應(yīng)根據(jù)工程需要靈活選用。MATLAB中函數(shù)butord按照式(5-22)計算Ωc

。2026/1/1615(5-22)(5-21)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計(2)幅度平方函數(shù)的極點分布及Ha(s)的構(gòu)成將巴特沃思幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點sk

式中，k=0，1，2，…，(2N-1)，2N個極點等間隔分布在半徑為Ωc的圓上(該圓稱為巴特沃思圓)，間隔是π/Nrad。極點以虛軸為對稱軸，且不會落在虛軸上。N=3時極點分布如圖5-3所示。2026/1/1616(5-23)(5-24)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計為了構(gòu)造穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)，右半平面的N個極點構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為這里分子系數(shù)為，可由Ha(s)的低頻特性決定，即代入Ha(0)=1，可求得(3)頻率歸一化從式(5-25)可見，Ha(s)與Ωc有關(guān)，只要Ωc不同，Ha(s)就不一樣。為使設(shè)計統(tǒng)一，通常采用3dB截止頻率Ωc歸一化。歸一化后的Ha(s)表示為2026/1/1617(5-25)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃思的系統(tǒng)函數(shù)為pk為歸一化極點只要根據(jù)技術(shù)指標求出階數(shù)N，便可按照式(5-28)求出N個極點，再按照式(5-27)得到歸一化的系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)

2026/1/1618(5-26)(5-27)k=0，1，…，N-1

(5-28)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計歸一化的系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)的系數(shù)bk(k=0，1，…，N-1)以及極點，可以查表5-1得到。在確定Ωc后，還應(yīng)去歸一化，才能從Ha(p)得到實際的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。即將，代入Ha(p)中便得到Ha(s)。2026/1/1619(5-29)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計2026/1/1620IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計(5)設(shè)計步驟綜上所述，低通巴特沃思濾波器的設(shè)計步驟如下①根據(jù)技術(shù)指標Ωp、αp、Ωs和αs，用(5-20)式求出濾波器的階數(shù)N。②按照(5-28)式，求出歸一化極點pk，將pk代入(5-27)式，得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)。也可根據(jù)階數(shù)N，直接查表5-1，得到極點pk和歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)。③將Ha(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。這里3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標沒有給出，可以按照式(5-21)或(5-22)式求出。例5-1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標設(shè)計巴特斯低通濾波器。解：設(shè)計濾波器時首先應(yīng)確定所用濾波器類型，本題目一規(guī)定設(shè)計巴特沃思濾波器。(1)確定階數(shù)N。由式(5-9)得由式(5-10)得由式(5-12)得k=Ωp/Ωs=0.4167由式(5-13)得2026/1/1621IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計由式(5-20)得=4.2509，取N=5(2)求Ha(p)按照式(5-28)，其極點為按照式(5-27)，歸一化系統(tǒng)函數(shù)為直接查表5-1簡單。由N=5，直接查表得到極點-0.3090±j0.9511，-0.8090±j0.5878，-1.0000

2026/1/1622IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計將共軛極點放在一起，形成因式分解形式Ha(p)共有3種表示形式，具體選擇哪種，可根據(jù)后續(xù)的數(shù)字濾波轉(zhuǎn)換方式而定。(3)Ha(p)去歸一化。先求3dB截止頻率Ωc按照式(5-22)，得到將Ωc代入(5-21)式，得到2026/1/1623IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計2026/1/1624IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到2．用MATLAB設(shè)計巴特沃思濾波器用MATLAB設(shè)計巴特斯濾波器主要用到函數(shù)buttap、buttord和butter函數(shù)buttap用于計算N階歸一化(|Ha(Ωc)|=1)巴特沃思模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零極點和增益因子函數(shù)buttord用于計算巴特沃思濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率Ωc函數(shù)butter用于計算歸一化巴特沃思濾波器系統(tǒng)函數(shù)中分子多項式和分母多項式系數(shù)向量。2026/1/1625IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計例5-2已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照給定技術(shù)指標調(diào)用buttord和butter函數(shù)設(shè)計巴特斯低通濾波器。解：設(shè)計程序fex5_2.m如下 %例5-2，用MATLAB設(shè)計巴特斯低通濾波器 wp=2*pi*5000；ws=2*pi*12000； Rp=2；As=30； [N，wc]=buttord(wp，ws，Rp，As，’s’)； [B，A]=butter(N，wc，’s’) 程序運行結(jié)果N=5wc=3.7792e+004B=7.7094e+0222026/1/1626IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計A=1.0e+022*[0.00000.00000.00000.00000.00077.7094]系數(shù)向量A的元素多數(shù)為零，這是由于Ωc值太大，超出了數(shù)據(jù)表示范圍造成的。將程序中的語句[B，A]=butter(N，wc，’s’)改為[B，A]=butter(N，1，’s’)，即先計算歸一化系數(shù)向量A，再計算實際系數(shù)向量。修改后程序運行結(jié)果A向量為A=[1.00003.23615.33615.33613.23611.0000]巴特沃思濾波器系統(tǒng)函數(shù)為2026/1/1627IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計化簡為例5-1結(jié)果相同。5.2.3切比雪夫濾波器設(shè)計巴特斯濾波器的優(yōu)點是其頻率特性曲線在通帶和阻帶都是頻率的單調(diào)函數(shù)，這導(dǎo)致通帶邊界處滿足指標要求時，通帶內(nèi)肯定會有余量。更有效的設(shè)計方法應(yīng)該將精確度均勻地分布在整個通帶內(nèi)，或整個阻帶內(nèi)，或者同時分布在兩者之內(nèi)?？梢杂秒A數(shù)較低的系統(tǒng)滿足指標要求，符合這一目的逼近函數(shù)是具有等波紋特性的函數(shù)。2026/1/1628IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計1.切比雪夫濾波器的特點切比雪夫濾波器也采用幅度平方函數(shù)逼近設(shè)計原理，其振幅特性具有等波紋特性。其中切比雪夫I型濾波器的幅度特性在通帶內(nèi)是等波紋的、在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降。切比雪夫II型濾波器的幅度特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的、在阻帶內(nèi)是等波紋的。2.切比雪夫I型逼近(1)切比雪夫I型幅度平方函數(shù)及其特點階數(shù)N為奇數(shù)與偶數(shù)時的切比雪夫I型濾波器幅頻特性如圖5-8所示。切比雪夫I型濾波器幅度平方函數(shù)為λ=Ω/Ωp，稱為對Ωp的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項式2026/1/1629圖5-8切比雪夫I型濾波器幅頻特性(5-33)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計切比雪夫I型和巴特沃思低通濾波器的幅頻特性比較如圖5-10所示。

(2)參量ε、Ωp和N的確定切比雪夫平方函數(shù)與參數(shù)ε、Ωp和N有關(guān)。2026/1/1630圖5-10切比雪夫I型與巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數(shù)曲線IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計2026/1/1631(5-36)(5-37)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計解式(5-36)，得2026/1/1632(5-41)(5-40)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計(3)幅度平方函數(shù)極點的分布及Ha(s)的構(gòu)成Ωp、ε和N確定后，可以求出濾波器的極點，并確定Ha(p)，

p=s/Ωp。(4)設(shè)計步驟①確定技術(shù)要求αp、Ωp、αs和Ωsαp是Ω=Ωp時的衰減系數(shù)，αs是Ω=Ωs時的衰減系數(shù)，它們分別為歸一化頻率②求濾波器階數(shù)N和參數(shù)ε

令按照式(5-9)求ε，③求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)先計算出歸一化極點pk，k=1，2，…，N。2026/1/1633(5-45)(5-44)(5-46)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計將極點pk代入式(5-41)，得④Ha(p)去歸一化將Ha(p)去歸一化，得到實際的Ha(s)，即3．切比雪夫II型逼近切比雪夫II型幅度平方函數(shù)為2026/1/1634(5-47)(5-48)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計2026/1/1635IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計4．用MATLAB設(shè)計切比雪夫濾波器用MATLAB設(shè)計切比雪夫濾波器分為I型和II型進行設(shè)計。切比雪夫濾波器I型濾波器設(shè)計主要涉及函數(shù)cheb1ap、cheb1ord和cheby1。例5-3設(shè)計低通切比雪夫I型濾波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減αp=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=60dB。解：(1)濾波器的技術(shù)要求αp=0.1dB，Ωp=2πfp，αs=60dB，Ωs=2πfs，λp=1，(2)求階數(shù)N和ε

2026/1/1636IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計取N=5(3)計算Ha(p)得(4)將Ha(p)去歸一化，得2026/1/1637IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計5.2.4橢圓濾波器設(shè)計橢圓（Elliptic）濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都具有等波紋的幅頻響應(yīng)特性。對于給定的指標，與其他類型的濾波器相比較，橢圓濾波器的階數(shù)N最小，即橢圓濾波器的過渡帶最陡。5.2.5貝塞爾濾波器設(shè)計在現(xiàn)代信號處理系統(tǒng)中，往往希望低通濾波器具有線性相位特性，貝塞爾濾波器具有在通帶內(nèi)逼近線性相位的特性。2026/1/1638IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計5.2.6常用模擬濾波器的比較從幅頻特性上看，巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。從相位特性上看，橢圓濾波器僅在大約二分之一通帶上非常接近線性相位特性，巴特沃思和切比雪夫濾波器在大約四分之三的通帶上非常接近線性相位特性。貝塞爾濾波器的優(yōu)點體現(xiàn)在其整個通帶逼近線性相位特性，其幅頻特性的過渡帶比其他四種濾波器寬得多。五種濾波器各具特點。工程實際中選擇那種濾波器取決于對濾波器階數(shù)和相位特性的具體要求。5.2.7模擬濾波器的頻率變換實際工作中，高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計主要通過對低通原型設(shè)計的轉(zhuǎn)換得到。常用的變換方法是先把一個歸一化原型模擬低通濾波器經(jīng)模擬頻帶變換成所需要類型(包括高通、帶通、帶阻或另一截止頻率的低通)的濾波器，如圖5-10所示。2026/1/1639圖5-14IIR模擬濾波器的頻率變換法IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計2026/1/1640IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計1．模擬高通濾波器設(shè)計設(shè)低通系統(tǒng)函數(shù)為G(s)，s=jΩ。歸一化頻率用λ表示p=jλ，p稱為歸一化拉氏復(fù)變量。所求高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，s=jΩ。歸一化頻率用η表示，令q=jη，q稱為歸一化拉氏變量，H(q)稱為歸一化系統(tǒng)函數(shù)。設(shè)低通濾波器G(jλ)和高通濾波器H(jη)的幅度特性如圖5-15所示。（a）高通濾波器H(jη)的幅頻特性

（b）低通濾波器G(jλ)的幅頻特性圖5-15低通與高通濾波器的幅頻特性λ和η之間的關(guān)系為若已知低通濾波器G(jλ)和高通濾波器H(jη)，則用下式轉(zhuǎn)換通常先設(shè)計歸一化的模擬低通G(p)，需按(5-55)式將高通濾波器的邊界頻率ηp和ηs轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率λp和λs，通帶最大衰減αp和阻帶最小衰減αs保持不變。上述指標可設(shè)計歸一化模擬低通G(p)，轉(zhuǎn)換成歸一化高通，為去歸一化，將代入H(q)中，得2026/1/1641(5-55)(5-56)(5-57)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計例5-6已知濾波器通帶截止頻率fp=100Hz，通帶最大衰減αp=3dB，阻帶截止頻率fs=50Hz，阻帶最小衰減αs=30dB。試設(shè)計巴特沃思高通模擬濾波器。解：先將頻率歸一化。將Ωp和Ωs對3dB截止頻率Ωc歸一化，這里Ωc

=Ωp

，則模擬高通的歸一化頻率為按式(5-55)算得模擬低通的歸一化頻率為模擬低通濾波器的階數(shù)N計算如下2026/1/1642IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計取N=5，查表5-1，得歸一化模擬低通系統(tǒng)函數(shù)G(p)為令p=Ωp/s=200π/s，代入上式得濾波器系統(tǒng)的損耗函數(shù)曲線，如圖5-16所示。2026/1/1643IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計2026/1/1644IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計2．模擬帶通濾波器設(shè)計考察如圖5-17所示低通濾波器和帶通濾波器的幅度特性，容易發(fā)現(xiàn)，低通濾波器的幅度特性的整體遷移所得就是帶通濾波器的幅度特性。圖5-17帶通與低通濾波器的幅度特性圖中Ωu和Ωl分別稱為帶通濾波器的通帶上限頻率和通帶下限頻率。令通帶帶寬B=Ωu-Ωl，一般用作為歸一化參考頻率。Ωs1和Ωs2分別稱為下阻帶上限頻率和上阻帶的下限頻率。定義Ω02=ΩlΩu，Ω0稱為通帶中心頻率，歸一化邊界頻率用下式計算ηl=Ωl/B，ηu=Ωu/B，ηs1=Ωs1/B，ηs2=Ωs2/B，η0=Ω0/B將帶通和低通的幅度特性對應(yīng)起來，得到λ和η的對應(yīng)關(guān)系λp對應(yīng)ηu，代入上式中，有式(5-59)就是低通到帶通的頻率變換公式2026/1/1645(5-58)(5-59)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計由歸一化低通濾波器直接轉(zhuǎn)換成模擬帶通濾波器的轉(zhuǎn)換公式為3．模擬帶阻濾波器設(shè)計低通濾波器與帶阻濾波器的幅頻特性如圖5-19所示。2026/1/1646(5-61)圖5-19帶阻濾波器與低通濾波器的幅頻特性IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計2026/1/1647IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計例5-8設(shè)計切比雪夫、橢圓模擬帶阻濾波器。要求帶寬為200Hz，中心頻率1000Hz，通帶最大衰減αp不大于3dB，在頻率大于830Hz或小于1200Hz處的衰減αs不小于25dB。解：帶阻濾波器指標帶寬ΩBW=2π×200Hz，Ω0=2π×1000Hz，αp=3dB，Ωsl=2π×830Hz，Ωsu=2π×1200Hz，αs=25dB將頻率歸一化η02=25，ηs1=4.15，ηs2=6，ηu-ηl=1，由η02=ηlηu可求出ηl=4.25，ηu=5.35調(diào)用MATLAB函數(shù)直接設(shè)計切比雪夫I型和橢圓模擬帶阻濾波器，程序代碼參考教材184~185頁6階切比雪夫I型帶阻濾波器和橢圓帶阻濾波器損耗函數(shù)曲線如圖5-20所示。2026/1/1648(a)6階切比雪夫I型帶阻濾波器(b)6階橢圓帶阻濾波器圖5-206階帶阻濾波器的損耗函數(shù)曲線

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.2模擬濾波器設(shè)計2026/1/1649IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法IIR數(shù)字濾波器(IIRDF)的設(shè)計方法分為間接設(shè)計法和直接設(shè)計法。間接法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器H(z)的基本步驟為(1)確定數(shù)字濾波器指標；(2)將上述濾波器指標轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的模擬濾波器Ha(s)的指標；(3)用5.2節(jié)介紹的方法設(shè)計滿足上述指標要求的模擬濾波器Ha(s)；(4)將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)。關(guān)鍵問題找到一種轉(zhuǎn)換關(guān)系，將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，即將s平面上的Ha(s)轉(zhuǎn)換成z平面上的因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。2026/1/1650表5-2濾波器的描述方法由于數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是以2π為周期的，所以其頻率響應(yīng)指標只在數(shù)字頻率主值區(qū)間[-π，π]上描述。將圖5-1模擬頻率Ω換成數(shù)字頻率ω，幅頻特性|Ha(jΩ)|換成數(shù)字濾波器的幅頻特性|H(ejω)|，得到圖5-17所示歸一化低通數(shù)字濾波器指標描述IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法模擬濾波器數(shù)字濾波器模擬濾波器數(shù)字濾波器單位脈沖響應(yīng)hα(t)單位脈沖響應(yīng)h(n)傳輸(系統(tǒng))函數(shù)Hα(s)傳輸(系統(tǒng))函數(shù)H(z)頻率響應(yīng)Hα(jΩ)頻率響應(yīng)H(ejω)微分方程差分方程2026/1/1651圖5-17歸一化數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法希望用數(shù)字濾波器進行模擬信號濾波處理時，模擬頻率和數(shù)字頻率，以及采樣頻率之間的關(guān)系為ωp=Ωp/Fs=2πf

p/Fs(rad)(5-65)ωs=Ωs/Fs=2πfs/Fs(rad)(5-66)

2026/1/1652IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法從s平面轉(zhuǎn)換到z平面系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)從s平面轉(zhuǎn)換到z平面的方法有多種，為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，均要求轉(zhuǎn)換關(guān)系滿足以下兩點要求(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。模擬濾波器因果穩(wěn)定要求其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點全部位于s平面的左半平面；數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定則要求H(z)的極點全部在單位圓內(nèi)。即轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)是s平面的左半平面映射z平面的單位圓內(nèi)。(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器頻率響應(yīng)，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓。2026/1/1653圖5-21脈沖響應(yīng)不變法IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法5.3.1脈沖響應(yīng)不變法1．脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換原理脈沖響應(yīng)不變法該方法的原理是，通過對連續(xù)函數(shù)ha(t)

以等間隔T采樣得到離散序列ha(nT)，如圖5-21所示。使h(n)=ha(nT)，得H(z)=ZT[h(nT)]。為方便討論，設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次。Ha(s)的部分分式表示為式(5-67)取拉氏逆變換得對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得上式取Z變換，得2026/1/1654(5-67)(5-69)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法(5-68)從上述轉(zhuǎn)換過程可見，對任一極點si，Ha(s)到H(z)的轉(zhuǎn)換可直接用下式完成2．H(ejω)與Ha(jΩ)的關(guān)系將ha(t)的采樣信號用表示拉氏變換，得2026/1/1655(5-70)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法因此上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的z變換之間的映射關(guān)系，可用下式表示z=esT(5-72)模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號的傅里葉變換之間的關(guān)系滿足其中，將s=jΩ代入上式，得

2026/1/1656(5-71)(5-74)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法(5-73)由式(5-71)和(5-74)得式(5-75)表明，模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照式(5-72)映射關(guān)系映射到z平面上，就得到H(z)。z=esT稱為標準映射關(guān)系。其中，s平面左半平面(σ<0)映射到z平面單位圓內(nèi)(r<1)s平面的虛軸(σ=0)映射到z平面的單位圓上(r=1)s平面右半平面映射z平面單位圓外(r>1)。因此，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)H(ejω)模仿模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)。若Ha(s)因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換所得H(z)也是因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換關(guān)系滿足模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的兩點要求。2026/1/1657(5-75)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法H(ejω)和H(jΩ)二者關(guān)系可由(5-75)式導(dǎo)出?？紤]s=jΩ，且ω=ΩT，則得到式(5-77)表明，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)以Ωs為周期的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當模擬濾波器的頻率響應(yīng)是有限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊失真，即2026/1/1658(5-77)(5-78)(5-79)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法2026/1/1659IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法3．頻率混疊現(xiàn)象由于實際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴格帶限的，變換后必然會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，形成混疊失真。如果原模擬信號ha(t)的頻帶不是限于±π/T之間，則會在±π/T的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊，從而映射到z平面上，在ω=±π/T附近產(chǎn)生頻率混疊，如圖5-19所示。因此希望設(shè)計的濾波器是帶限濾波器，如果不是帶限的，例如高通濾波器、帶阻濾波器，需要在高通、帶阻濾波器之前加保護濾波器，濾除高于折疊頻率π/T以上的頻帶，以免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。這樣會增加系統(tǒng)的成本和復(fù)雜性，故這種設(shè)計方法不適合高通與帶阻濾波器設(shè)計。2026/1/1660圖2-19脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法綜上所述，脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點是頻率坐標變換是線性的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)，時域特性逼近好。缺點是會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計。圖5-22脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊現(xiàn)象5.3.2雙線性變換法雙線性變換法可以克服脈沖響應(yīng)不變法產(chǎn)生頻率混疊這一缺點。1．雙線性變換法的基本原理式(5-85)就是H(z)和Ha(s)的變換關(guān)系式。由于任意高階的Ha(s)都可分解為一階系統(tǒng)的并聯(lián)，所以任何階數(shù)的Ha(s)都可用式(5-85)轉(zhuǎn)換成H(z)，采樣間隔T越小，近似程度越好。s平面與z平面的轉(zhuǎn)換關(guān)系為式(5-86)和(5-87)稱為雙線性變換。2026/1/1661(5-85)(5-87)(5-86)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法2．轉(zhuǎn)換關(guān)系分析(1)s平面到z平面的映射關(guān)系設(shè)s=σ+jΩ，z=rejω，由式(5-85)得當σ=0時，r=1，s平面虛軸映射為z平面的單位圓；當σ<0時，r<1，s的左半平面映射為z平面的單位圓內(nèi)；當σ>0時，r>1，s的右半平面映射為z平面的單位圓外。因此，若Ha(s)因果穩(wěn)定，H(z)也因果穩(wěn)定，數(shù)字濾波器的H(ejω)模仿模擬濾波器的Ha(jΩ)，說明雙線性變換法滿足s到z的兩個轉(zhuǎn)換條件。2026/1/1662IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法(2)消除頻率混疊的原因(3)模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系上式說明s平面上Ω與z平面的ω成非線性正切關(guān)系，在ω=0附近接近線性關(guān)系；ω增加時，Ω增加得愈來愈快；ω→π時，Ω→∞。2026/1/1663圖5-26s→s1→z的映射情況(5-92)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法2026/1/1664IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法綜上所述，雙線性變換最大的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象其缺點是數(shù)字頻率ω和模擬頻率Ω之間的非線性關(guān)系，限制了它的應(yīng)用范圍，只有當非線性失真是允許的或能被補償時，才能采用雙線性變換。低通、高通、帶通和帶阻等濾波器具有分段恒定的頻率特性，可以采用預(yù)畸變的方法來補償頻率畸變，因此可以采用雙線性變換設(shè)計方法。對于頻率響應(yīng)起伏較大的系統(tǒng)，如模擬微分器等，就不能使用雙線性變換使之數(shù)字化。如果希望獲得嚴格線性相位的數(shù)字濾波器，也不能使用雙線性變換設(shè)計方法。2026/1/1665IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法雙線性變換法可由簡單的代數(shù)公式(5-85)將Ha(s)直接轉(zhuǎn)換成H(z)，這是該變換法的優(yōu)點。但當階數(shù)稍高時，將H(z)整理成需要的形式，也是一件繁雜的工作。為了簡化設(shè)計，將模擬濾波器系數(shù)和經(jīng)雙線性變化得到的數(shù)字濾波器的系數(shù)之間的關(guān)系，列成表格供設(shè)計時使用。參考186頁，表5-3。4．間接設(shè)計法中參數(shù)T的選取為便于計算，一般取T=1s。由于雙線性變換法無頻率混疊，T值可任意選取，為了計算方便，一般取T=2s。

例5-11分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解：極點s=-α用脈沖響應(yīng)不變法，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為用雙線性變換法，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為設(shè)a=1000，T＝0.001和0.002，H1(z)和H2(z)的歸一化幅頻特性分別如圖5-26所示。2026/1/1666IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法2026/1/1667(b)脈沖響應(yīng)不變法數(shù)字濾波器幅頻特性(c)雙線性變換法數(shù)字濾波器的幅頻特性圖5-29H1(z)和H2(z)的歸一化幅頻特性(a)模擬低通濾波器幅頻特性IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法5.3.3低通、高通、帶通及帶阻IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計1．數(shù)字低通濾波器的設(shè)計總結(jié)5.3.1~5.3.2節(jié)的討論，利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器的方法是先設(shè)計一個合適的模擬濾波器，然后采用脈沖響應(yīng)不變法或者雙線性變換法將其變成數(shù)字濾波器。(1)確定數(shù)字低通濾波器通帶截止頻率ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率ωs、阻帶衰減αs等技術(shù)指標。(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標。邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系分別為2026/1/1668IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法2026/1/1669IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器。設(shè)計方法及設(shè)計步驟參考本章5.2節(jié)。(4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。(5)畫出頻率響應(yīng)H(ejω)=H(z)，校核是否滿足設(shè)計指標。2