深圳實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)時間：120分鐘滿分：150分一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．α是第四象限角，cosα=3，則cosα?3π=()．1.253545345A．B．C．?D．?52.3.化簡3?22的結(jié)果為()．1122332A．?23B．?2C．?2D．?2已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+?)(A>0，ω>0，0<?<π)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()．A．fx的圖象關(guān)于直線x=?π對稱()3B．將fx的圖象向右平移π個單位長度得到的圖象關(guān)于原點對稱()12C．方程f(x)=[3在區(qū)間0，2π]有5個不等實根3π，3π上單調(diào)遞增()D．fx在424.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波．我們聽到的每個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=Asinωt．音有四要素：音調(diào)、響度、音長和音色，它們都與函數(shù)y=Asinωt中的參數(shù)有關(guān)，比如：響度與振幅有關(guān)，振幅越大響度越大，振幅越小響度越?。灰粽{(diào)與頻率有關(guān)，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖利．像我們平時聽到聲音不只是一個音在響，而是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音．我們聽到的聲音函數(shù)是f(x)=sinx+1sin2x2+1sin3x+1sin4x+，結(jié)合上述材料及所學(xué)知識，你認(rèn)為下列說法中不正確的是()．34A．函數(shù)f(x)=sinx+1sin2x+1sin3x+1sin4x++1sin100x具有奇偶性234100B．函數(shù)f(x)=sinx+1sin2x+1sin3x+14sin4x在區(qū)間?ππ上單調(diào)遞增，8823C．若聲音甲對應(yīng)函數(shù)近似為f(x)=sinx+1sin2x+1sin3x+1sin4x，則聲音甲的響度342不一定比純音h(x)=1sin2x的響度大2D．若某聲音乙對應(yīng)函數(shù)近似為g(x)=sinx+1sin2x，則聲音乙一定比純音2h(x)=1sin3x更低沉25.歡樂港灣摩天輪——“灣區(qū)之光”是深圳的一處標(biāo)志性景點．已知某摩天輪最高點距離地面高度為128米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，等距設(shè)置有60個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周大約需要30min，若甲、乙兩人的座艙之間有4個座艙，則甲、乙兩人座艙高度差的最大值為(A．30(B．30()．))3?1米6?2米C．203米D．303米6.已知函數(shù)f(x)=lg(()+f(b?4)=2，則9x2+1?3x)+1，正實數(shù)a，b滿足f2a4b+a2的最小值為()．a(chǎn)2ab+bA．1B．2C．3D．4)．?5π，9π上所有零點之和為(7.8.函數(shù)f(x)=π+(x?π)sinx在區(qū)間22A．2πB．4πC．6πD．8πωx+ππ，2π上是增函已知函數(shù)f(x)=4sinωx?sin22+2cos24ωx(ω>0)在區(qū)間?23數(shù)，且在0，上恰好取得一次最大值，則ω的取值范圍是([π])．34B．3，5D．1，3[C．1，+∞)A．0，4224二．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.關(guān)于△ABC，下列說法正確的是()．A．若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形B．tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanCC．若△ABC為銳角三角形，則sinA>cosB恒成立D．若sinA+cosA=5，則△ABC為鈍角三角形5log2x，0<x<210.已知函數(shù)f(x)=，若存在x1，x2，x3，x4，滿足x1<x2<x3<x4，πsinx，2≤x≤104fx()=f(x2)=f(x3)=f(x4)，則x1x2x3x4的值可以為()．1A．20B．24C．28D．32<11.若110a<10A．4a+5?b<4b+5?a>(cosbb<10，則()．B．lna>sinb?sinab(C．cosa)a)bD．a(chǎn)lgb>blga三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知sinα?cosα=1，0≤α≤π，則sin2α+π=____________．5413.求值：cos50°()3?tan10°=____________．14.設(shè)y=m(m>0)與f(x)=4sin(2x+?)圖象的相鄰3個公共點自左向右依次為A，B，C，若5AB=7BC，則m的值為____________．四．解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（本題滿分13分）25，tanβ=1π，且α，β∈0，．2已知cos(α+β)=57⑴求cos2β?2sin2β+sinβcosβ⑵求2α+β的值．的值；16.（本題滿分15分）中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與水的溫度有關(guān)，如果剛泡好的茶水溫度是θ1℃，環(huán)境溫度是θ0℃，那么t分鐘后茶水的溫度θ（單位：℃）可由公式θ(t)=θ0+(θ1?θ0)e?kt求得，其中k是常數(shù)，現(xiàn)有剛泡好的茶水溫度是100℃，放在室溫25℃的環(huán)境中自然冷卻，5分鐘以后茶水的溫度是50℃．⑴求k的值（計算結(jié)果精確到0.01）；⑵經(jīng)驗表明，當(dāng)室溫是15℃時，剛泡好的茶水溫度是95℃，自然冷卻至60℃時引用口感最佳，剛剛泡好的茶水大約要放置幾分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感？（計算結(jié)果精確到0.1）參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693，ln3≈1.09917.（本題滿分15分）sinx+π3cosx+sin2x1+π?3．4已知f(x)=23()⑴求fx的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；π，π上的值域；()⑵求fx在?44()⑶將函數(shù)fx圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)?π+ππ，5π恒成立，求a的取值范()?gx6≥2對任意的x∈gx的圖象，若agx326圍．18.（本題滿分17分）意大利畫家列奧納多·達(dá)·芬奇曾經(jīng)提出，固定項鏈的兩段，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，歷史上，萊布尼茲等人ex+e?x曾研究并得出了懸鏈線的方程，其中雙曲余弦函數(shù)cosh(x)=尤為特殊，與此類2ex?e?x似的還有雙曲正弦函數(shù)sinh(x)=⑴計算cosh(2)?()（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.71828）．22cosh21的值；⑵類比兩角差的余弦公式，寫出兩角差的雙曲余弦公式cosh(x?y)=____________，并加以證明；⑶判斷函數(shù)f(x)=2cosh(2x)?4bcosh(x)+4b?2的零點個數(shù)，并求出零點．19.（本題滿分17分）()若對于實數(shù)m，n，關(guān)于x的方程f(x+m)+f(x?m)=nfx在函數(shù)y=f(x)的定義域D上有實數(shù)解x=x0，則稱x0為函數(shù)fx的“m，n可消點”，若存在實數(shù)m，n，對()()任意實數(shù)x∈D，x均為函數(shù)fx的“m，n可消點”，則稱函數(shù)fx為“可消函數(shù)”，()()()()()此時，有序數(shù)對m，n稱為函數(shù)fx的“可消數(shù)對”．⑴若f(x)=x+2是“可消函數(shù)”，求函數(shù)fx的“可消數(shù)對”；()⑵若m，1為函數(shù)f(x)=sinxcosx的“可消數(shù)對”，求m的值；()⑶若函數(shù)f(x)=sin2x的定義域為R，存在實數(shù)x0∈0，同時為fx的“π，n1π4()2可消點”與“π，n2可消點”，求n+n22的最小值．2131.【答案】Aα=?3，由誘導(dǎo)公式，cosα?3π2=【解析】由α為第四象限角，sinα=?1?cos252=?sinα=53，故選A．πcosα+2.3.【答案】B13=?12()3【解析】3?22=?22=?2，故選B．【答案】C【解析】由題意fx相鄰對稱軸間的距離為π，可得T2=π，因此T=π，ω=2π=2，()22T當(dāng)x=π時，2×π+?=2kπ+π，k∈Z，故?=kπ+π，k∈Z．由0<?<π可得?=π，12122332sin2x+ππ由函數(shù)最大值為2可得A=2，因此f(x)=．A選項，f?3=?3，非3最值，故x=?π不是fx的對稱軸，A錯誤．B選項，fx圖象向右平移π個單位()()312長度后的解析式為fx?=2sin2x+π6，不關(guān)于原點對稱，B錯誤．C選項，令π123，可得2x+π=2kπ+π或2kπ+2π，k∈Z，解得x=kπ或kπ+π，k∈Z，f(x)=3336在0，2上，實根為0，π，π，，2π，共5個，C正確．D選項，fx的單調(diào)區(qū)π]7π[()66間長度為π2，不可能在長為34π的區(qū)間3π，3π上單調(diào)遞增，D錯誤．故選C．424.【答案】C【解析】A選項，f(?x)=sin(?x)+1sin(?2x)+1sin(?3x)++1sin(?100x100)23=?sinx?1sin2x?13sin3x??1sin1x=?f(x)，故f(x)是奇函數(shù)，A正確．B選2100100π，ππ44，π，3x∈?3π，3ππ，π，故y=sinx，項，x∈?88時，2x∈?，4x∈?8822y=1sin2x，y=1sin3x，y=1sin4x在?π，π上都是增函數(shù)，fx在π，π?上()2348888單調(diào)遞增，B正確．C選項，由f=sinπ+1sinπ+1sinπ23π+1sin2π=2可得，f(x)432232的最大值f(x)max≥>12，故fx的振幅必然大于h(x)=1sin2x的振幅，即聲音甲的()232響度一定大于純音的響度，C錯誤．D選項，對于g(x)=sinx+1sin2x，設(shè)其最小正周2期為T，則g(π+T)=g(π)=0，即?sinT+1sin2T=0?(sinTcosT?1)=0，故2π=?gπ，故T=π不會是sinT=0，故T=kπ，k∈N*，由于g(x)是奇函數(shù)，g?22gx的周期，而T=2π顯然是gx的周期，故gx的最小正周期為2π，其頻率()()()f1=1=1Hz，純音hx的最小正周期為23π，其頻率f2T1=23πHz，聲音乙的頻率()=T2π()更低，比hx低沉，D正確．故選C．5.【答案】B【解析】甲乙兩人的座艙所連的弧所對應(yīng)的圓心角為θ，則θ=5?2π=π，以摩天輪660(中心為原點建立坐標(biāo)系，設(shè)某一時刻甲座艙位于60cosα，60sinα)處，乙座艙位于π6π6π660cosα+，60sinα+處，則兩人高度差?y=60sinα+?sinα=60sinα+π+π?sinα+π?π=120sinπcosα+≤120sinππ12=30(6?2)121212121212米，故選B．6.【答案】B【解析】f(x)+f(?x)=lg(9x2+1?3x)+lg(9x2+1+3x+2=)(lg9x2+1?9x2)+2=2，這說明f(x)的圖象關(guān)于點(0，1)對稱，類似奇函數(shù)，在原點兩側(cè)單調(diào)性相同，由1于x>0時f(x)=lg+1，y=9x2+1+(3x在0，+∞)上單調(diào)遞增且函數(shù)值9x2+1+3x()恒正，可推出f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，因此fx是減函數(shù)．f(2a)+f(b?4)=24b，即2a+b=4，因此4b+?f(2a)=2?f(b?4)=f(4?b)?2a=?a2=a2ab+ba=164b+ab2ab+)=4b+a≥24b4ba=2，當(dāng)a=4b即9時取得，故選B．?(aaa4b49b=7.【答案】B【解析】f(x)=0?sinx=?ππx?πx?π，作出y=sinx和y=?在5π，9π上的圖象如圖，可知兩個圖象共有4個交點，因區(qū)間?22()此fx在區(qū)間上共有4個零點，由小到大記為x1，x2，x3，x4．同時，f(π+x)=π+xsin(π+x)=π?xsinx，f(π?x)=π?xsin(π?x)=π?xsinx，可得()f(π+x)=f(π?x)，故fx的圖象關(guān)于直線x=π對稱，因此x1+x4=x2+x3=2π，故所有零點之和為4π，故選B．8.【答案】Dπ2+2cos2ωx=2sinωx+2sin21?cosωx+【解析】f(x)=4sinωx?ωx+2cos2ωx2=2sinωx+2，當(dāng)x∈?π，2ππω，2πω時ωx?3，由f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增可得，232πω≥?π?322，解得ω≤．當(dāng)x∈[0，π]時，ωx∈[0，πω]，由f(x)恰好在區(qū)間上取得2πω≤π432一次最大值可得π2≤πω<5π，解得1≤ω<52，綜上所述，ω∈1，3，故選D．22249.【答案】BCD【解析】A選項，由于2A，2B∈(0，2π)，且至多有一個大于π，因此若sin2A=sin2B，則有2A=2B或2A+2B=π，得A=B或A+B=π，因此△ABC為等腰三角形或直角2三角形，A錯誤．B選項，在△ABC中，tanC=?tan(A+B)=tantanAAtan+tanB?B1tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，B正確．C選項，若△ABC為銳角三角形，則有，整理得A+B=π?C>π，故A>π?B，且A，π?B∈0，，由y=sinx在0，上單調(diào)π2π2222遞增可得sinA>sinπ?B=cosB，C正確．D選項，sinA+cosA=1+2sinAcosA()22=1?sinAcosA=?2，由A∈(0，π)可得sinA>0，故cosA<0，因此A∈π，π，552△ABC為鈍角三角形，D正確．故選BCD．10.【答案】BC【解析】作出fx草圖如圖，由fx()()=f(x2)可得logx1=log2x2，故x1=x2（舍去）或log2x1+log2x2=0，可得x1x2=1，x3，x4關(guān)于直線x=6對稱，由圖可得2<x3<4，8<x4<10，記t=x4?6=6?x3，t∈(2，4)，x3x4=(6?t)(6+t)=36?t∈(20，32)，故選BC．12211.【答案】ACD【解析】由1<10a<10b<10可得0<a<b<1．A選項，由y=4x是增函數(shù)，y=5?x是減函數(shù)，可得4a<4b，5?b<5?a，故4a+5?b<4b+5?a，A正確．B選項，此時a<1，b故lna<0，且sinb?sina>0，因此lna<sinb?sina，B錯誤．C選項，由0<a<b<1bb可得0<cosb<cosa<1，由y=(cosa)x是減函數(shù)可得，(cosa)a>(cosa)b，由y=xb是>(cosa>(>b>aabb是減函數(shù)可得b，因此b>0，(增函數(shù)可得，cosa)b>()(cosbb，因此cosa)a)b)cosbb，C正確．D選項，b由y=x是增函數(shù)可得ab<bb，由y=bxa>bb取對數(shù)可得algb>blga，D正確．故選ACD．12.【答案】31250【解析】sinα?cosα)=1?2sinαcosα=1，可得sin2α=24，且2α∈(0，π)?(22525α∈0，，因此(sinα+cosα)2=1+sin2α=49?sinα+cosα=7，故cos2α=cosπ2α2255α=(cosα?sinα)(cosα+sinα)=7，sin2α+π=22(sin2α+cos2α)=312．50?sin225413.【答案】1【解析】cos50°(2cos(10°+30°)cos10°3?tan10°=cos50°?3cos10°?sin10°=cos50°?)cos10°sin(10°+90°)cos10°=2sin50°cos50°=sin100°=cos10°=1．cos10°=cos10°cos10°14.【答案】6?2()【解析】將fx圖象經(jīng)平移和伸縮變換后變回y=sinx的圖象，具體操作為：①所有點橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?；②所有點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍；③4向右平移?個單位．此時水平直線y=m的方程變?yōu)閥=m，設(shè)A，B，C變?yōu)?A′，B′，C′，易知在伸縮變換過程中，雖然線段長度發(fā)生改變，但長度之比保持不變，即A′B′=AB=7．設(shè)Ax0，m，則B′x0′()+7π，m，Cx0+2π，m，A′，B′關(guān)于′()′′BCBC56某條對稱軸對稱，可得2x+7π=2kπ+π，解得x0=kπ?π，k∈Z，同時由于m=06124m11π=sinπ6?2，m=6?2．=4sinx0可得sinx0>0，故可取k=1，=sin4121215.【解析】⑴cos2β?2sin2β+sinβcosβ=cos2β?2sin2β+sinβcosβsin2β+cos2β1?2β=+17=27=1?2tan2β+tan49．tan2β+11+12549π2(α+β)=55，2⑵由α，β∈0，可得α+β∈(0，π)，故sin(α+β)=1?cos2tan(α+β)tan(α+β)=1．因此tan(2α+2β)==4．21?tan2(α+β)343?171=1tan(2α+2β)?(α+2β)tantanββ=故tan(2α+β)=tan(2α+2β)?β=1+tan241+×37255π>0可得α+β∈0，，且β∈0，，因此222ππ由cos(α+β)=α+β∈?，π2因此2α+β=π．416.【解析】⑴由題意得θ0=25，θ1=100，t=5，θ=50，代入可得50=25+75e?5k整理得e?5k=1，取對數(shù)得k=1ln3≈0.22．351⑵由題意得θ0=15，θ1=95，θ=15+80e5ln3?t??1ln3?t令θ=60，可得e5=9??1ln3?t=ln9=2ln3?4ln216516×(4ln2?2ln3)×(4×0.693?2×1.099)≈2.6分鐘．解得t=5≈5ln31.09917.【解析】⑴f(x)=1sinxcosx+3cos2x+1sin2x+π3?22234=1sin2x+3cos2x+1sin2x+π3=1sin2x+π3+1sin2x+π3=sin2x+π3．44222最小正周期T=2π=π．2令2x+π∈2kπ?π，2kπ+π，解得x∈kπ?5π，kπ+π，k∈Z．3221212故fx的增區(qū)間為x∈kπ?5π，kπ+π，k∈Z．()1212π，π時2x+π∈?π，5ππ132⑵x∈?，故sin2x+∈?，1．44366π，π上的值域為?1，1．()?即fx在442sinx+π3，原不等式可化為asinx?cosx≥2對任意的x∈π，5π恒成立⑶g(x)=26對任意的x∈π，5π恒成立a>0?a2sin2x≥(cosx+2)226(cosx+2)1?cos2x2對任意的x∈π，5π恒成立且a>26a2≥0記t=cosx，t∈?3，0，條件可化為a2≥(t+2)2∈?對任意的t，0成立321?t22y=(t+2)2，t∈?3，0y=t2+4t+4=?1+4t+51?t1?t設(shè)，則設(shè)1t?2222uu+5u?9u2816u=4t+5，u∈5?23，5，則f(u)=?1+=?1+111?(u?5)2?161619在5?23，3上遞減，3，5上遞增可得，fu在()()()=?1+5?1u+9，由y=u+uu816()()5?23，3上遞減，在3，5上遞增2u=5?23即t=?3時，y=42?3=4?3)2(22u=5即t=0時，y=422()(?)3，由題意得a2≥(4?)≥4?3，故a3．因此fu的最大值為4另解：設(shè)t=tanx，x∈π，5π?t∈1，2+3224122=cos2x?sin2x+2cos2x+2sin2xtan2x+3cosx+sinx=t2+32t222sinxcosx22=22tanx222由對勾函數(shù)性質(zhì)分析可得，當(dāng)t=2+3時右側(cè)取得最大值為4?318.【解析】e+e?1e2?e?2⑴由定義可得，cosh(1)=，cosh(2)=22(e+e?1)2e2+e?2所以cosh(2)?2cosh2(1)=?=?1．22⑵cosh(x?y)=coshxcoshysinhxsinhy，下證明之．()()?()()(ex+e?xey)(?y)(ex?e?x)(ey?e?y)+e()()?()()=?事實上，coshxcoshysinhxsinhy44x+y+e?x+y+ex?y+e?x?y?ex+y+e?x+y+ex?y?e?x?yx?y+ey?x=e=e=cosh(x?y)．422x+e?2x+⑶由于cosh2(x)=e2=1cosh(2x)+1422ex+e?x因此cosh(2x)=2cosh2(x)?1，設(shè)t=cosh(x)=，由均值不等式，t≥12因此y=22t2?1)?4bt+4b?2=4t2?4bt+4b?4=4t?b+1t?1)(()(令y=0，可得t=1或t=b?1，而cosh(x)=1當(dāng)且僅當(dāng)x=01()coshx可視為函數(shù)u=ex和y=u+的復(fù)合，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，coshx在0，+∞)()(u)上單調(diào)遞增，在(?∞，0上單調(diào)遞減若b?1>1即b