2024屆湖南省長沙市麓山國際實驗學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題

注意事項:

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效：在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖，在正三棱柱中，若AB=>/iBBi=2,則C到直線A4的距離為()

2.已知等比數(shù)列｛〃“｝滿足。2=2,4+。4+。6=42,則4+仆+^^=()

A.168B.210

C.672D.I050

3.拋物線V=4x的焦點(diǎn)到直線工+)，-3=0的距離d=()

A.立B.正

2

C.11).2

x+y-l>(),

4.設(shè)變量x.V滿足約束條件｛x-2.v+220.則z=3x-2y的最小值為()

2x-y-2<0,

A.3B.-3

C.2D.-2

5.(x-2y)”的展開式中的系數(shù)是()

A.1792B.-1792

C.448D.-448

A沿〃一232e

。?取a—9/1一r-nilnh.的Tr小￥乏貝（\

ln2In3l+ln2

K.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

7.已知函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)天20時，/(x)=ev+x2-cosx,則不等式/(x—3)一/(2x—1)<0的解集為()

A.(一2怖B.(-oo,-2)

C.(-2,-H?)D.(-oo,-2)uQ,+oo^

8.在二ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,3=30。，/?sinX=l,則。=()

A.-B.1

2

C.21).4

9.已知a=logs3,Z?=50',c=log35,則()

\.a<c<bB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

22

10.設(shè)匕是雙曲線C:與一==1(。>0/>0)的一個焦點(diǎn)，A，4是C的兩個頂點(diǎn)，。上存在一點(diǎn)尸，使得p匕與

a~b~

以AA為直徑的圓相切于Q,且Q是線段0片的中點(diǎn)，則。的漸近線方程為

A.y=±—xB.y=±y/3x

-3

C.y=±-xD.y=±2x

11.正方體的表面積為96,則正方體外接球的表面積為()

A.48B.484

C.647rD.32冗

12.已知圓C：(x+3『+y2=ioo和點(diǎn)8(3,0),P是圓上一點(diǎn)，線段外的垂直平分線交CP于點(diǎn)M,則點(diǎn)用的

軌跡方程是：。

9

c.--一匕=1i）,x2+y=2

2516

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某天上午只排語文、數(shù)學(xué)、體育三節(jié)課，則體育不排在第一節(jié)課的概率為

14.已知拋物線丁=2*（〃>°）的焦點(diǎn)廠為（1，0），過點(diǎn)尸的直線交該拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)A，與該拋物線的一個交

點(diǎn)為5,且斤4=一3m，則從卸=

15.已知長方體A8CO—4旦GR的棱A8=BC=3,CG=4,則異面直線A6與CR所成角的大小是

.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

16.已知點(diǎn)尸是拋物線），2=2“（〃>0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（2,y）,嗚分別是拋物線上位于第一、四象限的點(diǎn)，若

|^4F|=10,則二W的面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在水平桌面上放一只內(nèi)壁光滑的玻璃水杯，已知水杯內(nèi)壁為拋物面型（拋物面指拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)180

所得到的面），拋物面的軸截面是如圖所示的拋物線.現(xiàn)有一些長短不一、質(zhì)地均勻的細(xì)直金屬棒，其長度均不小于拋

物線通徑的長度（通徑是過拋物線焦點(diǎn)，且與拋物線的對稱軸垂直的直線被拋物線截得的弦），若將這些細(xì)直金屬棒,

隨意丟入該水杯中，實驗發(fā)現(xiàn)：當(dāng)細(xì)棒重心最低時，達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)，此時細(xì)棒交匯于一點(diǎn).

（1）請結(jié)合你學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，猜想細(xì)棒交匯點(diǎn)的位置；

（2）以玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系.設(shè)玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線方程為

2

x=2pyt將細(xì)直金屬棒視為拋物線的弦A8,且弦A8長度為。（。22〃），以細(xì)直金屬棒的中點(diǎn)為其重心，請從數(shù)

學(xué)角度解釋上述實驗現(xiàn)象.

18.（12分）已知函數(shù)=cosx.

（I）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（II）若當(dāng)xX）時，/（x）Z，（cosx—1）+/+（〃-l）x+l恒成立，求實數(shù)0的取值范圍.

19.（12分）設(shè)點(diǎn)尸是曲線/（力=-丁+任+2上的任意一點(diǎn)，A是該曲線在點(diǎn)尸處的切線的斜率

（1）求A的取值范圍；

（2）求當(dāng)A取最大值時，該曲線在點(diǎn)P處的切線方程

20.（12分）已知橢圓C:[+與=1（。>6>0）與橢圓F+2y2=6的焦點(diǎn)相同，且橢圓C過點(diǎn)（-63]

a-b-k2；

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點(diǎn)A,從且04_L03（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）,

若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由

21.（12分）已知+的離心率為也，短軸長為2,尸為右焦點(diǎn)

a-b-2

（1）求橢圓的方程；

（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)使得過戶的任意一條直線，與橢圓的兩個交點(diǎn)A,B,恒有NOMA=NOMB,若存

在求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由

22.（10分）2020年8月，總書記對制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強(qiáng)宣傳教育，切實培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，

在全社會營造浪費(fèi)可恥、節(jié)約光榮的氛圍.為貫徹總書記指示，大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣

傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動.現(xiàn)己有高一63人、高二42人，高三21人報名參加志愿活動.根據(jù)活動安排，擬采用分層抽

樣的方法，從已報名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動

（1）第一期志愿活動需從高一、高二、高三報名的學(xué)生中各抽取多少人？

（2）現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取2人粘貼宣傳標(biāo)語，求抽出兩人都是高二學(xué)生的概率是多少？

（3）食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩飯的重量（單位：公斤），以10

天為單位來衡量宣傳節(jié)約糧食的效果.在一個周期內(nèi)，這組志愿者記錄的數(shù)據(jù)如下：

前10天剩菜剩飯的重量為：24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2

后10天剩菜剩飯的重量為：23.221.520.821.320.419.420.219.320.618.3

借助統(tǒng)計中的圖、表、數(shù)字特征等知識，分析宣傳節(jié)約糧食活動的效果（選擇一種方法進(jìn)行說明即可）

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】取AC的中點(diǎn)O,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一-2,根據(jù)點(diǎn)到線距離的向量求法和投影的定義計算即

可.

【詳解】由題意知，AC=AB=2,RB、=立,

取AC的中點(diǎn)。，則8O_LAC,BO=6

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一沖2,

則A(OTO)，B1瓜0,6),C(O,1,O),

所以A4=(G,1,0),C4=(0,—2,0),

\CAAB,2限

所以CA在AB】上的投影的長度為J-----

AB}

故點(diǎn)。到直線人4距離為:人

故選：D

A二

【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得d=4,再根據(jù)牝+■+《0=寸（%+%+%），即可求得結(jié)果.

【詳解】等比數(shù)列｛4｝滿足g=2,叼+4+%=42,

設(shè)等比數(shù)列的公比為明

所以2（1+夕2+心=42，解得q2=4,

故%+q+%0=火％+。4+?6）=16x42=672,

故選：C

3、B

【解析】由拋物線y2=4X可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.

【詳解】由拋物線尸=4%可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可得"二甲=&,

V2

即拋物線y2=4%的焦點(diǎn)到直線x+），—3=0的距離為41.

故選：B.

4、D

3-

【解析】轉(zhuǎn)化z=3工-2），為）=一工-士，則z最小即直線在），軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數(shù)形

22

結(jié)合即得解

【詳解】轉(zhuǎn)化z=3x—2），為y='x—三，則z最小即直線在），軸上的截距最大

-22

當(dāng)直線經(jīng)過八（0』）時，在）'軸上的截距最大，z最小，

此時z=3x0—2x1=—2>

故選：D

5、D

【解析】根據(jù)二項式展開式的通項公式計算出正確答案.

【詳解】（x—2），y的展開式中，含MV的項為《?丁?（-2），y=-8xC；xxb，3=—448xy.

所以的系數(shù)是T48.

故選：D

6、A

X

【解析】構(gòu)造函數(shù)/（X）=L（X>0）,求導(dǎo)判斷其單調(diào)性即可

In.r

【詳解】令/（幻=4*>0）,

inx

3，令/（X）=o得，x=e,

Unx）-

.?.當(dāng)xe(e,+8)時，f(x)>0t/(x)單調(diào)遞增,

a=---=----=----=f(4),h==f(3),c=------=---------=-----=/(2e).

In221n2In4In3l+ln2lne+ln2ln2e'7

-e<3<4<2e,

.-./(3)</(4)</(2e),

:.b<a<ct

故選：A

7、D

【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的奇偶性判斷出/'(工)的單調(diào)性，由此化簡不等式/。-3)-/(2工-1)<。來求得不等式的

解集.

【詳解】當(dāng)xNO時，/(x)=e，+2x+sinx,(e*+2工+sin工)=e，+2+CDSX>(),/'(X)單調(diào)遞增，f(0)=1,所

以/(x)>0J(x)單調(diào)遞增.

因為/(可是偶函數(shù)，所以當(dāng)x<0時，/(1)單調(diào)遞減.

/(x-3)-/(2x-l)<0,/(x-3)</(2x-l),|x-3|<|2.r-l|,(x-3)2<(2x-l)2,

x"-6x+9<4x?—4,v+1,3x"+2,x-8>0,

4

(x+2)(3x-4)>0=x<-2或x>—.

3

(4、

即不等式/3-3)-/(2xT)<0的解集為(-co,-2)u.，十8.

故選：D

8、C

(Jh

【解析】直接運(yùn)用正弦定理可得一j二-J,解得。=2

sinAsinB

詳解】由正弦定理，得’4二一勺，所以。二生等=」^=2

sinAsin8sinBsin30

故選：C

9、C

【解析】取中間值，化成同底利用單調(diào)性比較可得.

11.1I1

【詳解】1>logs3>bgs52=],52=石<耳，log55>log33=1,故c〉a>b,

故選：C

10、c

[解析】根據(jù)圖形的幾何特性轉(zhuǎn)化成雙曲線的〃力,C?之間的關(guān)系求解.

【詳解】設(shè)另一焦點(diǎn)為工，連接產(chǎn)入，由于PG是圓O的切線，

則|0。|=〃，且OQ_LPK，

又Q是的中點(diǎn)，則。2是△耳尸鳥的中位線，

則|P周=2〃，且夕用,出，

由雙曲線定義可知|P￡|=4〃，

由勾股定理知比村2=歸外+歸6（，4c2=4/+16/,/=5〃，

即〃=41,漸近線方程為y=±fx,

b

所以漸近線方程為），=4

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

11、B

【解析】由正方體表面積求得棱長，再求得正方體的對角線長，即為外接球的直徑，從而可得球表面積

【詳解】設(shè)正方體棱長為。，由6/=96得，，=4,

正方體對角線長1=瓜=4日所以其外接球半徑為〃=g=2j5,

球表面積為S=44產(chǎn)=44x(2JJ))=48〃

故選：B

12、B

【解析】先由M在線段砂的垂直平分線上得出眼耳=|胸，再由題意得出|困+|叫=|何。+|網(wǎng)=10,進(jìn)而

由橢圓定義可求出點(diǎn)M的軌跡方程.

【詳解】

如圖，因為M在線段BP的垂直平分線上,所以囚尸|=眼回，又點(diǎn)Q在圓。上，所以|MC|+|MB|=|因+\MP\=10,

因此'點(diǎn)M在以C、〃為焦點(diǎn)的橢圓上.其中〃=5,c=3’則I.從而點(diǎn)"的軌跡方程是小

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

3

【解析】寫出語文、數(shù)學(xué)、體育的所有可能排列，找出其中體育不排在第一節(jié)課的情況，利用概率公式計算即可.

【詳解】所有可能結(jié)果如下：（語文，數(shù)學(xué)，體育）；（語文，體育，數(shù)學(xué)）；（數(shù)學(xué)，語文，體育）：（數(shù)學(xué)，體育，語文）;

（體育，語文，數(shù)學(xué)）；（體育，數(shù)學(xué)，語文），

其中體育不排在第一節(jié)課的情況有四種，

42

則體育不排在第一節(jié)課的概率P=-=-

【解析】作4。垂直于準(zhǔn)線，垂足為。，準(zhǔn)線與工軸交于點(diǎn)E,根據(jù)已知條件，利用幾何方法，結(jié)合拋物線的定義得

到答案.

【詳解】拋物線V=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)尸（1,0）,準(zhǔn)線方程x=—l,

作80垂直于準(zhǔn)線于。，準(zhǔn)線與4軸交于點(diǎn)E,則EF//DB,"AEFiADB.

48

^FA=-3FB?：.\BD\=-\EF\=-t

Q

由拋物線的定義得忸2I=忸。=（

???|明=4|叫=學(xué)

32

故答案為：—,

3

15、arccos—

25

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出異面直線人片與CR的方向向量，再求出兩向量的夾角，進(jìn)而可得異面直線A片與

CQ所成角的大小

【詳解】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

x

在長方體A8CD-A司GQ中.

???A3=8C=3,CC,=4,

.?.4(3,0,0),4(334),C(0,3,0),4(004),

?.AB}=(0,3,4),CD.=(0,-3,4),

?AB】?CD0-9+167

.?C0S〈AB,C0|x|CD,70+9416x70+9+16-25，

7

異面直線從4與CD,所成角的大小是arccos—

7

故答案為：arccos—

25

16、42

【解析】由焦半徑公式求得參數(shù)〃，得拋物線方程，從而可求得A8兩點(diǎn)縱坐標(biāo)，再求得直線48與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

后可得面積

【詳解】因為M目=2+^=10,所以〃=16,拋物線的方程為y2=32x,把工=；代入方程，得y=-4()，=4舍

去)，

工_1

即嗚一).同理4(2,8),直線AB方程為惠=—即)，=8x-8.所以直線A3與工軸交于點(diǎn)C(L。)，

2—

2

所以5,=京(8-1岡弘一對二42.

故答案為：42

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)拋物線的焦點(diǎn)或拋物面的焦點(diǎn)

(2)答案見解析

【解析】(1)結(jié)合通徑的特點(diǎn)可猜想得到結(jié)果；

(2)將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)〃之2〃時，只要A8過點(diǎn)尸，則A8中點(diǎn)M到工的距離最小，根據(jù)|磯+|在河2|明，結(jié)合拋

物線定義可得結(jié)論.

【小問1詳解】

根據(jù)通徑的特征，知通徑會經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)，

則可猜想細(xì)棒交匯點(diǎn)位置為：拋物線焦點(diǎn)或拋物面的焦點(diǎn).

【小問2詳解】

解釋上述現(xiàn)象，即證：當(dāng)（2〃為拋物線通徑）時，只要A8過點(diǎn)F,則A8中點(diǎn)M到工的距離最小;

如圖所示，記點(diǎn)4及M在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是,

Q|E4|+閥.明,

???由拋物線定義知：2|腦%|=|①|(zhì)+忸4|=|網(wǎng)+|冏,朋=m

???當(dāng)43過拋物線焦點(diǎn)時，點(diǎn)用到準(zhǔn)線距離取得最小值，最小值為IA同的一半，此時點(diǎn)M到X軸距離最小.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線的實際應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為拋物線焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)到工軸距

離最小問題的證明，通過拋物線的定義可證得結(jié)論.

18、（I）單調(diào)遞減區(qū)間為（2攵江+02憶萬+7-，&eZ；（II）oG（-oo,e-1].

【解析】（I）求函數(shù)/（"的導(dǎo)函數(shù)，求尸（x）V0的區(qū)間即為所求減區(qū)間;（II）化簡不等式,變形為4+1,

xx

X、/、/、/、

即求（幺P一工一\上+1篇，令〃（x）=J-x-1上+1,">0），求力（對的導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性求出最小值，可求

XXXX

出〃的范圍.

71

【詳解】（I）由題可知尸。）=excosjr-e*sinx=-\[lexsinx---

4J

7154

令/'(x)<0,得sinX-->0,從而2k/r+2Vx<2k;r+-^,k￡Z,

4J4444

.??/（力的單調(diào)遞減區(qū)間為（2版■+?,2Qr+充）

,ksZ.

(II)由f(K)>"(CCST-l)+-l)T+1可得々/一“2+不一],

即當(dāng).r>0時，a<-——X--+1恒成立.

XX

設(shè)/73=￡7—+1(?0),則如)

令0(x)=e'-工-1,則當(dāng)xe(O,+<x；)時，e'(x)=e'-IX).

?二當(dāng)xe(O,+x))時，8(x)單調(diào)遞增，0(X)>。(。)=0,

則當(dāng)XC(0,1)時,〃'(x)vo,單調(diào)遞減：

當(dāng)xw(l,+oo)時，〃(力>0,0(同單調(diào)遞增.

???〃"=〃⑴=6-1，

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在函數(shù)中，恒成立問題，可選擇參變分離的方法，分離出參數(shù)轉(zhuǎn)化為。&/?(.以“或。2人(行a，

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)〃(x)的最值求出。的范圍.

19、(1)(Y,何

(2)y=yf2x+2

【解析】(1)先求導(dǎo)數(shù)再求最值即可求解答案；

(2)由(1)確定切點(diǎn)，從而也確定的斜率就可以求切線.

【小問1詳解】

設(shè)網(wǎng)/，一4+五X。+2),因為f\x)=-3X2+X/2,

所以k=/'(%)=-3*+夜W夜，所以我的取值范圍為(-oo,V2]

【小問2詳解】

由(1)知院田=6,此時q二°，即P(0,2),所以此時曲線在點(diǎn)尸處的切線方程為y=0x+2

2

20、(1)—+y2=1；

4-

,,4

(2)存在，Y+),2=

J

【解析】⑴與Y+2y2=6焦點(diǎn)相同可求出c,將一石，2）代入方程結(jié)合。、b、c關(guān)系即可求。和力;

（2）直線A3斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為.v="+，〃,聯(lián)立A8方程與橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系；由。A_L04

得0404=0,結(jié)合韋達(dá)定理得A與川的關(guān)系：再由圓與直線相切，即可求其半徑：最后再驗證八3斜率不存在時的

情況即可.

【小問1詳解】

r2\,2

x2+2y2=6=>—+—=i,

63

3=3

3-

由題可知<r+條=1，解得點(diǎn)片=4,從=1,

a-b~

a2=b2+c2

所以橢圓的方程為三+），2=］；

4-

【小問2詳解】

設(shè)人不加）鞏七必），設(shè)A8:y=履+”,

2

代入?+）,2=],整理得（1+4攵2）』+8tov+4/H-4=0,

由。A_L08得玉勺+XM=。，即不巧+（左甘+，九）（412+=0，

\m\2

由韋達(dá)定理化簡得5M=4（公+1）,即樂三飛，

設(shè)存在圓/+y?=，與直線八氏）,=丘+相切,

\tn|2

則g"'解得‘飛’

、4,-4

所以圓的方程為r+y~=g,乂若AV_L/軸時，檢驗知滿足條件，故存在圓心在原點(diǎn)的圓x'+y~=M符合題意

2

21、（1）—+/=!；

21

（2）存在點(diǎn)M滿足條件，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,0）.

【解析】⑴根據(jù)給定條件直接計算出M即可求解作答.

⑵假定存在點(diǎn)”(八0),當(dāng)直線，與x軸不重合時，設(shè)出/的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立,

借助MA、也斜率互為相反數(shù)計算得解，再驗證直線/與x軸重合的情況即可作答.

【小問1詳解】

依題意，b=\,而離心率6=也，即/=9/1=_1,解得儲=2，

2a22

所以橢圓C的方程為：—+y2=l.

2-

【小問2詳解】

由⑴知，F(xiàn)(1,O),假定存在點(diǎn)MGO)滿足條件，當(dāng)直線與x軸不重合時，設(shè)/的方程為：x=my+\t

由。x=+m2y八+12消去“并整理得"、'2)八、2吁皿設(shè)42),"J,

則有K+V,二一一工，)”?，二一一二；，因NOMA=NOMB,則直線M4、WS斜率互為相反數(shù),

m~+2~nr+2

V.152

于是得:=°，整理得yt(my2+1-/)4-y2(myi+17)=0,即2my\y2+(i-t)(yi+%)=。，