2026屆河北省行唐縣第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．方程表示橢圓的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.2．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式解集是A. B.C. D.3．已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線與直線垂直相交于點(diǎn)，，則的值為（）A. B.C. D.4．直線在軸上的截距為（）A.3 B.C. D.5．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積，則（）A. B.C. D.6．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.取出的球至少有1個(gè)紅球；取出的球都是紅球B.取出的球恰有1個(gè)紅球；取出的球恰有1個(gè)白球C.取出的球至少有1個(gè)紅球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1個(gè)白球；取出的球恰有2個(gè)白球7．若命題為“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，8．七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.9．已知直線的斜率為1，直線的傾斜角比直線的傾斜角小15°，則直線的斜率為（）A.－1 B.C. D.110．在等腰中，在線段斜邊上任取一點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度大于的長(zhǎng)度的概率（）A. B.C. D.11．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“曲線表示圓”的概率為（）A. B.C. D.12．下列四個(gè)命題中，為真命題的是（）A.若a＞b，則ac2＞bc2B.若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣dC.若a＞|b|，則a2＞b2D.若a＞b，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)F（x）和G（x）對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱此直線y＝kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線”，已知函數(shù)f（x）＝x2（x∈R），g（x）（x＜0），h（x）＝2elnx，有下列命題：①F（x）＝f（x）﹣g（x）內(nèi)單調(diào)遞增；②f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且b的最小值為﹣4；③f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之間存在唯一的“隔離直線”y＝2x﹣e其中真命題為_____（請(qǐng)?zhí)钏姓_命題的序號(hào)）14．我國(guó)古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì)．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________15．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最大值為_________16．設(shè)橢圓，點(diǎn)在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）二項(xiàng)式展開式中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的4倍.求：（1）；（2）展開式中的所有的有理項(xiàng).18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).（1）求的值；（2）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，試求的最小值.19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，以F和準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，過(guò)的直線交拋物線E于A，B兩點(diǎn)（1）求拋物線E的方程；（2）是否存在常數(shù)，使得，如果存在，求的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）證明：內(nèi)切圓的面積小于20．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.21．（12分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離.22．（10分）等差數(shù)列的公差d不為0，滿足成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列與通項(xiàng)公式：（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由“方程表示橢圓”可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或.故方程表示橢圓的充分不必要條件可以是.故選：D.2、B【解析】設(shè)．由，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減．由為奇函數(shù)，所以．不等式等價(jià)于，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，從而不等式的解集為，故答案為B.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【方法點(diǎn)晴】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)的思想，閱讀分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．常見的構(gòu)造思想是使含有導(dǎo)數(shù)的不等式一邊變?yōu)椋吹?，?dāng)是形如時(shí)構(gòu)造；當(dāng)是時(shí)構(gòu)造，在本題中令，（），從而求導(dǎo)，從而可判斷單調(diào)遞減，從而可得到不等式的解集3、D【解析】由題，由于過(guò)拋物線上一點(diǎn)的直線與直線垂直相交于點(diǎn)，可得，又，故，所以的坐標(biāo)為，由余弦定理可得.故選：D.考點(diǎn)：拋物線的定義、余弦定理【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題4、A【解析】把直線方程由一般式化成斜截式，即可得到直線在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線在軸上的截距為3.故選：A5、A【解析】利用三角形面積公式、二倍角正弦公式有，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)及余弦定理化簡(jiǎn)求即可.【詳解】由，∴，在中，，∴，解得.故選：A.6、D【解析】利用互斥事件、對(duì)立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】A答案中的兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件B答案中的兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件C答案中的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生，既是互斥事件又是對(duì)立事件D答案中的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，也可以都不發(fā)生，故是互斥而不對(duì)立事件故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是互斥事件和對(duì)立事件的概念，較簡(jiǎn)單.7、B【解析】特稱命題的否定是全稱命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【詳解】“，”的否命題為“，”，故選：B8、A【解析】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，則大陰影等腰三角形底邊長(zhǎng)為4，底邊上的高為2，可得小正方形對(duì)角線長(zhǎng)為2，小正方形邊長(zhǎng)為，小陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為，小白色等腰直角三角形底邊長(zhǎng)為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為.故選：A9、C【解析】根據(jù)直線的斜率求出其傾斜角可求得答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)橹本€的傾斜角比直線的傾斜角小15°，所以直線的傾斜角為，則直線的斜率為.故選：C10、C【解析】利用幾何概型的長(zhǎng)度比值，即可計(jì)算.【詳解】設(shè)直角邊長(zhǎng)，斜邊，則線段的長(zhǎng)度大于的長(zhǎng)度的概率.故選：C11、D【解析】先求出曲線表示圓參數(shù)的范圍，再由幾何概率可得答案.【詳解】由可得曲線表示圓，則解得或又所以曲線表示圓的概率為故選：D12、C【解析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值法依次判斷即可【詳解】當(dāng)c＝0時(shí)，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1時(shí)，，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正確故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②④【解析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的導(dǎo)數(shù)，檢驗(yàn)在x∈（，0）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，即可判斷；②、③設(shè)f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，x2≥kx+b對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，即有△1≤0，又kx+b對(duì)一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出k，b的范圍，即可判斷②③；④存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2，∴x∈（，0），F(xiàn)′（x）＝2x0，∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（，0）內(nèi)單調(diào)遞增，故①對(duì)；②、③設(shè)f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，則x2≥kx+b對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，又kx+b對(duì)一切x＜0成立，則kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k?﹣4≤k≤0，同理?﹣4≤b≤0，故②對(duì)，③錯(cuò)；④函數(shù)f（x）和h（x）的圖象在x處有公共點(diǎn)，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y﹣e＝k（x），即y＝kx﹣ke，由f（x）≥kx﹣ke（x∈R），可得x2﹣kx+ke≥0當(dāng)x∈R恒成立，則△≤0，只有k＝2，此時(shí)直線方程為：y＝2x﹣e，下面證明h（x）≤2x﹣e，令G（x）＝2x﹣e﹣h（x）＝2x﹣e﹣2elnx，G′（x），當(dāng)x時(shí)，G′（x）＝0，當(dāng)0＜x時(shí)，G′（x）＜0，當(dāng)x時(shí)，G′（x）＞0，則當(dāng)x時(shí)，G（x）取到極小值，極小值是0，也是最小值所以G（x）＝2x﹣e﹣g（x）≥0，則g（x）≤2x﹣e，當(dāng)x＞0時(shí)恒成立∴函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y＝2x﹣e，故④正確故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查新定義，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，考查函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于難題.14、405【解析】前9圈的石板數(shù)依次組成一個(gè)首項(xiàng)為9，公差為9的等差數(shù)列，15、##【解析】設(shè)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求出【詳解】由于，設(shè)，所以點(diǎn)既在直線上，又在圓上，即直線與圓有交點(diǎn)，所以，，即故答案為：16、【解析】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，代入橢圓方程中整理化簡(jiǎn)，令判別式等于零，可求出的值，從而可求得切線方程【詳解】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，將代入中得，，化簡(jiǎn)整理得，令，化簡(jiǎn)整理得，即，解得，所以切線方程為，即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）6；（2），，【解析】（1）先得到二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，再根據(jù)第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的4倍，建立方程求解.（2）根據(jù)（1）的通項(xiàng)公式求解.【詳解】（1）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).依題意得，，所以，解得.（2）由（1）得，當(dāng)，3，6時(shí)為有理項(xiàng)，故有理有，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）（2）證明見解析，（3,0）（3）【解析】（1）求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值；（2）首先設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得到，坐標(biāo)，令，可得直線過(guò)點(diǎn)，再證明當(dāng)，，，三點(diǎn)共線即可；（3）設(shè)出的直線方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理找出根的關(guān)系，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出最小值即可.【小問(wèn)1詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由于拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，故，即，；小問(wèn)2詳解】由（1）知，拋物線的方程為，設(shè)，，，，由題意，直線的斜率存在且設(shè)直線的方程為，代入可得，則，故，故的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由，設(shè)直線的方程為，代入可得，則，故，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，令得，此時(shí)，故直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以，，，三點(diǎn)共線，所以直線過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)3詳解】設(shè)，由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入可得，則，，，故，當(dāng)即直線垂直軸時(shí)，取得最小值.19、（1）；（2）存在，1；（3）證明見解析.【解析】(1)根據(jù)幾何關(guān)系即可求p；(2)求解為定值1，即可求λ＝1；(3)先求的面積，再由(為三角周長(zhǎng))可求內(nèi)切圓半徑r.【小問(wèn)1詳解】由題意焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于該正三角形一條邊上的高線，因此，∴拋物線E的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的斜率為，直線方程為，記，，消去，得由，得且，，，，因此，即存在實(shí)數(shù)滿足要求【小問(wèn)3詳解】由(2)知，，點(diǎn)F到直線AB的距離，∴的面積記的內(nèi)切圓半徑為r，∵，∴∴內(nèi)切圓的面積小于20、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準(zhǔn)線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理求解直線的斜率關(guān)系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設(shè)，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號(hào)，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程21、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）易得，再由勾股定理逆定理證明，即可得線面垂直；（2）根據(jù)（1）得，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系，利用等體積法求解即可.【詳解】