浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)鎮(zhèn)海中學(xué)2026屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，若弦的長為，則（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩個不同的點(diǎn)，若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為（）A．5 B．3 C． D．23．已知，，是平面內(nèi)三個單位向量，若，則的最小值（）A． B． C． D．54．已知雙曲線：的左、右兩個焦點(diǎn)分別為，，若存在點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．55．復(fù)數(shù)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知實(shí)數(shù)滿足線性約束條件，則的取值范圍為（）A．(-2,-1］ B．(-1,4］ C．[-2,4) D．[0,4]7．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計劃去三個不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動，每人只能去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū)，乙不去社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．8 B．7 C．6 D．58．已知是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于兩點(diǎn)，若，則的內(nèi)切圓半徑為（）A． B． C． D．9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個面中，最大面的面積為（）A．2 B．5 C． D．10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則,，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．11．近年來，隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代，各種方便的相繼出世，其功能也是五花八門.某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用的主要用途，隨機(jī)抽取了名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，各主要用途與對應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計如圖所示，現(xiàn)有如下說法：①可以估計使用主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù)；②可以估計不足的大學(xué)生使用主要玩游戲；③可以估計使用主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的.其中正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．12．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若對于任意正實(shí)數(shù)，均存在以為三邊邊長的三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______.14．設(shè)函數(shù)，，其中．若存在唯一的整數(shù)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．15．給出下列等式：，，，…請從中歸納出第個等式：______.16．已知x，y＞0，且，則x+y的最小值為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線方程（2）設(shè)函數(shù)，對于任意，恒成立，求的取值范圍.18．（12分）某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分?jǐn)?shù)（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）：若分?jǐn)?shù)不低于95分，則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.（1）從這20人中任取3人，求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率；（2）根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計所有員工的平均分?jǐn)?shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；②若從所有員工中任選3人，記表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，.（1）求數(shù)列{an}的通項an；（2）設(shè)bn＝an?3n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.20．（12分）如圖，四棱錐的底面ABCD是正方形，為等邊三角形，M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)，且平面平面ABCD.（1）證明：平面PNB；（2）問棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使平面DEM，求的值21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccosC+ac2cosA．（1）求角B的大??；（2）若△ABC外接圓的半徑為，求△ABC面積的最大值.22．（10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，試求曲線在點(diǎn)處的切線；（2）試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先根據(jù)弦長求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，，即，所以直線的方程為.當(dāng)直線的方程為，聯(lián)立，解得和，所以；同理，當(dāng)直線的方程為.，綜上，或.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點(diǎn)的距離時，一般考慮拋物線的定義.2、D【解析】

由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),即為中點(diǎn)到軸的距離.【詳解】解：由拋物線方程可知，，即，.設(shè)則，即，所以.所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.3、A【解析】

由于，且為單位向量，所以可令，，再設(shè)出單位向量的坐標(biāo)，再將坐標(biāo)代入中，利用兩點(diǎn)間的距離的幾何意義可求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，，，則，從而，等號可取到．故選：A【點(diǎn)睛】此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運(yùn)算，利用整體代換，再結(jié)合距離公式求解，屬于難題．4、B【解析】

利用雙曲線的定義和條件中的比例關(guān)系可求.【詳解】.選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，離心率求解時，一般是把已知條件，轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式.5、C【解析】所對應(yīng)的點(diǎn)為（-1，-2）位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡單題.6、B【解析】

作出可行域，表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率，觀察可行域可得最小值．【詳解】作出可行域，如圖陰影部分（含邊界），表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率，，，過與直線平行的直線斜率為－1，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查簡單的非線性規(guī)劃．解題關(guān)鍵是理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題表示動點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率，由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論．7、B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為：A（甲，乙）B（丙）C（?。籄（甲，乙）B（?。〤（丙）；A（甲，丙）B（?。〤（乙）；A（甲，?。〣（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，?。〤（乙）；A（甲）B（?。〤（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7種，選B.8、B【解析】

首先由求得雙曲線的方程，進(jìn)而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長為,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.9、D【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，將其放在一個長方體中，并記為三棱錐.，，，故最大面的面積為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識別，復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時，一般借助長方體來實(shí)現(xiàn).10、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得，再比較的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項.【詳解】依題意得，，當(dāng)時，，因為，所以在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，即，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、冪、指、對的大小比較，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.11、C【解析】

根據(jù)利用主要聽音樂的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷①的正誤；計算使用主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例，可判斷②的正誤；計算使用主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例，可判斷③的正誤.綜合得出結(jié)論.【詳解】使用主要聽音樂的人數(shù)為，使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為，所以①正確；使用主要玩游戲的人數(shù)為，而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為，，故超過的大學(xué)生使用主要玩游戲，所以②錯誤；使用主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為，因為，所以③正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計中相關(guān)命題真假的判斷，計算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑即可.【詳解】由，，可知平面．將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同．由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得．又，故在中，，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知對任意的恒成立,將的解析式用分離常數(shù)法變形,由均值不等式可得分母的取值范圍,則整個式子的取值范圍由的符號決定,故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域,再討論,轉(zhuǎn)化為的最小值與的最大值的不等式,進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】因為對任意正實(shí)數(shù),都存在以為三邊長的三角形,故對任意的恒成立,,令,則,當(dāng),即時,該函數(shù)在上單調(diào)遞減,則；當(dāng),即時,,當(dāng),即時,該函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,所以,當(dāng)時,因為,,所以,解得；當(dāng)時,,滿足條件；當(dāng)時,,且,所以,解得,綜上,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)范圍,考查三角形的構(gòu)成條件,考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域,考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想.14、【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像,再根據(jù)存在唯一的整數(shù)使得數(shù)形結(jié)合列出臨界條件滿足的關(guān)系式求解即可.【詳解】解：函數(shù),且畫出的圖象如下：因為,且存在唯一的整數(shù)使得,故與在時無交點(diǎn),,得；又,過定點(diǎn)又由圖像可知,若存在唯一的整數(shù)使得時,所以,存在唯一的整數(shù)使得所以.根據(jù)圖像可知,當(dāng)時,恒成立.綜上所述,存在唯一的整數(shù)使得,此時故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意分別分析定點(diǎn)右邊的整數(shù)點(diǎn)中為滿足條件的唯一整數(shù),再數(shù)形結(jié)合列出時的不等式求的范圍.屬于難題.15、【解析】

通過已知的三個等式，找出規(guī)律，歸納出第個等式即可．【詳解】解：因為：，，，等式的右邊系數(shù)是2，且角是等比數(shù)列，公比為，則角滿足：第個等式中的角，所以；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，注意已知表達(dá)式的特征是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．16、1【解析】

處理變形x+y＝x（）+y結(jié)合均值不等式求解最值.【詳解】x，y＞0，且，則x+y＝x（）+y1，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時x＝4，y＝2，取得最小值1．故答案為：1【點(diǎn)睛】此題考查利用均值不等式求解最值，關(guān)鍵在于熟練掌握均值不等式的適用條件，注意考慮等號成立的條件.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）求出，即可求出切線的點(diǎn)斜式方程，整理即可；（2）的取值范圍滿足，，求出，當(dāng)時求出，的解，得到單調(diào)區(qū)間，極小值最小值即可.【詳解】（1）由于，此時切點(diǎn)坐標(biāo)為所以切線方程為.（2）由已知，故.由于，故，設(shè)由于在單調(diào)遞增同時時，，時，，故存在使得且當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，取得極小值，也是最小值，故由于，所以，.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式恒成立問題，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）①82，②分布列見解析，【解析】

（1）從20人中任取3人共有種結(jié)果，恰有1人成績“優(yōu)秀”共有種結(jié)果，利用古典概型的概率計算公式計算即可；（2）①平均數(shù)的估計值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和；②要注意服從的是二項分布，不是超幾何分布，利用二項分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)從20人中任取3人恰有1人成績“優(yōu)秀”為事件，則，所以，恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.（2）組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①，估計所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3，隨機(jī)選取1人是“優(yōu)秀”的概率為，∴；；；；∴的分布列為0123∵，∴數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計算以及二項分布期望的問題，涉及到頻率分布直方圖、平均數(shù)的估計值等知識，是一道容易題.19、（1）.（2）【解析】

（1）先設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0），然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及已知條件可列出關(guān)于d的方程，解出d的值，即可得到數(shù)列{an}的通項an；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計算出數(shù)列{bn}的通項公式，然后運(yùn)用錯位相減法計算前n項和Tn.【詳解】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0），則a4a5＝（1+3d）（1+4d）＝11，整理，得12d2+7d﹣10＝0，解得d（舍去），或d，∴an＝1（n﹣1），n∈N*.（2）由（1）知，bn＝an?3n?3n＝（2n+1）?3n﹣1，∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝3×1+5×31+7×32+…+（2n+1）?3n﹣1，∴3Tn＝3×31+5×32+…+（2n﹣1）?3n﹣1+（2n+1）?3n，兩式相減，可得：﹣2Tn＝3×1+2×31+2×32+…+2?3n﹣1﹣（2n+1）?3n＝3+2×（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）?3n＝3+2（2n+1）?3n＝﹣2n?3n，∴Tn＝n?3n.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列基本量的計算，以及運(yùn)用錯位相減法計算前n項和.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，方程思想，錯位相減法的運(yùn)用，以及邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.屬于中檔題.20、（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】

（1）根據(jù)題意證出，，再由線面垂直的判定定理即可證出.（2）連接AC交DM于點(diǎn)Q，連接EQ，利用線面平行的性質(zhì)定理可得，從而可得，在正方形ABCD中，由即可求解.【詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴，，.∴.∴.又，∴，∴.∵為等邊三角形，N是AD的中點(diǎn)，∴.又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴平面ABCD.又平面ABCD，∴.∵平面PNB，，∴平面PNB.（2）解：存在.如圖，連接AC交DM于點(diǎn)Q，連接EQ.∵平面DEM，平面PAC，平面平面，∴.∴.在正方形ABCD中，，且.∴，∴.故.所以棱PA上存在點(diǎn)E，使平面DEM，此時，E是棱A的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理，考查了學(xué)生的推理能力以及空間想象能力，屬于空間幾何中的基礎(chǔ)題.21、（1）B（2）