《任意角》精品教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：了解任意角和象限角的概念，會(huì)判斷一個(gè)任意角是第幾象限角；了解角的概念的推廣的必要性，認(rèn)識(shí)終邊相同角的代數(shù)特征，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)；在角的概念的推廣過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：任意角，象限角，終邊相同的角的概念.教學(xué)難點(diǎn)：用符號(hào)代表方向的意義.教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)1分鐘創(chuàng)設(shè)情境，引出問(wèn)題引導(dǎo)語(yǔ)：我們知道，現(xiàn)實(shí)世界中存在著各種各樣的“周而復(fù)始”變化現(xiàn)象，圓周運(yùn)動(dòng)是這類現(xiàn)象的代表.問(wèn)題：⊙O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较虻男D(zhuǎn)．如何刻畫點(diǎn)P的位置變化呢？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，教師通過(guò)PPT讓學(xué)生清楚：圓周上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以通過(guò)角的變化進(jìn)行刻畫.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體問(wèn)題引出本節(jié)課的研究主題——角.2分鐘分析實(shí)例，歸納特征問(wèn)題：你還記得初中是怎么定義角的嗎？師生活動(dòng)：一起回顧初中角的概念.預(yù)設(shè)答案：有公共頂點(diǎn)的兩條射線組成的圖形.設(shè)計(jì)意圖：這里要讓學(xué)生先回顧初中學(xué)習(xí)角的定義，是靜態(tài)的圖形，就因?yàn)殪o所以限制了交的范圍，所以高中的定義中特別突出了動(dòng)態(tài)-旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：我們以前所學(xué)角都在0°~360°的范圍內(nèi)，生活中有超出0師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，并回答問(wèn)題.預(yù)設(shè)答案：體操中“前空翻轉(zhuǎn)體540度”“后空翻轉(zhuǎn)體720度”；互相咬合的齒輪.追問(wèn)：這些角的不同，體現(xiàn)在哪幾個(gè)方面？師生活動(dòng)：可以通過(guò)學(xué)生簡(jiǎn)單的討論，發(fā)現(xiàn)角的不同體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是大?。欢欠较?設(shè)計(jì)意圖：一方面加強(qiáng)數(shù)學(xué)與我們現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，說(shuō)明學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的；另一方面，學(xué)生在用語(yǔ)言描述這些超出0°~360°追問(wèn)：以上問(wèn)題中對(duì)角的描述的共性是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生共同回答出角的大小及旋轉(zhuǎn)方向.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這個(gè)具體的例子進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)：要想說(shuō)清楚一個(gè)角，包括兩個(gè)方面：一是旋轉(zhuǎn)方向；二是旋轉(zhuǎn)量.1分鐘通過(guò)閱讀，獲得概念問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們先閱讀課本第168頁(yè)最后一段至第169頁(yè)最后一段，再回答下列問(wèn)題：根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向的不同，角可以分為哪幾類？分別是什么？這種定義方法和分類辦法是與之前的哪個(gè)知識(shí)進(jìn)行類比的？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立閱讀課文，再舉手回答上述問(wèn)題.預(yù)設(shè)答案：一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)零角，因此，角可以分為正角、負(fù)角、零角.這種定義方法和分類辦法都是與實(shí)數(shù)進(jìn)行類比的.設(shè)計(jì)意圖：明確了通過(guò)推廣以后角的定義，知道了角是“轉(zhuǎn)”出來(lái)的，關(guān)鍵是對(duì)旋轉(zhuǎn)方向的量化可以通過(guò)類比實(shí)數(shù)，用符號(hào)表示方向.3分鐘初步應(yīng)用，理解定義練習(xí)：你能讀出下圖中的各個(gè)角度嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生作答，教師點(diǎn)評(píng).設(shè)計(jì)意圖：熟悉正角、負(fù)角的定義，理解“符號(hào)”與“方向”之間的關(guān)系，從形到數(shù)的認(rèn)識(shí).追問(wèn)：兩個(gè)角有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：可叫學(xué)生個(gè)別回答問(wèn)題.預(yù)設(shè)答案：它們有大小關(guān)系和相等關(guān)系；追問(wèn)：兩個(gè)角能相等嗎？師生活動(dòng)：可叫學(xué)生個(gè)別回答問(wèn)題.預(yù)設(shè)答案：如果一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向與另一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向都一樣，我們就稱這兩個(gè)角相等.追問(wèn)：兩個(gè)角也能像兩個(gè)實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加減運(yùn)算嗎？師生活動(dòng)：引入角的加法的概念：設(shè)α，β是任意兩個(gè)角．我們規(guī)定，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α+β．追問(wèn)：兩個(gè)角能進(jìn)行減法運(yùn)算嗎？師生活動(dòng)：引入相反角的概念：類似于實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是?a，我們引入任意角α的相反角的概念．我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．進(jìn)而引入角的減法的概念：像實(shí)數(shù)減法的“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有?????=??+(???設(shè)計(jì)意圖：定義了一個(gè)具有數(shù)量特征的數(shù)學(xué)概念之后，緊接著需要研究的就是兩個(gè)這種數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系以及運(yùn)算問(wèn)題.類比實(shí)數(shù)，得到相反角的定義及兩個(gè)任意角之間的減法運(yùn)算.7分鐘研究分類，精致概念問(wèn)題：在直角坐標(biāo)系中研究角，其頂點(diǎn)和始邊的位置是如何規(guī)定的？根據(jù)其終邊位置的不同，又可以把角分為哪幾類？在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角有什么好處呢？師生活動(dòng)：學(xué)生互相交流后，再回答.預(yù)設(shè)答案：為了方便，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合；根據(jù)角終邊所在象限，將角又可以分為第一、二、三、四象限角以及軸線角；在直角坐標(biāo)系中討論角可以很好地表現(xiàn)角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確在直角坐標(biāo)系中討論角需要有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn).在這個(gè)統(tǒng)一前提下，才能對(duì)象限角進(jìn)行定義.另外，終邊落在坐標(biāo)軸上是一種“邊界”狀態(tài)，因此規(guī)定它不屬于任何一個(gè)象限更方便.這樣討論角的好處就是：在同一“參照系”下，可以使角的討論得到簡(jiǎn)化，由此還能使角的終邊位置“周而復(fù)始”現(xiàn)象得到有效表示.練習(xí)：銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？再分別就直角、鈍角來(lái)回答這兩個(gè)問(wèn)題．三角形的內(nèi)角涵蓋了哪幾個(gè)象限呢？師生活動(dòng)：由學(xué)生逐題給出答案.預(yù)設(shè)答案：銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；直角是終邊落在y軸正半軸上的角，終邊落在y軸正半軸上的角不一定是直角；鈍角是第二象限角，第二象限角不一定是鈍角.三角形的內(nèi)角取值范圍可以用區(qū)間角表示，即0°,180°，它從x軸的正半軸逆時(shí)間旋轉(zhuǎn)到x軸的負(fù)半軸，經(jīng)歷了第一象限，y設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)象限角的理解情況.問(wèn)題：那如果角的終邊沒(méi)有落在四個(gè)象限里，你會(huì)表示這些角嗎？比如你會(huì)表示終邊落在x軸的負(fù)半軸上的所有的角的集合嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生觀察并思考后，再舉手回答.共同尋找終邊落在x軸的負(fù)半軸上角的共同特征：我們的第一反應(yīng)應(yīng)該是180°，但如果是順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)的話也可以是?180°，這兩個(gè)角相差360°，如果180°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)周角即360°的話，這個(gè)角還可以是180°+360°=540°，繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)周角的話，這個(gè)角又變成了180°+2×360°=900°，推而廣之，我們只要在180°上加上k個(gè)（k∈Z）S=ββ=180°+k?360°,k∈Z進(jìn)而再推廣到一般情形，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．問(wèn)題：終邊落在x軸上的所有的角的集合又怎么表示？師生活動(dòng)：將x軸正半軸上所有角的集合與x軸負(fù)半軸上所有角的集合取并集即可；也可以理解成找到一個(gè)x軸正半軸上角的代表，比如0°，使其逆時(shí)針（或順時(shí)針）旋轉(zhuǎn)一個(gè)平角即180°就可以到達(dá)x軸負(fù)半軸，如果繼續(xù)使其逆時(shí)針（或順時(shí)針）旋轉(zhuǎn)一個(gè)平角即180°就可以回到x軸正半軸，繼續(xù)做下去，角的終邊就會(huì)在x軸負(fù)半軸和正半軸上循環(huán)往復(fù)的出現(xiàn)，就涵蓋了所有的終邊落在x軸上的所有角，其集合表示形式是：S=ββ=0°+k?180°,k∈Z，同理終邊落在y軸上的所有角的集合是S=ββ=90°+k?180°,k∈Z；如果要表示終邊落在坐標(biāo)軸上的所有角，我們只需找到一個(gè)角的代表，比如0°，使其不斷地旋轉(zhuǎn)比如設(shè)計(jì)意圖：對(duì)象限角概念進(jìn)行必要的補(bǔ)充，使得終邊落到任何位置都能表示.應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用集合表示終邊相同的角時(shí)，表示方式不唯一，要注意采用簡(jiǎn)約的形式.另外，分析終邊與y軸的正半軸、負(fù)半軸分別重合的兩個(gè)角的集合的聯(lián)系，可以簡(jiǎn)化集合的表示，實(shí)質(zhì)是“終邊組成一條直線”的代數(shù)解釋：“兩個(gè)集合中的元素相差180°的整數(shù)倍.”問(wèn)題：有了終邊落在坐標(biāo)軸上角的表示方法，你能表示出第二象限角嗎？師生活動(dòng)：寫出第二象限角的集合表示方法.S=β5分鐘初步應(yīng)用，理解關(guān)系例1在0°~360°范圍內(nèi)，找出與?95追問(wèn)：與?950°師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，再回答.預(yù)設(shè)答案：相差360°的整數(shù)倍；與?950°12'角終邊相同的角可以寫成ββ=?95設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)題目有兩種處理策略讓學(xué)生都可以嘗試，一種幾何法，把角畫出來(lái)之后再出去轉(zhuǎn)圈，或者先寫出終邊相同角集合，再讓k分別取值，后者雖然是一般方法，但前者可以讓學(xué)生體會(huì)到終邊相同角處理的意義所在，一類角可以用一個(gè)角來(lái)替代研究.例2寫出終邊在直線y=x軸的非負(fù)半軸上的角的集合S.S中適合不等式?360°≤β＜720°的元素β有哪些？追問(wèn)：在求出角之前，你能判斷滿足條件角的個(gè)數(shù)嗎？判斷的根據(jù)是什么？師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立完成后，讓學(xué)生代表進(jìn)行展示.預(yù)設(shè)答案：六個(gè)；所求角的范圍包含了三周；S=ββ=45°+n?180°,n∈Z；?315°，?135°，45°，225°，405°設(shè)計(jì)意圖：此題主要是鞏固終邊相同的角的表示.為了使學(xué)生順利完成相應(yīng)的集合運(yùn)算，可以先讓學(xué)生用日常語(yǔ)言描述一下集合的特征.1分鐘梳理小結(jié)問(wèn)題:通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能說(shuō)出本節(jié)課關(guān)于角的概念出現(xiàn)了幾個(gè)定義？分別是怎樣規(guī)定的？你能從數(shù)與形兩個(gè)角度進(jìn)行描述嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生自主總結(jié)，展示交流.預(yù)設(shè)答案：角的概念主要是任意角、象限角、終邊相同的角，規(guī)定：一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)零角.在直角坐標(biāo)系中，將角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊落在第幾象限就稱角為第幾象限角.所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S=ββ=α+k?360°,k∈Z，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生梳理基本知識(shí)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.(2021山西太原高一期末)475°角的終邊所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析因?yàn)?75°=360°+115°,又因?yàn)?15°是第二象限角,而475°與115°終邊相同,故475°角的終邊所在的象限是第二象限.故選B.2.若θ是第四象限角,則90°+θ是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案A解析如圖,將θ的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得90°+θ的終邊,則90°+θ是第一象限角.3.(2021廣東潮州高一期末)下列角中終邊與340°相同的角是()A.20° B.-20° C.620° D.-40°答案B解析與340°角終邊相同的角的集合為{x|x=340°+k·360°,k∈Z},當(dāng)k=-1時(shí),可得x=-20°.故選B.4.如圖,終邊在陰影部分(含邊界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}答案C解析如題圖,終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故選C.5.已知角α,β的終邊關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱,且α=-60°,則β=.

答案-30°+k·360°,k∈Z解析在-90°到0°的范圍內(nèi),-60°角的終邊關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的射線的對(duì)應(yīng)角為-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.6.與-2020°角終邊相同的最小正角是;最大負(fù)角是.

答案140°-220°解析因?yàn)?2020°=-6×360°+140°,140°-360°=-220°,所以最小正角為140°,最大負(fù)角為-220°.7.已知角α的終邊在圖中陰影部分所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界),寫出角α的集合.解在0°~360°范圍內(nèi),終邊落在陰影部分內(nèi)的角為30°<α<150°與210°<α<330°,故所有滿足題意的角α的集合為{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.等級(jí)考提升練8.(2021北京西城高一期末)下列各角中,與27°角終邊相同的是()A.63° B.153° C.207° D.387°答案D解析與27°角終邊相同的角的集合為{α|α=27°+k·360°,k∈Z},取k=1,可得α=387°.故與27°角終邊相同的是387°.故選D.9.射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到達(dá)OB位置,由OB位置繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到達(dá)OC位置,得∠AOC=-150°,則射線OB旋轉(zhuǎn)的方向與角度分別為()A.逆時(shí)針,270° B.順時(shí)針,270°C.逆時(shí)針,30° D.順時(shí)針,30°答案B解析由題意可知,∠AOB=120°,設(shè)∠BOC=θ,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+θ=-150°,解得θ=-270°,故需要射線OB繞端點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°.10.已知集合M=xx=k·180°2±45°,k∈Z,A.M=P B.M?PC.M?P D.M∩P=?答案B解析對(duì)于集合M,x=k·180°2±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z,對(duì)于集合P,x=k·180°4±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k11.(多選題)(2020海南臨高高一期末)已知A={第一象限角},B={銳角},C={小于90°的角},那么A,B,C的關(guān)系是()A.B=A∩C B.B∪C=CC.B∩A=B D.A=B=C答案BC解析對(duì)A,A∩C除了銳角,還包括其他角,比如-330°角,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)B,銳角是小于90°的角,故B選項(xiàng)正確.對(duì)C,銳角是第一象限角,故C選項(xiàng)正確.對(duì)D,A,B,C中角的范圍不一樣,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.12.(多選題)已知角2α的終邊在x軸的上方,那么角α可能是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案AC解析因?yàn)榻?α的終邊在x軸的上方,所以k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Z,則有k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z.故當(dāng)k=2n,n∈Z時(shí),n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α為第一象限角;當(dāng)k=2n+1,n∈Z時(shí),n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈Z,α為第三象限角.故選AC.13.終邊落在直線y=-33x上的角的集合是.答案{β|β=150°+k·180°,k∈Z}解析在0°~360°范圍內(nèi),終邊落在直線y=-33x上的角有兩個(gè),即150°角與330°角(如圖),又所有與150°角終邊相同的角構(gòu)成的集合S1={β|β=150°+k·360°,k∈Z},所有與330°角終邊相同的角構(gòu)成的集合S2={β|β=330°+k·360°,k∈Z},于是,終邊落在直線y=-33x上的角的集合S=S1∪S2={β|β=150°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=330°+k·360°,k∈Z}={β|β=150