《網(wǎng)絡(luò)定理》4－l線性和疊加定理

線性網(wǎng)絡(luò)：由獨(dú)立電源和線性元件組成。具有線性性質(zhì):1.齊次性：?jiǎn)蝹€(gè)激勵(lì)(獨(dú)立源)作用時(shí)，響應(yīng)與激勵(lì)成正比。2.可加性：多個(gè)激勵(lì)同時(shí)作用時(shí)，總響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用(其余激勵(lì)置零)時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)分量的代數(shù)和。v(t)=Ri(t)VCR直線

v=0.6i1-14v2可控源一次冪電路響應(yīng)與激勵(lì)之間的這種線性關(guān)系稱為疊加性，它是線性電路的一種基本性質(zhì)。有激勵(lì)、、……，則響應(yīng)r(t)

為：圖(a)電路的回路方程：

得R1上電流

i1其中由兩項(xiàng)相加而成。由兩個(gè)獨(dú)立電源共同產(chǎn)生的響應(yīng)，等于每個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用所產(chǎn)生響應(yīng)之和。

疊加定理

由全部獨(dú)立電源在線性電阻電路中產(chǎn)生的任一響應(yīng)(電壓或電流)，等于每一個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用所產(chǎn)生的相應(yīng)響應(yīng)(電壓或電流)的代數(shù)和。注意：1.適用于線性網(wǎng)絡(luò)。非線性網(wǎng)絡(luò)不適用。2.某一激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)，其他激勵(lì)置零，即獨(dú)立電壓源短路，獨(dú)立電流源開路；電路其余結(jié)構(gòu)都不改變。3.任一激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)，該電源的內(nèi)阻、受控源均應(yīng)保留。6.只適用于電壓和電流，不能用于功率和能量的計(jì)算，它們是電壓或電流的二次函數(shù)。4.受控源不能單獨(dú)作用。5.疊加的結(jié)果為代數(shù)和，注意電壓或電流的參考方向。當(dāng)is單獨(dú)作用時(shí)，us因置零而被短路，如圖(c)，可得響應(yīng)分量

i

’’=3A

根據(jù)疊加定理，可得us和is共同作用下的響應(yīng)為

i=i’+i’’=1+3=4A在具有唯一解的任意集總參數(shù)網(wǎng)絡(luò)中，若某條支路k與網(wǎng)絡(luò)中的其他支路無(wú)耦合，如果已知該支路的支路電壓（支路電流），則該支路可以用一個(gè)電壓為的獨(dú)立電壓源（電流為的獨(dú)立電流源）替代，替代前后電路中各支路電壓和電流保持不變。4－2替代定理注意：1.適用于任意集總參數(shù)網(wǎng)絡(luò)（線性的、非線性的，時(shí)不變的、時(shí)變的）3.“替代”與“等效變換”是不同的概念?！疤娲笔翘囟l件下支路電壓或電流已知時(shí)，用相應(yīng)元件替代支路。等效變換是兩個(gè)具有相同端口伏安特性的電路間的相互轉(zhuǎn)換，與變換以外電路無(wú)關(guān)。2.所替代的支路與其它支路無(wú)耦合4.已知支路可推廣為已知二端網(wǎng)絡(luò)（有源、無(wú)源）。大網(wǎng)絡(luò)成小網(wǎng)絡(luò)N1N1N2N2+-u+-u+-uN1N1N2N2iii解：22’端開路時(shí)，11’端的輸入電阻為5Ω，因此右圖中流過(guò)實(shí)際電壓源支路的電流i'為

i'=1A實(shí)際電壓源支路用1A的電流源替代，u'不變，替代后的電路與左圖相同，故

u'=u=1V1A11’22’+u-No5Ω11’22’+u’-No+10V-i'在圖(b)電路中,應(yīng)用疊加定理：

Ux1

I0.5

0.5

0.5

－＋(b)電流源I單獨(dú)作用Ux’1

I0.5

0.5

0.5

－＋得Ux’1

I0.5

0.5

0.5

－＋電流源單獨(dú)作用Ux”1

0.5

0.5

0.5

－＋得4－3戴維南定理和諾頓定理

任一線性有源二端網(wǎng)絡(luò)N，就其兩個(gè)輸出端而言總可與一個(gè)獨(dú)立電壓源和線性電阻串聯(lián)的電路等效，其中獨(dú)立電壓源的電壓等于該二端網(wǎng)絡(luò)N輸出端的開路電壓，電阻Ro等于N內(nèi)所有獨(dú)立源置零時(shí)從輸出端看入的等效電阻。4-3-1戴維南定理

端口電壓電流關(guān)聯(lián)證明如下:。端口支路用電流源i

替代,如圖(a)，根據(jù)疊加定理，電流源單獨(dú)作用產(chǎn)生u’=Roi[圖(b)]，網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部全部獨(dú)立電源共同作用產(chǎn)生u”=uoc[圖(c)]。由此得到求R0小結(jié)：1.串、并聯(lián)法2.加壓求流法，或加流求壓法。3.開短路法。4兩點(diǎn)法。ui4-3-2諾頓定理

任一線性有源網(wǎng)絡(luò)N，就端口而言，可以等效為一個(gè)電流源和電阻的并聯(lián)。電流源的電流等于網(wǎng)絡(luò)外部短路時(shí)的端口電流isc；電阻Ro是網(wǎng)絡(luò)內(nèi)全部獨(dú)立源為零時(shí)，No的等效電阻。

isc——短路電流。Ro——諾頓電阻。電流源isc和電阻Ro的并聯(lián)，稱為網(wǎng)絡(luò)的諾頓等效電路。電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，含源線性電阻單口網(wǎng)絡(luò)的等效電路只要確定uoc,isc或Ro

就能求得兩種等效電路。

戴維南定理和諾頓定理注意幾點(diǎn)：1.被等效的有源二端網(wǎng)絡(luò)是線性的，且與外電路之間不能有耦合關(guān)系2.求等效電路的Ro時(shí)，應(yīng)將網(wǎng)絡(luò)中的所有獨(dú)立源置零，而受控源保留

3.當(dāng)Ro≠0和∞時(shí)，有源二端網(wǎng)絡(luò)既有戴維南等效電路又有諾頓等效電路，并且、isc和Ro存在關(guān)系：，4.作為定理，一個(gè)電路可以應(yīng)用多次。5.一般端電壓與開路電壓不相等。+－1

2

i1’4

-6i1’+(c)+u’-i’2.求電阻Ro圖b網(wǎng)絡(luò)的獨(dú)立電壓源置零,得圖c，設(shè)端口電壓為u'，端上電流為

i'則

u'＝6×i1'＋2×i'＋4×i1'由1Ω和4Ω分流關(guān)系可得i1'＝0.2i'

因此u’＝4i’即

Ro＝4Ω3.求i

由戴維南定理可將圖a化簡(jiǎn)為圖d4

+20V-abi4

(d)加壓求流法求等效內(nèi)阻。1K

0.5i1

i11K

－

+a(b)b列方程：解得：如果要用開短路法，求短路電流。+10V-1K

0.5i1

i11K

a(c)iSC列方程：解得：I=0.1AN8V+－INAB60

20

(a)(b)由題意，A、B都打開時(shí)，應(yīng)用替代定理，如圖(b)所示；設(shè)N中電源單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電流為x;單位電壓源作用時(shí)產(chǎn)生的電流為y。則有I=0.125AN7.5V+－INAB60

20

(a)(c)同理，A打開，B閉合時(shí)，應(yīng)用替代定理，如圖(c)所示；則，有方程為兩方程聯(lián)立(a)解得：則，所求電流為法2：應(yīng)用戴維南定理。則得圖(d):INAB60

20

RouOCI=0.1AN80

RouOC(d)得方程同理，得圖(e)：I=0.125AN60

RouOC(e)得方程兩方程聯(lián)立：解得：解得：得：4-3-3最大功率傳輸條件Ro+uoc-abiRL

負(fù)載電阻吸收的功率欲獲得最大功率，可得最大功率傳輸條件：

RL＝Ro此時(shí)，負(fù)載獲最大功率為：此時(shí)對(duì)于等效電路而言:效率為50%。uoc＝12.5V10

50

+10V-0.04vocab+uoc-節(jié)點(diǎn)法得2.求電阻Ro先求iscisc

＝1A

Ro＝uoc/isc=12.5Ω10

50

+10V-0.04vab+u-isc由于u=0，受控源開路3.當(dāng)RL=

Ro=12.5Ω時(shí)，負(fù)載獲最大功率4-4特勒根定理特勒根第一定理(功率守恒)：任意一個(gè)具有b條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的集總參數(shù)網(wǎng)絡(luò)，設(shè)它的各支路電壓和電流分別為和(k＝1、2、3、…b)，且各支路電壓和電流取關(guān)聯(lián)參考方向，則有

特勒根第二定理(似功率守恒)：和支路電壓和電流取關(guān)聯(lián)參考方向且相同，則有NN’有向圖相同支路電壓支路電流2422-2V+5Ai1i2i5i6i3i4242-4V+2Ai1’i2’i5’i6’i3’i4’

+4V-156234驗(yàn)證：有相同的有向圖如右N:u1＝6V，u2＝－4V，u3＝2V，u4＝4V，

u5＝2V，

u6＝－8V；

i1＝3A，

i2＝－2A，

i3＝1A，

i4＝1A，

i5＝4A，

i6＝5A。因此有，6×3＋(-4)×(-2)＋2×1＋4×1＋2×4＋(-8)×5＝0N’:u1'＝4V，

u2'＝0V，

u3'＝4V，

u4'＝8V，

u5'＝4V，

u6'＝－8V；

i1'＝2A，

i2'＝0A，

i3'＝－2A，

i4'＝2A，

i5'＝0A，

i6'＝2A。因此有，4×2＋0×0＋4×(-2)＋8×2＋4×0＋(-8)×2＝0這就驗(yàn)證了特勒根第一定理。=

6×2＋(-4)×0＋2×(-2)＋4×2＋2×0＋(-8)×2＝0=4×3＋0×(-2)＋4×1＋8×1＋4×4＋(-8)×5＝0這就驗(yàn)證了特勒根第二定理。特勒根定理適用于任意集總參數(shù)電路特勒根第二定理的證明：設(shè)N和N’兩網(wǎng)絡(luò)均有n個(gè)節(jié)點(diǎn)b條支；。各支路電壓、電流的參考方向關(guān)聯(lián)且相同。則N網(wǎng)絡(luò)的KCL方程為將上式分別乘以N’網(wǎng)絡(luò)的相應(yīng)電壓，有將上式右端全部加起來(lái)，得由故得同理NR僅由電阻組成(k=3,…,b)得：故：i1＝-2A，

i2＝1A，i1‘＝-1.8A代入NRi1'+3v-+u1'-i2'+u2'-8ΩNRi1+3v-+u1-i2+u2-4Ω4-5互易定理互易性——線性不含獨(dú)立源、受控源的電路，在單一激勵(lì)情況下，激勵(lì)和響應(yīng)的位置互換，相同激勵(lì)的響應(yīng)不變互易網(wǎng)絡(luò)：具有互易性的網(wǎng)絡(luò)R1R2abcdi+uS-R3R1R2abcdi’+uS-R3互易定理有三種形式：該網(wǎng)絡(luò)是互易網(wǎng)絡(luò)形式一：NR僅由電阻組成，獨(dú)立電壓源vs激勵(lì)與響應(yīng)電流互換位置，響應(yīng)電流相同。

即

i２＝i１'11’22’i2+uS-NR+v1-i１+u2-+uS-11’22’i2'NR+u1'-i１'+v2'-形式二：

NR僅由電阻組成，獨(dú)立電流源is激勵(lì)與響應(yīng)電壓互換位置，響應(yīng)電壓相同。

即

u２＝u1’11’22’iSNR+u1-i１+u2-

iS11’22’i2'NR+u1'-+u2'-形式三：

NR僅由電阻組成，激勵(lì)電壓源vs與響應(yīng)電壓互換位置，將此激勵(lì)換為相同數(shù)值的獨(dú)立電流源is，產(chǎn)生的響應(yīng)電流在數(shù)值上與原響應(yīng)電壓相等。即數(shù)值上:

i１'

＝u２11’22’+uS-NR+u1-i１+u2-

iS11’22’i2'NR+u1'-+u2'-i1'用特勒根定理證明：由例11知得

對(duì)于形式一，u1

＝us，u2

＝0，u1'＝0，u2'＝vs，代入上式可得

usi1'＝usi2故

i2

＝i1'因此形式一成立。也可表示為：圖(a)的電壓源比電流等于交換位置后圖(b)的電壓源比電流。對(duì)于形式二，i1＝is，i2＝0，i1‘＝0，i2’＝is

，代入上式可得

u2is

＝u1'is故

u2＝u1'因此形式二成立。也可表示為：圖(a)的電流源比電壓等于交換位置后圖(b)的電流源比電壓。對(duì)于形式三，u1＝u，i2＝0，

u1’＝0，i2’＝is

，代入上式可得uSi1’＝u2

is由于uS

與is數(shù)值相同，故數(shù)值上

u2

與i1’相等。因此形式三成立。也可表示為：圖(a)的電壓源比電壓等于交換位置后圖(b)的電流源比電流。注意：1.NR不含獨(dú)立源、受控源，外部只有單個(gè)激勵(lì)和響應(yīng)；2.若互易前后激勵(lì)和響應(yīng)的參考方向關(guān)系一致(都相同或都相反)，則對(duì)形式一和二有相同激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)相同；對(duì)形式三則相同激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)相差一個(gè)負(fù)號(hào)。例12

試求i?2Ω2Ω3Ω8Ω4Ωi-10V+2Ω2Ω3Ω8Ω4Ωi+10V-解：互易形式一223Ω84i+10V-i1i2i3223Ω84i+10V-i1i2i3列KCL，得例13已知圖（a）中i2＝0.1A;圖（b）中得i1'＝0.4A。試求R之值。NRi2+u2-20Ω1AR圖(a)NRi1’20Ω2AR圖(b)解：由圖(a)得u2=20i1=2V1/2=2/u1’得u1’=4V故R＝u1’/i1’=4/0.4=10ΩNR20Ω2AR圖(c)+u1’-互易定理形式二可得例14已知圖（a）中u1＝10V,u2＝5V。

試求圖（b）的i1'2’11’2NR+u1-+u2-i1a2A11’22’NR+u1'-+u2'-i1'2A5Ωb解一：特勒根定理求解11’22’NR+u1'-+u2'-i1'2A5Ωb2’11’2NR+u1-+u2-i1a2Ai2得：i1'=0.5A解二：戴維南定理+互易定理求解2’11’2NR+u1-+u2-i1a2Ai211’22’NR+uoc-+u2'-2A移去5Ω，由互易定理的形式二，得

uoc=5V2’11’2NR+u1-+u2-i1a2Ai2求Ro：由圖（a）得Ro=5Ω

11’22’NR+u2'-Ro5

+5V-i’15

11’(b)圖化為：例15已知圖（1）中，No為無(wú)源線性電阻網(wǎng)絡(luò)，流過(guò)uS的電流為Im；圖（2）的開路電壓為vo,Rab=R0。NoaIm圖(1)b+uS-RkNoa圖(2)b+uS-Ro+uo-問(wèn):圖(3)的Rx為何值，才有Im=Im’。No+uo’-Rx圖(3)Im’+uS-Ix’NoaIm圖(1)b+uS-RkNo+uo’-Rx圖(3)Im’+uS-Ix’解：特勒根定理求由于題目要求Im=Im

’，所以對(duì)輸出端而言，圖（2）與（3）等效。因?yàn)椋瑄S與Rx并聯(lián)可等效為uS，因此Noa圖(2)b+uS-Ro+uo-No+uo’-Rx圖(3)Im’+uS-Ix’圖(2)可知，圖（1）ab以左等效為R0串聯(lián)uo戴維南電路，所以即：所以：則：例16NR網(wǎng)絡(luò)為純電阻網(wǎng)絡(luò)，在圖(a）中，當(dāng)Us1＝70V時(shí)，I1＝0.5A

，I2＝0.2A

，U3＝14V。試求：圖（b）中Us2＝105V，Is3＝3.5A，R1’＝210

時(shí)的I1’。

U3+－+－NRI2US1I1(a)US2+－NRIs3I1’R1’(b)11’33’33’11’22’22’解：法1：計(jì)算1、1’端的戴維南電路。由圖(a)得1、1’端等效內(nèi)阻為由互易定理，得圖(b)電壓源單獨(dú)作用時(shí)的1、1’的