上海市楊浦高中2026屆數學高二上期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線C：-＝1(a＞b＞0)的左焦點為F1，若過原點傾斜角為的直線與雙曲線C左右兩支交于M、N兩點，且MF1NF1，則雙曲線C的離心率是（）A.2 B.C. D.2．年月日我國公布了第七次全國人口普查結果.自新中國成立以來，我國共進行了七次全國人口普查，如圖為我國歷次全國人口普查人口性別構成及總人口性別比（以女性為，男性對女性的比例）統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（）A.第五次全國人口普查時，我國總人口數已經突破億B.第一次全國人口普查時，我國總人口性別比最高C.我國歷次全國人口普查總人口數呈遞增趨勢D.我國歷次全國人口普查總人口性別比呈遞減趨勢3．已知，則（）A. B.C. D.4．若雙曲線與橢圓有公共焦點，且離心率，則雙曲線的標準方程為（）A. B.C. D.5．下列求導不正確的是（）A B.C. D.6．2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發(fā)射升空，這標志著中國空間站在軌組裝建造全面展開，我國載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略成功邁出第三步.到今天，天和核心艙在軌已經九個多月.在這段時間里，空間站關鍵技術驗證階段完成了5次發(fā)射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務.一般來說，航天器繞地球運行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個橢圓的一個焦點，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠）的一點稱作近（遠）地點，近（遠）地點與地球表面的距離稱為近（遠）地點高度.已知天和核心艙在一個橢圓軌道上飛行，它的近地點高度大約351km，遠地點高度大約385km，地球半徑約6400km，則該軌道的離心率為（）A. B.C. D.7．設正方體的棱長為，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.8．拋物線的準線方程為（）A B.C. D.9．2021年是中國共產黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產黨成立100周年慶?；顒訕俗R（如圖1）.其中“100”的兩個“0”設計為兩個半徑為R的相交大圓，分別內含一個半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（如圖2）.已知，則由其中一個圓心向另一個小圓引的切線長與兩大圓的公共弦長之比為（）A. B.3C. D.10．已知等比數列滿足，則（）A.168 B.210C.672 D.105011．若曲線與曲線在公共點處有公共切線，則實數（）A. B.C. D.12．已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線的一條切線的斜率為，該切線的方程為________.14．在中，，，，則此三角形的最大邊長為___________.15．在平面直角坐標系中，直線與橢圓交于兩點，且，則該橢圓的離心率為__________.16．若展開式的二項式系數之和是64，則展開式中的常數項的值是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，且，為的中點（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）在線段上是否存在點，使得點到平面的距離為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由18．（12分）已知數列{an}滿足*（1）求數列{an}的通項公式；（2）求數列{an}的前n項和Sn19．（12分）已知在平面直角坐標系中，圓A：的圓心為A，過點B(，0)任作直線l交圓A于點C、D，過點B作與AD平行的直線交AC于點E.（1）求動點E的軌跡方程；（2）設動點E的軌跡與y軸正半軸交于點P，過點P且斜率為k1，k2的兩直線交動點E的軌跡于M、N兩點(異于點P)，若，證明：直線MN過定點.20．（12分）一款小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需拋擲骰子三次，出現(xiàn)一次或兩次“6點”獲得15分，出現(xiàn)三次“6點”獲得120分，沒有出現(xiàn)“6點”則扣除12分(即獲得－12分)（Ⅰ）設每盤游戲中出現(xiàn)“6點”的次數為X，求X的分布列；（Ⅱ）玩兩盤游戲，求兩盤中至少有一盤獲得15分概率；（Ⅲ）玩過這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了．請運用概率統(tǒng)計的相關知識分析解釋上述現(xiàn)象21．（12分）已知等差數列的前項和為，且，（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和22．（10分）國家助學貸款由國家指定的商業(yè)銀行面向在校全日制高等學校經濟困難學生發(fā)放.用于幫助他們支付在校期間的學習和日常生活費.從年秋季學期起，全日制普通本?？茖W生每人每年申請貸款額度由不超過元提高至不超過元，助學貸款償還本金的寬限期從年延長到年.假如學生甲在本科期間共申請到元的助學貸款，并承諾在畢業(yè)后年內還清，已知該學生畢業(yè)后立即參加工作，第一年的月工資為元，第個月開始，每個月工資比前一個月增加直到元，此后工資不再浮動.（1）學生甲參加工作后第幾個月的月工資達到元；（2）如果學生甲從參加工作后的第一個月開始，每個月除了償還應有的利息外，助學貸款的本金按如下規(guī)則償還：前個月每個月償還本金元，第個月開始到第個月每個月償還的本金比前一個月多元，第個月償還剩余的本金.則他第個月的工資是否足夠償還剩余的本金.（參考數據：；；）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據雙曲線和直線的對稱性，結合矩形的性質、雙曲線的定義、離心率公式、余弦定理進行求解即可.【詳解】設雙曲線的右焦點為F2，過原點傾斜角為的直線為，設M、N分別在第三、第一象限，由雙曲線和直線的對稱性可知：M、N兩點關于原點對稱，而MF1NF1，因此四邊形是矩形，而，所以是等邊三角形，故，因此，因為，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性質可知：，由雙曲線的定義可知：，故選：C【點睛】關鍵點睛：利用矩形的性質、雙曲線的定義是解題的關鍵.2、D【解析】根據統(tǒng)計圖判斷各選項的對錯.【詳解】由統(tǒng)計圖第五次全國人口普查時，男性和女性人口數都超過6億，故總人口數超過12億，A對，由統(tǒng)計圖，第一次全國人口普查時，我國總人口性別比為107.56，超過余下幾次普查的人口的性別比，B對，由統(tǒng)計圖可知，我國歷次全國人口普查總人口數呈遞增趨勢，C對，由統(tǒng)計圖可知，第二次，第三次，第四次，第五次時總人口性別比呈遞增趨勢，D錯,D錯，故選：D.3、B【解析】根據基本初等函數的導數公式及求導法則求導函數即可.【詳解】.故選：B.4、A【解析】首先求出橢圓的焦點坐標，然后根據可得雙曲線方程中的的值，然后可得答案.【詳解】橢圓焦點坐標為所以雙曲線的焦點在軸上，，因為，所以，所以雙曲線的標準方程為故選：A5、C【解析】由導數的運算法則、復合函數的求導法則計算后可判斷【詳解】A：；B：；C：；D：故選：C6、A【解析】根據遠地點和近地點，求出軌道即橢圓的半長軸和半焦距，即可求得答案.【詳解】設橢圓的半長軸為a，半焦距為c.則根據題意得;解得，故該軌道即橢圓的離心率為，故選：A7、D【解析】建立空間直角坐標系，根據空間向量所學點到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標系，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因為正方體的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設平面的法向量，所以，，即，設，所以，，即，設點到平面的距離為，所以，故選：D.8、D【解析】根據拋物線方程求出，進而可得焦點坐標以及準線方程.【詳解】由可得，所以焦點坐標為，準線方程為：，故選：D.9、C【解析】作出圖形，進而根據勾股定理并結合圓與圓的位置關系即可求得答案.【詳解】如示意圖，由題意，，則，又，，所以，所以.故選：C.10、C【解析】根據等比數列的性質求得，再根據，即可求得結果.【詳解】等比數列滿足,設等比數列的公比為q,所以,解得，故，故選：C11、A【解析】設公共點為，根據導數的幾何意義可得出關于、的方程組，即可解得實數、的值.【詳解】設公共點為，的導數為，曲線在處的切線斜率，的導數為，曲線在處的切線斜率，因為兩曲線在公共點處有公共切線，所以，且，，所以，即解得，所以，解得，故選：A12、B【解析】當直線斜率存在時，設直線方程，聯(lián)立方程組，結合根與系數關系可得，進而求得取值范圍，當斜率不存在是，可得，兩點坐標，進而可得的值.【詳解】當直線斜率存在時，設直線方程為，，，聯(lián)立方程，得，恒成立，則，，，，，所以，當直線斜率不存在時，直線方程為，所以，，，綜上所述：，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】使用導數運算公式求得切點處的導數值，并根據導數的幾何意義等于切線斜率求得切點的橫坐標，進而得到切點坐標，然后利用點斜式求出切線方程即可.【詳解】的導數為，設切點為，可得，解得，即有切點，則切線的方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查導數的加法運算，導數的幾何意義，和求切線方程，難度不大，關鍵是正確的使用導數運算公式求得切點處的導數值，14、【解析】可知B對的邊最大，再用正弦定理計算即可.【詳解】利用正弦定理可知，B對的邊最大，因為，，所以，.故答案為：15、【解析】直線與橢圓相交，求交點，利用列式求解即可.【詳解】聯(lián)立方程得，因為，所以,即，所以，.故答案為：.16、【解析】首先利用展開式的二項式系數和是求出，然后即可求出二項式的常數項.【詳解】由題知展開式的二項式系數之和是，故有，可得，知當時有.故展開式中的常數項為.故答案為：.【點睛】本題考查了利用二項式的系數和求參數，求二項式的常數項，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，點為線段的靠近點的三等分點【解析】（1）根據題意證得平面，進而證得平面，得到平面，以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，結合向量的夾角公式，即可求解；（2）設點，求得平面的法向量為，結合向量的距離公式列出方程，求得的值，即可得到答案.【小問1詳解】解：因為四邊形為正方形，則，，由，，，所以平面，因為平面，所以，又由，，，所以平面，又因為平面，所以，因為且平面，所以平面，由平面，且，不妨以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，可得，，，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，易得平面的法向量為，則，由平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值【小問2詳解】解：設點，可得，，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，所以點到平面的距離為，解得，即或因為，所以故當點為線段的靠近點的三等分點時，點到平面的距離為.18、（1）（2）【解析】（1）根據遞推關系式可得，再由等差數列的定義以及通項公式即可求解.（2）利用錯位相減法即可求解.【小問1詳解】（1），即，所以數列為等差數列，公差為1，首項為1，所以，即.【小問2詳解】令，所以，所以19、（1）（2）證明見解析【解析】(1)作出圖象，易知|EB|＋|EA|為定值，根據橢圓定義即可判斷點E的軌跡，從而寫出其軌跡方程；(2)設，當直線MN斜率存在時，設直線MN的方程為：，聯(lián)立MN方程和E的軌跡方程得根與系數的關系，根據解出k與m的關系即可以判斷MN過定點；最后再考慮MN斜率不存在時是否也過該定點即可.【小問1詳解】由圓A：可得(，∴圓心A(－，0)，圓的半徑r＝8，，，可得，，，由橢圓的定義可得：點E的軌跡是以A(，0)、B(，0)為焦點，2a＝8的橢圓，即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，∴動點E的軌跡方程為；【小問2詳解】由(1)知，P(0，3)，設，當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為：，由，可得，∴，，∵，∴，即，整理可得：，∴k＝m＋3或m＝3，當m＝3時，直線MN的方程為：，此時過點P(0，3)不符合題意，∴k＝m＋3，∴直線MN的方程為：此時直線MN過點(－1，－3)，當直線MN的斜率不存在時，，，解得，此時直線MN的方程為：，過點(－1，－3)，綜上所述：直線MN過定點(－1，－3).20、（Ⅰ）分布列見解析（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】（Ⅰ）先得到可能的取值為，，，，根據每次拋擲骰子，出現(xiàn)“6點”的概率為，得到每種取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）計算出每盤游戲沒有獲得15分的概率，從而得到兩盤中至少有一盤獲得15分的概率；（Ⅲ）設每盤游戲得分為，得到的分布列和數學期望，從而得到結論.【詳解】解：（Ⅰ）可能的取值為，，，.每次拋擲骰子，出現(xiàn)“6點”的概率為.，，，，所以X的分布列為：0123（Ⅱ）設每盤游戲沒有得到15分為事件，則.設“兩盤游戲中至少有一次獲得15分”為事件，則因此，玩兩盤游戲至少有一次獲得15分的概率為.（Ⅲ）設每盤