黑龍江省大慶市讓胡路區(qū)第一中學(xué)2026屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象為A. B.C. D.2．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）（1）是為雙曲線(xiàn)的充要條件；（2）若，則；（3）若，，則；（4）橢圓上的點(diǎn)距點(diǎn)最近的距離為；A.個(gè) B.個(gè)C.個(gè) D.個(gè)3．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，令，若對(duì)于任意不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.4．設(shè)A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A.128 B.129C.47 D.05．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則()A.在上為減函數(shù) B.在處取極小值C.在上為減函數(shù) D.在處取極大值6．若是雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)作的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，若，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.7．已知實(shí)數(shù)，，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.8．在中，若，則（）A.150° B.120°C.60° D.30°9．已知直線(xiàn)與垂直，則為（）A.2 B.C.-2 D.10．如圖，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的中位線(xiàn)，將沿折起，使得點(diǎn)A與P重合，平面平面，則四棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.11．已知是雙曲線(xiàn)：的右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，并交軸于點(diǎn)．若，則的離心率為（）A. B.C.2 D.12．已知集合，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．矩形ABCD中，，在CD邊上任取一點(diǎn)M，則的最大邊是AB的概率為_(kāi)_____14．若圓柱的高、底面半徑均為1，則其表面積為_(kāi)__________15．已知等差數(shù)列中，，，則______________16．如圖，已知橢圓＋y2＝1的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求角B；（2）若，角B的角平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，，求CD的長(zhǎng)18．（12分）已知函數(shù)為常數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線(xiàn)相切，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)為線(xiàn)段上的點(diǎn).（1）若平面，試確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由；（2）若，，，在（1）成立的前提下，求二面角的余弦值.20．（12分）已知為直角梯形，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21．（12分）已知拋物線(xiàn)C：焦點(diǎn)F的橫坐標(biāo)等于橢圓的離心率.（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)(1，0)作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，判斷原點(diǎn)與以線(xiàn)段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.22．（10分）已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求焦點(diǎn)的坐標(biāo)及其準(zhǔn)線(xiàn)方程；（2）拋物線(xiàn)C在點(diǎn)A處的切線(xiàn)記為l，過(guò)點(diǎn)A作與切線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)C的另一個(gè)交點(diǎn)記為B，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論.詳解：觀察函數(shù)圖象，從左到右單調(diào)性先單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減，最后單調(diào)遞增.對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)為正，負(fù)，正.,選項(xiàng)D的圖象正確.故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.2、A【解析】利用方程表示雙曲線(xiàn)求出的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系可判斷（1）的正誤；直接判斷命題的正誤，可判斷（2）的正誤；利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷（3）的正誤；利用橢圓的有界性可判斷（4）的正誤.【詳解】對(duì)于（1），若曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，則，即，解得或，因?yàn)榛?，因此，是為雙曲線(xiàn)的充分不必要條件，（1）錯(cuò)；對(duì)于（2），若，則或，（2）錯(cuò)；對(duì)于（3），，則，（3）對(duì)；對(duì)于（4），設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則且，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，（4）錯(cuò).故選：A.3、D【解析】根據(jù)遞推關(guān)系，利用裂項(xiàng)相消法，累加法求出，可得，原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立求解即可.【詳解】，，，由累加法可得，又，，符合上式，，，對(duì)于任意不等式恒成立，則，解得.故選：D4、A【解析】先化簡(jiǎn)A－B，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為二項(xiàng)式展開(kāi)式，然后計(jì)算即可【詳解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是通過(guò)化簡(jiǎn)能夠發(fā)現(xiàn)其結(jié)果在形式上滿(mǎn)足二項(xiàng)式展開(kāi)式，然后計(jì)算出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】首先利用導(dǎo)函數(shù)的圖像求和的解，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn).【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知:當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和，故在處取得極大值，在處取得極小值，在處取得極大值.故選：C.6、D【解析】根據(jù)已知條件，找出，的齊次關(guān)系式即可得到雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】由題意得，，，在中，，因，故，在，由余弦定理得，即，計(jì)算得，故.故選：D.【點(diǎn)睛】雙曲線(xiàn)的離心率是雙曲線(xiàn)最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線(xiàn)的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)7、C【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)和作差法判斷大小依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式不成立，錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤正確；當(dāng)時(shí)，不等式不成立，錯(cuò)誤；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，作差法判斷大小，意在考查學(xué)生對(duì)于不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用.8、C【解析】根據(jù)正弦定理將化為邊之間的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】若,則根據(jù)正弦定理得：，即,而，故，故選：C.9、A【解析】利用一般式中直線(xiàn)垂直的系數(shù)關(guān)系列式求解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與垂直，故選：A.10、A【解析】分別取的中點(diǎn)，易得，則點(diǎn)為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過(guò)點(diǎn)且垂直平面的直線(xiàn)上，設(shè)球心為，設(shè)外接球的半徑為，，利用勾股定理求得半徑，從而可得出答案.【詳解】解：分別取的中點(diǎn)，在等邊三角形中，，是中位線(xiàn)，則都是等邊三角形，所以，所以點(diǎn)為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過(guò)點(diǎn)且垂直平面的直線(xiàn)上，設(shè)球心為，由為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，則，設(shè)外接球半徑為，，，則，，所以，解得，所以，所以四棱錐外接球的表面積是.故選：A.第II卷11、A【解析】由條件建立a，b，c的關(guān)系，由此可求離心率的值.【詳解】設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴離心率，故選：A.12、B【解析】根據(jù)根式、分式的性質(zhì)求定義域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交運(yùn)算求.【詳解】∵，，∴故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先利用勾股定理得出滿(mǎn)足條件的長(zhǎng)度，再結(jié)合幾何概型的概率公式得出答案.【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)?shù)降木嚯x都大于時(shí)，的最大邊是AB，所以的最大邊是AB的概率為.故答案為：14、【解析】根據(jù)圓柱表面積公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意得到圓柱的高，底面半徑，則表面積.故答案為：15、【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得到方程，求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以，所以，所以故答案為?6、【解析】設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程，可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用不等式的基本性質(zhì)可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，整理可得，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根設(shè)點(diǎn)、，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)的方程為，令，則.因?yàn)?，所以故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化得，進(jìn)而得；（2）根據(jù)題意得，進(jìn)而在中，由余弦定理即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以由正弦定理可得，所以，即，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所以【小?wèn)2詳解】解：由（1）可知，又；所以，，，所以，在，由余弦定理可得，即，解得18、（1）答案見(jiàn)解析；（2）7；（3）【解析】（1）根據(jù)題意求得，討論，，，時(shí)解，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點(diǎn)為則結(jié)合，得令通過(guò)求導(dǎo)研究單調(diào)性解得進(jìn)而解出的值.（3）由已知可得解析式，觀察有，求導(dǎo)得原題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).結(jié)合根分布可得，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為是在上的兩個(gè)不同零點(diǎn)可得且，代入函數(shù)中令通過(guò)單調(diào)性求出進(jìn)而可得答案.【詳解】解：(1)，令，解得：①當(dāng)時(shí)，由得，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，恒成立，所以上單調(diào)遞增.④當(dāng)時(shí)，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)設(shè)切點(diǎn)為則(*)，由可得(**)，聯(lián)立(*)(**)可得，設(shè)則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以，所以.（3）由已知可得令由題意知在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).則，因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，則和是在上的兩個(gè)不同零點(diǎn).所以且，所以令則所以在上單調(diào)遞增，所以有其中，即又恒成立，所以故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域或最值問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.19、（1）點(diǎn)為MC的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由線(xiàn)面垂直得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，進(jìn)而由三線(xiàn)合一得到點(diǎn)為MC的中點(diǎn)；（2）作出輔助線(xiàn)，找到二面角的平面角，利用勾股定理求出各邊長(zhǎng)，用余弦定理求出答案.【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)為MC的中點(diǎn)，理由如下：因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又，由三線(xiàn)合一得：點(diǎn)為MC的中點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】取AB的中點(diǎn)H，連接PH，CH，則由（1）知：，結(jié)合點(diǎn)為MC的中點(diǎn)，所以PA=PB，故由三線(xiàn)合一得：PH⊥AB，且CH⊥AB，所以∠CHP即為二面角的平面角，因?yàn)椋?，，所以，，，由勾股定理得：，，，在△PCH中，由余弦定理得：，故二面角的余弦值為20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】建立空間直角坐標(biāo)系.（1）方法一，利用向量的方法，通過(guò)計(jì)算，，證得，，由此證得平面.方法二，利用幾何法，通過(guò)平面證得，結(jié)合證得，由此證得平面.（2）通過(guò)平面和平面的法向量，計(jì)算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，.（1）證明法一：因?yàn)椋?，，所以，，所以，，，平面，平面，所以平?證明法二：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，即，，平面，平面，所以平?（2）由（1）知平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，又，，且所以所以平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線(xiàn)面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）原點(diǎn)在以線(xiàn)段AB為直徑的圓上，詳見(jiàn)解析.【解析】（1）利用橢圓方程可得其離心率，進(jìn)而可求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，即求；（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理法可得，即得.【小問(wèn)1詳解】由橢圓，可得，故，∴拋物線(xiàn)C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題可設(shè)直線(xiàn)l的方程為，由，得，設(shè)，則，又，故，∴，∴，即，故原點(diǎn)在以線(xiàn)段AB為直徑的