福建省廈門外國語中學(xué)2026屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線與直線，若，則（）A.6 B.C.2 D.2．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”，且“”.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線交雙曲線左、右兩支于兩點(diǎn)，若恰好是的“勾”“股”，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.3．如圖，兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切.已知時(shí)，在兩相交大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.4．已知直線的斜率為1，直線的傾斜角比直線的傾斜角小15°，則直線的斜率為（）A.－1 B.C. D.15．已知、，直線，，且，則的最小值為（）A. B.C. D.6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A B.C. D.8．如圖，樣本和分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的平均數(shù)分別為和，標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，則（）AB.C.D.9．若橢圓的弦恰好被點(diǎn)平分，則所在的直線方程為（）A. B.C. D.10．德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（）A.96 B.97C.98 D.9911．有一組樣本數(shù)據(jù)、、、，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)、、、，其中，為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本眾數(shù)相同12．已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（）A.6 B.36C.10 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線過拋物線的焦點(diǎn)F，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則___________.14．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m的值是___________.15．如圖，已知橢圓C1和雙曲線C2交于P1、P2、P3、P4四個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)1和F2分別是C1的左右焦點(diǎn)，也是C2的左右焦點(diǎn)，并且六邊形是正六邊形.若橢圓C1的方程為，則雙曲線方程為______.16．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）若函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行，求函數(shù)的解析式；（2）若，求在上的最大值和最小值.18．（12分）已知函數(shù)（1）填寫函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；定義域值域零點(diǎn)極值點(diǎn)單調(diào)性性質(zhì)（2）通過（1）繪制出函數(shù)的圖像，并討論方程解的個(gè)數(shù)19．（12分）如圖所示等腰梯形ABCD中，，，，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，沿AE將折起，使得點(diǎn)D到達(dá)F位置.（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面AFC；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.20．（12分）已知圓，P（2，0），M點(diǎn)是圓Q上任意一點(diǎn)，線段PM的垂直平分線交半徑MQ于點(diǎn)C，當(dāng)M點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為曲線C（1）求曲線C方程；（2）已知直線l：x＝8，A、B是曲線C上的兩點(diǎn)，且不在x軸上，，垂足為，，垂足為，若D（3，0），且的面積是△ABD面積的5倍，求△ABD面積的最大值21．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，且，（1）求證：；（2）求直線與所成角的余弦值22．（10分）已知橢圓的離心率為，橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，已知直線MA，NA分別交直線于點(diǎn)P，Q，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線，且，所以，解得；故選：A2、A【解析】根據(jù)雙曲線的定義及直角三角形斜邊的中線定理，再結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】如圖所示由題意可知，根據(jù)雙曲線的定義知，是的中點(diǎn)且.在中，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以.所以是等邊三角形，.在中，.由雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.3、C【解析】設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，求得,在中，可得.進(jìn)而求得兩大圓公共部分的面積為：,利用幾何概型計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，,在中，.兩大圓公共部分的面積為：,則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為.故選：C.4、C【解析】根據(jù)直線的斜率求出其傾斜角可求得答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)橹本€的傾斜角比直線的傾斜角小15°，所以直線的傾斜角為，則直線的斜率為.故選：C5、D【解析】先由，可得，變形得，所以，化簡后利用基本不等式求解即可【詳解】因?yàn)?、，直線，，且，所以，即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，故選：D6、A【解析】設(shè)，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立解方程即可.【詳解】設(shè)，由重心坐標(biāo)公式得，三角形的重心為，，代入歐拉線方程得：，整理得：①的中點(diǎn)為，，的中垂線方程為，即聯(lián)立，解得的外心為則，整理得：②聯(lián)立①②得：，或，當(dāng)，時(shí)，重合，舍去頂點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.7、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得的值，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，故.故選：B.8、B【解析】直接根據(jù)圖表得到答案.【詳解】根據(jù)圖表：樣本數(shù)據(jù)均小于等于10，樣本數(shù)據(jù)均大于等于10，故；樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)大于樣本數(shù)據(jù)，故.故選：B.9、D【解析】判斷點(diǎn)M與橢圓的位置關(guān)系，再借助點(diǎn)差法求出直線AB的斜率即可計(jì)算作答.【詳解】顯然點(diǎn)橢圓內(nèi)，設(shè)點(diǎn)，依題意，，兩式相減得：，而弦恰好被點(diǎn)平分，即，則直線AB的斜率，直線AB：，即，所以所在的直線方程為.故選：D10、C【解析】令，利用倒序相加原理計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C11、B【解析】利用平均數(shù)公式可判斷A選項(xiàng)；利用標(biāo)準(zhǔn)差公式可判斷B選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用眾數(shù)的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)數(shù)據(jù)、、、中位數(shù)為，數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為，不妨設(shè)，則，若為奇數(shù)，則，；若為偶數(shù)，則，.綜上，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)數(shù)據(jù)、、、的眾數(shù)為，則數(shù)據(jù)、、、的眾數(shù)為，D錯(cuò).故選：B.12、B【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切，由此可得的關(guān)系，從而點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，由求得的最小值，平方后即得結(jié)論【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，兩圓有三條公切線，則兩圓外切，所以，即，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，，所以，所以的最小值為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】由題意，求出，然后聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理及即可求解.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線過拋物線的焦點(diǎn)F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以.故答案為：8.14、【解析】結(jié)合已知條件和空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：.15、【解析】先根據(jù)橢圓的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)為正六邊形求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即點(diǎn)在雙曲線上，然后解出方程即可【詳解】設(shè)雙曲線的方程為：根據(jù)橢圓的方程可得：又為正六邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為：則點(diǎn)在雙曲線上，可得：又解得：故答案為：16、【解析】求導(dǎo)，求出切線斜率，進(jìn)而寫出切線方程.【詳解】，則，故切斜方程為：，即故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2），【解析】（1）根據(jù)平行關(guān)系得到切線斜率，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，列出方程，求出，進(jìn)而得到函數(shù)解析式；（2）先由求出，再利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性和最值.【小問1詳解】，.由題意得：，解得：.，【小問2詳解】，則，解得，，，當(dāng)，解得：，即函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，解得：或，即函數(shù)分別在，遞增.又，，，，，.18、（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)；（2）由函數(shù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，并將方程轉(zhuǎn)化為，即轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問1詳解】函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是函數(shù)的最大值，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域是，，得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是，定義域值域零點(diǎn)極值點(diǎn)單調(diào)性性質(zhì)單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間【小問2詳解】函數(shù)的圖象如圖，，即，方程解的個(gè)數(shù)，即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，無交點(diǎn)，即方程無實(shí)數(shù)根；當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）結(jié)合線面垂直的判定定理來證得結(jié)論成立.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得二面角的大小.【小問1詳解】設(shè)，由于四邊形是等腰梯形，是的中點(diǎn)，，所以，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，是的中點(diǎn)，所以，由于，所以平面.【小問2詳解】由于，所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，設(shè)，則，所以，所以，由于兩兩垂直.以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，,平面的法向量為，設(shè)平面法向量為，則，故可設(shè)，由圖可知，二面角為鈍角，設(shè)二面角為，，則.20、（1）（2）【解析】（1）由定義法求出曲線C的方程；（2）先判斷出直線AB過定點(diǎn)H(2,0)或H(4,0).當(dāng)AB過定點(diǎn)H(4,0)，求出最大；當(dāng)H(2,0)時(shí)，可設(shè)直線AB：.用“設(shè)而不求法”表示出，不妨設(shè)（），利用函數(shù)的單調(diào)性求出△ABD面積的最大值.【小問1詳解】因?yàn)榫€段PM的垂直平分線交半徑MQ于點(diǎn)C，所以,所以,符合橢圓的定義，所以點(diǎn)C的軌跡為以P、Q為焦點(diǎn)的橢圓，其中，所以，所以曲線C的方程為.【小問2詳解】不妨設(shè)直線l：x＝8交x軸于G(8,0)，直線AB交x軸于H(h,0)，則,.因?yàn)?，，，所?又因?yàn)榈拿娣e是△ABD面積的5倍，所以.因?yàn)镚(8,0)，D（3，0），所以，所以H(2,0)或H(4,0).當(dāng)H(4,0)時(shí)，則H與A（或H與B）重合，不妨設(shè)H與A重合，此時(shí)，，要使△ABD面積最大，只需B在短軸頂點(diǎn)時(shí)，=2最大，所以最大；當(dāng)H(2,0)時(shí)，要想構(gòu)成三角形ABD，直線AB的斜率不為0，可設(shè)直線AB：.設(shè),則，消去x可得：，所以，，，所以.不妨設(shè)（），則，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=4時(shí)，，此時(shí)最大綜上所述，△ABD面積的最大值為.【點(diǎn)睛】（1）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題；（2）解析幾何中最值計(jì)算方法有兩類：①幾何法：利用幾何圖形求最值；②代數(shù)法：表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，由，，證出平面，即可證出.（2）以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，即可得到答案.【小問1詳解】過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即?因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以【小?詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，因?yàn)椋灾本€與所成角的余弦值為22、（1）（2）1【解析】（1）由題意得到關(guān)于a，b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；（2）首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA，NA的方程確定點(diǎn)P，Q的縱坐標(biāo)，將線段長度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的