第24屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽試題

2023年11月寧波

★理論部分

A,B,C三個(gè)剛性小球靜止在光滑的水平面v

上.它們的質(zhì)量皆為〃？，用不行伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度皆為/1「

的松軟輕線相連，A8的延長(zhǎng)線與的夾角a=%/叩，/

3,如圖所示.在此平面內(nèi)取正交坐標(biāo)系Qty,/

原點(diǎn)。與8球所在處重合，x軸正方向和y軸正方備」-----V.-------------

向如圖.另一質(zhì)量也是，〃的剛性小球。位于），軸

上，沿），軸負(fù)方向以速度iti如圖）與8球發(fā)生彈性正碰，碰撞時(shí)間極短.設(shè)剛碰完后，

連接4,B,C的連線都立刻斷了.求碰后經(jīng)多少時(shí)間，。球距4,8,C三球組成的系

統(tǒng)的質(zhì)心最近.

為了近距離探測(cè)太陽并讓探測(cè)器能回到地球旁邊，可放射一艘以橢圓軌道繞太陽運(yùn)行的

攜帶探測(cè)器的宇宙飛船，要求其軌道與地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)軌道在同一平面內(nèi)，軌道的近日點(diǎn)

到太陽的距離為0.01AU（AU為距離的天文單位，表示太陽和地球之間的平均距離：1AU=

1.495xlO"m）,并與地球具有相同的繞日運(yùn)行周期（為簡(jiǎn)潔計(jì)，設(shè)地球以圓軌道繞太陽運(yùn)

動(dòng)）.試問從地球表面應(yīng)以多大的相對(duì)于地球的放射速度刖（放射速度是指在關(guān)閉火箭發(fā)動(dòng)

機(jī)，停止對(duì)飛船加速時(shí)飛船的速度）放射此飛船，才能使飛船在克服地球引力作用后仍在地

球繞太陽運(yùn)行機(jī)道旁邊（也就是說克服了地球引力作用的K船仍可看做在地球軌道上）進(jìn)入

符合要求的橢圓軌道繞日運(yùn)行？己知地球半徑4=6.37xl（卜m,地面處的重力加速度g二

9.80m/s2,不考慮空氣的阻力.

三、

如圖所示，在一個(gè)豎直放置的封閉的高為〃、內(nèi)壁橫截面積為S的絕熱氣缸內(nèi)，有一

質(zhì)量為小的絕熱活塞4把缸內(nèi)分成上、下兩部分.活塞可在缸內(nèi)貼缸壁無摩擦地上下滑動(dòng).缸

內(nèi)頂部與A之間串聯(lián)著兩個(gè)勁度系數(shù)分別為ki和k2的輕質(zhì)彈簧.A的上方為真空：

A的下方盛有確定質(zhì)量的志向氣體.己知系統(tǒng)處于平衡

狀態(tài)，A所在處的高度（其下表面與缸內(nèi)底部的距離）

與兩彈簧總共的壓縮量相等皆為川=〃/4.現(xiàn)給電爐絲

R通電流對(duì)氣體加熱，使A從高度加起先上升，停止加

熱后系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)活塞的高度為"=3〃/4.求此過

程中氣體吸取的熱量.已知當(dāng)體積不變時(shí)，每摩爾

該氣體溫度每上升1K吸取的熱量為37？/2,A為普適

氣體恒量.在整個(gè)過程中假設(shè)彈簧始終遵從胡克定律.

四、

為了削減線路的輸電損耗，電力的遠(yuǎn)距離輸送一般接受高且壓的溝通電傳輸方式.在傳

輸線路上建立一系列接地的鐵塔，把若干絕緣子連成串（稱為絕緣子串，見圖甲），其上端

A掛在鐵塔的橫臂上，高壓輸電線懸掛在其下端B.絕緣子的結(jié)構(gòu)如圖乙所示：在半徑為

/?.的導(dǎo)體球外緊包一層耐高壓的半球形陶瓷絕緣介質(zhì)，介質(zhì)外是一內(nèi)半徑為&的半球形導(dǎo)

體球殼.已知當(dāng)導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼間的電壓為U時(shí)，介質(zhì)中離球心0的距離為/?處的場(chǎng)強(qiáng)

為八普與鄉(xiāng)，場(chǎng)強(qiáng)方向沿徑向?

圖甲圖乙

1.已知絕緣子導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑/?2=4.6cm,陶瓷介質(zhì)的擊穿強(qiáng)度Ek=135kV/

cm.當(dāng)介質(zhì)中任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)石＞反時(shí)，介質(zhì)即被擊穿，失去絕緣性能.為使絕緣子所能承

受的電壓（即加在絕緣子的導(dǎo)體球和導(dǎo)體球殼間的電壓）為最大，導(dǎo)體球的半徑Ri應(yīng)取什

么數(shù)值？此時(shí)，對(duì)應(yīng)的溝通電壓的有效值是多少？

2.一個(gè)鐵塔下掛有由四個(gè)絕緣子組成的絕緣子串（如圖甲），每個(gè)絕緣子的兩導(dǎo)體間有

電容Co.每個(gè)絕緣子的下部導(dǎo)體（即導(dǎo)體球）對(duì)于鐵塔（即對(duì)地）有分布電容G（導(dǎo)體球

與鐵塔相當(dāng)于電容器的兩個(gè)導(dǎo)體極板，它們之間有確定的電容.這種電容稱為分布電容）：

每個(gè)絕緣子的上部導(dǎo)體（即導(dǎo)體球殼）對(duì)高壓輸電線有分布電容。2.若高壓輸電線對(duì)地電

壓的有效值為Uo.試畫出該系統(tǒng)等效電路圖.

3.若Co-7OpF-7x1OFF,G-5pF,C2~1pF,試計(jì)算該系統(tǒng)所能承受的最大

電壓（指有效值）.

五、v

如圖所示，G為一豎直放置的瘦長(zhǎng)玻璃管，以其底rh

端。為原點(diǎn)，建立始終角坐標(biāo)系。9,,，軸與玻璃管的G

軸線重合.在工軸上與原點(diǎn)O的距離為d處固定放置一

電荷量為Q的正點(diǎn)電荷A,一個(gè)電荷量為q（^>0）的PU

粒子P位于管內(nèi)，可沿），軸無摩擦地運(yùn)動(dòng).設(shè)兩電荷之

間的庫侖相互作用力不受玻璃管的影響.IA

1.求放在管內(nèi)的帶電粒子P的質(zhì)量/〃滿足什么條0dA

件時(shí)，可以在的區(qū)域內(nèi)存在平衡位置.

2.上述平衡狀態(tài)可以是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的；它依靠于粒子的質(zhì)量機(jī).以〉，（/〃）

表示質(zhì)量為，〃的粒子P處于平衡位置時(shí)的y坐標(biāo).當(dāng)粒子P處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，

的取值區(qū)間是：當(dāng)粒子P處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，,，（〃?）的取值區(qū)間是

（請(qǐng)將填空答案寫在答題紙上）.

3.已知質(zhì)量為利的粒子P處于穩(wěn)定平衡位置，其y坐標(biāo)為y.現(xiàn)給P沿），軸一微小

擾動(dòng).試證明以后的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期.

4.己知質(zhì)量為心的粒子P的不穩(wěn)定平衡位置的y坐標(biāo)為以，現(xiàn)設(shè)想把P放在坐標(biāo)”處，

然后從靜止起先釋放P.求釋放后P能到達(dá)玻璃管底部的全部可能的工（只要列出”滿足

的關(guān)系式，不必求解）.

八

如圖所示，一半徑為R、折射率為

曲的透亮球體置于折射率Ho=l的空氣

中，其球心位于圖中光軸的。處，左、

右球面與光軸的交點(diǎn)為。|與。2.球體

右半球面為一球面反射鏡，組成球形反

射器.光軸上5點(diǎn)左側(cè)有一發(fā)光物點(diǎn)P,。點(diǎn)到球面頂點(diǎn)5的距離為s.由P點(diǎn)發(fā)出的

光線滿足傍軸條件，不考慮在折射面上發(fā)生的反射.

1.問發(fā)光物點(diǎn)P經(jīng)此反射器，最終的像點(diǎn)位于何處？

2.當(dāng)P點(diǎn)沿光軸以大小為v的速度由左向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，試問最終的像點(diǎn)將以怎樣的

速度運(yùn)動(dòng)？并說明當(dāng)球體的折射率外取何值時(shí)像點(diǎn)亦做勻速運(yùn)動(dòng).

七、

己知鈉原子從激發(fā)態(tài)（記做P3/2）躍遷到基態(tài)（記做S|/2）所發(fā)出的光譜線波長(zhǎng)久

=588.9965nm.現(xiàn)有一團(tuán)鈉原子氣，其中的鈉原子做無規(guī)的熱運(yùn)動(dòng)（鈉原子的運(yùn)動(dòng)不必考

慮相對(duì)論效應(yīng)），被一束沿z軸負(fù)方向傳播的波長(zhǎng)為2=589.0080nm的激光照射.以。表

示鈉原子運(yùn)動(dòng)方向與z軸正方向之間的夾角（如圖所示）.問在30。<0<45°角度區(qū)間

內(nèi)的鈉原子中速率〃在什么范圍內(nèi)能產(chǎn)生共振吸取，從S"2態(tài)激發(fā)到P3/2態(tài)？并求共振吸

取前后鈉原子速度（矢量）變更的大小.已知鈉原子質(zhì)量為M=3.79x1026kg,普朗克常

BZz=6.626069x103/1J-S，真空中的光速c=2.997925x10sm?5一】.

鈉原子

0

激光束

第24屆全國中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽參考解答

1.分析剛碰后各球速度的方向.由于。與3球發(fā)生彈性正碰，所以碰后。球的速度

方向仍在y軸上；設(shè)其方向沿y軸正方向，

大小為y.由于線不行伸長(zhǎng)，所以在。，B

兩球相碰的過程中，A,。兩球都將受到線

給它們的沖量；乂由于線是松軟的，線對(duì)A,

C兩球均無垂直于線方向的作用力，因此剛

碰后，A球的速度沿A3方向，C球的速度沿

C8方向.用。表示B球的速度方向與x軸的

夾角，則各球速度方向?qū)⑷鐖D所示.因?yàn)榇藭r(shí)連接A,B,C三球的兩根線立刻斷了，所

以此后各球?qū)⒆鰟蛩僦本€運(yùn)動(dòng).

2.探討碰撞后各球速度的大小.以刃.也.v3分別表示剛碰后A,B,球速度

的大小，如圖所示.因?yàn)榕鲎策^程中動(dòng)量守恒，所以沿x方向有

m\>i—〃7內(nèi)cos?+m\f2cosO=0；(I)

沿)，方向有

-，〃出=HV-mvisin〃~mv3sina.(2)

依據(jù)能量守恒有

o1211

2?n'~=2inv~+2,nv2+2,?n3+2,?nr,(3x)

因?yàn)榕鲎策^程中線不行伸長(zhǎng)，8,C兩球沿BC方向的速度重量相等，4,B兩球沿

48方向的速度重量相等，有

V2COSI9=Vj,(4)

V2cos[z—(a+^)J=p?.(5)

將a=;r/3代入，由以上各式可解得

遮

vi=|yvfo，(6)

叵

V2=6v0，(7)

近

V3=亍I'。，(8)

1

y=4V0?(9)

3.確定剛碰完后，A,B,。三球組成的系統(tǒng)質(zhì)心的位置和速度.由于碰撞時(shí)間極短,

剛碰后A,B,C三球組成的系統(tǒng)，其質(zhì)心位置就是碰撞前質(zhì)心的位置，以(右，比)表

示此時(shí)質(zhì)心的坐標(biāo)，依據(jù)質(zhì)心的定義，有

mlcosa-ml

2-3^-，(10)

mlsinw

%=?(11)

代入數(shù)據(jù)，得

1.

Xc=-，(12)

*=蒙.

(13)

依據(jù)質(zhì)心速度的定義，可求得碰后質(zhì)心速度心的重量為

inv\+mv2coscos?

心=3^，(14)

—WV2sin。一加y?sina

“?(15)

由(4)?(7)和(14),(15)各式及a值可得

Vc.(=0,(16)

5

Vcv=—五l，o.(17)

4.探討碰后4,B,。三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心和。球的運(yùn)動(dòng).剛碰后A,8,C三

球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心將從坐標(biāo)(入=-1/6,yc=小〃6)處動(dòng)身，沿v軸負(fù)方向以大小

為512的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)：而。球則從坐標(biāo)原點(diǎn)。力身，沿)，軸正方向以大小為

W/4的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng).A,B,C三球組成系統(tǒng)的質(zhì)心與。球是平行反向運(yùn)動(dòng)，只

要。球與C球不發(fā)生碰撞，則叱，為不變，質(zhì)心與。球之間的距離慢慢削減.到y(tǒng)坐標(biāo)

相同處時(shí)，它們相距最近.用，表示所求的時(shí)間，則有

Vt=yc+Vcyt(18)

將知?，?義的值代入，得

?=S-(,9)

此時(shí)，。球與A,B,C三球組成系統(tǒng)的質(zhì)心兩者相距//6.在求出(19)式的過程

中，假設(shè)了在，=，5//4vo時(shí)間內(nèi)C球未與。球發(fā)生碰撞.下面說明此假設(shè)是正確的：

因?yàn)樾?小1七/3,它在無方向重量的大小為小vo/6.經(jīng)過，時(shí)間，它沿x軸負(fù)方向經(jīng)

過的距離為//8.而。球的起始位置的x坐標(biāo)為〃2.經(jīng)，時(shí)間后，。球尚未到達(dá)y軸，

不會(huì)與。球相碰.

二、

從地球表面放射宇宙飛船時(shí)，必需給飛船

以足夠大的動(dòng)能，使它在克服地球引力作用后，

仍具有合適的速度進(jìn)入繞太陽運(yùn)行的橢圓軌

道.此時(shí)，飛船離地球已足夠遠(yuǎn)，但到太陽的

距離可視為不變，仍為F1地距離.飛船在地球

繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道上進(jìn)入它的橢圓軌道，用E

表示兩軌道的交點(diǎn)，如圖1所示.圖中半徑為

Z的圓A是地球繞太陽運(yùn)行的軌道，太陽S位

于圓心.設(shè)橢圓B是飛船繞日運(yùn)行的軌道，P為橢圓軌道的近日點(diǎn).

由于飛船繞日運(yùn)行的周期與地球繞日運(yùn)行的周期相等，依據(jù)開普勒第三定律，橢圓的半

長(zhǎng)軸a應(yīng)與日地距離Z相等，即有

a=rse(1)

依據(jù)橢圓的性質(zhì)，軌道上任一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為2a,由此可以斷定，兩軌道的

交點(diǎn)上必為橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，E與橢圓長(zhǎng)軸和短軸的交點(diǎn)0(即橢圓的中心)的連線垂

直于橢圓的長(zhǎng)軸.由△ESQ,可以求出半短軸

b=yj4一(a-SP>.(2)

由(1),(2)兩式，并將a=r*=lAU?SP=0.01AU代入，得

/?=0.141AU.(3)

在飛船以橢圓軌道繞太陽運(yùn)行過程中，若以太陽為參考系，飛船的角動(dòng)量和機(jī)械能是守恒

的.設(shè)匕船在E點(diǎn)的速度為1,在近日點(diǎn)的速度為即，飛船的質(zhì)量為小，太陽的質(zhì)量為

M,,則有

mvasin?=〃葉SP,(4)

式中。為速度u的方向與E，S兩點(diǎn)連線間的夾角:

sin8=~(5)

由機(jī)械能守恒，得

I2小加I2GmM、/八

產(chǎn)6丁=亍叫-亨(6)

因地球繞太陽運(yùn)行的周期丁是已知的(7=365d),若地球的質(zhì)量為帙，則有

GM*。=帙(竿)%.(7)

解(3)?(7)式，并代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得

v=29.8km/s.(8)

(8)式給出的丫是飛船在￡點(diǎn)相對(duì)于太陽的速度的大小，即飛船在克服地球引力作用后從

E點(diǎn)進(jìn)入橢圓軌道時(shí)所必需具行的相對(duì)于太陽的速度.若在￡點(diǎn)飛船相對(duì)地球的速度為“，

因地球相對(duì)于太陽的公轉(zhuǎn)速度為

vc==29.8km/s,(9)

方向如圖1所示.由速度合成公式，可知

V=M+Ve>(10)

速度合成的矢量圖如圖2所示，留意到無與麗垂直，有

u=2wccos(，—0),(11)

代入數(shù)據(jù)，得

u-39.1km/s.(12)

〃是飛船在￡點(diǎn)相對(duì)于地球的速度，但不是所要求的放射速度“o.為了求得“0,可以從與

地心固定連接在一起的參考系來考察飛船的運(yùn)動(dòng).因飛船相對(duì)于地球的放射速度為wo時(shí)，

飛船離地心的距離等于地球半徑七.當(dāng)飛船相對(duì)于地球的速度為〃時(shí)，地球引力作用可以

忽視.由能量守恒，有

12萬以”?1,

2,nuo-2,nir,(13)

地面處的重力加速度為

(14)

解(13),(14)兩式，得

?()=.(15)

由(15)式及有關(guān)數(shù)據(jù)，得

wo=40.7km/s.(16)

假如飛船在E點(diǎn)處以與圖示相反的方向進(jìn)入橢圓軌道，則(11)式要做相應(yīng)的變更.此

時(shí)，它應(yīng)為

u=qv2+pj-2i%cos(§+。)，(17)

相應(yīng)計(jì)算，可得另一解

u=45.0km/s?“Q=46.4km/s.(18)

假如飛船進(jìn)入橢圓軌道的地點(diǎn)改在E點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)處(即地球繞FI軌道與飛船繞F1軌道

的另一個(gè)交點(diǎn)上)，則計(jì)算過程相同，結(jié)果不變.

三、

兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，作為一個(gè)彈簧來看，其勁度系數(shù)

L叢&-(1)

設(shè)活塞A下面有「mol氣體.當(dāng)A的高度為小時(shí)，氣體的壓強(qiáng)為pi,溫度為力.由

志向氣體狀態(tài)方程和平衡條件，可知

PiShi=vRTi,(2)

p\S=kli+mg.(3)

對(duì)氣體加熱后，當(dāng)A的高度為歷時(shí)，設(shè)氣體壓強(qiáng)為〃2，溫度為小.由志向氣體狀態(tài)

方程和平衡條件，可知

p2sh2=YRT?,(4)

piS=Ui：?mg.(5)

在A從高度也上升到場(chǎng)的過程中，氣體內(nèi)能的增量

△[/=iy/?(Ta-Ti).(6)

氣體對(duì)彈簧、活塞系統(tǒng)做的功W等于彈簧彈性勢(shì)能的增加和活塞重力勢(shì)能的增加，即

w=(吊f；)+mg.(7)

依據(jù)熱力學(xué)第確定律，有

△。=At/+W.(8)

由以上各式及已知數(shù)據(jù)可求得

△Q=念"濃”.(9)

四、

1.依據(jù)題意，當(dāng)導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼間的電壓為U時(shí)，在距球心「(品＜，?V&)處,

電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

廠R#2U

(1)

在「=4，即導(dǎo)體球表面處，電場(chǎng)強(qiáng)度最大.以E(R)表示此場(chǎng)強(qiáng)，有

RiU

F(/?i)=(2)

(Ri-R\)R\

因?yàn)橐罁?jù)題意.E(/?,)的最大值不得超過反.心為已知,故(2)式可寫為

RzU

(3)

(/?：—/?!)R\

或

的一Ri)Ri

U=Ek-R—(4)

由此可知,選擇適當(dāng)?shù)腞值，使他2一4)氏最大，就可使絕緣子的耐壓U為最大.不

難看出，當(dāng)

/?i=y(5)

時(shí)，U便是絕緣子能承受的電壓的最大值■.由(4),(5)兩式得

“EkR2(6)

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得

U=155kV.(7)

當(dāng)溝通電壓的峰值等于5時(shí)，絕緣介質(zhì)即被擊穿.這時(shí)，對(duì)應(yīng)的溝通電壓的有效值

(8)

Uc=-f=HOkV.

2.系統(tǒng)的等效電路如圖所示.

異異工「

-L.

壬一-

co

cr

壬co

a

co

壬co

工￥￥￥

為

，與

可知

電路

等效

示.由

如圖所

5,

5,

S,

別為

勢(shì)分

的電

三點(diǎn)

中間

子串

絕緣

3.設(shè)

有

，即

為零

都應(yīng)

數(shù)和

量代

的電荷

極板上

塊電容

連的四

間點(diǎn)相

每個(gè)中

0,

C=

U)

-

U

U-

+

U)C

(〃-

2

x

0

2

(9)

?=a

%)c

(u°-

)c°-

-u

-(G

u2G

c。+

-uj

,(u

2

2

=0.

UJG

(u°-

孰一