17.2勾股定理逆定理的應(yīng)用

一、單選題

1.（2021?廣東?高州市第一附屬實(shí)驗八年級階段練習(xí)）滿足下列條件的8c不是直角三角形的是（）

A.8c=1,AC=2,AB=yf3B.Z4:ZB:ZC=1:2:3

C.BC：AC：AB=3：4：5D.N4：ZB：NC=3：4：5

【答案】D

【分析】

根據(jù)勾股定理的逆定理可判定4C,由三角形內(nèi)角和可判定8、D,可得出答案.

【詳解】

4、當(dāng)8c=1,AC=2,八8=6時，滿足8c2+陽2=1+3=4=472,所以△ABC為直角三角形：B、當(dāng)N&ZB：

ZC=1：2：3時，可■設(shè)NA=x°,Z5=2x°,ZC=3x°,由三角形內(nèi)角和定理可得x+2x+3x=180,解得x=30°,所

以乙4=30。，ZD=G0°,ZC=90°,所以△/A8C為直角二角形，C、當(dāng)8C：AC：AD=3：4：5時，設(shè)8c=3x,AC=4x,

AB=5x,滿足BC2+4?2=4B2,所以Z148c為直角三角形；；D、當(dāng)N4ZB：ZC=3：4：5時，可設(shè)N4=3x。，

Zfi=4x°,NC=5x°,由三角形內(nèi)角和定理可得3x+4x+5x=180,解得x=15°,所以N4=45°,ZB=60°,ZC=75°,

所以aasc為銳角三角形，故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，主要有①勾股定理的逆

定理，②有一個角為直角的三角形.

2.（2021?山東膠州?八年級期中）在綜合實(shí)踐活動課.匕小明用三根木棒首尾順次相接擺三角形.下列每組

數(shù)分別是三根木棒的長度（單位：cm）,其中能擺出直角三角形的一組是（）

A.4,4,7B.32,42,52C.9,12,15D,6,7,8

【答案】C

【分析】

利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為。、b、c,若滿足/+6=。2,那么這個三角形就是直

角三角形，進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：A、???42+42^72,???不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；

B、???32^+422工52"???不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意;

C、：9?+122=15工工能構(gòu)成直角三角形，符合題意:

D、???6+72/82,???不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意：

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握勾股定理的逆定理.

3.(2021?江西樂平?八年級期中)以下列各組的三條線段長為邊,不能構(gòu)成直角三角形的一組是()

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.2,3,4

【答案】D

【分析】

根據(jù)勾股定理逆定理“如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形”可知.

【詳解】

解:A.3?+42=5?,???能構(gòu)成直角三角形;

B.???5?+/=132,???能構(gòu)成直角二角形;

C.???62+82=102,...能構(gòu)成直角三角形;

D.???22+32工4?,???不能構(gòu)成直角三角形；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.(2021?河南?南陽市第十八年級階段練習(xí))三角形的三邊長分別為a,b,c,且滿足〃、從c「/c2=o,

則該三角形的形狀是O

A.任意等腰三角形B.等腰直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.任意直角三角形

【答案】C

【分析】

把所給的等式/-/+/。2一/°2=。進(jìn)行因式分解，求出?.角形一:邊的關(guān)系，進(jìn)而判斷一角形的形狀.

【詳解】

解：:a"-Z?4+從/-a2c2=0,

:.一/)一/(/一〃)=0,

:.(a2+b2-c2)(a+b)(a-b)=0,

???已知，AAC的三邊長為。、b、c.

abc00,

Aa1+Z?2-c2=0,或=0,即/+〃=（?,或n=〃，

???八3c的形狀為等腰三角形或直角三角形，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分組分解法分解因式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定等等，利用因式分解最后整理成

多項式的乘積等于0的形式是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?湖北樊城?八年級期末）已知一個三角形三邊長分別是4,9,12,要作最長邊上的高正確的圖形做

法是（）

【答案】C

【分析】

由三角形的三邊為4,9,12,可知該三角形為鈍角三角形，其最長邊上的高在三角形內(nèi)部，艮J過最長邊所

對的角的頂點(diǎn)，作對邊的垂線，垂足在最長邊上.

【詳解】

解：???42+92=97V122,

，三角形為鈍角三角形，

???最長邊上的高是過最長邊所對的角的頂點(diǎn)，作對邊的垂線，垂足在最長邊上.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形高的畫法.當(dāng)三角形為銳角三角形時，三條高在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形是直角三角形時，

兩條高是三角形的直角邊，一條高在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時，兩條高在三角形外部，一條

高在內(nèi)部.

6.（2021?四川?成都八年級期中）在如圖所示的方格紙中，點(diǎn)4B,C均為格點(diǎn)，則NA8C的度數(shù)是（）

VZ^=90°,AB=3cm,AD=4cm,

?，?RD=J3+心=打+42=5(cm),

222

VfiC=13c/n,CD=12cmf5+12=13,

：,BD2+CD2=CB2,

:.ZBDC=90°,

:.5ADBC=—xDBxCD=—x5x12=30(cm7)，

22

S^A3D=-x3x4=6(cm2),

2

.??四邊形ABC。的面積為30+6=36(cm2),

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解決此題的關(guān)鍵是算出8。的長，證明△0DC是宜知二

角形.

8.（2021?福建大田?八年級期中）如圖，在四邊形488中，ZD=90°,45=2百，CD=2,8c=3,48=5,求四

邊形48C。的面積為（

A.12x/3D.2V3+10

【答案】C

【分析】

先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再由勾股定理的逆定理判斷出AZBC的形狀，根據(jù)三角形的面積公式即可得

出結(jié)論.

【詳解】

解：:連接4C，如圖所示：?.?/0=90°,40=26,8=2,AC=AD2+CD2=4.V8C=3,AB=5,32+42=52,

:?AABC是直角三角形，ZACB=90°,AS四邊形148co=5AACO+5必8C=；x2>/5x2+gx4x3=2G+6.

故答案選C

【點(diǎn)睛】

本題考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面積的計算.

二、填空題

9.(2021?湖北天門?八年級階段練習(xí))若△48C的三條邊a,b,c滿足關(guān)系式:a4+b2c2-a2c2-b4=0,則“BC

的形狀是.

【答案】直角三角形或等腰三角形

【分析】

將d+b2c2-02c2_b4=0因式分解，然后分析不難得到三角形的形狀.

【詳解】

解答：解：Va4+b2c2-a2c2-b4=0,

:.(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0

:.(.a2-b2)(a2+b2-c2)=0

/.a2-b2=0或a2+b2-c2=0

:.^ABC為等腰三角形或直角三角形.

故答案為：直角三角形或等腰三角形.

【點(diǎn)睛】

此題主要考杳學(xué)生對因式分解法，等腰三角形的判定及勾股定理的綜合運(yùn)用能力，關(guān)鍵是對等式進(jìn)行合理

的因式分解.

10.(2021?上海市奉賢區(qū)占華九年級期中)如圖，在4x3的正方形網(wǎng)格中，"BC與△DEC的頂點(diǎn)都在邊長

為1的小正方形的頂點(diǎn)上，則N8AC+/CDE=一度.

【答案】45

【分析】

連接A。、電，根據(jù)勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可.

【詳解】

解：連接A。、如下圖：

由勾股定理得，AD=yJ12+32=710?C￡>=Vl2+32=>/10?AC=A/22+42=2>/5

BE=N+32=M，CE=S+f=&,BC=TPTF=2V2

V(>/l0)2+(VlO)2=(2V5)2,(2⑨2+(應(yīng)>=而「,

/.AD2+CD2=AC2,CE2+BC2=BE2?AD=CD

???ADC為等腰直角三角形，為直角三角形，ZADC=^BCE=()0P

Z.ZACD=45°

，4BAC+/CDE=ZACD=45。

故答案為：45

【點(diǎn)睛】

此題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理.，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理.

11.（2021?江蘇?洪澤外國語八年級階段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中，每格的邊長為1.網(wǎng)格內(nèi)有△力8,則/

PAB+NP8A的度數(shù)是.

【答案】45。45度

【分析】

延長PC到點(diǎn)C，使得PC=A-，連接BC,根據(jù)勾股定理的逆定理可得PC8為等腰直角三角形，即可求

解.

【詳解】

解：延長PC到點(diǎn)C,使得PC=/W，連接8C,如下圖：

由勾股定理得：pc=AP=Vl2+22=x/5'8c=4+22=石,BP="+3?=而

:?PC=BC,BP2=PC2+BC2,

???PC8為等腰直角三角形，

???/PAB+/PBA=NCPB=45°,

故答案為：45°,

【點(diǎn)睛】

此題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理.，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相關(guān)性質(zhì)，構(gòu)造出等腰

直角三角形，正確進(jìn)行求解.

12.（2021?浙江?溫州市南浦實(shí)驗八年級期中）如圖，點(diǎn)。在“8C內(nèi),N8DC=90。，AB=3,AC=BD=2,

8=1,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】x/5-1##

【分析】

根據(jù)勾股定理和N8Z）C=90。，BD=2,CO=1,可以先求出8c的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以判

斷AA8C的形狀，從而可以求出陰影部分的面積.

【詳解】

解；Z^DC=90°,BD=2,CD=1,

:.BC=仙尸+CD?=也+f=yj5，

?/AB=3,AC-2,

4c2+sc2=2?+（石尸=4+5=9=P=AB2,

.?.AACB是在角三角形，Z4CB=90°,

S陰影=5以二-Sw=2x，_^^=#一］，

故答案為：-75—1.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是求出BC的長.

13.（2021?浙江金華?八年級期中）如圖，4。是AA8C的中線，把AAQC沿著直線A。對折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E

處.如果BC=6BE，則NA￡>C=.

【答案】45。45度

【分析】

根據(jù)折疊和中線的性質(zhì)可得即=8=DE,再根據(jù)=利用勾股定理的逆定理可得ABDE為“角

三角形/BDE=90。，最后利用折疊前后對應(yīng)角相等可得NADC的度數(shù).

【詳解】

解：???A。是AA8C的中線，把A4DC沿著直線A。對折，

/.BD=CD=DE,ZADC=ZADE.

：?BD'DE—BD'

又?:BC=6BE，

BE=—13C=y/213D,

2

:.BE?=2BD?，

，RD2+DE?=BE?，

???△8DE為宜角三角形，ZBD￡=90°,

AZEDC=90°,ZADC=ZADE=45°,

故答案為：45°.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的逆定理，折疊的性質(zhì).能利用折疊和中線的性質(zhì)得出8D=8=OE,再利用勾股定理

的逆定理得出△8DE為直角三角形是解題關(guān)鍵.

三、解答題

14.（2021?全國?八年級專題練習(xí)）如圖所示，在梯形A8CD中，AB//CD,ZA=90°,AB=2,BC=3,CD=1,

E是八。中點(diǎn)，試判斷EC與￡8的位置關(guān)系，并寫出推理過程.

【答案】ECLEB,證明見解析.

【分析】

過點(diǎn)C作CF_L48于F,則四邊形八FC。是矩形，在RS8CF中，由勾股定理得出CF,進(jìn)而得出。￡、AE,

由勾股定理求出E8、EC,由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論.

【詳解】

ECLEB.

如圖，過點(diǎn)C作CF_L48于F,則四邊形AFCD是矩形，

:.AF=CD=\,

-AB=2,

產(chǎn)=2-1=1,

在RJ8CF中，CF=y/BC2-BF1=>/32-I2=141?

;AD=CF=2V2，

；.DE=AE=gAD=&,

在梯形ABCD'|>,=90。，

與，OCE是直角三角形，

在Rt^ABE和R3DCE中，

EB1=AE2+AB2=6,EC2=DE：+CD?=3,

/.ER!+EC?=9，

*：BC=3,

EB2+EC2=BC2，

???NCEB=90。，

：.EBA.EC.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理及逆定理是解題的關(guān)鍵.

15.（2021?江蘇?沐陽縣懷文八年級階段練習(xí)）如圖，在△八8c中，A8=6,BC=8,AC=10.

（1）求證；AABC是更角三角形;

(2)若人。平分N8AC,求4D的長.

【答案】(1)見解析；(2)AD=3y/5.

【分析】

(1)只需要利用勾股定理的逆定理驗證AB-+BC1=AC?即可；

(2)過。作OEJLAC于￡,由角平分線的性質(zhì)可得8Q=Z)E,即可利用勾股定理推出AE=<4=6,則

EC=AC-AE=4,設(shè)5￡>=工，則OE=8Z)=x,CD=8-x,在RtaOEC中，CD2=CE2+DE2，則

222

X4-4=(8-X),由此求解即可.

【詳解】

解：(1)證明：=62+82=10?=AC,

AZB=90,

???△48C是直角三角形；

(2)過。作OE_LAC于E.

?7。平分N84C,/3=90，

；.BD=DE,

在汝△48。中，AB=\IAD2-BD2?

同理AE=y/AD2-DE2，

，AE=AB=6,

:.EC=AC-AE=4,

設(shè)Q=x,則。E=8O=x,CD=8-x,

在RJDEC中，CD2=CE?+DE?，

222

A^+4=(8-X),

解得x=3,

AD7ABi+Blf=3舊.

本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意判斷出N

8=50°.

16.(2021?全國?八年級專題練習(xí))判斷以線段a,〃,c為邊的△48C是不是直角三角形，其中。=行，

c=2.

【答案】是，理由見詳解

【分析】

由于因此〃為最大邊，只需看不是否等于尸+/即可求解.

【詳解】

解：,：。=出,b=坦,c=2,即a>c>力，

a2=(\/7)2=7,b2=(>/3)2=3,c2=22=4?

:.(T=b2+c2，

???以線段a，Ac為邊能構(gòu)成以a為斜邊的直角三角形.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查勾股定理逆定理，熟練掌握勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵.

17.(2021?河南?南陽市第十八年級階段練習(xí))在.A3C中，乙4，D",/C的對邊分別是a,b,c,根據(jù)下

列各邊的長度，判斷各三角形是否為直角三角形.并指出哪一個角是直角.

(1)a=2,b=V13,c=3；

(2)a=2n,/?=-1,c=z?2+1;(〃>1)

【答案】(1)是，D8是直角；(2)是，NC是直角

【分析】

(1)利用勾股定理的逆定理求解即可；

(2)利用勾股定理的逆定理求解即可.

【詳解】

解：(1)a=2,b=\[v3,c=3,

???a2+c2=22+32=13=(V13)2=b2,

???△ABC是直角三角形，N8=90。即N8是直角；

(2)*.*a=2n,b=n2?c=+\?

2222

a+b=4/+(〃2=4zr+//-2n+1=(〃？+])~=c,

1?△ABC是直角三角形，NG90。即NC是直角.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握勾股定理的逆定理.

18.（2021?福建尤溪?八年級期中）如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1,點(diǎn)4、8、￡都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，求

N/8E的度數(shù).

【答案】450

【分析】

根據(jù)勾股定埋可確定三角形三邊的長度，然后由勾股定理逆定理及各邊長度可得△A8E是等腰宜角三角形,

即可確定NA8E的大小.

【詳解】

解：由勾股定理可得48=律仔=而，AE=V32+12=Vio?

BE=yl?2+42=V20>

:.AB2+AE2=（Vio）2+（而『=20,BE?=（V20）2=20,

???AB2+AE2=BE2^

...ZBA￡=90o,

:."BE是等腰直角三角形，

??.ZABE=45°.

【點(diǎn)睛】

題H主要考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用、等腰三角形的判定及性質(zhì)，結(jié)合圖形綜合運(yùn)用定理是解題關(guān)鍵.

19.（2021?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，哪些三角形是直角三角形，哪些不是？說說你的理|±.

【答案】④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形.理由見解析

【分析】

先根據(jù)勾股定理求出各三角形的三邊長的平方，再由勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：①由勾股定理可知,三角形的三邊長的平方分別為22+22=8,#+22=5,9,

???8+5=9,故不是直角三角形；

②由勾股定理可知，三角形的三邊長的平方分別為12+32=10,32+42=25,9,

V10+9*25,故不是直角三角形；

③由勾股定理可知，三角形的三邊長的平方分別為#+22=5,12+32=10,12+42=17,

V5+10#17,故不是直角三角形：

④由勾股定理可知，三角形的三邊長的平方分別為12+32=10,#+32=10,22+42=20,

710+10=20,故是直角三角形；

⑤由勾股定理可知，三角形的三邊長的平方分別為32+22=13,9+52=26,22+32=13,

713+13=26,故是直角三角形；

⑥由勾股定理可知，三角形的三邊長的平方分別為32+22=13,12+32=10,12+42=”，

V13+10#17,故不是直角三角形.

故④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長Sb,C滿足。2+〃=。2,那么這個三角形就是直

角二角形是解答此題的關(guān)鍵.

20.（2021?吉林省實(shí)驗繁榮八年級階段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)4B,C,。均在格點(diǎn)上.

（1）則AAACgAZXX的依據(jù)是；

（2）AE與4c的位置關(guān)系是；

（3）在圖2中畫出所有滿足條件的點(diǎn)C,使得AA8C是以A8為腰的等腰直角三角形.（請在圖中標(biāo)出正確

的點(diǎn)C位置，并用G,C2....標(biāo)注）

【答案】（1）SAS；（2）AEA.BC-（3）畫圖見解析

【分析】

（1）由網(wǎng)格圖的特點(diǎn)可得：人8=。E=1,4。=4。=3,/區(qū)4。=/理乂,從而可得348&_。石4的依據(jù)；

（2）如圖，記AE,8c的交點(diǎn)為「，由&ABC^DEA,NADE=90°,證明ZDAE+/ABC=90。,可得ZAFB=90°,

從而得結(jié)論；

（3）分別以A8為圓心，A8的長為半徑畫弧，弧與格點(diǎn)的交點(diǎn)（去除三點(diǎn)共線時的格點(diǎn)）即滿足ABC為

等腰三角形，再利用勾股定理的逆定理可得答案.

【詳解】

解：（1）由題意得：AB=DE=IMC=AD=3,ZBAC=ZEDA,

故答案為：SAS

（2）如圖，記的交點(diǎn)為尸,

故答案為：AErBC

（3）如圖，。的位置如圖示:

理由：由4。;=產(chǎn)+22=5=482,8。「=12+32=10.

??△A8G是以人B為腰的等腰直角三角形，

同理：ABC2,.符合要求.

【點(diǎn)睛】

本題考杳的是網(wǎng)格的特點(diǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角二角形的判定，勾股定理及勾股定理的逆

定理的應(yīng)用，熟練的應(yīng)用以上知識是解題的關(guān)鍵.

21.（2021?陜西涇陽?八年級期中）老李家有一塊四邊形草坪A8C。如圖所示，AC是一條小路（小路的寬度

忽略不計），現(xiàn)在欲對該草坪重新進(jìn)行規(guī)劃，需要知道其面積，老李測量了草坪各邊得知：48=3米，BC=

4米，4。=10米，CD=5萬米，且A8_LCB.請同學(xué)們幫老李計算一下這塊草坪的面機(jī)

【答案】31平方米

【分析】

根據(jù)勾股定理，求得4C,再根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷AACO是直角三角形.這塊這塊草坪的面積等于

兩個直角三角形的面積之和.

【詳解】

解：??N8_L8C,

:.NA8c=90°,

丁/8=3米，8c=4米，

米，

?「CD=5逐米，04=10米，

：.AC2+AD2=CD2,

???△ACO為直角三角形，

?.?這塊草十'F的面積=5“8c+5AAC0=3X4+2+5X1O+2=6+25=31（米2）.

答：這塊草坪的面積為31米2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理.在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決

實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這?數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的

思想的應(yīng)用.

22.（2021?江蘇儀征?八年級期中）已知：如圖，0BC中，N4C8的平分線與A8的垂直平分線交于點(diǎn)D,

DELAC于點(diǎn)E,DF1BC交CB的延長線于點(diǎn)F.

（1）求證:AE=BFx

（2）若A￡=7,BC=10,48=26,判斷M8c的形狀，并證明.

【答案】（1）證明見解析；（2）8c是直角三角形，證明見解析

【分析】

（1）連接4X根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得8。=。4可證RSADEgRtA8DF,可得4￡=8F；

（2）根據(jù)RJCOEgRJCDF得出CE=CF,求出AC=24,由勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；

【詳解】

（1）證明：連接4D.記八8的垂直平分線交48于如圖所示：

???0M垂直平分線段48,

：.DA=DB,

YC。平分N4CB,DE1AC,DF1BC,

：.DE=DF,ZDEA=ZDFC=90°,

[DA=DB

在Rt^DEA和RtADFB中，＜”“，

[DE=DF

:.RtADEA且RtADFB（HL）t

：,AE=BF.

（2）△ABC是直角三角形，理由如卜?：

CD=CD

在於ZiCDE和RSCDF中，〈八口八口，

DE=DF

:.R3CDE公RSCDF（HL）,

：.CE=CF,

由（1）得：R3DEA迫Rt^DFB,

：.AE=BF=7,

：.CF=BC+BF=10+7=17,

：.AC=AE+CF=7+17=24,

:.BC2+AC2=102+242=676,AB2=262=676,

:.BC2+AC2=AB2,

:.NACB=90°.

???△A8c是直角三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是直角三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練的應(yīng)用勾

股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

23.（2021?江蘇沛縣?八年級期中）如圖，點(diǎn)A是網(wǎng)紅打卡地詩博園，市民可在云龍湖邊的游客觀光車站8

或C處乘車前往，且48=8C,因市政建設(shè)，點(diǎn)C到點(diǎn)4段現(xiàn)暫時封閉施工，為方便出行，在湖邊的H處修

建了一臨時車站（點(diǎn)H在線段8c上），由H處亦可直達(dá)八處，若AC=lkm,AH=0.8km,CH=0.6km.

（1）判斷△4CH的形狀，并說明理由;

（2）求路線48的長.

【答案】（1）△4CH是直角三舛形，理由見解析；⑵路線48的長為3km.

【分析】

（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；

（2）根據(jù)勾股定理解答即可.

【詳解】

解：（1）ZiACH是直角三角形，

理由是：在△ACH中，

VCH2+4H2=0.62+0.82=l,

AC2=1,

：.CH2+AH2=AC2,

???AACH是直角三角形且ZAHC=S0°；

（2）igBC=AB=xkm,則8H=8C-CH=（x-0.6）km,

在RJA8H中，由已知得A8=x,EH=x-0.6,AH=0.8,

222

由勾股定理得：AB=BH+AH,

Ax2=（x-0.6）2+0.82,

解這個方程，得X=。，

o

答：路線八8的長為3km.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理和定理.

24.（2021?廣東?西南八年級期中）已知：在四邊形A8CD中，ZACB=90°tA8=15,8c=9,AD=5,CD=

13.

（1）求4c的長.

（2）ACO是直角三角形嗎？如果是，請說明理由.

（3）求這塊空地的面積.

【答案】（1）12；（2）是，理由見解析；（3）84

【分析】

（1）直接利用勾股定理計算即可；

（2）直接利用勾股定理的逆定理險證即可；

（3）計算"8和”8C的面積之和即可.

【詳解】

解：（1）VZACB=30°,AB=15,BC=9,

；?ACZAB?-BC2=12：

（2）是，理由是：

\*AC=12,4D=5,CD=13,

滿足52+12?=132,BPAD2+AC2=CD2,

???△AC。是直角三角形；

（3）空地的面積為:

—xADxAC+—xACxBC=—x5xl2+-x12x9=84.

2222

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握利用勾股定理求直角三角形的邊以及

利用勾股定理的逆定理驗證直角三角形.

25.（2021?河南汝州?八年級期中）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航"號、"海天”號輪船同時

離開港口，各自沿一固定方向航行，"遠(yuǎn)航"號每小時航行16〃m而，"海天"號每小時航行12〃m〃e.它們離開

港口一個半小時后分別位于點(diǎn)Q,R處，且相距3O〃m/7e.如果知道“遠(yuǎn)航〃號沿東北方向航行，能知道“海天”

號沿哪個方向航行嗎？請寫出航行方向，并說明理由.

【答案】能，“海天”號沿西北方向航行，理由見解析.

【分析】

先根據(jù)速度和時間求出P旦夕。的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理可得NQPR=90。,然后根據(jù)角的和差可得

NRPS=45。,由此即可得出答案.

【詳解】

解：能，"海天〃號沿西北方向航行，理由如下：

由題意得：P/C=12x=18（/wn7e）,PQ=16x-^=24（mnile）,RQ=30nniile,

?,-182+242=900.302=900,

/.I82+242=3O2，

.IPAQ是直角三角形，且饃刊?二90。，

「遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，

NQPS=45。,

/.Z.RPS=4QPR-4QPS=90°-45°=45°,

二"海天”號沿西北方向航行.

【點(diǎn)睛】

本題考杏了勾股定理的逆定理等知識點(diǎn)，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵.

26.（2021?山西運(yùn)城?八年級期中）城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是城市現(xiàn)代化建設(shè)的重要內(nèi)容，是改

善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質(zhì)量的公益事業(yè).某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下,

在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地，如圖AB=4m,BC=3m,AD=\2m,CD=13m.

（1）技術(shù)人員在只有卷尺的情況卜，通過測量某兩點(diǎn)之間距離，便快速確定了NA8C=90。.請寫出技術(shù)人

員測量的是哪兩點(diǎn)之間的距離以及確定的依據(jù)：

（2）現(xiàn)計劃在空地內(nèi)種草，若每平方米草地造價30元，這塊地全部種草的費(fèi)用是多少元？

【答案】（1）測量的是點(diǎn)A,C之間的距離；依據(jù)是：如果是三角形的三邊長"，b,c滿足〃2+6二。2,

那么這個三角形是直角三角形.（或：勾股定理的逆定理）；（2）1080元

【分析】

（1）測量點(diǎn)A,C之間的距離，運(yùn)用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可；

（2）先判斷AACO是直角三角形，根據(jù)S四邊形八8m=S△械?+S0e求出四邊形ABCD的面積即可得到結(jié)論.

【詳解】

解?：（1）測量的是點(diǎn)A,C之間的距離；

依據(jù)是：如果是三角形的三邊長。，b,。滿足那么這個三角形是直角三角形.（或：勾股定理

的逆定理）

（2）連接AC,

二日（1）得4=90°,

二?在RtAABC中，AC2=AB2+BC2=42+32=52,

在“8中，C￡）2=132,AD2=122?

V52+122=132,

/.AC2+AD2=CD2,

/.ZDAC=90°.

Spq邊形ABCb=&ABc+SAAe=gx3x4+gx5xl2=36（平方米），

36x30=1080（元），

?..這塊地全部種草的費(fèi)用是1080元.

【點(diǎn)睛】

本寇考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明AACO是直角三角形.

27.（2021?江蘇常州?八年級期中）如圖，某小區(qū)有兩個噴泉4B,兩個噴泉的距離長為250rr.現(xiàn)要為噴

泉鋪設(shè)供水管道AM,8M,供水點(diǎn)M在小路47上，供水點(diǎn)M到48的距離MN的長為120m,8M的長為

15Cm.

（1）求供水點(diǎn)M到噴泉48需要鋪設(shè)的管道總長；

（2）求噴泉B到小路AC的最短距離.

【答案】（1）350m：（2）150m.

【分析】

（1）先在氏BMN中,利用勾股定理可得用V的長，從而可得AN的長，再在用ZkAMN中，利用勾股定理

可求出AM的長，由此即可得出答案：

（2）先根據(jù)勾股定理的逆定理可得“W是直角」.角形，且4^8=90°,再根據(jù)垂線段最短即可得.

【詳解】

解：（1）Y在RrBMN中,MN=120m,AM=150m,

/.BN=yjBM2-MN2=>/1502-12D2=90（m），

AB=250m,

AN=AB-BN=250-90=160(m),

「?在心△AMN中，AM7AN、MM=416()2+12()2=200(m)，

AM+5M=2OO+15O=35O(m),

答：供水點(diǎn)M到噴泉AB需要鋪設(shè)的管道總長為350m:

(2)AM=200m,BM=150m,AB=250m,

/.AM2+BM2=2OO2+15O2=62500=AB2,

是直角二:角形，且N/VW8=90。，

即

由垂線段最短可知，即為所求的最短距離，

答：噴泉8到小路AC的最短距離為150m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識點(diǎn)，熟練掌握勾股定理和勾股定理的

逆定理是解題關(guān)鍵.

28.(2021?遼寧蘇家屯?八年級期中)如圖，在四邊形八8C。中，48=4cm,8c=3cm,4D=12cm,以CO為

邊在在四邊形ABCD外部做面積為169cm2的正方形CDEF,N48C=90。.

(1)連接4C,求2C和CD的長；

(2)求四邊形A8CD的面積.

【答案】(1)5cm,13cm：(2)36cm2

【分析】

(1)根據(jù)勾股定理求得AC，再根據(jù)正方形的面積求得C。；

(2)根據(jù)勾股定理的逆定理可得，人。為直角三角形，分別求得八3c和八4。。的面積，即可求解.

【詳解】

解：(1)由勾股定理得：AC=ylAB2+BC2=5cm

丁S正方物的=CD2=169cm2

CD=Jl69=13cm

故答案為5cm,13cm

(2)V52+122=132,AC2+ADZ=CD2

???△ACQ為直角三角形，ZC4D=90°

2

5,./,c=-ABxBC=-x3x4=6cm,SA.CZ)=-ACx/lD=-x5xl2=30cnr

故答案為36cn12

【點(diǎn)睛】

此題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理以及逆定理是解題的關(guān)鍵.

29.（2021?江蘇?無錫市天一實(shí)驗八年級期中）已知在JA8c中，4C=8cm,8c=6cm,48=10cm,CD為AB

邊上的高.

（1）判斷aA8c的形狀，并說明理由.

（2）求CO的長；

（3）若動點(diǎn)P從點(diǎn)八出發(fā)，沿著AfC-81A運(yùn)動，最后回到/點(diǎn)，速度為lcm/s,設(shè)運(yùn)動時間為ts.t為

何值時，/8CP為等腰三角形？

94IHA

【答案】（1）直角三角形，證明見解析；（2）§cm；（3）2或20或19或一

【分析】

（1）利用勾股定理的逆定理判斷即可.

（2）利用面積法可知，S“Bc=g?CD?4B=；?AC?8C,由此求出8即可.

（3）份點(diǎn)P在線段4C上，在線段8A上，分別求出點(diǎn)P的運(yùn)動路程，可得結(jié)論.

【詳解】

解：（1）ZkA8c是直角三角形，

理由：*：AC=2cm,8C=6cm,AB=10cmf

.\AC2+BC2=AB2,

:.Z4CB=90°,

???△48C是直角三角形.

（2）VCD14B,“8c是直角三角形,

/.SAASC=7

；xCDxlO=；x8x6,

24

??CD-cm；

（3）VZC=90°,AB=10cm,fiC=6cm,AC=8cm,

△8CP為等腰三角形時，分三種情況：

①如果CP=C8,那么點(diǎn)P在AC上，AP=2cm,此時t=2（秒）；

②如果8c=8P,那么點(diǎn)P在88上,BP=6cm,CA+BC+BP=8+6+6=20（cm）,此時f=20（秒）;

③如果PB=PC,那么點(diǎn)P在8C的垂直平分線與AB的交點(diǎn)處，即在AB的中點(diǎn)，此時C4+8C+6P=8+6+5=19

（cm）,t=19（秒），

④當(dāng)CP=CB時，f=8+6+2x—=-^,

55

綜上可知，當(dāng)t=2或20或19或?qū)W時，4BCP為等腰三角形.

【點(diǎn)睛】

本題屬于?三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形的面積等知識，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求高，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

30.（2021?河南?鞏義市教育科研培訓(xùn)中心八年級期末）如圖,操場邊有一塊四邊形空地A8CD,其中48_L

AC,AB=8m,BC=17m,CD=9m,AD=12m.為了美化校園環(huán)境，創(chuàng)建綠色校園，計劃將這塊四邊形空地進(jìn)行

綠化整理.

（1）求需要綠化的空地48C。的面積；

（2）為方便師生出入，設(shè)計了過點(diǎn)4的小路4E,且4E_LBC于點(diǎn)E,試求小路AE的長.

12（）

【答案】（1）114m2；（2）=

【分析】

（1）由勾股定理求出AC=15m,再由勾股定理的逆定理證出△AC。是直角三角形，ZD=90°,然后由三角形

面積公式求解即可；

（2）由三角形的面積公式求解即可.

【詳解】

解：（1）\'AB1AC,

：.^BAC=90°,

ylBC2-AB2=V172-82=15（m），

*：CD=9m,AD=12mf

22222

：.AD+CD=12+9=225=ACt

???△AC。是直角三角形，且/。=90。，

:,需要綠化的空地ABCD的面積=5-8c+5△八s

=—ABxAC+—ADxCD

22

=-x8xl5+-xl2x9=114（n?2）；

22

（2）VZBAC=90°,AE±BC,

S^A8c-~BC>^AE=—AB*AC,

22

:.17x4E=8xl5,

120

解得：AE=—（m）,

17

即小路4E的長為312m0.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理以及三角形的面積等知識，熟練掌握勾股定理，由勾股定

理的逆定理證出N。=90。是解題的關(guān)鍵.

31.（2021?湖北武漢?八年級期中）如圖，某港口。位于東西方向的海岸線上，"遠(yuǎn)航''號、"海天”號輪船同時

離開港口，“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里.

（1）若它們離開港口一個半小時后分別位于48處，目.相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航〃號沿東北方向航行，

能知道"海天"號沿哪個方向航行嗎？說明理由.

（2）若“遠(yuǎn)航”號沿北偏東60。方向航行，經(jīng)過兩個小時后位于F處，此時船上有一名乘客需要緊急回到PE

海岸線上，乘坐的快艇的速度是每小時80海里.他能在半小時內(nèi)回到海岸線嗎？說明理由.

【答案】（1）西北方向，理由見解析；（2）能，理由見解析

【分析】

（1）根據(jù)題意分別求出A。和8c的長度，根據(jù)勾股定理逆定理求出2804=90。，然后根據(jù)“遠(yuǎn)航”號沿東北

方向航行，即可求出“海天”號沿哪個方向航行：

（2）過點(diǎn)F作FO_LPE于點(diǎn)。，根據(jù)30。角所對的直角邊是斜邊的一半求出FD的即可.

【詳解】

解：⑴由題意可得：04=16x1.5=24,08=12x1.5=18,

又=48=30,

V242+182=302,

222

即AO+BO=ABt

:./4。8=90°,

???“遠(yuǎn)航"號沿東北方向航行，

???ZAON^4S°,

，N8ON=9(r-45°=45°,

???“海天”號沿西北方向航行.

(2)過點(diǎn)F作FD_LPE于點(diǎn)D,

由題意得：OF=16x2=32,

■:NNOF=60°,

：.ZFOD=90°-60°=30°,

/.FD=yOF=yx32=16,

A164-80=0.2(小時),0.2V0.5,

，快艇可以在半小時內(nèi)回到回到海岸線上.

【點(diǎn)睛】

此題考查了30。角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出各線段的長度.

32.(2021?全國?八年級專題練習(xí))如圖所示，MN以左為我國領(lǐng)海，以右為公海，上午9時50分我國緝私

艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C并以每小時13海里的速度偷偷向我國領(lǐng)海開來，便立即通知距其5海

里，并在線上巡邏的緝私艇8密切注意，并告知八和C兩艇的距離是13海里，緝私艇8測得C與其距

離為12海里，若走私艇C的速度不變，最早在什么時間進(jìn)入我國海域？

【答案】走私艇最早在10時41分進(jìn)入我國領(lǐng)海.

【分析】

先判斷出^八8c是直角三角形，再用面積相等計算出8D,在RS8C。中，由勾股定理計算出CD,算出走私

艇行駛的時間，即可求出進(jìn)入我國領(lǐng)海的時刻.

【詳解】

,/AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，

，Z^8C為直角三角形.

:.^ABC=90°.

又BD_L4C,

：.-AB-BC=-AC?BD,

22

.gAB-BC5x1260

AC1313

在於"8中，由勾股定理得：CD=ylBC2-BD2=J12?/竺］=—.

V(⑴13

144-144

——+13=——=0.85仍）=51（分）.

13169

所以走私艇最早在10時41分進(jìn)入我國領(lǐng)海.

【點(diǎn)睛】

本題是與航海有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，用面積相等計算直角三角形斜邊上

的高是常用的方法.

33.（2021?江蘇錫山?八年級期中）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對

角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.

（1）寫出你所知道的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱，.

（2）如圖（1）,請你在圖中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA、OB為勾股邊，且對角線相同的所有勾股四邊形。AMB.

（3）如圖（2）,以一48c邊AB作如圖正三角形ABD,NCBE=60。，且BE=BC,連接DE、DC,NDCB=30°.求

證：DC