第=page22頁，共=sectionpages22頁2025-2026學年上海市楊浦區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷（一模）一、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列各組線段的長度中，成比例的是（）A.1，2，3，4 B.2，4，4，8 C.1.5，3，4.5，6 D.3，4，5，62.已知點C在線段AB上，如果AB=3AC，，那么等于（）A. B. C. D.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=1，下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.4.一傳送帶和地面所成斜坡的坡比為1：2.4，如果要把物體從地面送到離地面10米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程是（）A.12米 B.13米 C.24米 D.26米5.如果將拋物線y=-（x+6）2+8向右平移10個單位，那么此拋物線與y軸的交點P在平移過程中的位置變化情況符合下列哪種情形（）A.持續(xù)向上 B.持續(xù)向下 C.先向上再向下 D.先向下再向上6.如圖，已知在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，∠ACD=∠B，下列結(jié)論中錯誤的是（）A.

B.

C.

D.二、填空題：本題共12小題，每小題4分，共48分。7.計算：cot60°=

.8.如果a：b=2：3，那么（a+b）：b=______．9.已知向量與單位向量方向相反，且，那么=______（用向量的式子表示）10.如果二次函數(shù)y=x2-mx+m+1的圖象經(jīng)過原點，那么m的值是______．11.如果拋物線y=ax2+2x的開口向上，那么a的取值范圍是

.12.已知拋物線y=x2-c經(jīng)過點A（-1，y1）、B（4，y2），那么y1

y2.（填“＞”、“＜”或“=”）13.在△ABC中，如果中線AD和中線CE相交于點G，那么AG：AD=

.14.已知△ABC中，AC=4，∠A=30°，，那么BC的長為

.15.如圖是一輛小M汽車與墻平行停放的平面示意圖，汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0.8米，小汽車車門寬AO為1.2米，當車門打開角度∠AOB為40°時，車門

碰到墻.（填“會”或“不會”）（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

16.已知拋物線形拱橋的橫截面示意圖，當拱頂離水面4米時，水面寬8米.如圖建立平面直角坐標系xOy,如果水面上升3米，那么水面寬度減少

米.

17.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=6，∠ABC=60°，∠ADC=90°，對角線AC與BD相交于點E，若BE=3DE，則BD=

.

18.如圖，平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=5，過點D作DE⊥AB，垂足為點E，將△ADE繞點E旋轉(zhuǎn)得△FGE，點A的對應點F落在邊AD上，點D的對應點G落在邊BC上，連接FG與DE交于點H，那么的值是

.

三、解答題：本題共7小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題10分)

如圖，△ABC中，點D在邊AB上，AD=2BD.

（1）設；，那么=______.（用含有向量和表示）

（2）如果∠BCD=∠A，BC=6，求AB的長.20.(本小題10分)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中，函數(shù)值y與自變量x之間的部分對應關(guān)系如表所示.x…0123…y…-3010…（1）求該二次函數(shù)的解析式及其圖象的對稱軸；

（2）設該二次函數(shù)圖象與x軸相交于點A（點A在對稱軸的右側(cè)），與y軸相交于點B，頂點為C，求△ABC的面積.21.(本小題10分)

如圖，為了測量學校教學樓AB的高度，小慧同學先在教學樓前點D處測得樓頂A的仰角為45°，再沿BD方向后退了16米到點C處，此時測得樓頂A的仰角為22°（B、D、C在一條直線上），根據(jù)這些數(shù)據(jù)，請你幫助小慧求出教學樓AB的高度（精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈

22.(本小題10分)

新定義：由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點.如圖，已知在8×8的網(wǎng)格圖形中，△ABC的頂點A、B、C都在格點上.請按要求完成下列問題：

（1）sin∠BAC=______；

（2）請僅用無刻度的直尺作圖（不要求寫作法，但保留作圖痕跡，寫出結(jié)論）.

①如圖1，在邊AB上求作一點P，使∠ACP=45°；

②如圖2，在邊AC上求作一點Q，使BQ⊥AC.23.(本小題12分)

已知：如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AB的延長線上，過A作AF⊥CE，垂足為點F，CF=EF，AF與邊BC交于點G，聯(lián)結(jié)BF.

（1）求證：FB2=FA?FG；

（2）連接BD與AG交于點H，如果AB=BC，求證：.24.(本小題12分)

在一場籃球賽中，運動員小楊在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線呈拋物線形，當球運行的水平距離為2.5米時，到達最高點，此時球離地面的距離是3.5米，然后準確落入籃圈，已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.

（1）如圖1建立平面直角坐標系.

①求此拋物線的表達式；

②如果小楊的身高是1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米，那么球出手時，他跳離地面的高度是多少米？

（2）如圖2，在這場籃球賽中，另一位運動員小浦跳起投籃，已知球出手時離地面高米，與籃圈中心的水平距離為7米，當球出手后水平距離為4米時到達最高點，此時球離地面的距離是4米，設籃球運行的路線也呈拋物線形，問此球能否投中這個籃圈？25.(本小題14分)

綜合與實踐：折黃金矩形

【問題提出】我們把寬與長之比為的矩形稱為黃金矩形.黃金矩形以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，常見于藝術(shù)、建筑、自然界中.那么，如何用不同形狀的紙片折出黃金矩形，并證明這個矩形是黃金矩形呢？

【操作探究】

（1）小創(chuàng)小組將一張矩形紙片（如圖1）按照圖2到圖5的方式操作，那么圖5中哪些矩形是黃金矩形？請直接寫出結(jié)論.

（2）小智小組將一張正方形紙片（如圖6）按照圖7至圖10的方式操作，得到矩形BGHC，你能證明矩形BGHC是黃金矩形嗎？請寫出證明過程.

【學以致用】

（3）將一張矩形紙片ABCD（如圖11），先按下列操作畫出示意圖，再按要求解決問題.

①沿過點C的直線折疊，使點B落在邊AD上的點E處，折痕交邊AB于點G；

②沿過點E的直線折疊，使點D落在線段CE上的點H處，折痕交邊CD于點F；

③沿過點E的直線折出矩形ENCD，折痕EN交線段CG于點M，連接MH.

如果MH⊥EN，請說明點G是線段AB的黃金分割點.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】

8.【答案】5：3

9.【答案】

10.【答案】-1

11.【答案】a＞0

12.【答案】＜

13.【答案】2：3

14.【答案】

15.【答案】不會

16.【答案】4

17.【答案】3

18.【答案】

19.【答案】-+

AB=6

20.【答案】y=-x2+4x-3，對稱軸為直線x=2

3

21.【答案】教學樓AB的高度為10.7米．

22.【答案】

①如圖1中，點P即為所求；

②如圖②中，點Q即為所求

23.【答案】∵四邊形ABCD是矩形，點E在邊AB的延長線上，

∴∠EBC=∠ABC=90°，

∵AF⊥CE于點F，

∴∠AFE=90°，

∴∠BCE+∠E=90°，∠FAB+∠E=90°，

∴∠BCE=∠FAB，

∵CF=EF，

∴BF=CF=CE，

∴∠BCE=∠FBG，

∴∠FBG=∠FAB，

∵∠BFG=∠AFB，

∴△BFG∽△AFB，

∴=，

∴FB2=FA?FG

連接BD與AG交于點H，連接CH，

∵四邊形ABCD是矩形，且AB=BC，

∴四邊形ABCD是正方形，

∵DA∥GB，DA=CB，

∴△AHD∽△GHB，

∴==，

∵CB=AB=CD=AD，∠BCD=∠BAD=90°，

∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=∠ADB=45°，

在△BCH和△BAH中，

，

∴△BCH≌△BAH（SAS），

∴∠HCB=∠HAB，

由（1）得∠FBG=∠FAB，即∠FBG=∠HAB，

∴∠HCB=∠FBG，

∴CH∥BF，

∴=，

∴=

24.【答案】①y=-0.2（x-2.5）2+3.5．

②球出手時，他跳離地面的高度為0.2m

此球不能投中這個籃圈

25.【答案】矩形DCGH、矩形ABGH為黃金矩形

如圖，記EF與CG交于點M，

設正方形邊長為2k，則AB=CD=BC=AD=2k，DE=CF=k，

∴CE=k，

∵∠BCG=∠ECG，

∴==，

∴=，

∴MF=EF=k，

∵MF∥BG，

∴△CMF∽△CGB，

∴===，

∴矩形BGHC為黃金矩形

示意圖如圖所示：

設AB=1，BG=a，則AG=1-a，EN=1，

由折疊可知EG=BG=a，∠CEG=∠CBG=90°，

∴AE==，

∵∠AEN=∠CEG=90°，

∴∠A