一、教學(xué)背景分析：為何要聚焦“關(guān)系”？演講人CONTENTS教學(xué)背景分析：為何要聚焦“關(guān)系”？教學(xué)目標與重難點：指向關(guān)系的深度理解教學(xué)過程設(shè)計：在“關(guān)系”中建構(gòu)運算意義課后延伸與作業(yè)設(shè)計：在生活中深化“關(guān)系理解”總結(jié)：關(guān)系是運算的靈魂目錄2025小學(xué)六年級數(shù)學(xué)上冊分數(shù)除法與乘法關(guān)系課件作為深耕小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終認為，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)不是孤立的符號游戲，而是建立在“關(guān)系網(wǎng)”上的思維建構(gòu)。分數(shù)除法與乘法的關(guān)系，正是連接分數(shù)運算知識體系的關(guān)鍵紐帶。今天，我將以“關(guān)系”為核心，帶領(lǐng)六年級的同學(xué)們一起揭開分數(shù)乘除法的內(nèi)在聯(lián)系，讓運算不再是機械的規(guī)則記憶，而是可解釋、可推導(dǎo)的邏輯過程。01教學(xué)背景分析：為何要聚焦“關(guān)系”？1課標要求與知識定位《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域明確指出：“要引導(dǎo)學(xué)生理解運算的一致性，發(fā)展運算能力和推理意識。”分數(shù)除法與乘法的關(guān)系，正是落實這一要求的重要載體。從知識體系看，六年級上冊的分數(shù)乘法（包括分數(shù)乘整數(shù)、分數(shù)乘分數(shù)）已為學(xué)生奠定了“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的運算基礎(chǔ)；而分數(shù)除法（包括分數(shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)）則需要學(xué)生從“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”的逆向視角展開思考。二者的關(guān)系，本質(zhì)上是“正向運算”與“逆向運算”的互逆關(guān)系，是理解分數(shù)四則運算一致性的核心節(jié)點。2學(xué)情基礎(chǔ)與認知難點通過前測調(diào)研，我發(fā)現(xiàn)90%的學(xué)生能正確計算分數(shù)乘法（如$\frac{3}{4}×2$或$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$），但面對分數(shù)除法（如$\frac{3}{4}÷2$或$2÷\frac{1}{2}$）時，65%的學(xué)生會直接套用“除以一個數(shù)等于乘它的倒數(shù)”的規(guī)則，卻無法解釋“為什么可以這樣算”；更有30%的學(xué)生混淆乘除法的意義，在解決“小明吃了6塊蛋糕，是總數(shù)的$\frac{2}{3}$，原來有多少塊？”這類問題時，錯誤地列式為$6×\frac{2}{3}$。這說明學(xué)生對分數(shù)乘除法的關(guān)系停留在“操作層面”，缺乏“意義層面”的關(guān)聯(lián)認知。因此，本節(jié)課的核心任務(wù)是：通過具體情境與算式對比，幫助學(xué)生從“運算意義”和“算理推導(dǎo)”兩個維度，建立分數(shù)除法與乘法的本質(zhì)聯(lián)系。02教學(xué)目標與重難點：指向關(guān)系的深度理解1三維目標設(shè)定知識與技能：理解分數(shù)除法是分數(shù)乘法的逆運算，掌握“除以一個不等于0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”的算理；能準確運用乘除法關(guān)系解決簡單實際問題。01過程與方法：通過“情境抽象—算式對比—歸納關(guān)系—驗證應(yīng)用”的探究過程，經(jīng)歷從具體到抽象、從特例到一般的數(shù)學(xué)推理，發(fā)展運算能力和邏輯思維。02情感態(tài)度與價值觀：在“找關(guān)系”的過程中感受數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，體會“逆運算”的對稱之美，增強用數(shù)學(xué)眼光觀察生活的意識。032教學(xué)重難點重點：理解分數(shù)除法與乘法的互逆關(guān)系，能用乘法意義解釋分數(shù)除法的算理。難點：從“分數(shù)除以分數(shù)”的運算中歸納一般性關(guān)系，并能在復(fù)雜問題中靈活運用乘除法關(guān)系解決問題。03教學(xué)過程設(shè)計：在“關(guān)系”中建構(gòu)運算意義1情境導(dǎo)入：從生活問題中喚醒“乘除關(guān)聯(lián)”（出示情境圖：媽媽做了一塊長方形巧克力，面積是$\frac{6}{5}$平方分米，已知它的長是$\frac{3}{2}$分米，寬是多少分米？）“同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)過長方形面積=長×寬，現(xiàn)在已知面積和長，求寬，應(yīng)該用什么運算？”學(xué)生快速回答：“除法，寬=面積÷長，也就是$\frac{6}{5}÷\frac{3}{2}$?！薄澳侨绻阎L和寬，求面積呢？”“乘法，$\frac{3}{2}×寬=\frac{6}{5}$?！贝藭r板書兩個算式：$\frac{3}{2}×寬=\frac{6}{5}$（乘法）與$寬=\frac{6}{5}÷\frac{3}{2}$（除法），引導(dǎo)學(xué)生觀察：“這兩個算式有什么聯(lián)系？”1情境導(dǎo)入：從生活問題中喚醒“乘除關(guān)聯(lián)”學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：“除法算式是乘法算式的逆運算，已知積和一個因數(shù)，求另一個因數(shù)用除法。”設(shè)計意圖：從學(xué)生熟悉的面積問題切入，利用“求面積”（乘法）與“求寬”（除法）的實際需求，自然引出乘除法的互逆關(guān)系，喚醒學(xué)生對“逆運算”的已有認知（如整數(shù)乘除法的關(guān)系），為后續(xù)探究分數(shù)情境下的關(guān)系奠定基礎(chǔ)。2探究新知：在對比中揭示“關(guān)系本質(zhì)”2.1第一層：分數(shù)除以整數(shù)與乘法的關(guān)系（出示問題1：把$\frac{4}{5}$升果汁平均分給2個小朋友，每人分到多少升？）學(xué)生獨立列式：$\frac{4}{5}÷2$?！拔覀兛梢杂貌煌姆椒ㄓ嬎氵@個除法，再看看它和乘法有什么聯(lián)系?！狈椒ㄒ唬▓D示法）：畫出$\frac{4}{5}$升的線段圖，平均分成2份，每份是$\frac{2}{5}$升。方法二（轉(zhuǎn)化整數(shù)法）：$\frac{4}{5}$升=800毫升，800÷2=400毫升=$\frac{4}{5}$升。方法三（乘法意義推導(dǎo)）：每人分到的是$\frac{4}{5}$升的$\frac{1}{2}$，即$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$升。2探究新知：在對比中揭示“關(guān)系本質(zhì)”2.1第一層：分數(shù)除以整數(shù)與乘法的關(guān)系“觀察方法三，$\frac{4}{5}÷2$的結(jié)果和$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$的結(jié)果相同，這說明什么？”學(xué)生總結(jié)：“除以2等于乘2的倒數(shù)$\frac{1}{2}$。”2探究新知：在對比中揭示“關(guān)系本質(zhì)”2.2第二層：整數(shù)除以分數(shù)與乘法的關(guān)系（出示問題2：小明$\frac{1}{2}$小時走了2千米，他1小時走多少千米？）學(xué)生列式：$2÷\frac{1}{2}$?！?小時是$\frac{1}{2}$小時的2倍，所以路程也是2千米的2倍，即2×2=4千米。”“這里的2×2和原來的除法算式有什么聯(lián)系？”引導(dǎo)學(xué)生思考：$\frac{1}{2}$小時走2千米，1小時走的路程是2千米除以$\frac{1}{2}$，相當于2千米乘$\frac{1}{2}$的倒數(shù)2，即$2÷\frac{1}{2}=2×2=4$。2探究新知：在對比中揭示“關(guān)系本質(zhì)”2.3第三層：分數(shù)除以分數(shù)與乘法的關(guān)系（出示問題3：一根繩子長$\frac{3}{4}$米，每$\frac{1}{8}$米剪一段，可以剪多少段？）學(xué)生列式：$\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}$?！拔覀兛梢杂贸朔▉眚炞C：如果剪了x段，那么$\frac{1}{8}×x=\frac{3}{4}$，求x就是$\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}$。”“計算時，$\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}=\frac{3}{4}×8=6$，這里的8是$\frac{1}{8}$的倒數(shù)?！标P(guān)鍵提問：“觀察以上三個例子，無論是分數(shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分數(shù)還是分數(shù)除以分數(shù)，計算時都用到了什么共同的方法？”學(xué)生通過對比歸納：“除以一個數(shù)（0除外），等于乘這個數(shù)的倒數(shù)?！?探究新知：在對比中揭示“關(guān)系本質(zhì)”2.3第三層：分數(shù)除以分數(shù)與乘法的關(guān)系“那為什么可以這樣算呢？”進一步追問，引導(dǎo)學(xué)生從乘法意義解釋：分數(shù)除以整數(shù)（如$\frac{4}{5}÷2$）：求$\frac{4}{5}$的$\frac{1}{2}$是多少，即$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$。整數(shù)除以分數(shù)（如$2÷\frac{1}{2}$）：求2里面有幾個$\frac{1}{2}$，相當于2是$\frac{1}{2}$的幾倍，即2×2（因為$\frac{1}{2}×2=1$，2里面有4個$\frac{1}{2}$，但更本質(zhì)的是“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”用乘法逆運算）。2探究新知：在對比中揭示“關(guān)系本質(zhì)”2.3第三層：分數(shù)除以分數(shù)與乘法的關(guān)系分數(shù)除以分數(shù)（如$\frac{3}{4}÷\frac{1}{8}$）：求$\frac{3}{4}$是$\frac{1}{8}$的幾倍，即$\frac{3}{4}×8$（因為$\frac{1}{8}×8=1$，$\frac{3}{4}×8$表示$\frac{3}{4}$包含多少個$\frac{1}{8}$）。設(shè)計意圖：通過三個層次的問題（分數(shù)÷整數(shù)、整數(shù)÷分數(shù)、分數(shù)÷分數(shù)），引導(dǎo)學(xué)生從具體運算中觀察規(guī)律，再通過“為什么可以這樣算”的追問，將操作規(guī)則（除以一個數(shù)等于乘它的倒數(shù)）與乘法意義（求一個數(shù)的幾分之幾、求倍數(shù)關(guān)系）建立聯(lián)系，實現(xiàn)“知其然更知其所以然”的深度理解。3鞏固練習(xí)：在應(yīng)用中強化“關(guān)系運用”3.1基礎(chǔ)練習(xí)：算式互譯給出乘法算式$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$，寫出對應(yīng)的除法算式（$\frac{1}{2}÷\frac{2}{3}=\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}÷\frac{3}{4}=\frac{2}{3}$）。給出除法算式$6÷\frac{3}{5}=10$，寫出對應(yīng)的乘法算式（$\frac{3}{5}×10=6$）。設(shè)計意圖：通過“算式互譯”強化乘除法的互逆關(guān)系，讓學(xué)生明確“積=因數(shù)×因數(shù)”“因數(shù)=積÷另一個因數(shù)”的本質(zhì)聯(lián)系。3鞏固練習(xí)：在應(yīng)用中強化“關(guān)系運用”3.2對比練習(xí)：意義辨析問題A：一根繩子長12米，用去$\frac{1}{3}$，用去多少米？（$12×\frac{1}{3}=4$米）問題B：一根繩子用去$\frac{1}{3}$，正好用去4米，這根繩子長多少米？（$4÷\frac{1}{3}=12$米）“對比兩個問題，它們的已知條件和所求有什么不同？列式時為什么一個用乘法，一個用除法？”學(xué)生討論后總結(jié)：“問題A是已知整體求部分（求12米的$\frac{1}{3}$），用乘法；問題B是已知部分求整體（4米是整體的$\frac{1}{3}$），用除法。乘除法的關(guān)系本質(zhì)上是‘整體與部分’的正向與逆向求解?！痹O(shè)計意圖：通過實際問題對比，幫助學(xué)生從“運算意義”層面區(qū)分乘除法的適用場景，避免“見分號就乘、見除號就除”的機械思維。3鞏固練習(xí)：在應(yīng)用中強化“關(guān)系運用”3.3拓展練習(xí)：推理應(yīng)用已知$a×\frac{2}{3}=b÷\frac{3}{4}=c×1$（a、b、c均不為0），比較a、b、c的大小。學(xué)生思考過程：設(shè)等式等于1，則$a=1÷\frac{2}{3}=\frac{3}{2}$，$b=1×\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$，$c=1$。所以$a>c>b$。“這里用到了乘除法的什么關(guān)系？”學(xué)生回答：“已知積和一個因數(shù)求另一個因數(shù)用除法，已知商和除數(shù)求被除數(shù)用乘法，通過假設(shè)法將復(fù)雜關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體數(shù)值，體現(xiàn)了乘除法的互逆性?！痹O(shè)計意圖：通過開放性推理題，引導(dǎo)學(xué)生靈活運用乘除法關(guān)系解決復(fù)雜問題，發(fā)展代數(shù)思維和推理能力。4課堂小結(jié)：用“關(guān)系網(wǎng)”串聯(lián)知識“今天我們一起探索了分數(shù)除法與乘法的關(guān)系，誰能結(jié)合具體例子說說你的收獲？”學(xué)生1：“分數(shù)除法是分數(shù)乘法的逆運算，比如已知一個數(shù)的$\frac{2}{3}$是6，求這個數(shù)用除法（$6÷\frac{2}{3}$），而求6的$\frac{2}{3}$是多少用乘法（$6×\frac{2}{3}$）?！睂W(xué)生2：“計算分數(shù)除法時，除以一個數(shù)等于乘它的倒數(shù)，這是因為除法是乘法的逆運算，比如$\frac{3}{4}÷2$等于$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$，相當于求$\frac{3}{4}$的$\frac{1}{2}$是多少?！?課堂小結(jié)：用“關(guān)系網(wǎng)”串聯(lián)知識教師總結(jié)：“分數(shù)乘除法就像一對‘好朋友’，乘法是‘正向生長’（已知整體求部分），除法是‘逆向還原’（已知部分求整體）；它們的運算規(guī)則也緊密相連——除法的計算可以通過轉(zhuǎn)化為乘法來完成。這種‘互逆關(guān)系’不僅是分數(shù)運算的核心，更是整個數(shù)學(xué)運算體系的重要基礎(chǔ)?！?4課后延伸與作業(yè)設(shè)計：在生活中深化“關(guān)系理解”1實踐作業(yè)（基礎(chǔ)層）記錄生活中用到分數(shù)乘除法的場景（如分食物、算時間、量布料），分別用乘法和除法各舉一個例子，并用算式表示它們的關(guān)系。2思維作業(yè)（提升層）思考：為什么“0不能作除數(shù)”？結(jié)合分數(shù)乘法與除法的關(guān)系解釋原因（提示：如果$a÷0=b$，則$0×b=a$，但0乘任何數(shù)都是0，無法得到非0的a；若a=0，則b可以是任意數(shù)，結(jié)果不唯一）。3挑戰(zhàn)作業(yè)（拓展層）閱讀數(shù)學(xué)史資料，了解“倒數(shù)”概念的起源（如古埃及人用單位分數(shù)的和表示分數(shù)，中國古代《九章算術(shù)》中的“經(jīng)分術(shù)”），寫一篇200字的數(shù)學(xué)小短文。05總結(jié)：關(guān)系是運算的靈魂總結(jié)：關(guān)系是運算的靈魂分數(shù)除法與乘法的關(guān)系，是打開分數(shù)運算之