橢圓定點定值問題試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，過右焦點\(F\)的直線交橢圓于\(A\)、\(B\)兩點，若\(\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}\)，則橢圓離心率\(e\)的取值范圍是（）A.\((0,\frac{1}{2})\)B.\((0,\frac{\sqrt{2}}{2})\)C.\((\frac{1}{2},1)\)D.\((\frac{\sqrt{2}}{2},1)\)2.橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)上一點\(P\)到左焦點\(F_1\)的距離為\(3\)，則點\(P\)到右焦點\(F_2\)的距離為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)3.橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的焦點為\(F_1,F_2\)，過\(F_1\)的直線交橢圓于\(A,B\)兩點，則\(\triangleABF_2\)的周長為（）A.\(8\)B.\(12\)C.\(16\)D.\(20\)4.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，過\(F_1\)且垂直于\(x\)軸的直線與橢圓交于\(A,B\)兩點，若\(\triangleABF_2\)為正三角形，則該橢圓的離心率為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)5.橢圓\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的焦距為\(2\)，則\(m\)的值為（）A.\(5\)B.\(3\)C.\(5\)或\(3\)D.\(8\)6.設(shè)\(F_1,F_2\)是橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\)的兩個焦點，\(P\)是橢圓上一點，且\(\vertPF_1\vert:\vertPF_2\vert=3:1\)，則\(\trianglePF_1F_2\)的面積為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(1\)7.橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)上一點\(M\)到焦點\(F_1\)的距離為\(2\)，\(N\)是\(MF_1\)的中點，則\(\vertON\vert\)等于（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(\frac{3}{2}\)8.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，點\(P\)在橢圓上，且\(\angleF_1PF_2=90^{\circ}\)，\(\vertPF_1\vert=3\vertPF_2\vert\)，則橢圓的離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{10}}{4}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{5}}{4}\)9.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右頂點分別為\(A,B\)，點\(P\)在橢圓上，直線\(PA\)，\(PB\)的斜率分別為\(k_1,k_2\)，若\(k_1k_2=-\frac{1}{4}\)，則橢圓的離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)10.過橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)的右焦點\(F\)作直線\(l\)交橢圓于\(A,B\)兩點，若\(\vertAB\vert=\frac{7}{2}\)，則直線\(l\)的斜率為（）A.\(\pm1\)B.\(\pm\sqrt{2}\)C.\(\pm\sqrt{3}\)D.\(\pm2\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，下列說法正確的是（）A.橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為\(2a\)B.橢圓的離心率\(e\in(0,1)\)C.橢圓的焦點在\(x\)軸上D.若橢圓的離心率\(e\)越接近\(1\)，則橢圓越扁2.對于橢圓\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，下列結(jié)論正確的是（）A.長軸長為\(6\)B.短軸長為\(4\)C.焦距為\(2\sqrt{5}\)D.離心率為\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)3.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，過\(F_1\)的直線交橢圓于\(A,B\)兩點，則（）A.\(\triangleABF_2\)的周長為\(4a\)B.若\(\vertAB\vert\)的最大值為\(3a\)，則橢圓的離心率\(e=\frac{1}{2}\)C.若\(\vertAB\vert\)的最小值為\(3b\)，則橢圓的離心率\(e=\frac{1}{2}\)D.若\(\triangleABF_2\)的面積的最大值為\(bc\)，則橢圓的離心率\(e=\frac{\sqrt{2}}{2}\)4.設(shè)橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，點\(P\)在橢圓上，則（）A.當(dāng)點\(P\)為橢圓短軸端點時，\(\angleF_1PF_2\)最大B.若\(\vertPF_1\vert=2\vertPF_2\vert\)，則橢圓的離心率\(e\in[\frac{1}{3},1)\)C.若\(\trianglePF_1F_2\)是等腰三角形，則\(\vertPF_1\vert\in[a-c,2a-c]\)D.若\(\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0\)，則橢圓的離心率\(e\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1)\)5.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，直線\(l\)過橢圓的右焦點\(F\)，且與橢圓交于\(A,B\)兩點，則（）A.當(dāng)直線\(l\)垂直于\(x\)軸時，\(\vertAB\vert=3\)B.當(dāng)直線\(l\)斜率為\(0\)時，\(\vertAB\vert=4\)C.以\(AB\)為直徑的圓與橢圓的右準(zhǔn)線相離D.\(\triangleAOB\)面積的最大值為\(\sqrt{3}\)6.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，過\(F_1\)作傾斜角為\(30^{\circ}\)的直線交橢圓于\(A,B\)兩點，若\(\vertAF_2\vert+\vertBF_2\vert=2a\)，則（）A.直線\(AB\)的方程為\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+c)\)B.\(\vertAB\vert=\frac{4\sqrt{3}}{3}a\)C.橢圓的離心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.點\(F_2\)到直線\(AB\)的距離為\(\frac{\sqrt{3}}{2}c\)7.設(shè)橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右頂點分別為\(A,B\)，點\(P\)在橢圓上，且異于\(A,B\)兩點，直線\(PA\)，\(PB\)的斜率分別為\(k_1,k_2\)，則（）A.\(k_1k_2=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\)B.若\(k_1k_2=-\frac{1}{2}\)，則橢圓的離心率\(e=\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.若\(k_1k_2=-\frac{1}{3}\)，則橢圓的離心率\(e=\frac{\sqrt{6}}{3}\)D.若\(k_1k_2=-\frac{1}{4}\)，則橢圓的離心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)8.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，過橢圓的左焦點\(F_1\)作直線\(l\)交橢圓于\(A,B\)兩點，若\(\vertAB\vert\)的最大值為\(4\)，最小值為\(3\)，則（）A.\(a=2\)B.\(b=\sqrt{3}\)C.橢圓的離心率\(e=\frac{1}{2}\)D.橢圓的短軸長為\(2\sqrt{3}\)9.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，點\(P\)在橢圓上，且\(\vertPF_1\vert=3\vertPF_2\vert\)，則（）A.\(\vertPF_2\vert=\frac{a}{2}\)B.橢圓的離心率\(e\in[\frac{1}{2},1)\)C.當(dāng)\(e=\frac{1}{2}\)時，\(\trianglePF_1F_2\)是直角三角形D.當(dāng)\(e=\frac{\sqrt{2}}{2}\)時，\(\trianglePF_1F_2\)是等腰直角三角形10.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，直線\(l\)：\(y=kx+m\)與橢圓交于\(A,B\)兩點，若以\(AB\)為直徑的圓過橢圓的右頂點，則（）A.\(m=-\frac{4k}{7}\)B.直線\(l\)恒過定點\((\frac{2}{7},0)\)C.\(\triangleAOB\)面積的最大值為\(\frac{12}{7}\)D.當(dāng)\(k=0\)時，\(\vertAB\vert=2\sqrt{3}\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)上任意一點到兩焦點距離之和為\(2a\)。（）2.橢圓的離心率\(e\)越大，橢圓越圓。（）3.橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)的長軸長為\(4\)。（）4.過橢圓焦點的直線與橢圓相交，所截得的弦長中，通徑最短。（）5.若橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，點\(P\)在橢圓上，且\(\vertPF_1\vert=2\vertPF_2\vert\)，則\(\vertPF_2\vert=\frac{2a}{3}\)。（）6.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右頂點分別為\(A,B\)，點\(P\)在橢圓上，直線\(PA\)，\(PB\)的斜率分別為\(k_1,k_2\)，則\(k_1k_2=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\)。（）7.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，直線\(l\)過橢圓的右焦點\(F\)，