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II橢圓的三大定義及標準方程分析目錄TOC\o"1-3"\h\u11809橢圓的三大定義及標準方程分析 1272741.1橢圓的第一定義 1304081.2橢圓的第二定義 180191.3橢圓的第三定義 1186391.4橢圓三個定義間的關系 15601.5橢圓的標準方程 2在中學教材中，只有對橢圓第一定義的闡述。第二定義都是通過例題引入，化簡進行總結的。雖然兩種定義方法不同，但軌跡方程是相同的，都是橢圓的標準方程。大家可能會有疑惑：為什么定義方法完全不同，但會出現相同的軌跡方程呢？它們之間的內在聯(lián)系是什么？關于圓錐曲線的第三定義，教材中并沒有明確提出，只是在習題中有所涉及，但是在平常練習和考試中還是會經?？疾?，所以了解和掌握第三定義還是很有必要的。第三定義也是完全不同的定義方法，為什么也會與第一定義、第二定義等價呢？1.1橢圓的第一定義把平面內與兩個定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫作橢圓。這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距，用符號表示為：．注意：（１）當時，軌跡是以點為端點的線段,（２）當時，軌跡不存在。1.2橢圓的第二定義平面上到定點的距離與到定直線的距離之比為常數(即橢圓的離心率)的點的集合（定點不在定直線上，該常數為小于1的正數），其中定點為橢圓的焦點，定直線稱為橢圓的準線（該定直線的方程是〈焦點在軸上〉或者〈焦點在軸上〉)。1.3橢圓的第三定義平面內的動點到兩定點的斜率乘積，等于常數的點的軌跡，叫做橢圓或雙曲線，其中兩定點分別為橢圓或雙曲線的頂點；當常數大于-1小于0時為橢圓；當常數大于0時為雙曲線REF_Ref30015\r\h[3]。1.4橢圓三個定義間的關系我們利用第一定義推導橢圓的標準方程過程是這樣的：建立坐標系，根據幾何關系寫出等式：①移項后平方：②再次平方：③令可得橢圓標準方程：④對等式②進行簡單變形，可以發(fā)現橢圓的第二定義：也就是說，第二定義已經天然的蘊含在第一定義當中了，二者其實是一回事，只不過選擇了不同的描述方式。同樣，我們對等式③進行簡單的變形，就可以發(fā)現橢圓的第三定義：繼續(xù)變形可以得到：即平面內的動點到兩個定點的斜率乘積為一個常數。1.5橢圓的標準方程當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為；當焦點在軸上時，橢圓的標準方程為；若給定了橢圓的方程為，我們要根據的大小關系來判斷橢圓焦點在哪個坐標軸上。下面我們通過兩個例題來了解一下：例1：若方程表示橢圓，則的取值范圍是多少？解：由已知方程表示橢圓，得，解得。例2：已知，表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍。因為焦點在軸上，有，即。在做題時，我們應該注意滿足橢圓的條件是什么，在具體題目中根據條件求出相關字母的取值

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